Materi. Greedy algorithms MST MST TIDAK UNIK 4/29/2010. (Minimum Spanning Tree) MST MST MST. Graph MST Kruskal Prim Dijkstra.

Transkripsi

1 /9/00 Materi Greedy algorithms wijanarto Graph Kruskal Prim Dijkstra (Minimum Spanning Tree) G=(V,E) adalah Undirected graph Spanning Tree G adalah tree yang meliputi seluruh vertek dalam G Spanning : terdiri idari seluruh vertek tkdl dalam g Tree :subgraph terhubung tanpa cycle (Minimum Spanning Tree) adalah Spanning Tree dengan bobot/panjang minimum(panjang/bobot) G=(V,E), dengan l:e R + adalah panjang/bobot PanjangST adalah dlhjumlahan panjang dari edge dalam Tree ST mempunyai v edge TIDAK UNIK (Minimum Spanning Tree) 7 7 Total bobot di atas =7, tetapi dengan menghilangkan edge(b,c) dan mengganti dengan edge (a,h) akan di dapatkan bobot 7 juga 9 Length: ++++= Spanning Tree 9 ( ) ( )=

2 /9/00 Algoritma Mulai dari suatu tree Menyertakan edge dalam tree tsb Cari apakah ada cycle yang terbentuk dari langkah sebelumnya Buang edge dengan bobot atau pangjang yang lebih besar dari cycle yang terbentuk (jika ada) Generik GEN-(G,w).A.while A bukan Spanning Tree do.cari edge(u,v) yang aman untuk A.A A {(u,v).return A Generik Dari psuedo code sebelumnya, yang paling penting terletak pada baris Pada baris, Harus terdapat spanning tree T sehingga A T, dan jika ada edge (u,v) T sedemikian rupa sehingga (u,v) A, MAKA (u,v) aman untuk A Bukti dari Generik Potongan (S,V S) dari G=(V,E) adalah partisi dari V. Kita katakan edge (u,v) E memotong (S,V S) jika terfapat satu titik akhir dalam S dan lainnya pada (V S) Kruskal Deskripsi Grafis Algo ini mendevelop berdasarkan edge yang diambil dg bobot minimum Jika edge yang diambil menyebabkan cycle maka tidak kita ambil Algo berhenti jika sudah membentuk Spanning Tree (semua vertek ada) 7 9

3 /9/00 Running K Generik KRUSKAL Analisia Kruskal. Urutkan edge secara menaik berdasarkan bobotnya e,e,e,.,e m l(e i ) l(e i+ ). ST //akumulator untuk spanning tree. For i= to m do If {e i ST adalah Tree then ST ST {e i. Return ST BAGAIMANA MEMERIKSA APAKAH EDGE YANG DISISIPKAN DALAM SPANNING TREE MEMBENTUK CYCLE ATAU TIDAK??? simulasi m log m m log m < m log m Asumsikantiapedge berbobot beda Sortir tiap edge dalam graph, misal hasilnya g<g<g, <g n Ambil Tiap Edge shg terbentuk optimum tree f<f<f,..<f n Dua himpunan edge diatas tidak harus sama (egual bobotnya) Karena kedua himpunan Edge diatas tidak harus sama, maka kita buktikan dengan kontradiksi Perbedaan pertama yang ada g<g<g, <g i <g i.<g n f<f<f,..<f i <f i..<f n Dua himpunan edge diatas tidak harus sama (egual bobotnya) g<g<g, <g i <g i.<g n Perbedaan pertama yang ada Kruskal f<f<f,..<f i <f i..<f Opt Tree n Misal perbedaan yang pertama muncul di i Kasus : g i <f i, artinya l(g i )<l(f i ) jika demikian maka g i tidak mungkin muncul di antara f i dan f n. Maka tambahkan g i ke opt tree

4 /9/00 Diketahuai opt tree f=g Dapatkah g i menjadi f=g C f=g Edge terpanjang Dalam cycle C. gi f=g Tiap edge dalam cycle C pasti lebih kecil dari g i, sebab berada dalam f f i yang identik dengan g g i. (lihat gambar sebelumnya kruskal dan opt tree) g<g<g, <g i <g i.<g n Perbedaan pertama yang ada Kruskal f<f<f,..<f i <f i..<f n Opt Tree Misal perbedaan yang pertama muncul di i Kasus : g i >f i, artinya l(g i )>l(f i ) jika demikian maka f i berbeda dari g i g n. Kenapa Kruskal tidak mengambil edge f i??? Karena f i U {g..g n mengandung cycle, dengan demikian f i U {f..f n juga mengandung cycle. Sehingga Opt Tree pasti mengandung cycle Memeriksa Cycle UNION Connected component Bagaimana kita memeriksa jika sebuah cycle terbentuk pada suatu edge e=(u,v)? Cycle terbentukjikadanhanyajikau dan v sudah terhubung, artinyau dan v berada dalam connected component yang sama. Jadi sebenarnya kita hanya melakukan pengelolaan koleksi komponen yang ada serta melakukan merge dari himpunan connected componen yang terbentuk. {a,b,c {f,g,h??? {d c {e d e a # connected component adalah b f g h Misalkan kita sudah mengambil himpunan data edge dalam suatu forest Kita akan check edge yang ditambahkan membentuk cycle atau tidak Lalu selanjutnya Cara memeriksanya adalah apakah endpoint dari edge baru tadi berada dalam tree yang sama dalam forest.

5 /9/00 Jadi algoritma akan di mulai dengan n connected component Dan berakhir dengan satu connected component Misal kita definisikan Universe dari CC U={e,e,e,,en Inisialkan tiap CC dalam himpunan menjadi disjoint data struktur {e{e{e {en Dimana e en adalah himpinan vertek Tentukan operasi pada ADT disjoint MAKE SET UNION LINK FINDSET UNION Himpunan Ordered Tree

6 /9/00 SD Kruskal #define MAXVERTICES 0 #define MAXEDGES 0 typedef enum {FALSE, TRUE bool; int edges[][] = { {0,,, {0,,9, {0,,, {,,, {,,, {,,, {,,0, {,,8, {,,, {,, ; Ambil Vertek Dari Graph int getnvert(int edges[][], int nedges) { int nvert = -; int j; for( j=0; j<nedges; ++j ) { if( edges[j][0] > nvert ) nvert = edges[j][0]; if( edges[j][] > nvert ) nvert = edges[j][]; return ++nvert; Pemeriksaan Edge Pada Spanning Tree bool FindSet(int edges[][], int nedges, int v) { /* * periksa apakah v sudah berada di spanning tree. * dg demikian kita dapat melihat bhw ada edge di v yang * punya cost negatif. cost negative menandakan bhw edge * termasuk dalam spanning tree. */ int j; for(j=0; j<nedges; ++j) if(edges[j][]<0 && (edges[j][0]==v edges[j][] == v)) return TRUE; return FALSE; Kruskal void spanning(int edges[][], int nedges) { /* temukan spanning tree dr graph yg punya edges dengan kruskal asumsikan seluruh cost bernilai positive. */ int i, j, tv, tv, tcost; int nspanedges = 0; int nvert = getnvert(edges, nedges); // urutkan cost pada edge. for(i=0; i<nedges-; ++i) for(j=i; j<nedges; ++j) if(edges[i][] > edges[j][]) { tv=edges[i][0]; tv=edges[i][]; tcost=edges[i][]; edges[i][0]=edges[j][0]; edges[j][0]; edges[i][]=edges[j][]; edges[j][]; edges[i][]=edges[j][]; edges[j][]; edges[j][0]=tv; edges[j][]=tv; edges[j][]=tcost; for(j=0; j<nedges-; ++j) { // apakah edge j berhub dg vertek v dan v. int v = edges[j][0]; int v = edges[j][]; // cek apakah ada cycle yg terbentuk hingga spanning tree yg skarang. pemeriksaan //dpt di selesaikan dg mudah dg memeriksa v dan v di spanning tree! if(findset(edges, nedges, v) && FindSet(edges, nedges, v)) // cycle. printf("ditolak: %d %d %d...\n", edges[j][0], edges[j][], edges[j][]); else { edges[j][] = -edges[j][]; printf("%d %d %d.\n", edges[j][0], edges[j][], - edges[j][]); if(++nspanedges == nvert-) return; printf("tidak ada spanning tree utk graph.\n"); GRAPH ADJ.MATRIK ditolak: ditolak: SAMPLE OUTPUT