PROYEKSI CADANGAN KLAIM DENGAN METODE MUNICH CHAIN-LADDER IKHWAN ABIYYU

Transkripsi

1 PROYEKSI CADANGAN KLAIM DENGAN METODE MUNICH CHAIN-LADDER IKHWAN ABIYYU DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

2

3 PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Proyeksi Cadangan Klaim dengan Metode Munich Chain-Ladder adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Mei 2015 Ikhwan Abiyyu NIM G

4 ABSTRAK IKHWAN ABIYYU. Proyeksi Cadangan Klaim dengan Metode Munich Chain- Ladder. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan RUHIYAT. Perusahaan asuransi wajib mempersiapkan cadangan klaim secara tepat untuk menutupi pengeluaran dari klaim yang akan terjadi di masa yang akan datang. Salah satu metode estimasi cadangan klaim yang sering digunakan adalah metode chain-ladder. Karena kesederhanaan dari metode tersebut, banyak perusahaan asuransi menggunakannya dalam estimasi cadangan klaim di masa yang akan datang. Namun, metode chain-ladder tidak bisa mengurangi gap antara proyeksi IBNR (Incurred but Not Reported) dari kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang sebenarnya terjadi. Metode Munich chain-ladder adalah pengembangan metode dari metode chain-ladder yang dikembangkan oleh Gerhard Quarg dan Thomas Mack. Metode Munich chain-ladder dalam aplikasinya dapat mengurangi gap yang terjadi. Karya ilmiah ini menjelaskan cara estimasi cadangan klaim menggunakan metode Munich chain-ladder dan membandingkan hasilnya dengan menggunakan metode chain-ladder, serta memberikan contoh data di mana metode Munich chain-ladder tidak menghasilkan proyeksi yang baik. Kata kunci: cadangan klaim, chain-ladder, IBNR, outstanding claim. ABSTRACT IKHWAN ABIYYU. Projection of Claim Reserves Using the Munich Chain- Ladder Method. Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA and RUHIYAT. Insurance companies are required to manage the appropriate claim reserves to cover the expenses of the claims that will occur in the future. One of the claim reserves estimation method that frequently used is the chain-ladder method. Because of the simplicity of this method, many insurance companies use the method to estimate the claim reserves in the future. However, the chain-ladder method is not able to reduce the gap between the projection of IBNR (Incurred but Not Reported) paid losses and incurred losses. The Munich chain-ladder is the development of the chain-ladder method introduced by Gerhard Quarg and Thomas Mack. The Munich chain-ladder method can be applied to reduce the gap between the projection of IBNR paid losses and incurred losses. This paper describes how to estimate the claim reserves using the Munich chain-ladder method and to compare the results with using the chain-ladder method. In addition, we provide examples of data, where the Munich chain-ladder method does not produce a good projection. Keywords: claim reserve, chain-ladder, IBNR, outstanding claim.

5 PROYEKSI CADANGAN KLAIM DENGAN METODE MUNICH CHAIN-LADDER IKHWAN ABIYYU Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2015

6

7 PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penulisan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Ibundaku tersayang Ibu Mardiana. Terima kasih atas doa, cinta, semangat, pengorbanan, dan segalanya kepada penulis. Terima kasih telah menjadi mama terhebat untuk anak-anaknya. 2. Adik-adikku Sayyid Abyan dan Siti Najwa Assyyfa atas semangatnya kepada penulis. 3. Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA sebagai dosen pembimbing I dan Bapak Ruhiyat, MSi sebagai dosen pembimbing II. Terima kasih atas segala waktu, ilmu, nasihat, dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini. 4. Bapak Dr Donny Citra Lesmana, SSi, MFinMath sebagai dosen penguji atas kritik dan saran untuk perbaikan skripsi ini. 5. Dosen dan staf penunjang Departemen Matematika FMIPA IPB atas semua ilmu, nasihat, dan bantuannya. 6. Teman-teman satu bimbingan yaitu Lilyani dan Sinta atas semua saran, semangat, dan bantuannya. 7. Sahabat satu kontrakan yaitu Median, Firi, dan Fakhri serta sahabat dekat selama perkuliahan yaitu Adam, Irma, Henny, Restu, Hendar, Hasan, dan Resty. Terima kasih atas kebersamaannya, perhatian, semangat, dan bantuannya kepada penulis selama 4 tahun perkuliahan. 8. Teman-teman Matematika 48, kakak-kakak Matematika 47, dan adikadik Matematika 49 atas kebersamaan dan suka-duka selama penulis menempuh studi di Departemen Matematika. 9. Sahabat dari SMA hingga saat ini Fadhlulrahman Azis, serta Sahabat dari TPB yaitu Diko, Adoy, Feber, dan Dody. Terima kasih atas kebersamaannya dan semangatnya kepada penulis. 10. Kak Julianto, SSi yang telah membagi ilmu dan wawasannya tentang teknik cadangan klaim dalam asuransi, khususnya asuransi kerugian. 11. Pihak-pihak lain yang telah membantu penulisan skripsi ini yang tidak dapat disebutkan satu per satu. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat. Bogor, Mei 2015 Ikhwan Abiyyu

8 DAFTAR ISI DAFTAR TABEL viii DAFTAR GAMBAR viii DAFTAR LAMPIRAN viii PENDAHULUAN 1 Latar Belakang 1 Tujuan Penelitian 2 TINJAUAN PUSTAKA 2 Teori Peluang 2 Total Klaim 3 Outstanding Claims Liability 3 Teknik Chain-Ladder 5 HASIL DAN PEMBAHASAN 6 Metode Chain-Ladder 6 Metode Munich Chain-Ladder 7 Implementasi Praktis 11 Contoh Penerapan Metode Cadangan Klaim Munich Chain-Ladder 14 SIMPULAN DAN SARAN 26 Simpulan 26 Saran 27 DAFTAR PUSTAKA 27 LAMPIRAN 28 RIWAYAT HIDUP 36

9 DAFTAR TABEL 1 Run-off triangle data dan future triangle data dalam bentuk inkremental 4 2 Run-off triangle data dan future triangle data dalam bentuk kumulatif 4 3 Run-off triangle untuk kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan Mack 15 4 Run-off triangle untuk kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack 15 5 Estimasi faktor penundaan rata-rata dan parameter σ dari data Quarg dan Mack 17 6 Rasio (P/I) dan (I/P) serta parameter ρ dari data Quarg dan Mack 19 7 Hasil perhitunan Res (P i,t ) dari data Quarg dan Mack 20 8 Hasil perhitunan Res (I i,t ) dari data Quarg dan Mack 20 9 Hasil perhitunan Res (Q i,s ) dari data Quarg dan Mack Hasil perhitunan Res (Q i,s ) dari data Quarg dan Mack Hasil proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan Mack dengan metode Munich chain-ladder Hasil proyeksi untuk kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack dengan metode Munich chain-ladder Gap antara proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack dengan metode Munich chainladder Gap antara proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack dengan metode chain-ladder Gap antara proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi dari data Lloyd's dengan metode Munich chain-ladder 26 DAFTAR GAMBAR 1 Plot residual dari kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan Mack 22 2 Plot residual dari kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack 22 3 Plot residual dari kerugian yang dibayarkan dari data Lloyd s 25 4 Plot residual dari kerugian yang terjadi dari data Lloyd s 26 DAFTAR LAMPIRAN 1 Pengolahan data Quarg dan Mack dengan metode Munich chain-ladder 28 2 Pengolahan data Quarg dan Mack dengan metode chain-ladder 30 3 Pengolahan data Lloyd's dengan metode Munich chain-ladder 32

10

11 PENDAHULUAN Latar Belakang Setiap orang tidak mengetahui bagaimana kehidupan ke depannya akan berjalan seperti apa. Ketidakpastian bisa saja terjadi seperti bahaya, kerusakan, dan kerugian yang pasti akan dialami kapanpun dan oleh siapapun. Risiko ketidakpastian tersebut dapat merusak kestabilan ekonomi yang sangat besar. Salah satu solusi untuk mengantisipasi risiko tersebut adalah melalui asuransi. Asuransi adalah sebuah janji dari pihak penanggung dalam hal ini perusahaan asuransi kepada pihak tertanggung yakni nasabah, bahwa bila terjadi risiko maka perusahaan asuransi tersebut akan memberikan santunan (benefit) dengan jumlah tertentu kepada nasabahnya. Industri asuransi dewasa ini semakin berkembang dari tahun ke tahun. Ini bisa digambarkan dengan semakin banyaknya orang yang tertarik untuk membeli produk berupa jasa yang ditawarkan oleh suatu perusahaan asuransi. Dengan membayarkan sejumlah uang yang disebut premi, risiko kerugian yang mungkin dapat timbul dari nasabah pada waktu mendatang telah ditanggung oleh perusahaan asuransi tersebut sesuai dengan polis yang berlaku. Perusahaan asuransi wajib mempersiapkan dana siap pakai secara tepat untuk menutupi pengeluaran oleh klaim yang terjadi pada periode ke depan. Dana inilah yang disebut sebagai cadangan klaim. Pembayaran klaim mungkin dilakukan tidak lama setelah klaim dilaporkan, namun pada beberapa jenis asuransi, terkadang pembayaran klaimnya membutuhkan waktu yang cukup lama diukur dari saat terjadinya klaim. Hubungan antara waktu kejadian dan penundaan terkait klaim ini dikenal dengan istilah outstanding claims. Ada dua jenis outstanding claims, yaitu Incurred but Not Reported (IBNR) yaitu peristiwa yang telah terjadi tetapi belum dilaporkan ke perusahaan asuransi dan Reported but Not Settled (RBNS) yaitu peristiwa yang telah dilaporkan namun pembayarannya belum terselesaikan (Hossack 1999). Taksiran outstanding claims memegang peranan yang penting, mengingat perusahaan asuransi dituntut untuk selalu dapat menyediakan cadangan yang cukup, guna menutup pembayaran klaim di masa yang akan datang. Jika perkiraan outstanding claims buruk, maka bisa saja perusahaan dapat mengalami kebangkrutan. Ada beberapa metode statistik untuk menaksir outstanding claims baik secara deterministik maupun stokastik. Metode chain-ladder merupakan metode deterministik yang paling populer untuk menaksir outstanding claims, karena kesederhanaannya dan bersifat bebas distribusi (Mack 1993). Sebuah masalah besar dalam cadangan klaim adalah perbedaan perkiraan IBNR yang dibayarkan dan yang terjadi, yaitu total akhir dari kerugian yang dibayarkan menyimpang lebih atau kurang dari perkiraan yang sesuai dengan kerugian yang terjadi. Metode chain-ladder tidak cukup membantu dalam menyelesaikan masalah ini. Metode Munich chain-ladder, pengembangan dari metode chain-ladder yang akan mempersempit gap antara proyeksi IBNR dari kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi.

12 2 Tujuan Penelitian Tujuan dari karya ilmiah ini adalah: 1. Menjelaskan cara proyeksi cadangan klaim dengan metode Munich chainladder. 2. Memberikan contoh penerapan proyeksi cadangan klaim dengan metode Munich chain-ladder. 3. Membandingkan hasil proyeksi cadangan klaim dengan metode chainladder dan metode Munich chain-ladder. TINJAUAN PUSTAKA Teori Peluang Nilai Harapan 1. Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang p X (x) maka nilai harapan dari X, dinotasikan dengan E(X), adalah: E(X) = x p X (x), x asalkan jumlah tersebut kovergen mutlak. 2. Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang f X (x) maka nilai harapan dari X adalah: E(X) = xf X (x) dx, asalkan integral tersebut konvergen mutlak (Hogg et al. 2014). Nilai Harapan Bersyarat Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu dan f X Y (x y) adalah fungsi kepekatan peluang bersyarat dari X dengan syarat Y = y. Nilai harapan dari X dengan syarat Y = y adalah: (Hogg et al. 2014). E(X Y = y) = xf X Y (x y) dx Ragam Ragam dari peubah acak X dapat ditunjukkan oleh: var(x) = E[(X μ) 2 ] = E(X 2 ) μ 2 ; μ = E(X) Notasi lain untuk ragam adalah σ 2, sehingga didapat

13 3 (Hogg et al. 2014). σ 2 = E(X 2 ) μ 2 Martingale Kejadian X disebut martingale (relatif terhadap ({F n }, Ρ)) jika: 1. X bersesuaian, 2. Ε( X n ) <, n, 3. Ε[X n F n 1 ] = X n 1, ketika n 1 (Williams 1991). Total Klaim Total klaim (claim amounts) atau bisa juga disebut sekumpulan kerugian (aggregate loss) adalah jumlahan dari total semua klaim yang terjadi dalam periode tertentu dari kontrak asuransi yang telah ditetapkan. Ini merupakan suatu metode yang digunakan untuk merekam pembayaran yang dibuat dan kemudian menambahkannya dengan pembayaran berikutnya. Dalam kasus ini, total klaim direpresentasikan sebagai jumlahan, banyaknya klaim (number of claims) N, dari total pembayaran individu (X 1, X 2,, X N ), sehingga Y = X 1 + X X N, untuk N = 0,1,2, dengan Y = 0 jika N = 0 (Yunawan 2013). Outstanding Claims Liability Umumnya penaksiran klaim-klaim yang belum terselesaikan (outstanding claims liability) untuk asuransi kelas bisnis jangka panjang (long-tail) didasarkan pada run-off triangle data. Run-off triangle data memuat gambaran klaim keseluruhan (aggregate), dan merupakan ringkasan dari suatu data set klaimklaim individu (Antonio et al. 2006). Data yang ada dalam run-off triangle data biasanya merupakan besarnya klaim (claims amount) dan juga banyaknya klaim (number of claims), di mana keduanya tersaji dalam bentuk inkremental atau kumulatif. Misalkan D i,j menyatakan peubah acak besarnya klaim (dalam bentuk inkremental) untuk klaim-klaim yang terjadi pada periode kejadian (accident period) i dan dibayarkan pada periode penundaan (development period) j, dengan 1 i n dan 1 j n (Olofsson 2006). Tabel 1 mengilustrasikan run-off triangle data dan future triangle data dalam bentuk inkremental, di mana baris menunjukkan tahun kejadian (accident year), kolom menunjukkan tahun penundaan (development year), sedangkan diagonal (kiri bawah sampai kanan atas) merepresentasikan pembayaran klaim dalam setiap periode pembayaram (payment period). Run-off triangle data adalah sel-sel D i,j (untuk i + j n + 1) yang berwarna putih dan berada dalam segitiga atas, sedangkan future triangle data adalah sel-sel D i,j (untuk i + j > n + 1) yang berwarna abu-abu dan berada dalam segitiga bawah.

14 4 Tabel 1 Run-off triangle data dan future triangle data dalam bentuk inkremental Tahun Tahun penundaan kejadian 1 2 j n 1 n 1 D 1,1 D 1,2 D 1,j D 1,n 1 D 1,n 2 D 2,1 D 2,2 D 2,j D 2,n 1 D 2,n i D i,1 D i,2 D i,j D i,n 1 D i,n n 1 n D n 1,1 D n,1 D n 1,j D n 1,n 1 D n 1,n D n,2 D n,j D n,n 1 D n,n D n 1,2 Run-off triangle data dalam bentuk kumulatif, C i,j berdasarkan inkremental, D i,j, melalui hubungan berikut: dapat dibentuk j C i,j = D i,k k=1 untuk 1 i n, 1 j n, dan i + j n + 1. C i,j dapat dinyatakan sebagai besarnya klaim kumulatif untuk klaim-klaim yang terjadi pada tahun kecelakaan ke-i dan dibayarkan sampai dengan tahun penundaan ke-j. Run-off triangle data dalam bentuk kumulatif disajikan dalam Tabel 2. Besarnya klaim kumulatif sampai dengan tahun penundaan ke-n, yaitu n C i,n = D i,k k=1 untuk i = 2,3,, n, disebut ultimate claims (Mack 1993). Tabel 2 Run-off triangle data dan future triangle data dalam bentuk kumulatif Tahun Tahun penundaan kejadian 1 2 j n 1 n 1 C 1,n 1 2 C 1,1 C 2,1 C 1,2 C 2,2 C 1,j C 2,j C 2,n 1 C 1,n C 2,n i C i,1 C i,2 C i,j C i,n 1 C i,n n 1 n C n 1,1 C n,1 C n 1,j C n 1,n 1 C n 1,n C n,2 C n,j C n,n 1 C n,n C n 1,2

15 Outstanding claims liability untuk tahun kecelakaan ke-i (R i ) didefinisikan sebagai n R i = D i,k k=n+2 i atau R i = C i,n C i,n+1 i, untuk i = 2,3,, n. Outstanding claims liability untuk tahun kecelakaan ke- i merupakan penjumlahan sel-sel D i,j di baris i yang ada pada future triangle, sedangkan total outstanding claims liability (R) didefinisikan sebagai penjumlahan outstanding claims liability untuk semua tahun kecelakaan i (i = 2,3,, n), yaitu 5 n n R = D i,k i=2 k=n+2 i dengan kata lain, total outstanding claims liability (R), merupakaan jumlah semua D i,j dalam future triangle (Mack 1993). Teknik Chain-Ladder Misalkan C i,j menunjukkan total klaim yang diakumulasikan dari waktu kejadian i, untuk i = 1,2,, n, yang dilaporkan sampai dengan waktu penundaan j, untuk j = 1,2,, n. Jika i = 1,2,, n dan j = 1,2,, n i + 1 maka besarnya C i,j diketahui. Tujuan yang ingin dicapai adalah untuk memberikan estimasi total klaim C i,n untuk waktu kejadian i = 1,2,, n dan total besarnya klaim C i,j untuk i = 1,2,, n dan j = n i + 2,, n. Asumsi dasar untuk teknik chain-ladder adalah terdapat nilai faktor penundaan (development factor) λ 2, λ 3,, λ n dengan E(C i,j+1 C i,1, C i,2,, C i,j ) = C i,j λ j, untuk i = 1,2,, n dan j = 1,2,, n i + 1. Teknik chain-ladder terdiri atas estimasi λ j dengan λ j = n j+1 i=1 C i,j n j+1 i=1 dan estimasi total besarnya klaim oleh C i,j 1 C n j+1,n = C n j+1,j λ j+1 λ j+2 λ n untuk j = 1,2,, n atau dengan bentuk lain untuk i = 2,3,, n berikut: (Mack 1993). C i,n = C i,n i+1 λ n i+2 λ n

16 6 HASIL DAN PEMBAHASAN Metode Chain-Ladder Pertama-tama akan diperkenalkan beberapa notasi dan kemudian merumuskan asumsi dari metode chain-ladder (CL). Notasi Misalkan n N adalah tahun terjadinya kecelakaan dan m N adalah tahun penundaan (biasanya m = n ). Untuk i = 1,2,, n, misalkan P i adalah kerugian yang dibayarkan (paid) oleh perusahaan asuransi pada tahun kecelakaan ke-i dan I i adalah kerugian yang terjadi (incurred) pada waktu ke-i. Dengan demikian, P i,t menyatakan kerugian yang dibayarkan pada tahun kecelakaan ke-i yang mengalami penundaan selama t tahun, dan I i,t mengartikan kerugian yang terjadi pada tahun kecelakaan ke-i yang mengalami penundaan selama t tahun. Selain itu, P i (s) {P i,1,, P i,s } menjelaskan kondisi bahwa waktu tunda dari kerugian yang dibayarkan pada tahun kecelakaan ke-i diberikan sampai akhir tahun penundaan ke-s dan I i (s) {I i,1,, I i,s } menjelaskan kondisi bahwa waktu tunda dari kerugian yang terjadi pada tahun kecelakaan ke-i diberikan sampai akhir tahun penundaan ke-s. Asumsi Model Beberapa asumsi dalam proses metode CL untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi. 1. Asumsi model untuk kerugian yang dibayarkan (P) PE (Asumsi Nilai Harapan) P Untuk s, t T dengan t = s + 1, terdapat faktor penundaan f s t > 0 sehingga untuk setiap i = 1,2,, n, E ( P i,t P P i (s)) = f P s t. i,s PV (Asumsi Ragam) P Untuk s, t T dengan t = s + 1, terdapat proporsi konstan σ s t 0 sehingga untuk setiap i = 1,2,, n, var ( P i,t P P i (s)) = (σ s t P ) 2. i,s P i,s PU (Asumsi Kebebasan) Berbagai tahun kerugian yang independen, yaitu {P 1,t t T}, {P 2,t t T},, {P n,t t T} bebas stokastik.

17 7 2. Asumsi model untuk kerugian yang terjadi (I) IE (Asumsi Nilai Harapan) I Untuk s, t T dengan t = s + 1, terdapat faktor penundaan f s t > 0 sehingga untuk setiap i = 1,2,, n, E ( I i,t I I I i (s)) = f s t. i,s IV (Asumsi Ragam) I Untuk s, t T dengan t = s + 1, terdapat proporsi konstan σ s t 0 sehingga untuk setiap i = 1,2,, n, var ( I i,t I I i (s)) = (σ I s t) 2. i,s I i,s IU (Asumsi Kebebasan) Berbagai tahun kerugian yang independen, yaitu {I 1,t t T}, {I 2,t t T},, {I n,t t T} bebas stokastik. Dengan demikian, asumsi metode CL menjelaskan bahwa tahun kecelakaan yang stokastik independen, tetapi memiliki faktor penundaan yang sama dan parameter σ setiap tahun penundaan. Asumsi di atas dirancang untuk proyeksi segitiga bawah dan untuk menjelaskan tentang hubungan antara proses kerugian yang dibayarkan dan terjadi. Ekspektasi bersyarat menggambarkan kemungkinan terbaik peramalan P i,t jika hanya diketahui proses kerugian yang dibayar dari tahun kecelakaan, sampai dengan saat ini. Hal ini berlaku analog dengan proses kerugian yang terjadi E ( P i,t P i,s B i (s)) dan E ( I i,t I i,s B i (s)) dengan B i (s) = {P i,1, P i,2,, P i,s, I i,1, I i,2,, I i,s } adalah himpunan waktu penundaan yang diketahui hingga akhir tahun penundaan s dari proses kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi. Metode Munich Chain-Ladder Untuk metode Munich chain-ladder (MCL), asumsi independensi PU dan IU dari metode chain-ladder diperluas, yaitu dengan menambahkan asumsi PIU (kebebasan dari tahun kerugian yang dibayarkan dan dari tahun kerugian yang terjadi). Set kebebasan stokastik untuk asumsi kebebasan PIU adalah {P 1,t, I 1,t t T}, {P 2t, I 2,t t T},, {P n,t, I n,t t T}. Didefinisikan Q i = P i I i = ( P i,t dan Q I i i,t )t T 1 = I i = ( I i,t P i P i,t )t T

18 8 untuk menjelaskan rasio (P/I) dan rasio (I/P). Selanjutnya, dengan menambahkan konsep residual bersyarat: jika X adalah peubah acak, dengan syarat C, maka σ(x C) = var(x C) menjelaskan standar deviasi bersyarat dari X oleh C, dan res(x C) = X E(X C) σ(x C) menjelaskan residual bersyarat X oleh C. Residual bersyarat adalah standardisasi yang berkaitan dengan nilai harapan bersyarat dan ragam bersyarat, dengan E(res(X C) C) = 0 dan var(res(x C) C) = 1. Asumsi Model Mengacu pada asumsi model oleh Mack, dilakukan analisis lebih lanjut untuk menghitung faktor nilai harapan bersyarat dari penundaan proses kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi guna mendapatkan residual masingmasingnya, dengan res ( P i,t P i,s P i (s)) dan res ( I i,t I i,s I i (s)). Dibandingkan dengan model CL, kelebihan dari model Munich chainladder (MCL) yang menentukan adalah merumuskan asumsi untuk istilah-istilah berikut, yaitu E (res ( P i,t P i,s P i (s)) B i (s)) dan E (res ( I i,t I i,s I i (s)) B i (s)). dan residual dari rasio (I/P) dan rasio (P/I), didefinisikan res(q 1 i,s P i (s)) atau res(q i,s I i (s)). Asumsi tambahan untuk rasio (P/I) dan rasio (I/P) PQ Terdapat konstanta λ P untuk s, t T dengan t = s + 1 sehingga untuk setiap i = 1,2, n, yang ekuivalen dengan E (res ( P i,t P P i (s)) B i (s)) = λ P res(q 1 i,s P i (s)) i,s

19 9 E ( P i,t B P i (s)) = f P s t + λ P i,s σ ( P i,t P i,s P i (s)) σ(q 1 i,s P i (s)) (Q i,s 1 E(Q 1 i,s P i (s))). (1) IQ Terdapat konstanta λ P untuk s, t T dengan t = s + 1 sehingga untuk setiap i = 1,2, n, yang ekuivalan dengan E (res ( I i,t I i,s I i (s)) B i (s)) = λ P res(q i,s I i (s)) E ( I i,t I B I i (s)) = f s t + λ I i,s σ ( I i,t I i,s I i (s)) σ(q i,s I i (s)) (Q i,s E(Q i,s I i (s))). (2) Parameter λ P dan λ I yang merupakan kemiringan garis regresi dari plot residual masing-masing proses, tidak tergantung pada penundaan tahun ke-s. Persamaan (1) dan (2) mewakili harapan bersyarat untuk faktor penundaan sebagai jumlah faktor dari chain-ladder dan koreksi dari kedua jenis data. Akan dianalisis lebih rinci istilah tersebut pada bagian berikutnya. Analisis Asumsi Model Akan diperiksa lebih dekat model MCL dan khususnya persamaan bentuk PQ dan IQ, dimisalkan λ P, λ I > 0. Kondisi nilai harapan yaitu faktor penundaan dari proses kerugian yang terjadi akan digunakaan untuk proyeksi tahun kecelakaan ke-i dari s ke t, adalah monoton naik, fungsi linear dari rasio (P/I) atau Q i,s. Hal ini menunjukkan bahwa pengamatan dari praktik dinyatakan sebagai asumsi teoritis. Persamaan IQ merupakan ekspektasi bersyarat dari jumlah chainladder faktor penundaan f s t dan istilah linear dalam Q i,s. Terdapat tiga faktor I terkoreksi yang dijelaskan sebagai berikut: Faktor λ I adalah koefisien korelasi dari residual faktor penundaan dan residual rasio (P/I), yang akan dibuktikan pada bagian selanjutnya. Oleh karena itu λ I sebagai fakor korelasi atau parameter korelasi. Nilai dari λ I haruslah di antara 0 dan 1, dan mengukur keterkaitan faktor penundaan sebelumnya dari rasio (P/I). Jika hampir tidak ada ketergantungan atau hubungan pada data, maka λ I 0 dan faktor penundaan rata-rata diproyeksikan seperti pada metode CL. Faktor standar deviasi adalah hasil bagi dari standar deviasi bersyarat faktor penundaan yang terjadi dan rasio (P/I). Hal ini menyebabkan penyimpangan rasio (P/I) dari rata-rata yang diukur sebagai deviasi dari faktor penundaan. Semakin besar standar deviasi dari faktor penundaan, semakin besar kemungkinan akan menjadi deviasi yang signifikan dari rata-rata, dan semakin besar terkoreksi. Semakin kecil standar deviasi dari rasio (P/I), akan semakin untypical dan menyimpang signifikan dari rata-rata.

20 10 Linear Q i,s E(Q i,s I i (s)) meliputi proyeksi rasio (P/I). Jika rasio (P/I) di atas rata-rata memiliki efek memperbaiki faktor penundaan ke atas, dan sebaliknya. Semakin jauh rasio (P/I) dari rata-rata akan semakin besar koreksinya. Jika rasio (P/I) berada pada rata-rata, faktor penundan yang digunakan akan menjadi rata-rata dari data, seperti dalam metode CL. Berlaku untuk faktor penundaan untuk rasio (I/P). Parameter korelasi λ P dan λ I memperlihatkan hubungan antara segitiga dari kerugian yang dibayarkan dan segitiga dari kerugian yang terjadi. Besarnya parameter ini menunjukkan sejauh mana waktu penundaan dari kecelakaan yang dibayarkan dan kecelakaan yang terjadi, dipengaruhi oleh jenis data masingmasingnya, karenanya parameter ini sangat penting untuk ukuran proyeksi utama. Karena pendekatan residual memungkinkan untuk mempertimbangkan semua tahun penundaan, yaitu menyediakan jumlah yang cukup di titik data, estimasi ini relatif stabil. Selanjutnya akan dibuktikan formula λ P dan λ I sebagai parameter korelasi. Menggunakan informasi cov C (X, Y) cov(x, Y C) untuk koragam bersyarat dari dua variabel acak X dan Y dengan diberikan kondisi C E ( P i,t P i,s B i (s)) = P i,t P i,s. Diketahui kondisi martingale jika P i,t P i,s adalah B i (s) yang terukur, maka cov P i (s) (Q 1 i,s, P i,t ) P i,s = cov P i (s) (Q 1 i,s, E ( P i,t B P i (s))) i,s = cov P i (s) (Q 1 i,s, f P s t + λ P = λ P σ( P i,t P i,s P i (s)) var(q σ(q 1 i,s P i (s)) i,s σ( P i,t P i,s P i (s)) (Q σ(q 1 i,s P i (s)) i,s 1 P i (s)) = λ P σ ( P i,t P P i (s)) σ(q 1 i,s P i (s)). i,s Mengacu ke pada bentuk berikut: 1 E(Q 1 i,s P i (s)))) corr (Q 1 i,s, ( P i,t P P i (s))) = λ P dan corr (Q i,s, ( I i,t I i,s I i (s))) = λ I i,s untuk koefisien korelasi bersyarat, maka corr (res(q i,s 1 P i (s)), res ( P i,t P i,s P i (s))) = λ P

21 11 dan corr (res(q i,s I i (s)), res ( I i,t I i,s I i (s))) = λ I. Dengan demikian, parameter λ model MCL sebagai korelasi antara run-off triangle untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi. Pada pembahasannya selanjutnya akan dijelaskan perkiraan nilai parameter yang digunakan untuk memperoleh residual masing-masing data serta cara memperoleh nilai λ. Implementasi Praktis Pada bagian ini, akan dijelaskan lebih rinci tentang semua perkiraan parameter yang diperlukan untuk Metode MCL, sebelum melakukan perhitungan MCL lengkap untuk contoh konkret. Mengestimasi Parameter Untuk menghitung residual dan nilai harapan faktor penundaan, harus diperkirakan setiap parameter dari Model MCL. Parameter Metode Chain-Ladder P I Untuk setiap t = s + 1, faktor penundaan f s t dan f s t untuk s = 1,2,, n 1 digunakan estimasi Metode chain-ladder fp s t = 1 n s i=1 P i,s n s P i,s i=1 P i,t = P i,s n s i=1 P i,t n s i=1 P i,s (3) dan fi s t = 1 n s i=1 I i,s n s I i,s i=1 I i,t = I i,s n s i=1 I i,t n s i=1 I i,s (4) untuk = 1,2,, n 2. Paramter σ juga diestimasi sebagai berikut: n s 1 (σ s t P )2 = n s 1 P i,s i=1 ( P 2 i,t fp P s t) i,s (5) dan n s 1 (σ s t I )2 = n s 1 I i,s i=1 ( I 2 i,t fi I s t) i,s (6) dengan standar deviasinya σp s t = (σ s t P )2 dan σs t I = (σ s t I )2.

22 12 Parameter Metode Munich Chain-Ladder Untuk menghitung residual bersyarat dari rasio (P/I) dan (I/P), perlu pendugaan untuk nilai harapan bersyarat E (Q i,s I i (s)) dan E (Q 1 i,s P i (s)) dan standar deviasi bersyarat σ (Q i,s I i (s)) dan σ (Q 1 i,s P i (s)). Asumsi pertama bahwa E (Q i,s I i (s)) adalah konstan, analog dengan model IE chain-ladder untuk kerugian yang terjadi. Selanjutnya, diasumsikan keterkaitan ragam bersyarat dari rasio (P/I) pada kerugian yang terjadi, analog dengan kondisi IV. Untuk s = 1,2,, n, asumsi berikut untuk nilai harapan bersyarat dan ragam bersyarat dari rasio (P/I). Estimasi nilai harapan bersyarat E (Q i,s I i (s)) adalah sebagai berikut: q s = 1 n s+1 i=1 I i,s n s+1 I i,s i=1 Q i,s = n s+1 i=1 P i,s n s+1 i=1 I i,s (7) berlaku sama untuk semua tahun terjadinya kecelakaan. Estimasi untuk σ (Q i,s I i (s)) yaitu ρ I s dengan ρ I s didefinisikan ρ I 2 s = 1 n s n s+1 I j,s i=1 I i,s (Q j,s q s ) 2 (8) untuk setiap s = 1,2,, n, dengan ρ I s bersifat bebas dari tahun kecelakaan ke-i. Kemudian diasumsikan bahwa estimasi untuk rasio (P/I) berlaku analog dengan nilai harapan bersyarat dan ragam dari rasio (I/P) dengan mengestimasi nilai harapan bersyarat E (Q 1 i,s P i (s)) sebagai berikut: q 1 s = 1 n s+1 i=1 P i,s n s+1 P i,s i=1 1 = Q i,s n s+1 i=1 I i,s n s+1 i=1 P i,s (9) serta mengestimasi σ (Q 1 i,s P i (s)) yaitu ρ P s dengan ρ P s didefinisikan P i,s ρ P 2 s = 1 n s n s+1 P i,s i=1 (Q 1 i,s q 1 s ) 2. (10)

23 Masalah akan timbul karena mengikuti kondisi bahwa kedua nilai harapan bersyarat E (Q i,s I i (s)) dan E (Q 1 i,s P i (s)) menjadi konstan dengan Q i,s yang sudah konstan, ini bertentangan dengan kenyataan di lapangan. Oleh karena itu, hal ini tidak dapat diasumsikan, harus ada struktur ketergantungan yang lebih rumit dari nilai harapan yang keduanya tergantung pada I i (s) dan P i (s). Akan diperkirakan E (Q i,s I i (s)) dengan rata-rata di atas rasio (P/I) dari Q j,s dari kerugian yang terjadi pada tahun ke-j untuk I j (s) serupa dengan I i (s). Pada aturan chain-ladder, serupa berarti tingkat I j,s dekat dengan I i,s, atau faktor penundaan I j,s /I j,s 1 dekat dengan I i,s /I i,s 1. Setidaknya, akan terjadi kecelakaan tahun ke-j dimana I j (s) jelas berbeda dengan I i (s). Tentu saja, konsep ini berlaku analog dengan E (Q 1 i,s P i (s)). Pendekatan ini akan menghasilkan perkiraan untuk nilai harapan bersyarat yang tidak timbal balik dengan definisi dan dengan kecelakaan setiap tahun. Begitupun untuk ragam bersyarat dengan situasi serupa. Data yang cukup diberikan dari struktur ketergantungan lebih rumit untuk ragam bersyarat dari Q i,s dan Q 1 i,s pada I i (s) dan P i (s), sehingga masing-masing dapat diperhitungkan. Kesederhanaan uraian benar jika E (Q i,s I i (s)) dan E (Q 1 i,s P i (s)) adalah fungsi tidak konstan terhadap I i (s) dan P i (s). Akan diperkirakan residual bersyarat dari 13 res ( P i,t P P i (s)), res ( I i,t I i,s I i (s)), res (Q 1 i,s P i (s)), res (Q i,s I i (s)) i,s dengan penyederhanaan notasi res (P i,t ), res (I i,t ), res (Q 1 i,s ), dan res (Q i,s ), sehingga P i,t fp P s t i,s res (P i,t ) = P P (11) i,s σ s t I i,t fi I s t i,s res (I i,t ) = I I i,s (12) σ s t dan res (Q 1 i,s ) = Q i,s 1 q s ρ s P 1 P i,s (13) res (Q i,s ) = Q i,s q s I i,s. (14) ρ s I

24 14 Diestimasikan nilai dugaan λ P dan λ I sebagai berikut: dan λ P = λ I = i,s i,s 1 res (Q 1 i,s ) 2 1 res (Q i,s ) 2 res (Q 1 i,s ) 2 i,s res (Q i,s ) 2 i,s res (P i,t ) res (Q 1 i,s ) = res (I i,t ) res (Q i,s ) = i,s res i,s (Q 1 i,s ) res (P i,t ) res (Q 1 i,s ) 2 i,s res (Q i,s ) res (I i,t ) i,s res (Q i,s ) 2 Dalam semua penjumlahan ini, indeks s bergerak dari 1 sampai n 2 dan indeks i bergerak dari 1 sampai n s. Jika limpasan segitiga ini berakhir dalam waktu kurang dari waktu penundaan n tahun, akan lebih tepat untuk memilih indeks s yang diperpanjang hanya sampai akhir periode run-off. Perubahan tahun penundaan dalam formula estimasi λ P dan λ I menyimpulkan hanya sejumlah i menghasilkan perkiraan tahun penundaan untuk parameter λ. Parameter λ untuk setiap tahun penundaan harus berfluktuasi secara acak dan tidak menunjukkan trend yang akan melanggar asumsi model MCL, ini biasanya terjadi dalam praktek. Menurut asumsi PQ dan IQ, diperoleh formula rekursif untuk menduga P i,t dan I i,t, yaitu P i,t = P i,s (fp s t + λ P σ P s t ρ s P (I i,s P q s 1 )) i,s (15) dan I i,t = I i,s (fi s t + λ σ I I s t ρ s I (P i,s I q s)) i,s (16) untuk s n i + 1 dengan nilai P i,s = P i,s dan I i,s = I i,s. Contoh Penerapan Metode Cadangan Klaim Munich Chain-Ladder Metode Munich chain-ladder hanya diaplikasikan untuk asuransi kerugian, contohnya asuransi kebakaran dan asuransi kendaraan. Pada bagian ini, akan dilakukan perhitungan MCL lengkap untuk contoh konkret dari data oleh Quarg dan Mack (2006), serta data dari perusahaan insurance market Llyod s dengan perhitungan lengkap pada Lampiran 3. Pada data oleh Quarg dan Mack, diberikan data awal dari segitiga atas kerugian yang dibayarkan (Tabel 3) dan kerugian yang terjadi (Tabel 4), yang melibatkan 7 tahun waktu kejadian dan 7 tahun waktu penundaan.

25 Tabel 3 Run-off triangle untuk kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan Mack Tahun Tahun penundaan kejadian Data run-off triangle pada Tabel 3 adalah klaim dalam bentuk besarnya klaim. Sebagai contoh, ambil baris kedua dan kolom ketiga, besaran klaim sejumlah 2162 merupakan total klaim yang dibayarkan dari akumulasi kejadian pada tahun kecelakaan kedua yang dilaporkan sampai dengan tahun ketiga. Data pada Tabel 3, terdapat bagian yang masih kosong berbentuk segitiga di sebelah kanan bawah yang disebut future triangle, ini merupakan pembayaran klaim di masa yang akan datang dan belum diketahui besarnya. Tabel 4 Run-off triangle untuk kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack Tahun Tahun penundaan kejadian Ambil contoh baris kedua dan kolom ketiga, besaran klaim sejumlah 2466 merupakan total klaim yang dilaporkan dari akumulasi kejadian pada tahun kecelakaan kedua yang dilaporkan sampai dengan tahun ketiga. Jika dibandingkan nilai-nilai total klaim pada run-off triangle kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi, total klaim pada run-off kerugian yang terjadi lebih besar dari pada besaran klaim pada run-off kerugian yang dibayarkan. Hal ini terjadi karena total klaim pada run-off kerugian yang terjadi adalah penjumlahan dari klaim yang sudah dibayarkan dan klaim yang belum diselesaikan. Klaim yang belum diselesaikan tersebut bisa jadi tidak dibayarkan oleh perusahaan karena beberapa sebab, misalnya besaran klaim tersebut di bawah nilai minimal klaim (deductible). Lain halnya dengan run-off triangle kerugian yang dibayarkan, data klaim yang terdapat di dalamnya adalah penjumlahan dari besaran klaim yang dilaporkan dan sudah dibayarkan oleh perusahaan. Kelebihan dari metode Munich 15

26 16 chain-ladder ini adalah mengurangi gap seminimal mungkin antara proyeksi IBNR kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi. Menghitung faktor penundaan rata-rata dan parameter σ Langkah pertama adalah mengestimasi parameter dengan metode Chainladder, yakni menghitung faktor penundaan fp s t dan fi s t serta menghitung parameter σp s t dan σ s t P. Sebagai contoh, perhitungan fp 2 3 dan fi 2 3 dengan menggunakan persamaan (3) dan (4). fp 2 3 adalah estimasi faktor penundaan untuk kerugian yang dibayarkan dari tahun penundaan ke-2 hingga tahun penundaan ke-3, dengan diketahui infomasi P i,2 adalah proses kerugian yang dibayarkan pada tahun kecelakaan ke-2 dan P i,3 proses kerugian yang dibayarkan pada tahun kecelakaan ke-3, maka P 1 = ( 7 2 f 2 3 i=1 P i,2 7 2 P i,3 ) ( P i,2 ) = P i,2 i= i=1 P i,3 7 2 i=1 P i,2 1 P i,3 = ( 5 ) ( P i,2 ) = i=1 P i,3 i=1 P i,2 P i,2 5 P i=1 i=1 i, = = = Faktor fi 2 3 adalah estimasi faktor penundaan untuk kerugian yang terjadi dari tahun penundaan ke- 2 hingga tahun penundaan ke- 3, dengan diketahui infomasi I i,2 adalah proses kerugian yang terjadi pada tahun kecelakaan ke-2 dan I i,3 proses kerugian yang terjadi pada tahun kecelakaan ke-3, maka I 1 = ( 7 2 f 2 3 i=1 I i,2 7 2 I i,3 ) ( I i,2 ) = I i,2 i= i=1 I i,3 7 2 i=1 I i,2 1 I i,3 = ( 5 ) ( I i,2 ) = i=1 I i,3 i=1 I i,2 I i,2 5 I i=1 i=1 i, = = = Jadi, besarnya faktor penudaan dari tahun kejadian ke- 2 yang ditunda hingga tahun ke- 3 adalah sebesar untuk kerugian yang dibayarkan dan untuk kerugian yang terjadi. Sebagai contoh, perhitungan σp 2 3 dan σi 2 3 dengan menggunakan persamaan (5) dan (6). σp 2 3 adalah estimasi parameter σ untuk kerugian yang dibayarkan dari tahun penundaan ke-2 hingga tahun penundaan ke-3, dengan diketahui informasi fp 2 3 yang telah diperoleh pada perhitungan sebelumnya, serta P i,2 dan P i,3, maka

27 1 (σ 2 3 P )2 = ( ) P i,2 5 = ( 1 4 ) P i,2 i=1 i=1 ( P i,3 P i, ) ( P 2 i,3 f P 2 3 P ) i,2 2 = ( 1 2 ) [((1804) ( ) ) + + ((3778) ( ) )] = 4 Jadi, σp 2 3 = = = = Faktor σi 2 3 adalah estimasi parameter σ untuk kerugian yang terjadi dari tahun penundaan ke-2 hingga tahun penundaan ke-3, dengan diketahui informasi I yang telah diperoleh pada perhitungan sebelumnya, serta I i,2 dan I i,3, maka f (σ 2 3 I )2 = ( = ( 1 4 ) I i, ) I i,2 5 i=1 i=1 ( I i,3 I i, ) ( I 2 i,3 f I 2 3 I ) i,2 2 = ( 1 2 ) [((2104) ( ) ) + + ((4882) ( ) )] = 4 Jadi, σi 2 3 = = = = Estimasi parameter σ untuk tahun kejadian ke-2 yang ditunda hingga tahun ke- 3 adalah sebesar untuk kerugian yang dibayarkan dan untuk kerugian yang terjadi. Secara keseluruhan faktor penundaan rata-rata dan parameter σ akan disajikan pada Tabel 5. Tabel 5 f P s t I f s t Estimasi faktor penundaan rata-rata dan parameter σ dari data Quarg dan Mack P σ s t I σ s t

28 18 Menghitung rasio (P/I) dan (I/P) serta parameter ρ Setelah diperoleh estimasi untuk faktor penudaan dan parameter σ untuk masing-masing kecelakaan yang dibayarkan dan terjadi, selanjutnya akan dicari parameter Metode MCL, dengan menghitung nilai harapan bersyarat dan standar deviasi bersyarat. Menghitung (P/I) atau q s serta (I/P) atau q 1 s dengan formula yang telah diperoleh dari pembahsan parameter Metode MCL. Sebagai contoh perhitungan ( P ) atau q I 2 dan ( I ) = q 1 2 P 2 dengan menggunakan persamaan (7) dan (9). q 2 2 adalah nilai harapan bersyarat E (Q i,2 I i (2)) diperoleh dengan diketahui informasi P i,2 dan I i,2, maka q 2 = i=1 P i, = i=1 I i,2 = 6 i=1 P i,2 6 i=1 I i, = = Nilai q 1 2 adalah nilai harapan bersyarat E (Q 1 i,2 P i (2)) diperoleh dengan diketahui informasi P i,2 dan I i,2, maka q 1 2 = i=1 I i, = i=1 P i,2 = 6 i=1 I i,2 6 i=1 P i, = = Diperoleh nilai harapan bersyarat E (Q i,2 I i (2)) sebesar dan E (Q 1 i,2 P i (2)) sebesar Setelah itu, akan dihitung parameter standar deviasi bersyarat ρ. Sebagai contoh perhitungan ρ 2 I P 2 dan ρ 2dengan 2 menggunakan persamaan (8) dan (10). ρ 2 I 2 = ( ) I j,2 6 j=1 (Q j,2 q ) 2 2 = ( 1 5 ) I j,2 (Q j, ) 2 j=1 = ( 1 2 ) [((2104) ( ) ) ((4406) ( ) )] = 5 = Jadi, ρ I 2 = = =

29 7 2+1 ρ 2 P 2 = ( ) P j,2 6 = ( 1 5 ) I j,2 j=1 j=1 (Q 1 i,2 q 1 2 ) 2 (Q 1 j, ) 2 = ( 1 2 ) [((1804) ( ,178) ) + + ((4010) ( ,178) )] = 5 = Jadi, ρ P 2 = = = Diperoleh nilai harapan bersyarat σ (Q i,2 I i (2)) sebesar dan σ (Q 1 i,2 P i (2)) sebesar Secara keseluruhan, hasil perhitungan untuk nilai harapan bersyarat dan standar deviasi bersyarat untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi disajikan pada Tabel 6. Tabel 6 Rasio (P/I) dan (I/P) serta parameter ρ dari data Quarg dan Mack s q s 53.3% 84.9% 92.8% 94.5% 94.9% 96.0% 98.0% q 1 s 187.8% 117.8% 107.8% 105.8% 105.4% 104.2% 102.0% ρ P s ρ I s Menghitung residual masing-masing parameter Langkah berikutnya adalah menghitung nilai residual masing-masing dari res (P i,t ), res (I i,t ), res (Q 1 i,s ), dan res (Q i,s ). Contoh untuk perhitungan res (P i,t ) dengan menggunakan persamaan (11), akan dihitung res (P 2,3 ) dengan mengetahui informasi P 2,3,P 2,2,fP 2 3 dan σp 2 3. Hasil perhitungan yang lengkap untuk res (P i,t ) tersaji pada Tabel 7. P 2,3 fp P 2 3 2,2 res (P 2,3 ) = P ( P 2,3) = σ ( 1948) =

30 20 Tabel 7 Hasil perhitungan res (P i,t ) dari data Quarg dan Mack P Contoh untuk perhitungan res (I i,t ) dengan menggunakan persamaan (12), akan dihitung res (I 2,3 ) dengan mengetahui informasi I 2,3, I 2,2, fi 2 3 dan σi 2 3. Hasil perhitungan yang lengkap untuk res (I i,t ) tersaji pada Tabel 8. I 2,3 fi I 2 3 2,2 res (I 2,3 ) = I ( I 2,2) = σ ( 2552) = Tabel 8 Hasil perhitungan res (I i,t ) dari data Quarg dan Mack I Contoh untuk perhitungan res (Q 1 i,s ) dengan menggunakan persamaan (13), akan dihitung res (Q 1 2,2 ) dengan mengetahui informasi Q 1 2,2, q 1 2, P 2,2 dan ρ P 2. Hasil perhitungan yang lengkap untuk res (Q 1 i,s ) tersaji pada Tabel 9. Res (Q 1 2,2 ) = Q 2,2 1 q 1 2 ( P P ρ 2,2 ) = 2 1, ( 1948) =

31 21 Tabel 9 Hasil perhitungan res (Q i,s ) dari data Quarg dan Mack I/P Contoh untuk perhitungan res (Q i,s ) dengan menggunakan persamaan (14), I akan dihitung res (Q 2,2 ) dengan mengetahui informasi Q 2,2,q,I 2 2,2 dan ρ. 2 Hasil perhitungan yang lengkap untuk res (Q i,s ) tersaji pada Tabel 10. res (Q 2,2 ) = Q 2,2 q 2 ( I 2,2) = ρ 2 I ( 2552) = Tabel 10 Hasil perhitungan res (Q i,s ) dari data Quarg dan Mack P/I Menggunakan hasil perhitungan residual dari kerugian yang dibayarkan dan residual (I/P) dapat ditarik plot residual kerugian yang dibayarkan (Gambar 3). Sisaan dari kerugian yang dibayarkan menunjukkkan korelasi sebesar 64%. Estimasi slop dari garis regresi melalui titik asal λ P = 0.64, yang menjelaskan λ P sebagai parameter korelasi yang dijelaskan pada pembahasan sebelumnya. Plot residual dari kerugian yang terjadi (Gambar 4), menunjukkan korelasi 45%. Namun nilai estimasi λ I yang dipilih adalah sebesar λ P dan λ I memenuhi syarat dimana parameter λ bernilai antara 0 sampai 1.

32 22 Residual kerugian yang dibayarkan 2 1 y = x Gambar 1 Plot residual dari kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan Mack Residual kerugian yang terjadi 2 1 y = x Gambar 2 Plot residual dari kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack Pada akhirnya digunakan metode Munich chain-ladder untuk proyeksi kerugian yang akan dibayarkan dan kerugian yang akan terjadi. Dengan menggunakan persamaan (15) dan (16) dilakukan perhitungan guna mencari faktor pengali Q 1 dan Q untuk menduga P i,t dan I i,t. Sebagai faktor penundaan dari kerugian yang dibayar terlebih dahulu, akan digunakan nilai rata-rata P = untuk menghitung 1 Q7,2 f 1 2 fp λ P P P ρ (Q 7,1 1 q 1 1 σ1 2 1 ) = (0.64) ( ) ( ) =

33 sedangkan untuk kerugian yang terjadi dengan informasi fi 1 2 menghitung Q 7,2 fi λ σ I I 1 2 I (Q ρ 7,1 q ) = untuk = (0.44) ( ) (40.7% 53.3%) = Hasil perhitungan lengkap, terdapat di Lampiran 1. Hasil di atas sebagai estimasi untuk nilai P 7,2 sebesar (2044)(2.771) = 5663 dan untuk nilai I 7,2 sebesar (5022)(1.558) = Untuk proyeksi di tahun lainnya, tersaji di Tabel 11 untuk kerugian yang dibayarkan dan Tabel 12 untuk kerugian yang terjadi. Tabel 11 Tahun kejadian Hasil proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dari data Quarg dan Mack dengan metode Munich chain-ladder Tahun penundaan Tabel 11 merupakan hasil akhir dari proyeksi IBNR untuk kerugian yang dibayarkan, dengan melengkapi segitiga bawah dari run-off sebelumnya. Sebagai contoh, perhatikan baris ke-6 kolom ke-4, besarnya cadangan klaim yang harus disediakan adalah sejumlah 4492, merupakan proyeksi total klaim yang dibayarkan dari akumulasi kejadian pada tahun kecelakaan keenam yang dilaporkan sampai dengan tahun keempat. Tabel 12 Hasil proyeksi untuk kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack dengan metode Munich chain-ladder Tahun Tahun penundaan kejadian

34 24 Tabel 12 merupakan hasil akhir dari proyeksi IBNR untuk kerugian yang terjadi, dengan melengkapi segitiga bawah dari run-off sebelumnya. Sebagai contoh, perhatikan baris ke-6 kolom ke-4, besarnya cadangan klaim yang harus disediakan adalah sejumlah 4601, merupakan proyeksi total klaim yang dilaporkan dari akumulasi kejadian pada tahun kecelakaan keenam yang dilporkan sampai dengan tahun keempat. Langkah selanjutnya yaitu, melihat bagaiamana metode MCL dapat mengurangi gap antara proyeksi IBNR kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi, sebagai kelebihan dari metode ini. Tabel 13, menjelaskan gap antara proyeksi IBNR dari kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi, kolom berwarna putih menunjukkan data klaim sebelum dilakukan proyeksi, dan kolom berwarna biru menunjukkan proyeksi klaim dengan metode MCL. Tabel 13 Gap antara proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack dengan metode Munich chainladder Tahun Tahun penundaan kejadian Dibandingkan dengan hasil perhitungan menggunakan metode chain-ladder, hasil proyeksi dari metode MCL jauh lebih baik dalam mengurangi gap antara proyeksi IBNR kerugian yang terjadi dengan kerugian yang dibayarkan. Perhitungan CL jauh lebih sederhana dibandingkan MCL, langkah perhitungan lengkapnya tersaji pada Lampiran 2. Dilihat dari Tabel 14, dengan metode CL gap antara proyeksi kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi terdapat nilai negatif. Artinya, ada proyeksi dari kerugian yang dibayarkan lebih besar dibandingkan dengan proyeksi dari kerugian yang terjadi. Hasil proyeksi ini tentu saja tidak sesuai dengan prediksi yang diharapkan, karena hasil perhitungan dari metode CL menghasilkan prediksi yang kurang baik.

35 Tabel 14 Gap antara proyeksi kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi dari data Quarg dan Mack dengan metode chain-ladder Tahun Tahun penundaan kejadian Pada contoh kasus yang kedua, digunakan data dari perusahaan Lloyd s. Diberikan data awal dari run-off triangle untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi yang melibatkan 10 tahun waktu kejadian dan 10 tahun waktu penundaan. Dengan menggunakan metode MCL dilakukan perhitungan mencari parameter yang diperlukan (perhitungan lengkapnya pada Lampiran 3). Pada akhirnya, diperoleh estimasi untuk λ P dari Gambar 5 sebesar dan λ I dari Gambar 6 sebesar Estimasi ini tidak memenuhi syarat bahwa nilai λ harus berada antara 0 dan 1, akibatnya metode MCL tidak dapat melakukan proyeksi dengan baik karena tidak memenuhi syarat yang ditetapkan. Residual kerugian yang dibayarkan y = x Gambar 3 Plot residual dari kerugian yang dibayarkan dari data Lloyd s

36 26 2 y = x Gambar 4 Plot residual dari kerugian yang terjadi dari data Lloyd s Dilihat dari Tabel 17, gap antara proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi dengan metode MCL terdapat nilai negatif, artinya metode MCL tidak cukup baik untuk memproyeksi cadangan klaim untuk data tersebut. Oleh karena itu, diperlukan metode lain saat metode MCL tidak menghasilkan proyeksi yang baik. Tabel 17 Residual kerugian yang terjadi Gap antara proyeksi untuk kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi dari data Lloyd s dengan metode Munich chain-ladder Tahun Tahun Penundaan Kejadian SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Metode cadangan klaim Munich chain-ladder (MCL) dalam aplikasinya dapat mengurangi gap antara proyeksi IBNR berdasarkan kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi dengan memprediksi pembayaran klaim dimasa yang akan datang. Metode MCL menunjukkan bahwa antara kerugian yang dibayarkan dan kerugian yang terjadi hampir selalu ada korelasi. Dalam