Generalized Linear Model

Transkripsi

1 5 Generalized Linear Model

2 Estimasi Loss Reserve Incurred But Not Reported (IBNR) dengan General Linear Model Menggunakan Gauss Markov Elsa Emeliana 1,a), Lienda Noviyanti 2, b), Achmad Zanbar Soleh 1 Mahasiswa Statistika Terapan, Universitas Padjadjaran 2 Dosen Statistika Terapan, Universitas Padjadjaran a) elsameliala@ymail.com 2, c) ABSTRAK Perusahaan asuransi dituntut harus menyediakan dana yang digunakan untuk membayar uang pertanggungan kerugian yang disebut sebagai loss reserve. Jika loss reserve tidak dapat dipersiapkan atau diestimasi maka apabila suatu saat terjadi klaim akan berpengaruh terhadap pembayaran klaim, seperti keterlambatan bahkan ketidaksanggupan membayar klaim. Perusahaan harus memperhitungkan cadangan klaim peristiwa yang sudah terjadi tetapi belum dilaporkan ke pihak perusahaan asuransi (IBNR). GLM merupakan model stokastik yang erat hubungannya dengan proses mencadangkan klaim stokastik. GLM merupakan bentuk umum dari regresi linier yang dapat digunakan untuk memodelkan IBNR dilengkapi dengan standar errornya. Dalam proses estimasi loss reserve dengan GLM digunakan estimator Gauss Markov. Gauss Markov merupakan estimator yang bersifat Best Linear Unbiased Estimator (BLUE). Sehingga, dalam makalah ini untuk mengestimasi loss reserve akan digunakan estimator Gauss Markov dengan GLM sebagai pendekatan terhadap additive model. Kata kunci : Loss Reserve, IBNR, Generalized Linear Model, Gauss Markov 1. PENDAHULUAN Manusia selalu menghadapi ketidakpastian yang dapat menimbulkan kerugian. Mulai dari risiko kehilangan aset atau harta, risiko sakit, cacat total hingga risiko kehilangan jiwa atau meninggal. Ketidakpastian akan terjadinya peristiwa tersebut dapat terjadi pada siapa saja dan kapan saja. Hal tersebut menimbulkan kerugian ekonomis sehingga dibutuhkan suatu cara untuk mengantisipasi risiko tersebut. Salah satu cara untuk antisipasi risiko tersebut yaitu dengan mengalihkan/transfer risiko kepada pihak lain yaitu perusahaan asuransi. Tertanggung akan mendapat ganti rugi/klaim dari perusahaan asuransi sesuai perjanjian/kontrak yang telah disepakati oleh kedua belah pihak, apabila terjadi hal-hal yang termasuk dalam kesepakatan. Oleh karena itu perusahaan asuransi dituntut harus menyediakan dana yang digunakan untuk membayar uang pertanggungan kerugian yang disebut sebagai loss reserve, sehingga perusahaan asuransi dapat memberikan manfaat sesuai dengan perjanjian pada polis asuransi. Loss reserve memiliki pengaruh terhadap pembayaran klaim. Jika loss reserve tidak dapat dipersiapkan atau diestimasi maka apabila suatu saat terjadi klaim akan berpengaruh terhadap pembayaran klaim, seperti keterlambatan bahkan ketidaksanggupan membayar klaim. Dalam Peraturan Pemerintah Nomor 73 (1a) tahun 1992 disebutkan bahwa setiap perusahaan asuransi dan reasuransi harus membentuk cadangan teknis asuransi sesuai dengan jenis asuransi yang diselenggarakan. Perusahaan harus memperhitungkan cadangan klaim peristiwa yang sudah terjadi tetapi belum dilaporkan ke pihak perusahaan asuransi (Incurred But Not Reported/IBNR). Untuk memodelkan situasi tersebut digunakan matriks segitiga (run-off triangle) yang berisikan jumlah kerugian pada periode tertentu dengan periode penyelesaian klaim. Dalam mengestimasi loss reserve ingin diketahui seberapa baik model yang digunakan dalam memprediksi hasil dari data yang bersifat variabel acak. Oleh karena itu, dibutuhkan model stokastik dalam mengestimasi loss reserve. Selain itu, keuntungan utama dari model stokastik adalah tersedianya ukuran ketepatan dalam mengestimasi cadangan. 314

3 General Linear Model (GLM) merupakan model stokastik yang erat hubungannya dengan proses mencadangkan klaim stokastik. GLM memiliki bentuk umum yang sama dengan regresi linier dan dapat digunakan untuk memodelkan IBNR dilengkapi dengan standar errornya. Estimator yang akan digunakan adalah Gauss Markov. Gauss Markov merupakan estimator yang bersifat Best Linear Unbiased Estimator (BLUE). Dalam penelitian ini, estimasi Gauss Markov pada GLM akan digunakan sebagai pendekatan umum terhadap additive model. 2. METODE PENELITIAN Struktur Data Apabila kejadian klaim dan penyelesaian klaim waktunya tidak sama maka penyajian data klaim akan berupa matriks yang terdiri dari kolom sebagai periode waktu kejadian dan baris sebagai periode waktu penyelesaian. Matriks yang biasa disebut dengan run-off triangle ini memuat gambaran data klaim keseluruhan (aggregate) dari setiap periodenya, dan merupakan ringkasan dari suatu kumpulan data klaim-klaim individu (Antonio et al.). Misalkan Z i,k menyatakan peubah acak besarnya klaim dalam bentuk incremental loss untuk klaimklaim yang terjadi pada periode kejadian i dan penyelesaiannya ditunda k periode, dengan 0 k n (k merupakan periode waktu penundaan), dan 0 i n (i merupakan periode waktu kejadian). Tabel 1. Run-Off Triangle Incremental loss Periode Penundaan (k periode) kejadian ke-i 0 1 k n-i n-1 n 0 Z 0,0 Z 0,1 Z 0,k Z 0,n-i Z 0,n-1 Z 0,n 1 Z 1,0 Z 1,1 Z 1,k Z 1,n-i Z 1,n-1 i Z i,0 Z i,1 Z i,k Z i,n-i n-k Z n-k,0 Z n-k,1 Z n-k,k n-1 Z n-1,0 Z n-1,1 n Z n,0 Misalnya pada tabel di atas terdapat Z_1,1 yang artinya adalah besar incremental loss yang terdapat pada klaim ke-1 dan periode penyelesaian klaim ke-1 (satu semester berikutnya). 2.1 Estimasi Parameter pada GLM menggunakan Gauss Markov Pada penelitian ini estimasi loss reserve dengan model stokastik yaitu khusus untuk kasus General Linear Model dengan random vector X sebagai berikut : X = ( X 1 X 2 ) X 1 merupakan data yang terobservasi dan X 2 merupakan data yang tidak terobservasi General Linear Model (GLM) Dalam GLM terdapat matriks A 1 dan A 2 dan sebuah vector parameter β yang tidak diketahui sehingga : E [( X 1 X 2 )] = ( A 1 A 2 ) β 315

4 Dimana, A 1 mempunyai full column rank dan var [X 1 ] dapat diinverskan. SEMINAR STATISTIKA FMIPA UNPAD 2017 (SNS VI) Dalam GLM tersebut, tidak hanya mengestimasi vector parameter β tetapi juga memprediksi random vector X 2 yaitu data yang tidak terobservasi. Matriks A 1 dan A 2 disebut design matriks dari GLM. Mengikuti gagasan Hamer [1], cara terbaik untuk mengestimasi vector parameter β dan random vector X 2 secara simultan adalah dengan memprediksi target quantity T dengan persamaan sebagai berikut : T = C 0 β + C 1 X 1 + C 2 X 2 Dengan matriks C 0, C 1 dan C 2 merupakan dimensi yang sesuai dengan kombinasi linear X 1 dan X 2. Karena hanya X 1 yang dapat diamati, maka random variable T yang merupakan transformasi dari X 1 (yang dapat diukur) dikatakan predictor dari T. Prediktor T dikatakan predictor yang sesuai untuk T jika terdapat matriks Q yang memenuhi T = QX Estimator Gauss Markov Berdasarkan teorema Gauss Markov, maka terdapat predictor Gauss Markov T dari T yaitu : Dengan : T = C 0 β + C 1 X 1 + C 2 X 2 β = (A 1 Σ 11 1 A 1 ) 1 A 1 Σ 11 1 X 1 dan X 2 = A 2 β + Σ 21 Σ 11 1 (X 1 A 1 β var [T T] = K var[β ] K + C 2 (Σ 22 Σ 21 Σ 1 11 Σ 12 )C 2 dengan, K = C 0 + C 2 A 2 C 2 Σ 21 Σ 1 11 C 2 dan var[β ] = (A 1 Σ 1 11 A 1 ) 1 Sehingga estimator Gauss Markov β dari β adalah β = (A 1 Σ 1 11 A 1 ) 1 A 1 Σ 1 11 X 1, dan var[β ] = (A 1 Σ 1 11 A 1 ) Additive Model Terdapat parameter yang diketahui v i (0, ) dengan i 0,1,, n dan σ k 2 (0, ) serta parameter yang tidak diketahui ζ k R dengan k 0,1,, n sehingga: E(Z i,k ) = v i ζ k v i menyatakan total premium income untuk setiap periode klaim ke-i. Teorema : Additive Model adalah model linear. 2.4 Estimasi Parameter berdasarkan parameter vector Gauss Markov Untuk mengestimasi parameter pada additive model berdasarkan parameter vector Gauss Markov digunakan persamaan sebagai berikut : 316

5 ζ k = n k i=0 Z i,k n k (1) i=0 v i Dimana : v i adalah total premi pada periode kejadian klaim dan Z i,k (untuk setiap i= 0,1, 2,..., n dan k =0, 1, 2,..., n) menyatakan Incremental Loss untuk setiap klaim yang telah dibayarkan berdasarkan periode klaim ke-i dan periode penundaan ke-k Prediksi Incremental Loss dengan Gauss Markov Dalam memprediki incremental loss pada matriks segitiga bawah (future triangle) dengan Gauss Markov pada additive model adalah sebagai berikut : Z i,k = v i ζ k (2) \ 2.5 Estimasi Loss Reserve Dalam memprediksi Loss Reserve pada additive model dengan Gauss Markov berdasarkan metode pengumpulan accident year yaitu digunakan persamaan berikut : R i = v i ζ k n k=n i+1 Dan total loss reserve digunakan persamaan berikut : (3) n n R = ( v i ) k=1 k=n i+1 ζ k 2.6 Estimasi Standar Error dengan Gauss Markov Pada additive model varians dapat dihitung dengan ε 0,1,, n 1, dengan persamaan sebagai berikut : σ k2 = σ k2 Merupakan estimator tak bias dari σ k 2. n k 1 n k (Z i,k v i ζ k ) 2 Mean Square Error (MSE) dapat dihitung dengan persamaan sebagai berikut : untuk i = 1,2,, n i=0 MSE = E [(R i R i ) 2 ] = v i 2 var [ζ k ] + Sehingga, standar errornya adalah n k=n i+1 n k=n i+1 SE = MSE (4) σ k2 3.HASIL DAN PEMBAHASAN Data yang digunakan adalah data IBNR dan premi PT Asuransi X di Jakarta tahun Dalam proses perhitungannya, estimasi loss reserve IBNR menggunakan data besar klaim yang dicatat berdasarkan periode semesteran pelaporan klaim ke-i dan periode penyelesaian klaim ke- k selama Januari 2014 Desember 2016 yang akan membentuk matriks segitiga (run-off triangle). Berikut matriks run-off triangle beserta premi periode Januari 2014 Desember 2016 : 317

6 Periode klaim ke- Periode penyelesaian klaim keearned premium E Misalnya untuk menentukan segitiga atas (upper triangle), terdapat tiga klaim yang dilaporkan pada periode pelaporan klaim ke-0 (Januari - Juni 2014) dan dibayarkan pada periode penundaan ke-0 (Januari - Juni 2014) dengan besar klaim yaitu Rp ,00, Rp ,00, dan Rp ,00. Maka besarnya incremental loss yang dicatat pada periode pelaporan ke-0 (bulan Januari - Juni 2014) dan periode penundaan ke-0 (bulan Januari - Juni 2014) yang dinotasikan Z 0,0 adalah akumulasi dari ketiga besar klaim tersebut yaitu: Z 0,0 = Rp ,00+ Rp ,00+ Rp ,00 = Rp ,00 3.1Estimasi Parameter ζ k Langkah awal dalam mengestimasi loss reserve pada additive model yaitu dengan menentukan parameternya berdasarkan persamaan (1), dan diperoleh hasil sebagai berikut : Periode Penyelesaian Klaim ke-k ζ Tabel 2. Nilai parameter ζ k 3.2Prediksi Incremental Loss Setelah nilai parameter ζ k diketahui, maka selanjutnya dapat diprediksi nilai Incremental Loss berdasarkan persamaan (2), dan diperoleh hasil sebagai berikut : Periode Klaim ke- Periode Penyelesaian Klaim keearned premium (vi) E Diperoleh estimasi future triangle (yang berwarna merah) seperti di atas. Misalnya estimasi besar incremental loss pada periode pelaporan ke-1 (bulan Juli - Desember 2014) dan periode penundaan ke-5 (bulan Juli - Desember 2016) adalah sebesar Rp ,

7 3.3 Estimasi Loss Reserve Berdasarkan persamaan (3), maka diperoleh estimasi loss reserve sebagai berikut : Periode Klaim ke- Loss Reserve Total Tabel 3 Estimasi Loss Reserve Berdasarkan tabel di atas, maka diperoleh estimasi total loss reserve IBNR adalah sebesar Rp ,00 yang artinya perusahaan harus mempersiapkan dana sebesar Rp ,00 untuk besar klaim yang belum terbayarkan pada periode pelaporan klaim ke-1 sampai ke KESIMPULAN Estimasi total loss reserve IBNR adalah sebesar Rp ,00 yang artinya perusahaan harus mempersiapkan dana sebesar Rp ,00 untuk besar klaim yang belum terbayarkan pada periode pelaporan klaim yaitu semester 6 (Januari-Juni 2017). 5. DAFTAR PUSTAKA [1] Ludwig,A.,Schmidt.K.D Gauss Markov Prediction in a Linear Model. Technische Universitat Dresden. [2] Schmidt,K.D Linear Models in Loss Reserving. Technische Universitat Dresden. [3] Schmidt,K.D Optimal and Additive Loss Reserving for dependent Lines of Business. Technische Universitat Dresden. [4] Antonio K, J Beirlant, T Hoedemakers, R Verlaaks Lognormal Mixed Models For Reported Claims Reserves. North American Actuarial Journal. [5] Mutaqin A.K Penaksiran Distribusi Outstanding Claims Liability Menggunakan Compound Distribution. Statistika, Vol. 9 No. 2, [6] Rencher.A.C, Schaalje.G.B.2007.Linear Models in Statistics. Department of Statistics, Brigham Young University, Provo, Utah. 319