LAPORAN TUGAS AKHIR. Topik Tugas Akhir: Kajian Matematika Murni GENERALISASI JUMLAH AJAIB PADA PERSEGI AJAIB ORDER EMPAT

Transkripsi

1 LAPORAN TUGAS AKHIR Topik Tugas Akhir: Kajian Matematika Murni GENERALISASI JUMLAH AJAIB PADA PERSEGI AJAIB ORDER EMPAT TUGAS AKHIR Diajukan Kepada Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Malang Sebagai Salah Satu Prasarat untuk Mendapatkan Gelar Sarjana Pendidikan Matematika Oleh: DEDI YULIANTO NIM: PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG 2011 i

2 ii

3 iii

4 iv

5 MOTTO Dan barang siapa datang kepada Tuhannya dalam keadaan beriman, lagi sungguh-sungguh telah beramal saleh, maka mereka itulah orang-orang yang memperoleh tempat-tempat yang tinggi (mulia), (QS: Thaahaa: 75) Raihlah ilmu, dan untuk meraih ilmu belajarlah untuk tenang dan sabar. (Umar Bin Khattab) Kehidupan itu seperti sebuah cermin - jika engkau menghadiahkan senyuman kepadanya maka engkau akan mendapatkanya kembali. Dari bebatuan kecil sebuah jalan dapat dibangun sebuah rumah dengan megah dan indah, begitu pula hidup kita. v

6 PERSEMBAHAN Alhamdulillahirobbil alamin karena limpahan rahmat, karunia, hidayah, inayah dan maghfirah Allah SWT., dan sholawat serta salam kepada Rosulullah SAW. yang memberikan petunjuk ke jalan yang terang dan benar sehingga Tugas Akhir ini dapat terselesaikan. Kupersembahkan Tugas Akhir ini untuk: 1. Kedua orang tua dan keluarga yang telah memberikan doa dan support dalam pengerjaan Tugas Akhir ini. Terima kasih atas kasih sayang, bimbingan, doa, dukungan serta semua yang telah diberikan kepadaku sehingga ananda mendapatkan yang terbaik. Kalian selalu ada dalam setiap doaku. 2. Dosen-dosen jurusan Pendidikan Matematika FKIP UMM yang telah mendidik, membimbing dan memberikan arahan kepada ku selama ini. 3. Sahabat-sahabatku Bagus Condro W., Beta Lutfiana, Dzuriatul Lam ah, Firsty Amelia N., Fithratul Qoyimah, Sarah Savista H., Tantok Kustiawan, dan yang lainnya yang tak bisa ku sebutkan satu-per satu, terima kasih atas motivasi, bantuan dan doanya. 4. Teman-teman seperjuangan yang selalu saling membantu dalam kesulitan, serta teman-teman pendidikan matematika angkatan vi

7 KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT. yang Maha kuasa dan Maha Penyayang, dengan rahmat dan hidayah-nya penulis dapat menyelesaikan Skripsi dengan judul generalisasi jumlah ajaib pada persegi ajaib order empat. Sholawat serta salam tercurahkan kepada Rosulullah Muhammad SAW., keluarga serta sahabatnya. Penulisan skripsi ini merupakan kajian teori yang menggunakan studi literatur (Library Reseach) atau studi kepustakaan, yaitu pembahasan yang dilakukan dengan mengkaji teori-teori atau literatur-literatur tentang persegi ajaib yang relevan untuk memecahkan masalah kostruksi persegi ajaib order-4 dengan generalisasi pada jumlah ajaibnya. Penulis menyadari bahwa Skripsi ini dapat selesai berkat bimbingan, bantuan, dan motivasi dari banyak pihak. Oleh karena itu dengan hati yang tulus penulis menghaturkan rasa hormat dan terima kasih kepada Dr. Dwi Priyo Utomo, M.Pd. dan Dr. Yus M. Cholily, M.Si. selaku dosen pembimbing yang telah meluangkan waktu dan kesabaran dalam memberi bimbingan, pengarahan serta nasihat kepada penulis sehingga skripsi ini terselesaikan. Penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi semua pihak yang berkepentingan. Namun tiada gading yang tak retak, oleh karena itu kritik dan saran yang membangun sangat penulis harapkan demi menjadikan skripsi ini lebih sempurna. Semoga Allah SWT. menunjukkan jalan dan memberikan cahaya-nya, serta melapangkan dada kita dengan limpahan nikmat iman dan keindahan tawakal kepada-nya. Malang, Penulis vii

8 ABSTRAK Yulianto, Dedi Generalisasi Jumlah Ajaib pada Persegi Ajaib Order Empat. Skripsi, Jurusan Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Muhammadiyah Malang. Pembimbing: (I) Dr. Dwi Priyo Utomo, M.Pd., (II) Dr. Yus M. Cholily, M.Si. Persegi ajaib (magic square) merupakan suatu persegi dengan petak yang setiap elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j ditulis a ij tersusun atas bilanganbilangan berbeda biasanya {1, 2, 3,, n 2 } dan hasil penjumlahan elemen bilangan setiap baris, kolom maupun diagonal sama untuk n Z +. Secara umum dikatakan berorder-n jika memiliki n baris dan n kolom. Sebuah persegi ajaib order-4 memungkinkan untuk digeneralisasi pada jumlah ajaibnya (μ G ) saat konstruksi persegi ajaib dilakukan. Generalisasi pada jumlah ajaib dapat dilakukan dengan pengaturan elemen-elemen penyusunnya dalam bentuk diagram alur. Diagram alur diperoleh melalui konstruksi persegi baku dengan metode Phillippe de la Hire s, diagonal Lozenge, diagram geometri dan metode knight s move. Namun, tidak semua persegi ajaib baku order-4 dapat digeneralisasi untuk semua μ G (4) 34 karena bentuk struktural dan karakteristik diagram alur yang berbeda-beda. Diagram alur tanpa elemen kunci hanya dapat mengkonstruksi persegi ajaib dengan μ G 4 = 4q + 2 untuk μ G (4) 34 dan μ G (4) = 4q untuk μ G (4) 64 dimana q Z +. Sedangkan, diagram alur yang memiliki elemen kunci dapat mengkonstruksi persegi ajaib untuk semua μ G (4) 34. Berdasarkan rumus jumlah ajaib dan keberadaan elemen kunci kemudian diagram alur dikembangkan hingga mendapat rumus persegi yang dapat digunakan dalam konstruksi generalisasi. Dengan demikian, sebuah persegi ajaib order-4 dengan jumlah ajaib tertentu dapat dikonstruksi dengan menetapkan nilai β sebagai kenaikan/beda antar bilangan penyusun persegi ajaib, menentukan nilai k sebagai residu terkecil dari μ G 4 30β (mod4) dan menentukan nilai α sebagai bilangan pemula dengan menggunakan rumus jumlah ajaib pada generalisasi. Kemudian, mensubstitusikan semua nilai α, β dan k pada persamaan bilangan ajaib dalam persegi rumus. Kata Kunci: magic square, generalisasi, diagram alur, elemen kunci. viii

9 ABSTRACT Yulianto, Dedi Generalisasi Jumlah Ajaib pada Persegi Ajaib Order Empat. Thesis, Department of Mathematics, Faculty of Teacher Training and Education, University of Muhammadiyah Malang. Supervisor: (I) Dr. Dwi Priyo Utomo, M.Pd., (II) Dr. Yus M. Cholily, M.Sc. Magic square is a square with a plot that each element in the row i th and column j th written a ij containing of different integers {1, 2, 3,, n 2 } and in such a way that each row, each column and each diagonal add up to the same value. Well known order-n if it has n rows and n columns. A magic square order-4 possible to generalize in construction process. Generalization of magic number can be done by structuring elements in the form of flowcharts. Flow chart obtained through of normal magic square construction with Phillippe de la Hire's, diagonal 'Lozenge', diagram geometries and knight's move method. However, not all normal magic square can be generalized to all. its because of the shape and structural characteristics of the flow chart is different. Flowcharts without the key element, only construct a magic square if μ G (4) 34 then μ G 4 = 4q + 2 and μ G (4) = 4q if μ G (4) 64 for q Z +. Whereas, flow charts have the key elements to construct a magic square for all μ G (4) 34. Based on the formula and the existence of a magic number of key elements then flow charts to get a square formula that can be used in the construction of generalizations. Thus, construction a magic square with order-4 can be decide β value as the increase the numbers making up the magic square, determine k value as the smallest residual numbers of μ G 4 30β (mod4) and determine α value as a beginner with using the magic formula to generalizations. Then, substituting all the values and the equation numbers in square magic formula. Keywords: magic square, generalization, flow charts, key elements. ix

10 DAFTAR ISI Halaman Judul... i Lembar Persetujuan... ii Lembar Pengesahan... iii Halaman Pernyataan Keaslian... iv Halaman Motto... v Halaman Persembahan... vi Kata Pengantar... vii Abstrak... viii Daftar Isi... x Daftar Tabel... xi Daftar Gambar... xii BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Rumusan Masalah Pembatasan Masalah Tujuan Kajian Manfaat Kajian Metode Kajian... 5 BAB II KAJIAN TEORI 2.1 Definisi dan Notasi Persegi Ajaib Sejarah Persegi Ajaib Persegi Ajaib Order Persegi Ajaib Order Persegi Ajaib Order-5 dan Persegi Ajaib Order Klasifikasi Persegi Ajaib Normal Magic Square Semi Magic Square Associative Magic Square x

11 2.3.4 Pan Magic Square Concentric Magic Square Multiplicative Magic Square Konsep Dasar Persegi Ajaib Jumlah Ajaib Residu Terkecil Bilangan Bulat Dekomposisi Bilangan Persegi Persegi Latin Persegi Latin Ortogonal Metode Konstruksi Persegi Ajaib Order Metode Philippe de la Hire s Metode Diagonal/Lozenge Metode Diagram Geometri Metode Knight s Move BAB III PEMBAHASAN 3.1 Struktur Diagram Alur Pola Diagram Alur Elemen Kunci Persegi Ajaib Order Pengendalian Elemen Kunci Generalisasi Jumlah Ajaib Jumlah Ajaib Persegi Ajaib baku Order Jumlah Ajaib pada Generalisasi Persegi Ajaib Order Residu Terkecil Persegi Ajaib Order Konstruksi Generalisasi Persegi Ajaib Order Empat Penggunaan Diagram Alur dan Elemen Kunci Penentuan Rumus Dasar Konstruksi Aplikasi dalam Permainan Persegi Ajaib BAB IV. PENUTUP 4.1 Kesimpulan Saran DAFTAR PUSTAKA xi

12 DAFTAR TABEL Tabel Persegi Ajaib dan Jumlah Ajaib Tabel Penjumlahan Gaspalou Tabel Penjumlahan Gaspalou Persegi ajaib Order Tabel Pola Penghubung Persegi Ajaib Tabel Konstanta Generalisasi Persegi Ajaib xii

13 DAFTAR GAMBAR Gambar Persegi Ajaib Order-n... 7 Gambar Persegi Asli dan Persegi Ajaib... 7 Gambar Kura-Kura dan Persegi Ajaib Luo Shu... 8 Gambar Figur Persegi Ajaib Zhuang Zi... 9 Gambar Persegi Ajaib Chautisa Yatra Gambar Persegi Ajaib Sagrada Famili Gambar Melencolia-i dan Persegi Ajaib Dürer Gambar Persegi Ajaib Rasa il Ikhwan Al-Safa Gambar Persegi Ajaib Franklin Gambar Normal Magic Square Order Gambar Semi Magic Square Order Gambar Associative dan bukan Associative Magic Square Gambar Pan Magic Square Order Gambar Concentric Magic Square Gambar Multiplicative Magic Square Gambar Persegi Latin dan bukan Persegi Latin Gambar Persegi Latin Ortogonal Gambar Pola Dasar Diagram Geometri Gambar Diagram Geometri Persegi Ajaib Gambar Pola Elemen Kunci Persegi Order Gambar Elemen Kunci pada Diagram Alur Tipe I Gambar Persegi Rumus Bilangan Ajaib Order xiii

14 DAFTAR PUSTAKA Andrew, W.S Magic Squares and Cubes. Chicago: Open Court Publishing. Al-Ashhab, Saleem Nonconsecutive Magic Squares 4 4. Journal of The Islamic University (on-line), Vol. 14, No. 1, Hal ( iugzaza.edu.ps/ara/research/, diakses 20 April 2011). Ball, W.W. Rouse Mathematical Recreations and Essays, Tenth Edition. London: Macmillan and Co. Beyer, Thomas R Kunci Menguak Misteri The Lost Symbol. Terjemahan oleh Ingrid Dwijani Nimpoeno Yogyakarta: Bentang. Bolt, Brian Mathematical Amusement Arcade. Cambridge: Cambridge University Press. Boyer, Carl B A Histoty of Mathematics. Terjemahan oleh Institut Terjemahan Negara Malaysia Berhad Kuala Lumpur: Smart Print & Stationer Sdn. Bhd. Emanouilidis, Emanuel Latin and Magic Squares. Journal of Mathematical Education in Science and Technology (on-line), Vol. 36, No. 2, Hal , ( diakses 17 April 2011). Euler, Leonhard On Magic Squares, (on-line), ( math/pdf/0408/ v6.pdf, diakses 21 Februari 2011) Gaspalou, Francis Structure of Magic and Semi-Magic Squares, Methods and Tools for Enumeration, (on-line), ( diakses 27 September 2011) Hurkens, Cor Constructing Franklin Magic Squares, (on-line), ( diakses 18 April 2011). Hutton, Charles A Philoshophical and Mathematical Dictionary. London: The Royal Societies. Jahannathan, B. Sree Magic Squares for All Success, E-book (on-line), ( diakses 18 April 2011). Kirmani, M. Zaki & N.K. Singh Encyclopaedia of Islamic Science and Scientists. New Delhi: Global Vision Publishing House. 1

15 Moler, Cleve Magic Squares, (on-line), ( moler/exm/chapters/magic.pdf, diakses 18 April 2011). Mullen, Gary L. & C. Mummert Finite Fields and Applications. USA: The American Mathematical Society. Pickover, Clifford A The Zen of Magic Square, Circles, and Stars. New Jersey: Princeton University Press The Math Book: From Phythagoras to the 57th Dimention, 250 Milestones in the History of Mathematics. New York: Sterling Publishing Co., Inc. Poole, David Linear Algebra: A Modern Introduction. Canada: Transcontinental Printing. Pujiati Penggunaan Alat Peraga dalam Pembelajaran Matematika. Makalah disajikan pada Diklat Instruktur/pengembang Matematika, Yogyakarta, Oktober. Sesiano, Jacques Construction of Magic Squares Using the Knight s Move in Islamic Mathematics. Journal of Archive for History of Exact Sciences (on-line), Vol. 58, No. 1, Hal. 1-20, ( content/xagwakbwre3y3lbh/, diakses 27 September 2011). Simon, William Mathematical Magic. New York: Charles Scribner s Sons. Sitanggang, Cormenlyna Kamus Matematika. Jakarta : Balai Pustaka. Stephens, Daryl L Matrix Properties of Magic Squares. A professional paper submitted of the requirements of master of science in the graduate school. Texas Woman's University. Swetz, Frank J.. Legacy of the Luoshu: The 4,000 Year Search for the Meaning of the Magic Square of Order Three. Wellesley: A K Peters. Taufik, Marhan Pengantar Ilmu Bilangan. Materi Kuliah Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Malang. The Rosen Group The Rosen Comprehensive Dictionary of Math. New York: The Rosen Publishing Group. Watkins, John J Across the Board: The Mathematics of Chessboard Problems. New Jersey: Princeton University Press. Wikipedia Magic Square, (on-line), ( Magic_square, diakses 21 Februari 2011). 2