: PERSOALAN DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE
|
|
- Yuliani Oesman
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Judul Tesis : PERSOALAN DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE Nama Mahasiswa : Maruli Hutapea Nomor Pokok : Program Studi : Magister Matematika Menyetujui, Komisi Pembimbing (Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc) Ketua (Prof. Dr. Opim Salim S, MSc) Anggota Ketua Program Studi Dekan (Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc) Tanggal lulus: 04 Juni 2013
2 Telah diuji pada Tanggal 04 Juni 2013 PANITIA PENGUJI TESIS Ketua : Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc Anggota : 1. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc 2. Prof. Dr. Herman Mawengkang 3. Prof. Dr. Tulus, M.Si
3 PERNYATAAN PERSOALAN DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE TESIS Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya Medan, Juni 2013 Penulis, Maruli Hutapea i
4 ABSTRAK Dalam menyelesaikan persoalan degree constrained minimum spanning tree pada graph G(V,E) berbobot terhubung tak berarah merupakan permasalahan untuk menemukan spanning tree T di G dengan total panjang edge yang minimum dan degree dari setiap verteks v i di T dibatasi oleh b i dimana d T (v i ) b i. Untuk menyelesaikan permasalahan degree constrained minimum spanning tree dilakukan dengan memodifikasi algoritma kruskal, dimana sebuah edge diterima di T, jika edge tidak membentuk cycle pada edge terdahulu yang berada di T dan verteks-verteks ujungnya memenuhi batas maksimum degree yang diberikan, yaitu d T (v j ) b j dan d T (v k ) b k. Kata Kunci : Graph, Degree constrained, Spanning tree ii
5 ABSTRACT The degree constrained minimum spanning tree (DCMST) on undirected weighted connected graph G(V,E) is a problem to fins a spanning tree T in G with whose total edge length is minimal and the degree of each vertex v i in T at most a given value b i where d T (v i ) b i. For solving this problem, we modified kruskal algorithm, an edge received in T, if an edge did not produce any cycle with preceding edge in T and a both endpoints should not exceed some given maximum degrees that d T (v j ) b j and d T (v k ) b k. Keywords: Graph, Degree constrained, Spanning tree iii
6 KATA PENGANTAR Dengan segala kerendahan hati dan penuh sukacita, penulis mengucapkan puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala anugrah dan berkat-nya yang telah diberikan, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: PERSOALAN DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE. Tesis ini merupakan salah satu syarat untuk menyelesaikan studi pada Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara. Penulis menyadari bahwa terselesaikannya Tesis ini tidak lepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis menyampaikan terimakasih sebesar-besarnya kepada : Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTMH, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara Dr. Sutarman, M.Sc selaku Dekan FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara Medan. Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara dan selaku Pembanding Utama yang telah banyak memberikan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara dan selaku Pembimbing Utama yang telah banyak memberikan bimbingan dan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc selaku Pembimbing Kedua yang juga telah banyak memberikan bimbingan kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku Pembanding Kedua yang telah banyak memberikan arahan serta motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini. iv
7 Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan. Saudari Misiani, S.Si selaku Staf Administrasi Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah banyak memberikan pelayanan yang baik kepada penulis selama mengikuti perkuliahan. Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada orangtua tercinta, Ayahanda Alm. Paimin Hutapea dan Ibunda Sumiantauli br Simanjuntak yang telah mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis, kepada adik-adik Mawarni Hutapea, Megawati Hutapea serta Istri Netty Saulina br Lumbangaol S.Pd dan anak-anak Olivia Hutapea dan David Hutapea yang telah memberikan semangat dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis ini. Kepada Pemerintah Provinsi Sumatera Utara (Pemprovsu) atas bantuan dalam peningkatan pendidikan kualitas guru untuk Daerah Sumatera Utara dalam memberikan Beasiswa Pemprovsu. Dr. Hamonangan Nainggolan, M.Sc dan seluruh rekan-rekan mahasiswa angkatan 2011/2012 pada Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan bantuan moril dan dorongan kepada penulis dalam penulisan tesis, penulis berterima kasih atas semua bantuan yang diberikan. Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya baik perkembangan ilmu pengetahuan. Medan, Penulis, Maruli Hutapea v
8 RIWAYAT HIDUP Maruli Hutapea dilahirkan di Lawe Perbunga (Aceh Tenggara) pada tanggal 22 desember 1974 dari pasangan Bapak Alm. Paimin Hutapea & Ibu Sumiantauli br Simanjuntak dan merupakan anak pertama dari tiga bersaudara. Penulis menamatkan pendidikan Sekolah Dasar (SD) tahun 1989 di SD negeri dikabupaten langkat, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP) Negeri 3 binjai pada tahun 1992, Sekolah Menengah Atas (SMA) Sw eka prasetya, kota Medan pada tahun Menamatkan kuliah S-1 dari UNIMED dikota medan tahun Dan mendapat gelar sarjana pendikan (S.Pd). Menikah dengan Netty Saulina br Lumbangaol S.Pd, bulan juli tahun 2001 dan dikarunia dua anak yaitu Olivia Hutapea dan David Hutapea. Pengalaman mengajar pertama sekali di sekolah yayasan perguruan eka prasetya pada tahun 1999 bulan juli pada unit sekolah SMP, pada tahun 2003 mengajar di SMK-BM (SMEA) dan menjadi guru bantu yang dibiayai dari dana APBN, disekolah SMK-BM (SMEA) Eka Prasetya yang terletak di wilayah Deli Serdang. Pada tahun 2006 menjadi PNS di SMA Negeri 1 sunggal sampai sekarang. Pada tahun 2011 penulis mengikuti program magister matematika di sekolah pasca sarjana universitas sumtra utara, penulis sungguh banyak mendapat pengalaman belajar yang sangat berharga. vi
9 DAFTAR ISI Halaman PERNYATAAN ABSTRAK ABSTRACT KATA PENGANTAR RIWAYAT HIDUP DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR i ii iii iv vi vii ix BAB 1 PENDAHULUAN Latar Belakang Perumusan Masalah Tujuan Penelitian Manfaat Penelitian 2 BAB 2 KAJIAN PUSTAKA Graph Definisi graph Konsep dasar graph Incident dan degree Graph bipartie Walk, path, dan cycle Subgraph Graph terhubung, graph tidak terhubung dan komponen Jembatan 10 vii
10 2.2 Degree Tree Verteks ujung dalam tree Sisi Pemotong Spanning Tree Jarak spanning tree (distance of spanning tree) 16 BAB 3 HASIL DAN PEMBAHASAN Degree Constrained Minimum Spanning Tree Modifikasi DCMST dengan Metode Algoritma Kruskal 20 BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Saran 28 DAFTAR PUSTAKA 29 viii
11 DAFTAR GAMBAR Nomor Judul Halaman 2.1 Graph Graph berbobot (a) Graph lengkap dan (b) Graph sederhana Verteks ujung dan verteks terisolasi Graph (G) graph dan (T) subgraph (a) Graph terhubung dan (b) Graph tak terhubung Bridge Tree Spanning tree dari G Degree constrained minimum spanning tree dari G Graf berbobot Edge dari bobot terkecil 25 ix
12 BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Minimum spanning tree merupakan sebuah permasalahan dalam suatu graph yang aplikasinya baik secara langsung maupun tidak langsung yang telah dipelajari. Salah satu contoh dalam kehidupan sehari-hari, banyak diantaranya dapat dipresentasikan secara grafik terdiri atas titik-titik dan garis-garis yang menghubungkan titik-titik tersebut. Misalnya, titik-titik tersebut mewakili kota, dengan garis-garis mewakili jalan yang menghubungkan kota tersebut dengan kota lainnya atau bisa juga titik-titik itu mewakili manusia dengan garis mewakili hubungan manusia tersebut dengan manusia yang lainnya. Pada matematika, hubungan titik dan garis yang demikian diamati oleh suatu objek disebut dengan graph. Teori graph pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler pada tahun 1736 ketika mencoba membuktikan kemungkinan untuk melewati empat daerah yang terhubung dengan tujuh jembatan di atas sungai Pregel di Konigsberg, Rusia dalam sekali waktu. Pembuktian Euler tersebut ditulis dalam karya tulisnya yang berjudul Solution Problematis ad geometriam situs pertinensi. Masalah jembatan Konigsberg tersebut dapat dinyatakan dalam istilah graph dengan menentukan keempat daerah itu sebagai titik (vertex) dan ketujuh jembatan sebagai sisi (edge) yang menghubungkan pasangan titik yang sesuai (Dossey 1992). Sejak itu, penelitian terhadap graph terus mengalami perkembangan seiring dengan semakin bervariasinya masalah yang dihadapi. Salah satu diantaranya adalah permasalahan degree constrained minimum spanning tree (DCMST). Permasalahan DCMST pada graph merupakan permasalahan untuk menemukan spanning tree dengan total bobot minimum dan memenuhi batasan degree yang diinginkan. Garey dan Jhonson (1979) menyatakan bahwa DCMST merupakan NP-hard, karenanya total bobot yang optimal menjadi masalah program linear maka diperlukan suatu metode pendekatan untuk menyelesaikannya. Ribiero dan Souza (2001) menggunakan Variable Neighborhood Search. Khrisnamoorthy, et al., (2001) mempresentasikan dan membandingkan bebera- 1
13 2 pa heuristik, pendekatan simulasi annealing, relaksasi lagrang dan metode branch and bound. Binh dan Nguyen (2008) menggunakan algoritma partikel Swarm, algoritma ini menggunakan beberapa metode baru untuk memilih vektor dari partikelnya. Ning et al., (2008) menggunakan teknik reduksi terlebih dahulu untuk mengurangi ukuran graph, kemudian menyelesaikan DCMST dengan menggunakan algoritma Kruskal. Tanpa menggunakan teknik reduksi terlebih dahulu, penelitian ini akan memodifikasi algoritma Kruskal untuk menyelesaikan DCMST. Algoritma metaheuristik Variable Neighborhood Descent (VND) adalah algoritma untuk memecahkan masalah dengan menggunakan set neighborhood dalam pencarian dan penemuan local search sehingga akan mencapai global optimum yang dikembangkan oleh Hansen dan Mladenoviv (1999). Dalam proses pencarian global optimum, VND melakukan pergantian set neighborhood secara deterministik. Apnena (2011) menyelesaikan masalah TALBP dengan algoritma VND dengan kriteria minimisasi jumlah stasiun kerja. 1.2 Perumusan Masalah Perumusan masalah dalam penelitian ini adalah menemukan bobot minimum dari persoalan degree constrained minimum spanning tree dengan memodifikasi algoritma kruskal. 1.3 Tujuan Penelitian Adapun yang menjadi tujuan dari penelitian ini adalah menganalisis serta mengoptimalkan persoalan degree constrained minimum spanning tree dengan menemukan bobot minimum yang memenuhi batasan-batasan degree yang diinginkan. 1.4 Manfaat Penelitian Hasil dari penelitian ini diharapkan agar dapat menambah pemahaman dan pengetahuan mengenai penerapan bobot minimum yang memenuhi batasan degree dalam menyelesaikan degree constrained minimum spanning tree, juga diharapkan dapat menambah referensi bagi pembaca dan dapat digunakan sebagai alat pertimbangan bagi pengambil keputusan dari berbagai alternatife pilihan.
14 BAB 2 KAJIAN PUSTAKA 2.1 Graph Definisi graph Teori graph merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya namun memiliki banyak terapan sampai saat ini. Graph digunakan untuk mempresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Representasi visual dari graph adalah dengan menyatakan objek sebagai noktah, bulatan atau titik, sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis. Secara matematis, graph didefinisikan sebagai berikut : Definisi 1 Graph G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) yang dalam hal ini : V : Himpunan tidak kosong dari simpul-simpul (vertices atau node) atau {v 1,v 2,...,v n } dan E : Himpunan sisi (edges atau arc) yang menghubungkan sepasang simpul atau {e 1,e 2,...,e n }, dimana V tidak boleh kosong dari dua titik (v i,v j ), dimana i dan j boleh sama Konsep dasar graph Suatu graph G =(V,E) merupakan himpunan objek V = {v 1,v 2,v 3,...} disebut verteks (disebut juga point atau node) dan himpunan E = {e 1,e 2,...} yang elemennya disebut edge (disebut juga line atau arc), sehingga untuk setiap edge e m dikenal sebagai penghubung pasangan verteks (v i,v j ). Verteks v i,v j yang dihubungkan oleh edge e m disebut verteks ujung dari e m. Suatu graph dapat direpresentasikan secara grafis dengan cara setiap verteks direpresentasikan sebagai titik dan setiap edge v i,v j sebagai garis dari titik v i ke titik v j. 3
15 4 Contoh 2.1 : Berikut diberikan representasi dari graph. Gambar 2.1 Graph Dari gambar 2.1 dapat diketahui bahwa V (G) ={v 1,v 2,v 3,v 4 } dan E(G) = {v 1 v 1,v 1 v 2,v 1 v 3,v 1 v 4,v 2 v 3,v 2 v 4,v 3 v 3,v 3 v 4 } Berdasarkan definisinya, edge merupakan penghubung pasangan verteks v j,v k dan untuk suatu edge yang memiliki kedua verteks ujung yang sama disebut loop, jika setiap egde pada graph diberi suatu nilai atau bobot disebut graph berbobot. Contoh 2.2 : Berikut diberikan representasi dari graph berbobot. Gambar 2.2 Graph berbobot Graph yang tidak memiliki loop ataupun edge ganda disebut graph sederhana. Graph setiap verteks dihubungkan tepat satu edge ke verteks lainnya disebut graph lengkap. Contoh 2.3 : Berikut diberikan representasi dari graph sederhana dan graph lengkap.
16 5 Gambar 2.3 (a) Graph lengkap dan (b) Graph sederhana Incident dan degree Ketika verteks v 1 merupakan verteks ujung dari beberapa edge e j,v i, dan e j dikatakan incident satu sama lain. Dua edge nonparalel dikatakan adjacent jika mereka incident pada verteks yang sama. Dengan cara yang sama, dua verteks dikatakan adjacent jika mereka merupakan verteks ujung dari edge yang sama. Jumlah edge incident dari suatu verteks v i, dengan edge yang merupakan loop dihitung 2 disebut degree dari verteks tersebut. Degree dari suatu verteks dinotasikan dengan deg G (v i ) atau deg v i atau d(v). Verteks yang tidak memiliki egde incident disebut verteks terisolasi. Sedangkan verteks yang berdegree satu disebut verteks pendent atau verteks ujung. Contoh 2.4 : Berikut diberikan representasi dari verteks ujung dan verteks terisolasi. Gambar 2.4 Verteks ujung dan verteks terisolasi Teorema 2.1 Untuk sembarang graph jumlah degree dari seluruh verteks G sama dengan dua kali jumlah edge di G.
17 6 Bukti. Diberikan graph G dengan n verteks v 1,v 2,...,v n dan e edge. Karena setiap edge memiliki tepat dua verteks v i, dan v j (untuk loop, i=j), maka edge memberikan kontribusi 2 degree, yakni 1 degree untuk verteks v i dan 1 degree untuk verteks v j. Hal ini mengakibatkan penjumlahan degree dari seluruh variabel verteks di G adalah dua kali dari edge di G, yaitu : Σ n i=1d(v i )=2e Teorema 2.2 Dari Teorema 2.1 diketahui bahwa Σ n i=1d(v i )=2e Jika verteks yang berdegree ganjil dan berdegree genap dipisahkan, maka persamaan diatas dapat dibentuk menjadi : Σ n i=1d(v i )=Σ even d(v j )+Σ odd d(v k ) Karena Σ n i=1 d(v i) adalah genap, dan Σ even d(v j ) juga genap, maka Σ odd d(v k ) juga suata bilangan genap. Karena d(v k ) adalah ganjil, maka syarat agar jumlah seluruh d(v k ) genap, banyaknya v k haruslah genap. Hal ini membuktikan bahwa banyak verteks berdegree ganjil pada suatu graph selalu genap Graph bipartie Suatu graph G disebut graph bipartie apabila V(G) merupakan gabungan dari 2 himpunan tak kosong V 1 dan V 2 dan setiap garis dalam G menghubungkan suatu titik dalam V 1 dengan titik dalam V 2. Apabila dalam graph bipartie, setiap titik dalam V 1 berhubungan dengan setiap titik dalam V 2, maka graphnya disebut graph bipartie lengkap. Jika V 1 terdiri dari m titik dan V 2 terdiri dari n titik, maka graph bipartie lengkapnya sering diberi simbol K m,n Walk, path, dan cycle Diberikan graph G dengan verteks v dan w. Sebuah walk dengan panjang m dari v ke w didefinisikan sebagai barisan edge dan dituliskan sebagai berikut : (v 0,v 1 ), (v 1 v 2 ),...,(v m 1 v m )
18 7 untuk m>0, v 0 = v dan v m = w. Sebuah walk biasa dinotasikan dengan v w w dan panjangnya dinotasikan dengan l(w). Sebuah trail dari v ke w adalah walk dari v ke w tanpa perulangan edge. Sebuah path didefinisikan sebagai sebuah trail tanpa perulangan verteks. Path tertutup adalah path yang dimulai dan diakhiri dengan verteks yang sama. Sebuah cycle merupakan sebuah path tertutup, dan sebuah loop merupakan sebuah cycle dengan panjang 1. Contoh 2.5 : Sebagai contoh masing - masing untuk walk, trail, path, cycle, dan loop dapat dilihat pada gambar berikut : Gambar 2.5 Graph 1. v 1 v 3 v 5 v 3 v 2 v 4 disebut walk. 2. v 1 v 2 v 3 v 5 v 2 v 4 disebut trail, walk tanpa perulangan edge. 3. v 1 v 2 v 4 v 5 disebut path, walk tanpa perulangan edge dan verteks. 4. v 1 v 2 v 4 v 5 v 3 v 1 disebut cycle, karena adanya perulangan pada verteks awal dan akhir disebut juga path tertutup. 5. v 1 v 1 dan v 3 v 3 disebut loop, cycle dengan panjang 1.
19 Subgraph Suatu subgraph dari G adalah graph yang memiliki verteks dan edge yang ada di G. Jika G dan T merupakan dua graph dengan himpunan verteks V(T), V(G) dan himpunan E(T) dan E(G) sehingga V (T ) V (G) dan E(T ) E(G), maka T disebut subgraph G atau G disebut supergraph T. Contoh 2.6 : Berikut diberikan representasi dari subgraph G. Gambar 2.6 (G) graph dan (T) subgraph Berdasarakan definisinya, maka dapat dikatakan bahwa : 1. Setiap graph merupakan subgraph itu sendiri. 2. Sebuah subgraph dari subgraph G merupakan subgraph G. 3. Sebuah verteks tunggal di G merupakan subgraph G. 4. Sebuah edge tunggal di G, bersama dengan verteks ujungnya, juga merupakan subgraph G Graph terhubung, graph tidak terhubung dan komponen Diberikan graph G dengan v dan w merupakan dua verteks di G. Graph G dikatakan terhubung jika dan hanya jika diberikan sebarang dua verteks v dan w di G sedemikian hingga paling sedikit satu path dari v ke w. Selebihnya, G dikatakaan tidak terhubung. Pada gambar 2.7 menunjukkan bahwa (a) adalah graph terhubung karena terdapat path dari satu verteks ke verteks yang lainnya, dan (b) adalah graph tak terhubung karena tidak terdapat path dari v 1 ke v 3. Dari gambar 2.3 dapat dilihat bahwa graph tersebut terdiri dari dua bagian. bagian pertama adalah verteks v 1,
20 9 v 2 dengan edge v 1 v 2, sedangkan bagian kedua adalah verteks v 3,v 4 dan v 5, dengan edge v 3 v 4, v 3 v 5, dan v 4 v 5. Masing - masing bagian ini disebut komponen. Contoh 2.7 : Berikut diberikan representasi dari 2 buah graph terhubung dan tidak terhubung. Gambar 2.7 (a) Graph terhubung dan (b) Graph tak terhubung Teorema 2.3 Suatu graph G dikatakan tidak terhubung jika dan hanya jika verteks himpunan V dapat dibagi ke dalam dua komponen tak kosong, himpunan bagian V 1 dan V 2 terpisah, sehingga tidak ada edge di G yang memiliki satu verteks ujung didalam himpunan bagian V 1 begitu juga di himpunan bagian V 2. Bukti : Andaikan komponen ada. Anggap dua sembarang verteks a dan b di G, sehingga a V 1 dan b V 2. Tidak ada path yang bisa diantara verteks a dan b: sebaliknya terdapat paling sedikit satu edge yang dimiliki verteks ujung V 1 dan lainnya di V 2. Akibatnya jika komponen ada, G tidak terhubung. Dan sebaliknya, andaikan G menjadi graph tidak terhubung. Anggap sebuah verteks a di G. Andaikan V 1 menjadi himpunan seluruh verteks yang dihubungkan oleh path ke a. Karena G tidak terhubung, maka V 1 tidak memasukkan semua verteks G. Selebihnya verteks akan berbentuk (tak kosong) himpunan V 2. Tidak ada verteks di V 1 yang dihubungkan ke sebarang V 2 dengan sebuah edge. Hal ini berakibat adanya komponen. Teorema 2.4 Jika suatu graph memiliki tepat dua vertek berdegree ganjil, pasti terdapat path yang menyertai dua vertek tersebut. Bukti : Andaikan G sebuah graph dengan seluruh verteknya berdegree genap kecuali verteks v 1 dan v 2, yang berdegree ganjil. Berdasarkan teorema 2.2, hal
21 10 ini berlaku untuk seluruh graph, oleh karenanya untuk setiap komponen graph tak terhubung, tak ada graph yang bisa memiliki jumlah ganjil dari verteks ganjil. Karenanya, di graph G v 1 dan v 2 harus bisa pada komponen yang sama, akibatnya pasti ada path diantaranya Jembatan Teori graph ditulis pertama kali tahun 1736 oleh seorang matematikawan Swiss yang bernama Leonard Euler. Yang digunakan untuk menyelesaikan masalah jembatan Konigsberg. Jika suatu graf adalah G =(V,E) maka V merupakan himpunan tak kosong dari simpul-simpul (vertices), misalkan V = {v 1,v 2,..., v n } Suatu edge v i v j pada graph G terhubung dikatakan bridge jika penghapusan edge v i v j mengakibatkan G menjadi tidak terhubung. Contoh 2.8 : Berikut diberikan representasi dari bridge. Gambar 2.8 Bridge v 4 v 7 merupakan bridge karena penghapusan edge v 4 v 7 akan menyebabkan graph menjadi tidak terhubung. Algoritma untuk Jembatan : 1. Tentukan banyak komponen k(g) 2. Tentukan banyak komponen dari k(g e) if k(g)<k(g e) e adalah jembatan else
22 11 e bukan jembatan end 2.2 Degree Derajat titik v (simbol d(v)) adalah jumlah garis yang berhubungan dengan titik v dan garis suatu loop dihitung dua kali. Derajat total G adalah jumlah derajat semua titik dalam G. Teorema 2.5 Derajat total suatu graph selalu genap. Bukti : Jika G tidak memiliki garis sama sekali berarti derajat totalnya = 0 yang merupakan bilangan genap, sehingga teorema terbukti. Teorema 2.6 Derajat sembarang graph, jumlah titik yang berderajat ganjil adalah genap. Bukti : Jika G tidak mempunyai garis sama sekali berarti banyaknya titik yang berderajat ganjil = 0 yang merupakan bilangan genap sehingga teorema terbukti dengan sendirinya. 2.3 Tree Suatu tree merupakan graph terhubung tanpa adanya cycle. Untuk graph tak terhubung dan tanpa cycle disebut forest. Suatu verteks tunggal juga termasuk tree yang disebut trivial tree.
23 12 Contoh 2.9 : Berikut diberikan representasi dari tree. Gambar 2.9 Tree Teorema 2.7 Hanya ada satu path antara setiap pasangan verteks di tree T. Bukti : Karena T terhubung, maka terdapat paling sedikit satu path diantara semua pasangan verteks di T. Sekarang anggap bahwa diantara dua verteks a dan b di T terdapat path yang berbeda. Penggabungan dari dua path yang berbeda akan menghasilkan cycle, karenanya T bukanlah tree, begitu juga sebaliknya. Teorema 2.8 Jika pada graph G hanya ada satu path diantara setiap pasangan verteks, maka G merupakan tree. Bukti : Adanya path diantara setiap pasangan verteks menjamin bahwa G terhubung. Suatu cycle di G (dengan dua atau lebih verteks) secara tidak langsung menyatakan bahwa terdapat paling sedikit satu pasangan verteks a,b sehingga terdapat dua path yang berbeda antara a dan b. Karena G hanya memiliki satu path diantara setiap pasangan verteks, maka G tidak bisa memiliki cycle. Oleh karena itu, G merupakan tree. Teorema 2.9 Suatu tree dengan n verteks memiliki n-1 edge. Bukti : Hasilnya akan diperlihatkan dengan induksi. Andaikan e k menjadi edge di T dengan verteks ujung v i dan v j, berdasarkan teorema 2.3 tidak ada path lain diantara v i dan v j, kecuali e k. Oleh karenanya jika e k dihapus, maka T menjadi
24 13 graph tak terhubung. Selanjutnya, T e k akan membentuk dua komponen, karena tidak ada cycle di T, maka masing-masing memiliki lebih sedikit dari n verteks, dengan induksi, masing-masing memiliki edge lebih sedikit dari jumlah verteks didalamnya. Dengan demikian T e k mengandung n 2 edge. Hal ini berakibat T memiliki tepat n 1 edge. Teorema 2.10 Untuk sebarang graph terhubung dengan n verteks dan n-1 edge merupakan tree. Bukti : Berdasarkan definisi graph terhubung, terdapat paling sedikit satu path di G, berdasarkan teorema 2.3 tidak ada path lain diantara v i dan v j, kecuali e k, berdasarkan definisi suatu tree merupakan graph terhubung tanpa adanya cycle, karenanya berdasarkan teorema 2.7, suatu tree dengan n verteks memiliki n-1 edge. Hal ini berakibat graph terhubung dengan n verteks n-1 edge merupakan tree. Teorema 2.11 Suatu graph merupakan tree jika dan hanya jika graph tersebut terhubung. Bukti : Andaikan graph G merupakan tree, berdasarkan definisi suatu tree merupakan graph terhubung tanpa adanya cycle. Andaikan G tidak terhubung, maka berdasarkan teorema 2.1 graph bukanlah tree. Hal ini berakibat bahwa untuk graph yang merupakan tree, haruslah graph terhubung. Teorema 2.12 Suatu graph G dengan n vertkes, n-1 edge, dan tanpa cycle adalah terhubung. Bukti : Andaikan bahwa ada sedikit cycle graph G dengan n verteks dan n-1 edge yang tak terhubung. Pada kasus ini, G akan mengandung dua atau lebih sedikit komponen cycle. Tanpa kehilangan sifat umumnya, andaikan G memiliki komponen g 1 dan g 2. Lalu tambahkan sebuah edge e diantara suatu verteks v 1 di g 1, dan v 2 di g 2. Karena tidak ada path, diantara v 1 dan v 2 di G, tambahkan
25 14 e tanpa membentuk cycle. Dengan demikian G e memiliki cycle sedikit, graph terhubung dari n verteks dan n edge, dan tanpa cycle adalah terhubung. Berdasarkan teorema-teorema tersebut, dapat disimpulkan bahwa suatu graph G dengan n verteks disebut tree, jika : 1. G terhubung dan tanpa cycle, atau 2. G terhubung dan memiliki n - 1 edge, atau 3. G tanpa cycle dan memiliki n - 1 edge, atau 4. Tepat terdapat satu path diantara setiap pasangan verteks di G, atau 5. G paling tidak merupakan graph terhubung Verteks ujung dalam tree Verteks ujung merupakan verteks dengan jumlah degree adalah 1. Teorema 2.13 Pada sebarang tree (dengan dua atau lebih verteks), terdapat paling sedikit dua verteks ujung. Bukti : Karena tree yang memiliki n verteks dan n - 1 edge, maka 2(n-1) degree terbagi diantara n verteks. Karenanya tidak akan bisa ada verteks yang tidak memiliki degree, paling sedikit harus memiliki dua verteks yang berdegree 1 dalam degree. Tentu saja ini hanya berlaku jika n Sisi Pemotong Sebuah sisi e pada graph G adalah sebuah sisi e, demikian sehingga ω(g e) ω(g), dengan ω(g) sebagai banyaknya komponen dari G. Teorema 2.14 Sebuah sisi e pada graph G merupakan sisi pemotong jika dan hanya jika e termuat dalam nonsiklus dari G. Teorema 2.15 Sebuah graph G adalah sebuah pohon jika dan hanya jika setiap sisinya merupakan sisi pemotong.
26 15 Teorema 2.16 Setiap graph terhubung memuat sebuah pohong rentang. Sebuah simpul v pada graph disebut simpul pemotong jika E(G) dapat dipartisikan ke dalam dua himpunan bagian E 1 dan E 2 demikian sehingga G[E 1 ] dan G[E 2 ] hanya mempunyai irisan pada simpul v. Jika G merupakan graph non trivial dan tidak mengandung loop, maka v merupakan simpul pemotong dari G jika dan hanya jika ω(g v) ω(g). Teorema 2.17 Sebuah simpul v pada pohon G merupakan simpul pemotong dari G jika dan hanya jika deg(v) > 1. Teorema 2.18 Setiap graph terhubung non trivial yang tanpa loop mempunyai paling sedikit dua simpul yang tidak merupakan simpul pemotong. 2.4 Spanning Tree Suatu tree T dikatakan spanning tree dari graph G terhubung, jika T adalah suatu subgraph G dan T mengandung seluruh verteks G. Dengan kata lain, T dikatakan spanning tree jika T terhubung, mengandung n verteks G dan n-1 edge. Contoh : Berikut diberikan representasi dari spannning tree. Gambar 2.10 Spanning tree dari G Dari gambar 2.10, untuk T 1 graph menghasilkan spanning tree dengan 6 verteks dan 5 edge. Untuk menemukan spanning tree dari graph G terhubung dapat dilakukan dengan cara yang sederhana. Jika G tidak memiliki cycle, maka
27 16 G merupakan spanning tree itu sendiri. Jika G memiliki cycle maka hapus semua edge yang membentuk cycle, dengan G masih terhubung. Proposisi 2.12 Setiap graph terhubung memiliki paling sedikit satu spanning tree. Bukti : Andaikan G adalah suatu graph terhubung. Jika G bebas cycle, maka G itu sendiri merupakan spanning tree. Jika tidak, G memiliki paling sedikit satu cycle C 1. dengan teorema, yakni subgraph G tetap terhubung meski satu edge C 1 dihapus. Jika subgraph bebas cycle, maka subgraph tersebut merupakan spanning tree. Jika tidak, maka paling sedikit ada satu cycle di C 2, dan seperti sebelumnya, hapus edge di C 2 untuk memperoleh spanning tree. Jika tidak, lakukan seperti sebelumnya hingga diperoleh subgraph T dari G yang terhubung dan bebas cycle. T juga mengandung seluruh verteks G karena tidak ada verteks di G yang dihapus. Oleh karenanya T merupakan spanning tree untuk G Jarak spanning tree (distance of spanning tree) Misalkan G =(V,E), bersama dengan fungsi jarak d : E N. Untuk selanjutnya G terhubung, dan T merupakan spanning tree dari G, maka nilainya: d(t )= e T d e merupakan penjumlahan seluruh jarak pada semua edge di T, disebut dengan jarak spanning tree. Untuk setiap spanning tree T dari G akan mempunyai total jarak d(t ). Dari semua spanning tree T dari G, terdapat spanning tree yang mempuyai jarak d(t ) minimum. Minimum spanning tree merupakan suatu permasalahan dalam suatu graph yang aplikasinya banyak, baik secara langsung maupun tidak langsung. Salah satu contoh aplikasi secara langsung adalah permasalahan pemasangan jaringan dengan meminimasi jumlah penggunaan kabel atau pipa untuk menghubungkan bangunan secara bersamaan (connected). Untuk aplikasi secara tidak langsung termasuk seperti mereduksi data storage dan cluster analisys. Beberapa per-
28 17 masalahan jaringan juga bisa direduksi ke dalam permasalahan minimum spanning tree kemudian diselesaikan dengan cara tersebut. Permasalahan minimum spanning tree juga dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan graph yang lain, seperti travelling salesman problem (TSP). Hasil literatur memberikan informasi bahwa penelitian tentang penggunaan suatu algoritma untuk menentukan minimum spanning tree dan implementasinya pada suatu graph berbobot pernah dilakukan oleh sejumlah peneliti, yaitu Gloor et al., (1993) memperkenalkan pembuktian kebenaran suatu algoritma dengan melakukan visualisasi. Greenberg (1998) membandingkan algoritma Prim dan algoritma Kruskal dalam mencari minimum spanning tree dengan menggunakan graph yang terhubung dengan bobot tidak negative pada sisi-sisinya. Pop dan Zelina (2004) melakukan penelitian dengan menyajikan algoritma waktu eksponensial untuk graph tidak berarah yang memiliki simpul-simpul n yaitu algoritma heuristik berbasis kruskal, algoritma heuristic berbasis prim, dan algoritma heuristic berbasis pendekatan global-lokal.
BAB 2 DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE. Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti beberapa definisi dan teorema
BAB 2 DEGREE CONSTRAINED MINIMUM SPANNING TREE Pada bab ini diberikan beberapa konsep dasar seperti beberapa definisi dan teorema sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian ini dan akan mempermudah
Lebih terperinciBATAS ATAS UNTUK SCRAMBLING INDEX DARI GRAF PRIMITIF
BATAS ATAS UNTUK SCRAMBLING INDEX DARI GRAF PRIMITIF TESIS Oleh SILVIA HARLENI 127021010/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014 BATAS ATAS UNTUK SCRAMBLING
Lebih terperinciEKSPONEN LOKAL MASUK DUA CYCLE DWIWARNA DENGAN PANJANG SELISIH 2
EKSPONEN LOKAL MASUK DUA CYCLE DWIWARNA DENGAN PANJANG SELISIH 2 TESIS Oleh HARI SUMARDI 127021003/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014 EKSPONEN LOKAL
Lebih terperinciPOHON INTERVAL PADA PERSOALAN GRAPH INTERVAL
POHON INTERVAL PADA PERSOALAN GRAPH INTERVAL TESIS Oleh SITI AISYAH 117021046/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013 POHON INTERVAL PADA PERSOALAN GRAPH
Lebih terperinciPOHON INTERVAL PADA PERSOALAN GRAPH INTERVAL
POHON INTERVAL PADA PERSOALAN GRAPH INTERVAL TESIS Oleh SITI AISYAH 117021046/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013 POHON INTERVAL PADA PERSOALAN GRAPH
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Teori Graf 2.1.1 Defenisi Graf Suatu graf G adalah suatu himpunan berhingga tak kosong dari objek-objek yang disebut verteks (titik/simpul) dengan suatu himpunan yang anggotanya
Lebih terperinciPOLA ANALISIS JARINGAN SOSIAL DINAMIS
POLA ANALISIS JARINGAN SOSIAL DINAMIS TESIS Oleh MONALISA BR SEMBIRING 117021049/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013 POLA ANALISIS JARINGAN SOSIAL DINAMIS
Lebih terperinciMETODE PENYELESAIAN UNTUK PERSOALAN PERTIDAKSAMAAN VARIASIONAL DENGAN KENDALA PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
METODE PENYELESAIAN UNTUK PERSOALAN PERTIDAKSAMAAN VARIASIONAL DENGAN KENDALA PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN TESIS Oleh RUTH MAYASARI SIMANJUNTAK 117021050/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
Lebih terperinciMATRIKS KOVARIANSI DEKOMPOSISI DALAM MODEL GRAF GAUSS TAK BERARAH
MATRIKS KOVARIANSI DEKOMPOSISI DALAM MODEL GRAF GAUSS TAK BERARAH TESIS Oleh DEWI SURYANI HANUM NASUTION 117021014/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
Lebih terperinciEVALUASI NUMERIK DARI METODE APROKSIMASI DALAM PROGRAM STOKASTIK
EVALUASI NUMERIK DARI METODE APROKSIMASI DALAM PROGRAM STOKASTIK TESIS Oleh MUHAMMAD ISMAIL 127021006/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014 EVALUASI NUMERIK
Lebih terperinciGENERALISASI METODE PENCABANGAN PADA PROGRAM INTEGER CAMPURAN
GENERALISASI METODE PENCABANGAN PADA PROGRAM INTEGER CAMPURAN TESIS Oleh ALI KADIR LUBIS 117021002/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013 GENERALISASI METODE
Lebih terperinciMODEL PEMILIHAN PORTOFOLIO MENCAKUP UNSUR KETIDAKPASTIAN
MODEL PEMILIHAN PORTOFOLIO MENCAKUP UNSUR KETIDAKPASTIAN TESIS Oleh MUHAMMAD NUR 117021022/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013 MODEL PEMILIHAN PORTOFOLIO
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Graf (Graph) Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) yang dinotasikan dalam bentuk G = {V(G), E(G)}, dimana V(G) adalah himpunan vertex (simpul) yang tidak kosong
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Teori Graph 2.1.1 Graph Tak Berarah dan Digraph Suatu Graph Tak Berarah (Undirected Graph) merupakan kumpulan dari titik yang disebut verteks dan segmen garis yang
Lebih terperinciMODEL PENJADWALAN GURU MENGGUNAKAN GRAPH COLORING DENGAN ALGORITMA BEE COLONY
MODEL PENJADWALAN GURU MENGGUNAKAN GRAPH COLORING DENGAN ALGORITMA BEE COLONY TESIS Oleh SETIAWAN TANADI 117021027/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013
Lebih terperinciSTRATEGI KENDALA AKTIF DALAM MENYELESAIKAN PERSOALAN ALIRAN MULTI-KOMODITI
STRATEGI KENDALA AKTIF DALAM MENYELESAIKAN PERSOALAN ALIRAN MULTI-KOMODITI TESIS Oleh ZULHENDRI 107021017/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012 STRATEGI
Lebih terperinciESTIMASI BIAS MENGGUNAKAN BOOTSTRAP DAN JACKKNIFE
ESTIMASI BIAS MENGGUNAKAN BOOTSTRAP DAN JACKKNIFE TESIS Oleh SAFRINA SEMBIRING 127021030/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014 ESTIMASI BIAS MENGGUNAKAN
Lebih terperinciALGORITMA EKSAK UNTUK MENYELESAIKAN PERSOALAN BIN COVERING
ALGORITMA EKSAK UNTUK MENYELESAIKAN PERSOALAN BIN COVERING TESIS Oleh ERI SAPUTRA 097021080/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012 ALGORITMA EKSAK UNTUK
Lebih terperinciMODIFIKASI BARIS DARI MATRIKS SPARSE FAKTORISASI CHOLESKY
MODIFIKASI BARIS DARI MATRIKS SPARSE FAKTORISASI CHOLESKY TESIS Oleh RAHAWARNI SRI RIZKI 117021028/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013 MODIFIKASI BARIS
Lebih terperinciMODEL PENENTUAN HARGA DAN UKURAN LOT UNTUK PRODUK MUSIMAN
MODEL PENENTUAN HARGA DAN UKURAN LOT UNTUK PRODUK MUSIMAN TESIS Oleh PUJI MULIATI 127021025/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014 MODEL PENENTUAN HARGA
Lebih terperinciGraph. Rembang. Kudus. Brebes Tegal. Demak Semarang. Pemalang. Kendal. Pekalongan Blora. Slawi. Purwodadi. Temanggung Salatiga Wonosobo Purbalingga
TEORI GRAPH Graph Graph Graph digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Gambar berikut ini sebuah graph yang menyatakan peta jaringan jalan raya yang
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Konsep Dasar Graf Definisi 2.1.1 Sebuah graf didefinisikan sebagai pasangan terurut himpunan dimana: 1. adalah sebuah himpunan tidak kosong yang berhingga yang anggotaanggotanya
Lebih terperinciPENGEMBANGAN ALGORITMA ITERATIF UNTUK MINIMISASI FUNGSI NONLINEAR
PENGEMBANGAN ALGORITMA ITERATIF UNTUK MINIMISASI FUNGSI NONLINEAR TESIS Oleh FADHILAH JULI YANTI HARAHAP 127021019/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014
Lebih terperinciMatematik tika Di Disk i r t it 2
Matematika tik Diskrit it 2 Teori Graph Teori Graph 1 Kelahiran Teori Graph Masalah Jembatan Konigsberg g : Mulai dan berakhir pada tempat yang sama, bagaimana caranya untuk melalui setiap jembatan tepat
Lebih terperinciHAND OUT MATA KULIAH TEORI GRAF (MT 424) JILID SATU. Oleh: Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si.
HAND OUT MATA KULIAH TEORI GRAF (MT 424) JILID SATU Oleh: Kartika Yulianti, S.Pd., M.Si. JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA
Lebih terperinciMODEL PERSOALAN PENENTUAN LOKASI KOMPETITIF
MODEL PERSOALAN PENENTUAN LOKASI KOMPETITIF TESIS Oleh DESI VINSENSIA 107021005/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012 UNIVERSITAS UNIVERSITAS SUMATERA SIMATERA
Lebih terperinciMODEL UNTUK KEBERANGKATAN DAN RELOKASI FASILITAS AMBULAN
MODEL UNTUK KEBERANGKATAN DAN RELOKASI FASILITAS AMBULAN TESIS Oleh MUHAMMAD SOFYAN NASUTION 117021016/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013 MODEL UNTUK
Lebih terperinciBAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Graf adalah salah satu metode yang sering digunakan untuk mencari solusi dari permasalahan diskrit dalam dunia nyata. Dalam kehidupan sehari-hari, graf digunakan untuk
Lebih terperinciMIDDLE PADA BEBERAPA GRAF KHUSUS
PELABELAN DAN PEMBENTUKAN GRAF MIDDLE PADA BEBERAPA GRAF KHUSUS skripsi disajikan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika oleh Meliana Deta Anggraeni 4111409019
Lebih terperinciPENYELESAIAN PROGRAM LINIER STOKASTIK DENGAN MARKOV CHAIN
PENYELESAIAN PROGRAM LINIER STOKASTIK DENGAN MARKOV CHAIN TESIS Oleh HINDRA 107021010/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013 PENYELESAIAN PROGRAM LINIER
Lebih terperinciIMPLEMENTASI PENENTUAN MINIMUM SPANNING TREE (MST) DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA PRIM
IMPLEMENTASI PENENTUAN MINIMUM SPANNING TREE (MST) DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA PRIM SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains RUDI SURENDRO 041421011 Departemen
Lebih terperinciMODEL PERSEDIAAN DENGAN HARGA DAN KUALITAS TERGANTUNG PERMINTAAN
MODEL PERSEDIAAN DENGAN HARGA DAN KUALITAS TERGANTUNG PERMINTAAN TESIS Oleh DAME MELDARIA SIPAHUTAR 127021026/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014 MODEL
Lebih terperinciSTUDI STRATEGI PENGGUNAAN ALGORITMA GREEDY UNTUK MEMBANGUN MINIMUM SPANNING TREE PADA GRAF BERBOBOT (WEIGHTED GRAPH) SKRIPSI
STUDI STRATEGI PENGGUNAAN ALGORITMA GREEDY UNTUK MEMBANGUN MINIMUM SPANNING TREE PADA GRAF BERBOBOT (WEIGHTED GRAPH) SKRIPSI SAHAT HAMONANGAN SIMORANGKIR 050803025 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI.. Definisi Graf Secara matematis, graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V,E) ditulis dengan notasi G = (V, E), yang dalam hal ini: V = himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul
Lebih terperinciAPROKSIMASI PADA PEMROGRAMAN STOKASTIK LINIER
APROKSIMASI PADA PEMROGRAMAN STOKASTIK LINIER TESIS Oleh LIZA SETYANING PERTIWI 127021022/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014 APROKSIMASI PADA PEMROGRAMAN
Lebih terperinciDasar-Dasar Teori Graf. Sistem Informasi Universitas Gunadarma 2012/2013
Dasar-Dasar Teori Graf Sistem Informasi Universitas Gunadarma 2012/2013 Teori Graf Teori Graf mulai dikenal saat matematikawan kebangsaan Swiss bernama Leonhard Euler, yang berhasil mengungkapkan Misteri
Lebih terperinciMETODE UNTUK MENENTUKAN KONSENSUS RANKING PROBLEM
METODE UNTUK MENENTUKAN KONSENSUS RANKING PROBLEM TESIS Oleh GIM TARIGAN 087021016/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011 METODE UNTUK MENENTUKAN KONSENSUS
Lebih terperinciAplikasi Pohon Merentang Minimum dalam Rute Jalur Kereta Api di Pulau Jawa
Aplikasi Pohon Merentang Minimum dalam Rute Jalur Kereta Api di Pulau Jawa Darwin Prasetio ( 001 ) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl.
Lebih terperinciPERENCANAAN PRODUKSI DENGAN HASIL DAN PERMINTAAN TAK PASTI
PERENCANAAN PRODUKSI DENGAN HASIL DAN PERMINTAAN TAK PASTI TESIS Oleh MUHAMMAD DALIANI 117021043/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013 PERENCANAAN PRODUKSI
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan himpunan dan beberapa definisi yang berkaitan dengan himpunan, serta konsep dasar dan teori graf yang akan digunakan pada bab selanjutnya. 2.1 Himpunan
Lebih terperinciPENGAMBILAN KEPUTUSAN SOCIOSCIENTIFIC DALAM MATA PELAJARAN SAINS DI SEKOLAH MENENGAH UMUM
PENGAMBILAN KEPUTUSAN SOCIOSCIENTIFIC DALAM MATA PELAJARAN SAINS DI SEKOLAH MENENGAH UMUM TESIS Oleh HARIYANTO 127021023/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN
Lebih terperinciDISTRIBUSI MARKOV-BINOMIAL NEGATIF
DISTRIBUSI MARKOV-BINOMIAL NEGATIF TESIS Oleh RINA WIDYASARI 107021009/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012 DISTRIBUSI MARKOV-BINOMIAL NEGATIF T E S I
Lebih terperinciRANCANGAN JARINGAN DISTRIBUSI DENGAN POLA BANYAK ASAL KE BANYAK TUJUAN
RANCANGAN JARINGAN DISTRIBUSI DENGAN POLA BANYAK ASAL KE BANYAK TUJUAN TESIS Oleh PUTRI KHAIRIAH NASUTION 097021081/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
Lebih terperinciBAB 2 GRAF PRIMITIF. 2.1 Definisi Graf
BAB 2 GRAF PRIMITIF Pada Bagian ini akan dijelaskan beberapa definisi dan teorema terkait graf, matriks adjency, terhubung, primitifitas, dan scrambling index sebagai landasan teori yang menjadi acuan
Lebih terperinciMODEL PERSOALAN RUTE TERBUKA KENDARAAN DENGAN KETERBATASAN WAKTU DAN ADANYA PERSINGGAHAN
MODEL PERSOALAN RUTE TERBUKA KENDARAAN DENGAN KETERBATASAN WAKTU DAN ADANYA PERSINGGAHAN TESIS Oleh AGHNI SYAHMARANI 107021008/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Lebih terperinciMETODE BERBASIS KENDALA AKTIF DALAM MENYELESAIKAN PERSOALAN LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS
METODE BERBASIS KENDALA AKTIF DALAM MENYELESAIKAN PERSOALAN LOKASI FASILITAS BERKAPASITAS TESIS Oleh LISBET MARBUN 097021060/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Lebih terperinciREPRESENTASI POHON DARI GRAF KORDAL BIPARTISI
REPRESENTASI POHON DARI GRAF KORDAL BIPARTISI TESIS Oleh DIAN YULIS WULANDARI 137021031/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2015 REPRESENTASI POHON DARI GRAF
Lebih terperinciANALISIS KELOMPOK HIRARKI UNTUK PERBANDINGAN MULTI SAMPEL
ANALISIS KELOMPOK HIRARKI UNTUK PERBANDINGAN MULTI SAMPEL TESIS Oleh ELFITRA 127021012/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014 ANALISIS KELOMPOK HIRARKI UNTUK
Lebih terperinciGraf dan Analisa Algoritma. Pertemuan #01 - Dasar-Dasar Teori Graf Universitas Gunadarma 2017
Graf dan Analisa Algoritma Pertemuan #01 - Dasar-Dasar Teori Graf Universitas Gunadarma 2017 Who Am I? Stya Putra Pratama, CHFI, EDRP Pendidikan - Universitas Gunadarma S1-2007 Teknik Informatika S2-2012
Lebih terperinciMODEL MANAJEMEN PEROLEHAN HOTEL UNTUK MULTIPLE DAY STAY DENGAN ADANYA KETIDAKPASTIAN
MODEL MANAJEMEN PEROLEHAN HOTEL UNTUK MULTIPLE DAY STAY DENGAN ADANYA KETIDAKPASTIAN TESIS Oleh RIMA APRILIA 097021077/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. Bab Konsep Dasar Graf. Definisi Graf
Bab 2 LANDASAN TEORI 2.1. Konsep Dasar Graf Definisi Graf Suatu graf G terdiri atas himpunan yang tidak kosong dari elemen elemen yang disebut titik atau simpul (vertex), dan suatu daftar pasangan vertex
Lebih terperinciINTRODUCTION TO GRAPH THEORY LECTURE 2
INTRODUCTION TO GRAPH THEORY LECTURE Operasi-Operasi Pada Graph Union Misal G dan H adalah dua graph yang saling asing. Union G H adalah graph dengan V(G H)=V(G) V(H) dan E(G H)=E(G) E(H). Join Join dari
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Teori graph merupakan cabang ilmu yang memiliki peranan penting dalam pengembangan ilmu matematika dan aplikasi. Teori graph saat ini mendapat banyak perhatian karena
Lebih terperinciESTIMASI MATRIKS KOVARIANSI BERUKURAN BESAR DAN JARANG (SPARSE)
ESTIMASI MATRIKS KOVARIANSI BERUKURAN BESAR DAN JARANG (SPARSE) TESIS Oleh HENDRA CIPTA 117021040/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013 ESTIMASI MATRIKS
Lebih terperinciPEMECAHAN MASALAH MINIMUM SPANNING TREE DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA SEMUT SKRIPSI ADE MAHENDRA PUTRA NASUTION
PEMECAHAN MASALAH MINIMUM SPANNING TREE DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA SEMUT SKRIPSI ADE MAHENDRA PUTRA NASUTION 070823017 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS
Lebih terperinciMODEL EPIDEMI SIRS DENGAN TIME DELAY
MODEL EPIDEMI SIRS DENGAN TIME DELAY TESIS Oleh FERDINAND SINUHAJI 127021034/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014 MODEL EPIDEMI SIRS DENGAN TIME DELAY
Lebih terperinciGambar 6. Graf lengkap K n
. Jenis-jenis Graf Tertentu Ada beberapa graf khusus yang sering dijumpai. Beberapa diantaranya adalah sebagai berikut. a. Graf Lengkap (Graf Komplit) Graf lengkap ialah graf sederhana yang setiap titiknya
Lebih terperinciMODEL MANAJEMEN ASSET-LIABILITY UNTUK DANA PENSIUN DENGAN ADANYA KETIDAKPASTIAN
MODEL MANAJEMEN ASSET-LIABILITY UNTUK DANA PENSIUN DENGAN ADANYA KETIDAKPASTIAN TESIS Oleh NOVIANTI 107021013/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012 MODEL
Lebih terperinciMETODE BRANCH AND BOUND UNTUK MENYELESAIKAN PROGRAM STOKASTIK INTEGER DENGAN ADANYA RESIKO
METODE BRANCH AND BOUND UNTUK MENYELESAIKAN PROGRAM STOKASTIK INTEGER DENGAN ADANYA RESIKO TESIS Oleh ADIL H. PANGARIBUAN 087021052/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA
Lebih terperinciESTIMASI BAYES UNTUK PARAMETER PARETO DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI LIKELIHOOD
ESTIMASI BAYES UNTUK PARAMETER PARETO DENGAN MENGGUNAKAN FUNGSI LIKELIHOOD TESIS Oleh JEMONO 117021005/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013 ESTIMASI BAYES
Lebih terperinciPENGETAHUAN DASAR TEORI GRAF
PENGETAHUAN DASAR TEORI GRAF 1 Sejarah Singkat dan Beberapa Pengertian Dasar Teori Graf Teori graf lahir pada tahun 1736 melalui makalah tulisan Leonard Euler seorang ahli matematika dari Swiss. Euler
Lebih terperinciBAB II LANDASAN TEORI
BAB II LANDASAN TEORI.1 Sejarah Graf Lahirnya teori graf pertama kali diperkenalkan oleh Leonhard Euler seorang matematikawan berkebangsaan Swiss pada Tahun 1736 melalui tulisan Euler yang berisi tentang
Lebih terperinciTRAFFIC ASSIGNMENT PROBLEM DENGAN PERMINTAAN LENTUR
TRAFFIC ASSIGNMENT PROBLEM DENGAN PERMINTAAN LENTUR TESIS Oleh HERLENA 107021014/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012 TRAFFIC ASSIGNMENT PROBLEM DENGAN
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Sebelum memulai pembahasan lebih lanjut, pertama-tama haruslah dijelaskan apa yang dimaksud dengan traveling salesman problem atau dalam bahasa Indonesia disebut sebagai persoalan
Lebih terperinciTEORI GRAF UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER ILHAM SAIFUDIN PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK. Selasa, 13 Desember 2016
PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH JEMBER TEORI GRAF ILHAM SAIFUDIN Selasa, 13 Desember 2016 Universitas Muhammadiyah Jember Pendahuluan 1 OUTLINE 2 Definisi Graf
Lebih terperinciOPTIMISASI DENGAN ADANYA BIG DATA PROBLEM
OPTIMISASI DENGAN ADANYA BIG DATA PROBLEM TESIS Oleh MUHAMMAD HUDA FIRDAUS 147021019/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2016 OPTIMISASI DENGAN ADANYA BIG
Lebih terperinciBab 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang Masalah
Bab 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Teori graf merupakan pokok bahasan yang memiliki banyak terapan sampai saat ini. Graf di gunakan untuk merepresentasikan objek objek diskrit dan hubungan antara
Lebih terperinciPERBANDINGAN WAKTU EKSEKUSI ALGORITMA DSATUR
PERBANDINGAN WAKTU EKSEKUSI ALGORITMA DSATUR DAN ALGORITMA PEWARNAAN HEURISTIK TABU SEARCH PADA PEWARNAAN GRAF TESIS JUNIDAR 117038020 PROGRAM STUDI S2 TEKNIK INFORMATIKA FAKULTAS ILMU KOMPUTER DAN TEKNOLOGI
Lebih terperinciPENDAHULUAN MODUL I. 1 Teori Graph Pendahuluan Aswad 2013 Blog: 1.
MODUL I PENDAHULUAN 1. Sejarah Graph Teori Graph dilaterbelakangi oleh sebuah permasalahan yang disebut dengan masalah Jembatan Koningsberg. Jembatan Koningsberg berjumlah tujuh buah yang dibangun di atas
Lebih terperinciTINJAUAN PUSTAKA. Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi
II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini.. Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan
Lebih terperinciPENGARUH KESALAHAN PEMBULATAN PADA METODE ITERASI
PENGARUH KESALAHAN PEMBULATAN PADA METODE ITERASI TESIS Oleh TOHOM PAHA MEI BANJARNAHOR 097021074/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2011 PENGARUH KESALAHAN
Lebih terperinciPenerapan Algoritma Steiner Tree dalam Konstruksi Jaringan Pipa Gas
Penerapan Algoritma Steiner Tree dalam Konstruksi Jaringan Pipa Gas Achmad Baihaqi, NIM: 13508030 Program Studi Teknik Informatika Institut Teknologi Bandung Jalan Ganesa 10 Bandung e-mail: baihaqi@students.itb.ac.id
Lebih terperinciI. PENDAHULUAN II. DASAR TEORI. Penggunaan Teori Graf banyak memberikan solusi untuk menyelesaikan permasalahan yang terjadi di dalam masyarakat.
Aplikasi Pohon Merentang (Spanning Tree) Dalam Pengoptimalan Jaringan Listrik Aidil Syaputra (13510105) Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung,
Lebih terperinciGraph. Matematika Informatika 4. Onggo
Matematika Informatika 4 Onggo Wiryawan @OnggoWr Definisi adalah struktur diskrit yang mengandung vertex dan edge yang menghubungkan vertex-vertex tersebut. vertex edge 2 Jenis-jenis Definisi 1: Suatu
Lebih terperinciKonsep. Graph adalah suatu diagram yang memuat informasi tertentu. Contoh : Struktur organisasi
GRPH 1 Konsep Graph adalah suatu diagram yang memuat informasi tertentu. Contoh : Struktur organisasi 2 Contoh Graph agan alir pengambilan mata kuliah 3 Contoh Graph Peta 4 5 Dasar-dasar Graph Suatu graph
Lebih terperinciGraph. Politeknik Elektronika Negeri Surabaya
Graph Politeknik Elektronika Negeri Surabaya Pengantar Teori graph merupakan pokok bahasan yang memiliki banyak penerapan. Graph digunakan untuk merepresentasikan obyek-obyek diskrit dan hubungan antar
Lebih terperinciSuatu graf G adalah pasangan himpunan (V, E), dimana V adalah himpunan titik
BAB II DASAR TEORI 2.1 Teori Dasar Graf 2.1.1 Graf dan Graf Sederhana Suatu graf G adalah pasangan himpunan (V, E), dimana V adalah himpunan titik yang tak kosong dan E adalah himpunan sisi. Untuk selanjutnya,
Lebih terperinciLOGIKA DAN ALGORITMA
LOGIKA DAN ALGORITMA DASAR DASAR TEORI GRAF Kelahiran Teori Graf Sejarah Graf : masalah jembatan Königsberg (tahun 736) C A D B Gbr. Masalah Jembatan Königsberg Graf yang merepresentasikan jembatan Königsberg
Lebih terperinciAPLIKASI ALGORITMA KRUSKAL DALAM PENGOTIMALAN PANJANG PIPA Kruskal Algorithm Application on Optimlaizing Pipes Network
Jurnal Barekeng Vol. 7 No. 2 Hal. 13 18 (2013) APLIKASI ALGORITMA KRUSKAL DALAM PENGOTIMALAN PANJANG PIPA Kruskal Algorithm Application on Optimlaizing Pipes Network ABRAHAM ZACARIA WATTIMENA 1, SANDRO
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB LANDASAN TEORI. Teori Graf Teori graf merupakan pokok bahasan yang sudah tua usianya namun memiliki banyak terapan sampai saat ini. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan
Lebih terperinciBab 2 LANDASAN TEORI
Bab LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dijelaskan mengenai teori teori yang berhubungan dengan penelitian sehingga dapat dijadikan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian dan akan mempermudah
Lebih terperincimerupakan himpunan sisi-sisi tidak berarah pada. (Yaoyuenyong et al. 2002)
dari elemen graf yang disebut verteks (node, point), sedangkan, atau biasa disebut (), adalah himpunan pasangan tak terurut yang menghubungkan dua elemen subset dari yang disebut sisi (edge, line). Setiap
Lebih terperinciESTIMASI VARIANSI DALAM SAMPLING MULTI TAHAP
ESTIMASI VARIANSI DALAM SAMPLING MULTI TAHAP TESIS Oleh HUSOR SITANGGANG 117021003/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013 ESTIMASI VARIANSI DALAM SAMPLING
Lebih terperinciSEKILAS TENTANG GRAPH. Oleh: Baso Intang Sappaile
Algoritma (Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika), Vol.2 No.2 Desember 27 hal. 9-3 ISSN: 97-7882 SEKILAS TENTAN RAPH Oleh: Baso Intang Sappaile Abstrak. Suatu raph terdiri dari suatu himpunan tak
Lebih terperinciMODEL TRANSMISI PENYAKIT DENGAN KETERGANTUNGAN DEMOGRAFI
MODEL TRANSMISI PENYAKIT DENGAN KETERGANTUNGAN DEMOGRAFI TESIS Oleh ARIE CANDRA PANJAITAN 127021020/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2014 MODEL TRANSMISI
Lebih terperinciII. TINJAUAN PUSTAKA. kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bagian ini akan diberikan konsep dasar graf, graf pohon dan bilangan kromatik lokasi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini 2.1 KONSEP DASAR GRAF Konsep
Lebih terperinciPENENTUAN PARAMETER PENTING DALAM PENYEBARAN MALARIA MELALUI ANALISIS SENSITIVITAS MODEL MATEMATIKA
PENENTUAN PARAMETER PENTING DALAM PENYEBARAN MALARIA MELALUI ANALISIS SENSITIVITAS MODEL MATEMATIKA TESIS Oleh RIKA AFRIANTI 117021008/MT FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA
Lebih terperinciANALISIS JARINGAN LISTRIK DI PERUMAHAN JEMBER PERMAI DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA PRIM
ANALISIS JARINGAN LISTRIK DI PERUMAHAN JEMBER PERMAI DENGAN MENGGUNAKAN ALGORITMA PRIM SKRIPSI diajukan guna melengkapi tugas akhir dan memenuhi salah satu syarat untuk menyelesaikan Program Studi Pendidikan
Lebih terperinciLANDASAN TEORI. Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan. kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini.
6 II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan bilangan kromatik lokasi sebagai landasan teori pada penelitian ini. 2.1 Konsep Dasar Graf Pada sub bab ini akan diberikan
Lebih terperinciPENERAPAN ALGORITMA PRIM PADA JARINGAN LISTRIK PERUMAHAN PT INALUM (Studi Kasus)
PENERAPAN ALGORITMA PRIM PADA JARINGAN LISTRIK PERUMAHAN PT INALUM (Studi Kasus SKRIPSI RAYI SYAHFITRI 040803028 MURNI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA
Lebih terperinciKLASIFIKASI GRAF PETERSEN BERBILANGAN KROMATIK LOKASI EMPAT ATAU LIMA
KLASIFIKASI GRAF PETERSEN BERBILANGAN KROMATIK LOKASI EMPAT ATAU LIMA (Tesis) Oleh : Devriyadi Saputra S NPM. 1427031001 MAGISTER MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
Lebih terperinciBAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah
BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Masalah Seiring perkembangan zaman, maka perkembangan ilmu pengetahuan berkembang pesat, begitu pula dengan ilmu matematika. Salah satu cabang ilmu matematika yang memiliki
Lebih terperinciSTUDI PERBANDINGAN ALGORITMA PRIM, ALGORITMA KRUSKAL, DAN ALGORITMA SOLLIN DALAM MENENTUKAN POHON MERENTANG MAKSIMUM SKRIPSI IBNU HARIS LUBIS
STUDI PERBANDINGAN ALGORITMA PRIM, ALGORITMA KRUSKAL, DAN ALGORITMA SOLLIN DALAM MENENTUKAN POHON MERENTANG MAKSIMUM SKRIPSI IBNU HARIS LUBIS 050803059 MATEMATIKA KOMPUTASI DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS
Lebih terperincix 6 x 5 x 3 x 2 x 4 V 3 x 1 V 1
. PENGANTAR TEORI GRAF Definisi : Secara umum merupakan kumpulan titik dan garis. NET terdiri atas : 1. Himpunan titik (tidak boleh kosong) 2. Himpunan garis (directed line) 3. Setiap directed line menentukan
Lebih terperinciSebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah
BAB II KAJIAN TEORI II.1 Teori-teori Dasar Graf II.1.1 Definisi Graf Sebuah graf sederhana G adalah pasangan terurut G = (V, E) dengan V adalah himpunan tak kosong dari titik graf G, dan E, himpunan sisi
Lebih terperinciBAB II TINJAUAN PUSTAKA. sepasang titik. Himpunan titik di G dinotasikan dengan V(G) dan himpunan
5 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Teori Graf 1. Dasar-dasar Graf Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E) ditulis dengan notasi G = (V, E), dimana V adalah himpunan titik yang tidak kosong (vertex)
Lebih terperinciTEORI DASAR GRAF 1. Teori Graf
TEORI SR GRF 1 Obyektif : 1. Mengerti apa yang dimaksud dengan Graf 2. Memahami operasi yang dilakukan pada Graf 3. Mengerti derajat dan keterhubungan Graf Teori Graf Teori Graf mulai dikenal pada saat
Lebih terperinciGRAF BIPARTISI LENGKAP BERLABEL DALAM MENYELESAIKAN MASALAH PENUGASAN SKRIPSI RONAL GOMAR PURBA
GRAF BIPARTISI LENGKAP BERLABEL DALAM MENYELESAIKAN MASALAH PENUGASAN SKRIPSI RONAL GOMAR PURBA 040803061 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Lebih terperinciv 3 e 2 e 4 e 6 e 3 v 4
5 II. TINJAUAN PUSTAKA Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi graf sebagai landasan teori dari penelitian ini... Konsep Dasar Graf Pada bagian ini akan diberikan
Lebih terperinciPOLINOMIAL KOMBINATORIK
POLINOMIAL KOMBINATORIK DISERTASI Oleh MARDININGSIH 098110007/Ilmu Matematika FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2013 POLINOMIAL KOMBINATORIK DISERTASI Diajukan
Lebih terperinci