Pencetus 23 problem matematika yang terkenal

Transkripsi

1 Pencetus 23 problem matematika yang terkenal David Hilbert ( ) Riwayat David Hilbert menuntut ilmu di Gymnasium yang terdapat di kota tempat kelahirannya, Konigsberg. Setelah lulus, memasuki universitas Konigsberg, dimana dia diajar oleh Lindemann. Pernah kuliah selama satu semester di universitas Heidelberg di bawah bimbingan analis [Lazarus] Fuchs. Hilbert lulus pada tahun 1885 dengan thesis tentang teori invarian dan mempunyai teman kuliah, [Hermann] Minkowski, dimana mereka saling mempengaruhi satu dengan lainnya. Pada tahun 1884, [Adolf] Hurwitz mengajar di universitas Konigsberg dan cepat menjalin persahabatan dengan Hilbert. Persabahatan ini adalah faktor paling penting bagi perkembangan matematikal Hilbert. Tahun berikutnya, 1886, Hilbert menjadi staf pengajar di Konigsberg sampai tahun 1895, diangkat sebagai dosen utama sampai tahun 1892, diangkat menjadi asisten profesor sebelum menjadi profesor penuh pada tahun Pimpinan Konigsberg pada saat ini adalah Heinrich Weber yang sangat dikenal karena menghadirkan untuk pertama kalinya difinisi-difinisi abstrak untuk himpunan dan bidang pada periode , juga mengarang tiga buku teks aljabar. Hilbert sering melakukan perjalanan ke mancanegara guna menghadiri konggres matematikawan yang menjadi ciri abad itu. Suksesi Tahun 1892, Schward pindah dari Gottingen ke Berlin untuk menggantikan posisi Weierstrass dan Klein memberi penawaran kepada Hilbert untuk mengisi jabatan yang kosong di Gottingen itu kepada Hilbert. Klein gagal membujuk Hilbert dan posisi itu diisi oleh Heinrich Weber yang pindah dari Konigsberg. Posisi Weber, pada tahun 1883, diganti oleh Lindemann yang belum lama menerbitkan pembuktian bahwa Л adalah bilangan transenden. Lindemann pula yang menyarankan agar thesis Hilbert tentang teori invarian dan mendukung agar topik ini terus dipelajari. Weber hanya menjabat selama tiga tahun sebelum pindah ke Strasbourg dan, akhirnya, posisi itu diisi oleh Hilbert. Sejak tahun 1895, Hilbert menduduki posisi kepala bidang matematika di Gottingen. Ketenaran Hilbert dalam dunia matematika baru bersinar setalah tahun 1900 sehingga banyak institusi-institusi pendidikan berusaha menariknya dari Gottingen, sebelum untuk akhirnya pindah ke universitas Berlin pada tahun 1902 untuk menggantikan posisi Fuchs. Penggantinya di Gottingen adalah temannya, Hermann Minkowski. Teori invarian Hilbert Karya pertama Hilbert adalah teori invarian pada tahun 1888, dimana dia dapat membuktikan theorema basis yang tersohor. Pembuktian ini dikirimkan sebagai artikel pada Mathematische Annalen. [Paul] Gordan adalah profesor matematika di Erlangen

2 sekaligus pakar dalam teori invarian, namun cara dan metode Hilbert yang revolusioner ini sulit dipahami sehingga perlu pihak ketiga yang menilai. Juri yang ditunjuk adalah Klein. Lewat teman akrabnya, Hurwitz, Hilbert mengetahui bahwa Gordan mengirim surat Klein guna membicarakan artikel tersebut. Mengetahui hal ini Hilbert menulis surat kepada Klein yang isinya menyatakan bahwa dia tidak akan melakukan perubahan pada artikel yang sudah dikirim. Klein menerima dua surat dari Hilbert dan Gordan, dimana saat itu Hilbert adalah asisten pengajar dari Gordan yang sangat terkenal di dunia karena teori invarian. Sisi lain Gordan juga mengetahui hubungan antara Klein dan Hilbert yang sudah terjalin lama. Akhirnya, Klein mengemukakan terobosan invarian dari Hilbert ini dan berjanji akan menerbitkan sebagai artikel pada Annalen, tanpa perubahan sedikitpun. Merasa bahwa karyanya dihargai, Hilbert mengembangkan metode lain dalam teori invarian untuk kembali diterbitkan dalam Mathematische Annelen dimana sebelumnya dikirim kepada Klein. Komentar dari Klein adalah: Tidak perlu diragukan lagi, bahwa makalah ini adalah karya maha penting dalam bidang aljabar umum yang pernah diterbitkan oleh Annalen. Sistimatika invarian Hilbert secara singkat dapat disebutkan sebagai berikut. Misalkan bentuk x dengan pangkat n, untuk menemukan bilangan terkecil dari invarian dan covarian rasional integral dapat dinyatakan sebagai bentuk rasional integral dengan koefisien-koefisien numerikal dari himpunan lengkap. Kiprah Hilbert Saat masih di Konigsberg, tahun 1893, Hilbert mengarang Zahlbericht untuk teori bilangan aljabarik. Komunitas matematika Jerman (German Mathematical Society) yang baru didirikan tiga tahun sebelumnya mendaulat agar karya ini dianggap sebagai laporan hasil perkembangan dari komunitas ini selama tiga tahun. Isi pokok buku ini adalah sistesis dari karya Kummer, Kronecker dan Dedekind namun dirangkai dan diisi dengan gagasan-gagasan Hilbert yang cemerlang. Semua gagasan ini sekarang lebih dikenal dengan sebutan teori bidang kelas (Class field theory). Karya penting Hilbert adalah makalah On the Theory of Algebraic Forms yang dimuat pada Mathematische Annalen pada tahun Di sini Hilbert mendifisnikan bentuk aljabarik sebagai fungsi homogen integral rasional dalam peubah-peubah tertentu dimana koefisien-koefisien adalah bilangan-bilangan dalam wilayah rasionalitas (domain of rationality). Theorema yang menyatakan bahwa untuk deret tak-terhingga S = F1, F2, F3, dari bentuk-bentuk peubah-peubah n, x1, x2, x3, xn terdapat bilngan m dalam bentuk berurutan yang diekspresikan sebagai F = A1F1 + A2F2 + AmFm Dimana Ai adalah bentuk-bentuk yang sama dengan peubah-peubah n. Hilbert mengaplikasikan hasil ini untuk membuktikan sistem terbatas untuk invarian dengan bentuk-bentuk arbitrari banyak peubah. Tidak puas dengan teori invarian, Hilbert menjelajahi geometri. Geometri rekaan Hilbert

3 dapat disebut sebagai sebuah karya besar setelah Eucklid sendiri. Dari pembelajaran secara sistematik dari geometri Euclidian, Hilbert merumuskan dua puluh satu aksioma dan melakukan analisis terhadap masing-masing signifikansinya. Karya dalam geometri dituang dalam buku berjudul Grundlagen der geometrie pada tahun 1899, dimana geometri ditempatkan dalam tatanan aksioma yang formal. Buku ini terus diperbaharui dalam setiap edisinya dan kelak memberi dampak besar bagi pendekatan aksiomatik dalam matematika yang akan menjadi karakteristik utama bagi geometri saat memasuki abad problem matematika Hilbert juga dikenal karena mengemukakan 23 problem atau tantangan matematika bagi para matematikawan. Lewat pidatonya pada konggres internasional matematikawan kedua di Paris, disebutkan 23 problem yang menantang kreativitas para matematikawan. Disebutkan bahwa suatu problem matematika mampu merangsang otak-otak kreatif untuk berusaha menemukan solusi, namun apa yang diperoleh terkadang jauh dari harapan. Bukan berarti hasil sampingan (by-product) ini tidak berguna, justru hal ini akan memperkaya khasanah matematika. Fermat (baca: Fermat dan Wiles), sebagai contoh, meninggalkan TTF (Theorema Terakhir Fermat) yang mendorong adanya penemuan bilangan-bilangan ideal dari Kummer dan melakukan generalisasi dalam bidang aljabar yang diprakarsai oleh Dedekind dan Cantor akan mendasari teori bilangan modern dan akhirnya teori fungsi. Problem bilangan kardinal kontinuum dari Cantor 1. Keselarasan (compatibility) aksioma-aksioma dalam aritmatika 2. Kesamaan isi dari dua tetrahera yang mempunyai alas dan tinggi sama 3. Problem garis lurus sebagai jarak terpendek antara dua titik 4. Konsep transformasi kelompok (grup) berkesinambungan tanpa asumsi yang dapat berbedaa (differentiability) dari fungsi-fungsi dalam kelompok dari Lie. 5. Perlakuan matematikal terhadap aksioma-aksioma dalam fisika. 6. Bilangan-bilangan irrasional dan transenden tertentu 7. Problem bilangan-bilangan prima 8. Pembuktian dari hukum umum ketimbalbalikkan (reciprocity) dari berbagai bilangan dalam bidang. 9. Determinasi dari solvabilitas persamaan Diophantus 10. Bentuk-bentuk kuadratik dengan koefisien-koefisien aljabarik numerikal 11. Perluasan theorema Kronecker pada bidang Abelian bagi rasionalitas dalam lingkup aljabarik. 12. Ketidakmungkinan mencari solusi persamaan untuk dalam bentuk pangkat tujuh dengan menggunakan fungsi-fungsi yang mempunyai dua argumen. 13. Pembuktian terbatasnya sistem fungsi-fungsi lengkap tertentu 14. Dasar tak terbantahkan dari kalkulus enumeratif Schubert 15. Problem topologi dari kurva-kurv dan permukaan-permukaan aljabarik. 16. Ekspresi bentuk-bentuk tertentu dari persegi panjang 17. Membangun ruang dari polyhedra congruent

4 18. Apakah solusi untuk problem-problem umum dalam variasi kalkulus selalu membutuhkan analitik 19. Problem umum nilai-nilai batas 20. Bukti keberadaan persamaan-persamaan diferensial linier mempunyai kelompok monodromik yang sudah dijabarkan 21. Penyeragaman relasi-relasi analitik dalam fungsi-fungsi otomorphik 22. Pengembangan lebih lanjut metode variasi-variasi kalkulus Ruang Hilbert Karya Hilbert tentang persamaan-persamaan integral yang terbit pada tahun 1909, merintis penelitian dalam analisis fungsional (cabang matematika dimana fungsi-fungsi dipelajari secara terpisah). Karya ini juga memberi dasar kiprahnya dalam ruang dimensional tak terhingga (infinite-dimensional space), yang kemudian lebih dikenal dengan sebutan ruang Hilbert. Konsep ini berguna dalam analisis matematikal dan mekanika quantum. Penggunaan persamaan-persamaan integral, Hilbert mampu memberi sumbangsih bagi perkembangan fisika matematikal dan yang paling penting adalah memoarnya tentang teori gas kinetik dan teori radiasi. Ada beberapa orang yang menyebut bahwa pada tahun 1915, Hilbert sudah menemukan persamaan-persamaan bidang untuk relativitas umum sebelum dicetuskan oleh Einstein. Terdapat catatan yang menyebutkan bahwa Hilbert mengirimkan artikel tersebut pada tanggal 20 November 1915, lima hari sebelum Einstein menyerahkan artikel yang berisikan ralat terhadap persamaan-persamaan bidang. Artikel Einstein muncul pada tanggal 2 Desember 1915, tapi bukti bahwa makalah Hilbert (tertanggal 6 Desember 1915) tidak mencantumkan persamaan-persamaan bidang. Dasar-dasar Geometri Hilbert menekuni suatu bidang sampai benar-benar tuntas. Setelah usai dengan Zahlbericht, dia mulai beralih ke geometri. Sejak tahun1894 dia mengajar geometri non-euclidian dan pada periode mengeluarkan buku Dasar-dasar Geometri (Grundlagen der Geometrie). Buku ini dapat disebut karya besar karena kemudian diterjemahkan ke bahasa negara terkemuka dan membawa dampak besar bagi perkembangan geometri pada abad 20. Geometri yang selama ini seakan dilupakan sejak Euclid, dijabarkan ulang dan banyak direvisi ulang oleh Hilbert. Hilbert merintis dengan memasukkan karanter: aljabar dan analisis ke dalam geometri. Sistematika geometri dilakukan dengan membagi menjadi 3 obyek: titik, garis dan bidang dan enam kemungkinan keterhubungan. Lewat buku itu, Hilber mengukuhkan diri sebagai penggagas aliran aksiomatik yang memberi dampak besar terhadap matematika dan pendidikan matematika. Pangantar buku diawali dengan kutipan [Immanuel] Kant; Semua pengetahuan manusia, diawali oleh intuisi, menghasilkan konsep-konsep, dan diakhiri dengan ide-ide. Kutipan ini digunakan untuk menunjukkan bahwa dirinya anti- Kant. Menurutnya tidak ada [peran] intuisi dalam mempelajari geometri, dimana titik, garis dan bidang adalah elemen-elemen dari suatu himpinan tertentu. Teori himpunan (set theory) yang selama ini masuk wilayah aljabar dan analisis dipakai dalam geometri.

5 Karya bersama Hermann Minkowski meninggal pada tahun 1909, meninggalkan kepedihan mendalam bagi Hilbert. Setelah merasa tuntas dengan geometri dan analisis - tidak diuraikan, Hilbert masuk fisika matematika. Sebelum dan setelah PD I, meneliti aplikasi persamaanpersamaaan integral untuk memecahkan teori-teori fisika seperti teroi kinetik dari gas. Penjelajahan ini membuat dia berkolaborasi dengan Emmy Noether ( ) dalam mempelajari invarian diferensial. Emmy adalah anak aljabaris, Max Noether yang ditarik dari Gottingen oleh Hilbert dan Kelin untuk melakukan penelitian bersama. Hasil sampingan adalah Emmy mampu mengeluarkan buku pada tahun 1918 yang berisikan Theorema Noether. Sejak tahun 1990, Hilbert sudah mengerjakan aksiomatisasi, yang dimaksudkan untuk memecxahkan problem fisika yang terkait dengan mekanika quantum. Hasil akhir sudah akan diraih namun karena problem kesehatan, maka tongkat estafet penelitian diserahkan - lewat kolaborasi dengan L. Nordheim dan J. von Neumann. Karya puncak Hilbert dalam aksiomatisasi aritmatikda dan logika dapat kita nikmati lewat para penerusnya. Karya Dasar-dasar matematika dan Dasar-dasar logika matematika lebih mengenalkan kolaboratornya sebagai Hilber-Bernays dan Hilbert-Ackermann. Sumbangsih Banyak cabang matematika yang ditekuni oleh Hilbert, dimana masing-masing mampu menunjukkan kualitasnya sehingga sangat sulit menyebutkan sumbangsih Hilbert secara spesifik. Dapat disebutkan teori invarian, bidang-bidang bilangan aljabarik, analisis fungsional, persamaan-persamaan integral, fisika matematikal dan variasi-variasi kalkulus. Ada yang menyebutkan bahwa bakat matematikal ditunjang dengan mengemukakan pemikiran-pemikiran baru dan menghubungkan semua disiplin-disiplin ilmu tersebut merupakan betapa banyaknya jasa Hilbert bagi perkembangan matematika dan fisika khususnya mekanika quantumm baik secara sendiri maupun sebagai karya kolaborasi. Problem yang dikompilasi akan terus berupaya dipecahkan oleh matematikawan era berikutnya. Thales ( SM) Riwayat Perintis matematika dan filsafat Yunani adalah Thales. Lahir dan meninggal di kota kecil Miletus yang terletak di pantai barat Asia Kecil, sebuah kota yang menjadi pusat perdagangan. Kapal-kapal pedagang dengan mudah berlayar ke Nil di Mesir, sedangkan karavan melakukan perjalanan lewat darat menuju kota di Babylon. Pendudulk Militus suka melakukan kontak dagang dengan kota-kota di Yunani dan warga Phoenisia. Di kota ini juga merupakan tempat pertemuan [dunia] Timur dan Barat, dan tempat lahirnya Thales. Awalnya, Thales adalah seorang pedagang, profesi yang membuatnya sering melakukan perjalanan. Dalam suatu kesempatan berdagang ke Mesir dan Babilonia (pada maka

6 pemerintahan Nebukadnesar), dalam waktu senggangnya, Thales mempelajari astronomi dan geometri. Hal ini dipicu ketertarikannya bahwa dengan menggunakan alat-alat tersebut, mereka dapat memprediksi gerhana matahari setiap tahunnya. Theorema Thales Thales mengemukakan proposisi yang dikenal dengan theorema Thales, yaitu: 1. Lingkaran dibagi dua oleh garis yang melalui pusatnya yang disebut dengan diameter. 2. Besarnya sudut-sudut alas segitiga sama kali adalah sama besar. 3. Sudut-sudut vertikal yang terbentuk dari dua garis sejajar yang dipotong oleh sebuah garis lurus menyilang, sama besarnya. 4. Apabila sepasang sisinya, sepasang sudut yang terletak pada sisi itu dan sepasang sudut yang terletak dihadapan sisi itu sama besarnya, maka kedua segitiga itu dikatakan sama sebangun. 5. Segitiga dengan alas diketahui dan sudut tertentu dapat digunakan untuk mengukur jarak kapal. Tidak ada catatan lebih jauh tentang prestasi Thales yang dapat disimak karena tidak ada bukti-bukti akurat. Bukti dicoba dicari lewat catatan dari para muridnya seperti: Aristoteles dan Eudemus dari Rhodes (± 320 SM), yang kurun waktunya relatif terlalu lama. Catatan Eudemus menyebutkan bahwa Thales adalah orang yang mengubah geometri menjadi bentuk formal yang dapat dipelajari oleh semua orang karena mendasarkan diri pada prinsip-prinsip dan melakukan investigasi terhadap theorematheorema dengan sudat pandang seorang intelektual. Thales berbicara tentang garis, lingkaran dan bentuk-bentuk lainnya dengan cara membayangkan (abstrak). Garis bukan hanya susutatu yang dapat digurat dan dilihat di atas pasir, tapi merupakan obyek yang terpeta pada imajinasi kita. Artinya secara abstrak bahwa suatu garis lurus atau lingkaran bulat berada dalam mental kita. Matematikawan serba bisa Aktivitas Thales lebih dikenal dari berbagai sumber terpisah, sebagai matematikawan terapan. Mengukur tinggi piramida dengan mengukur tinggi bayangan dengan menggunakan tongkat, memprediksi gerhana matahari, menentukan setahun adalah 360 hari (sudah dikenal lama oleh bangsa Mesir) maupun jarak kapal di laut dengan lewat cara proporsi/memadankan bentuk segitiga adalah catatan kehebatan Thales. Gerhana matahari disebutkannya akan terjadi pada tanggal 28 Mei atau 30 September pada tahun 609 SM. Catatan yang ada menyebutkan bahwa gerhana matahari terjadi setiap kurun waktu 18 tahun 11 hari. Ketepatan prediksi ini membuat namanya sangat terkenal dan diabadikan sebagai salah satu dari tujuh orang bijak (sage) yang terdapat pada hikayat Yunani Naluri pedagang yang ada pada dirinya, dimana diketahui Thales memeras buah zaitun (olive) untuk dijadikan minyak ketika panen melimpah dan akhirnya memberikan keuntungan berlimpah, menjadi pedagang garam sama seperti komentar tentang dirinya sebagai pengamat bintang, penentang hidup selibat bahkan sebagai negarawan yang

7 mempunyai visi jauh ke depan. Tulisan Thales dalam bidang astronomi lebih dikenal daripada karyanya dalam bidang geometri. Ketenaran ini membuat dirinya mempunyai banyak murid. Anaximander, Anaximenes, Mamercus dan Mandryatus adalah nama dari beberapa muridnya, namun yang sangat terkenal adalah nama yang disebutkan pertama. Anaximander ( SM), sukses menggantikan posisi Thales di Miletus. Sebuah kisah Thales hidup dalam masa kerajaan yang saling serang untuk memperluas wilayahnya. Keahlian Thales dalam bidang rekayasa diuji pada masa perang ini. Raja Croesus, yang mengagumi Thales, ingin menyerang negara tetangga dan para prajurit harus menyeberangi sungai Halys. Kerajaan Croesus diperkirakan ada di Mesopotamia atau Mesir. Belum ada jembatan ponton pada masa itu dan tidak ada waktu membangun jembatan permanen.croesus menyuruh Thales sebagai seorang filsuf sekaligus matematikawan untuk memecahkan problem ini. Di bawah pengarahan Thales dibuatlah kanal untuk mengalihkan aliran sungai untuk sementara. Begitu para prajurit menyeberang dan sukses merebut negara tetangga, kanar kembali ditutup dan aliran sungai kembali seperti semula. Namun dalam perang tidak ada yang menang selamanya. Raja Cyrus dari Persia akhirnya dapat menangkap dan menawan penerus kerajaan Croesus, Lydia, dalam sebuah pertempuran. Bagaimana akhir atau keruntuhan kerajaan itu sendiri tidak pernah diketahui. Sebuah Anekdot Diperkirakan Olimpiade mulai diselenggarakan pada tahun 776 SM, dimana ketika itu sastra Yunani sedang berkembang pesat. Homer dan Hesoid, seperti diketahui, berkarya pada masa-masa ini. Dalam suatu malam Thales terlalu asyik memandangi bintang-bintang di langit sambil berjalan. Tidak menyadari bahwa di depan terdapat parit, Thales terjatuh ke dalam parit. Seorang nenek yang melihat berkata, Bagaimana kamu dapat menjelaskan apa yang terdapat di langit, sedangkan parit yang ada didepanmu saja tidak terlihat? Sumbangsih Barangkali dapat disebut matematikawan pertama yang merumuskan theorema atau proposisi, dimana tradisi ini menjadi lebih jelas setelah dijabarkan oleh Euclid. Landasan matematika sebagai ilmu terapan rupanya sudah diletakkan oleh Thales, sebelum muncul Pythagoras yang membuat bilangan adalah sesuatu yang sakral, selain memanfaatkan imajinasi.

8 Anaximander (611 S.M. 545 S.M.) Riwayat Anaximander sukses meneruskan jabatan kepala sekolah di Miletus setelah Thales meninggal. Menurut Suidas, Anaximander menulis makalah tentang geometri, yang lebih memberikan penekanan diri pada penelitian tentang bola dan mengembangkan ide-ide filsafat yang berhubungan dengan ruang dan waktu. Dikatakan pula bahwa Anaximander sudah membuat globe. Anaximander adalah orang yang untuk pertama kali mengenalkan penggunaan gnomon (= tongkat penunjuk yang dipasang di tanah datar untuk menghitung waktu), kelak teknik ini menjadi dasar terciptanya piringan matahari (sundial) guna menentukan waktu. Mengajar Pythagoras Pemikiran Thales tidak secara langsung dapat dipahami oleh Pythagoras. Diduga Pythagoras memahami pemikiran-pemikiran Thales lewat Anaximander. Menurut legenda, ayah Pythagoras meninggal pada saat Pythagoras bermur 18 tahun. Pamannya memberinya perak dan surat pengantar, dan mengirimnya untuk belajar pada filsuf Pherecydes yang tinggal di pulau Lesbos (asal kata lesbian). Pherecydes mengenalkan ajaran tentang hidup abadi (immortaility) dan reinkarnasi kepada Pythagoras. Keduanya kemudian menjadi sahabat kental, namun Pythagoras tidak lama tinggal di Lesbos. Pada kisaran usia 20 tahun, Pythagoras meninggalkan Lesbos dan melakukan perjalanan ke Miletus dan menimba ilmu di sini yaitu di bawah bimbingan Anaximander. Ada versi lain yang menyebut bahwa pada saat ini Pythagoras belajar langsung di bawah bimbingan Thales, tapi mengingat perbedaan umur antara keduanya, hipotesis ini sulit terjadi. Thales meninggal tahun 550 S.M. sedang Pythagoras lahir pada tahun 589 S.M., dimana yang satu sudah tua renta dan lainnya masih muda usia dan ada perbedaan lokasi. Banyak kemungkinan selama Miletus, Pythagoras belajar dari Anaximander. Tidak lama di Miletus, Pythagoras melanjutkan perjalanan menuju Mesir. Sumbangsih Dari riwayat yang sangat singkat ini sulit menentukan sumbangsih Anaximander, namun kiprahnya adalah merintis studi tentang bola dan membuat globe yang tentunya masih sangat sederhana layak dianggap peran penting Anaximander. Terlebih penting adalah menjembatani pemikiran Thales ke Pythagoras. Apabila bilangan mengatur alam semesta, Bilangan adalah kuasa yang diberikan kepada kita guna mendapatkan mahkota, untuk itu kita menguasai bilangan. If Number rules the universe, Number is merely our delegate to the throne, for we rule Number.

9 Pythagoras Pencetus sekaligus penguasa nisbah dan segitiga Pythagoras ( SM) Masa kecil Pythagoras lahir di pulau Samos, Yunani selatan sekitar 580 SM (Sebelum Masehi). Dia sering melakukan perjalanan ke Babylon, Mesir dan diperkirakan pernah sampai di India. Di Babylon, teristimewa, Pythagoras menjalin hubungan dengan ahli-ahli matematika. Setelah lama menjelajah pulau kecil, Pythagoras meninggalkan tanah kelahirannya dan pindah ke Crotona, Italia. Diperkirakan Pythagoras sudah melihat 7 keajaiban dunia (kuno), dimana salah satunya adalah kuil Hera yang terletak di kota kelahirannya. Sekarang, kuil Hera sudah runtuh dan hanya tersisa 1 pilar yang tidak jauh dari kota Pythagorian (namanya dipakai untuk mengenang putra terbaiknya). Menyeberangi selat dan beberapa mil ke utara adalah Turki, terdapat keajaiban lain yaitu: Ephesus. Pythagoras adalah anak Mnesarchus, seorang pedagang yang berasal dari Tyre. Pada usia 18 tahun dia bertemu dengan Thales. Thales, seorang kakek tua, mengenalkan matematika kepada Pythagoras lewat muridnya yang bernama Anaximander, namun yang diakui oleh Pythagoras sebagai guru adalah Pherekydes. Pythagoras meninggalkan Samos pada tahun 518 SM. Tidak lama kemudian dia membuka sekolah di Croton yang menerima murid tanpa membedakan jenis kelamin. Sekolah itu menjadi sangat terkenal bahkan Pythagoras akhirnya menikah dengan salah satu muridnya. Gambaran rinci tentang Pythagoras tidak terlalu jelas. Dikatakan setelah itu, dia pergi ke Delos pada tahun 513 SM untuk merawat penolong sekaligus gurunya, Pherekydes. Pythagoras menetap di sana sampai dia meninggal pada tahun 475 SM. Sepeninggalnya, sekolah Croton berjalan terseok-seok dan banyak konflik internal, tetapi dapat terus berjalan sampai 500 SM sebelum menjadi alat politik. Bagaimana Pythagoras menciptakan kultus terhadap angka? Angka adalah dewa Matematika dan mitos-mitos palsu tentang angka tidak dapat dipisahkan. Setiap angka adalah simbol atau melambangkan sesuatu yang terkait dengan metafisik adalah hal lumrah di Cina. Pythagoras pun tidak luput dari perangkap mitos tentang angka. Dia mengajarkan bahwa: angka satu untuk alasan, angka dua untuk opini, angka tiga untuk potensi, angka empat untuk keadilan, angka lima untuk perkawinan, angka tujuh untuk rahasia agar selalu sehat, angka delapan adalah rahasia perkawinan. Angka genap adalah wanita dan angka ganjil/gasal adalah pria. Berkatilah kami, angka dewa, adalah kutipan dari para pengikut Pythagoras yang memberi perlakuan khusus terhadap angka empat, yang menciptakan dewa-dewa dan manusia, O tetraktys suci yang mengandung akar dan sumber penciptaan yang berasal dari luar manusia.

10 Pemujaan angka seperti layaknya tukang sihir dengan bola kristalnya barangkali di kemudian hari, mendasari para matematikawan setelah Pythagoras. Ucapan Plato Tuhan memahami geometri atau kutipan Galileo Buku terbesar tentang alam ditulis dengan simbol-simbol matematika. Apakah itu termasuk ilmu sihir atau matematika. Yang jelas matematika lebih sulit untuk dipahami. Hubungan matematika dengan musik dekat sekali. Tidaklah mengherankan apabila Pythagoras juga mampu menjadi seorang musisi. Mitos bilangan Pythagoras terkandung lewat keajabiban pentagram. Bentuk segi-lima yang makin lama makin kecil sampai takterhingga. Pythagoras sebagai pemusik Pythagoras juga dikenal sebagai musisi berbakat, seorang pemain lira. Penemuan musik terkait dengan matematika diawali ketika Pythagoras bermain monokord, sebuah kotak dengan bentangan tali-tali di atas salah satu sisinya. Dengan menggerakkan jari naik dan turun pada garis-garis yang sengaja dibuat, Pythagoras mengenali bahwa suara yang dihasilkan dapat diperkirakan. Ketika bagian tengah ditekan, setiap bagian atas tali dan bawah tali menghasilkan nada sama: nada yang tepat 1 oktaf * lebih tinggi dibandingkan apabila monokord tidak ditekan. Dengan membagi monokord dengan nisbah 3/4 dan 2/5, ternyata setiap nisbah menghasilkan nada yang berbeda, merdu atau fals. Baginya, harmoni musik adalah aktivitas matematika. Harmoni dari monokord adalah harmoni matematika dan harmoni alam semesta. Pythagoras menyimpulkan bahwa nisbah tidak hanya berlaku pada musik tetapi juga pada pelbagai jenis keindahan lain. Para pengikut Pythagoras menyimpulkan bahwa nisbah dan proporsi mengendalikan keindahan musik, kecantikan fisik dan keanggunan matematika. Contoh: sebuah tali panjang yang menghasilkan nada C, kemudian 16/15 dari panjang tali C menghasilkan notasi B; 6/5 panjang tali C menghasilkan notasi A, 4/3 panjang tali C menghasilkan notasi G; 3/2 panjang tali C menghasilkan notasi F; 8/5 panjang tali C menghasilkan notasi E; 16/9 panjang tali C menghasilkan notasi D dan 2/1 panjang tali C menghasilkan notasi C rendah. Penelitian tentang suara mencapai puncaknya pada abad 19 setelah John Fourier mampu membuktikan bahwa semua suara instrumental maupun vokal dapat dijabarkan dengan matematika, yaitu jumlah fungsi-fungsi Sinus sederhana. Menurutnya, suara mempunyai 3 kategori pitch, loudness dan quality. Penemuan Fourier ini memungkinkan ketiga kategori tersebut digambar dan dibedakan. Pitch terkait dengan frekuensi kurva, loudness terkait dengan amplitudu dan quality terkait dengan bentuk dari fungsi periodik. Lewat motto Angka adalah dewa, Pythagoras mampu menggalang sejumlah pengikut. Para pengikut Pythagoras (Pythagorean) Pythagoras barangkali dapat disebut sebagai pemikir new ages pada jamannya. Dia juga seorang orator ulung, intelektual terkenal sekaligus guru yang kharismatik. Semua itu membuat banyak orang ingin belajar darinya. Tidaklah

11 mengherankan apabila tidak lama kemudian dia mempunyai banyak pengikut dan disusul dengan mendirikan sekolah. Falsafah dasar yang paling penting bagi Pythagoras adalah: angka. Yunani mewarisi pemahaman tentang angka dari geometrik Mesir. Hasilnya, ahli matematika Yunani tidak dapat membedakan antara bentuk (shapes) dengan bilangan (numbers). Pada saat ini untuk membuktikan theorema matematika biasa digunakan gambar-gambar yang digambar dengan menggunakan sejenis penggaris yang terbuat dari logam atau batu dan kompas. Nisbah-nisbah adalah kunci untuk memahami alam, Pythagorean dan matematikawan lebih modern menghabiskan banyak energi dengan menggali lebih dalam teori-teori mereka. Akhirnya mereka memilah proporsi ke dalam sepuluh kategori berbeda yang disebut dengan titik tengah harmonis (harmonic means). Salah satu dari titik tengah ini mengandung angka paling cantik di dunia: nisbah emas (golden ratio). Tidak ada yang istimewa dari nisbah emas ini, tetapi sesuatu yang terinspirasi oleh nisbah emas tampaknya merupakan obyekobyek yang sangat indah. Bahkan sampai saat ini, artis dan arsitek secara intuitif mengetahui bahwa obyek-obyek yang mengandung nisbah emas nampak artistik. Dan nisbah ini mempengaruhi banyak pekerjaan pada bidang seni dan arsitektur. Parthenon, kuil Athena terbesar, dibangun dengan kaidah nisbah emas ada pada setiap aspek kontruksinya. Dalam pikiran Pythagorean, nisbah mengendalikan alam semesta dan berarti sahih bagi seluruh dunia Barat pula. Cacat pada doktrin Pythagorean Angka nol tidak mendapat tempat dalam kerangka kerja Pythagorean. Angka nol tidak ada atau tidak dikenal dalam kamus Yunani. Menggunakan angka nol dalam suatu nisbah tampaknya melanggar hukum alam. Suatu nisbah menjadi tidak ada artinya karena campur tangan angka nol. Angka nol dibagi suatu angka atau bilangan dapat menghancurkan logika. Nol membuat lubang pada kaidah alam semesta versi Pythagorean, untuk alasan inilah kehadiran angka nol tidak dapat ditolerir. Pythagorean juga tidak dapat memecahkan problem dari konsep matematika bilangan irrasional, yang sebenarnya juga merupakan produk sampingan (by product) rumus: a² + b² = c². Konsep ini juga menyerang sudut pandang mereka, namun dengan semangat persaudaraan tetap dijaga sebagai sebuah rahasia. Rahasia ini harus tetap dijaga jangan sampai bocor atau kultus mereka hancur. Mereka tidak mengetahui bahwa bilangan irrasional adalah bom waktu bagi kerangka berpikir matematikawan Yunani. Nisbah antara dua angka tidak lebih dari membandingkan dua garis dengan panjang berbeda. Anggapan dasar Pythagorean adalah segala sesuatu yang masuk akal dalam alam semesta berkaitan dengan kerapian (neatness), proporsi tanpa cacat atau rasional. Nisbah ditulis dalam bentuk a/b bilangan utuh, seperti: 1, 2 atau 17, dimana b tidak boleh sama dengan nol karena dengan itu akan menimbulkan bencana. Tidak perlu dijelaskan lagi, alam semesta tidak sesuai dengan kaidah tersebut. Banyak angka tidak dapat dinyatakan semudah itu ke dalam nisbah a/b. Kehadiran angka irrasional tidak dapat dihindari lagi adalah konsekuensi matematikawan Yunani. Persegi panjang adalah bentuk paling sederhana dalam geometri, tetapi

12 dibaliknya terkandung bilangan irrasional. Apabila anda membuat garis diagonal pada persegi panjang muncul irrasional, dan kelak besarnya ditentukan oleh akar bilangan. Bilangan irrasional terjadi dan akan selalu terjadi pada semua bentuk geometri. Contoh lain, segi tiga siku-siku dengan panjang kedua sisi adalah satu, dapat dihitung panjang sisi lain dengan rumus Pythagoras, yaitu: v2. Sangatlah sulit menyembunyikan hal ini bagi orang yang paham geometri dan nisbah. Hippasus menyangkal Rahasia ini akhirnya dibocorkan oleh seorang pengikut Pythagorean yang merasa bahwa dia harus mengungkapkan kebenaran. Hippasus adalah matematikawan yang menjadi murid sekaligus pengikut Pythagoras. Hippasus berasal dari Metapontan. Pengungkapan rahasia membuat dia dijatuhi hukuman mati. Cerita tentang bagaimana meninggalnya Hipassus ada berbagai versi. Beberapa mengatakan bahwa Hippasus ditenggelamkan di laut, sebagai konsekuensi menghancurkan teori indah dengan fakta-fakta menyesatkan. Sumber lain menyebutkan bahwa para pengikut Pythagoras mengubur dia hiduphidup. Lainnya menyebutkan bahwa Hippasus, dibuang atau diasingkan dalam ruangan tertutup tanpa pernah bertemu orang lagi. Tanpa usaha mengklarifikasikan mana yang benar, namun yang jelas pengungkapan oleh Hippasus ini mengoncangkan fondasi-fondasi doktrin Pythagoras. Dalam hal ini Pythagorean menanggap bahwa bilangan irrasional hanya sebagai suatu perkecualian. Mereka tidak dapat membuktikan bahwa bilangan irrasional mencemari pandangan mereka tentang alam semesta. Meninggalnya Pythagoras Para pengikut Pythagoras menyatakan bahwa guru mereka meninggal dengan cara yang unik. Beberapa dari mereka menyatakan Pythagoras mogok makan, sebagian lagi menyatakan bahwa dia mengurung dan berdiam diri. Cerita lain menyatakan bahwa konon rumahnya dibakar oleh para musuhnya (mereka yang merasa tersingkirkan oleh kehadiran Pythagoras di tempat itu). Semua pengikutnya ke luar dari rumah terbakar dan lagi ke segala penjuru untuk menyelamatkan diri. Massa yang membakar rumah itu kemudian membantai para pengikutnya (pythagorean) satu per satu. Persaudaraan sudah dihancurkan. Pythagoras sendiri berusaha melarikan diri tetapi tertangkap dan dipukuli. Dia disuruh berlari di suatu ladang, namun mengatakan bahwa dia lebih baik mati. Kemudian diambil keputusan bersama dan diputuskan: Pythagoras dihukum pancung di muka umum. Meskipun persaudaraan sudah bubar dan pemimpinnya terbunuh, esensi ajaran Pythagoras terus bertahan sampai sekarang. Falsafah Barat banyak dipengaruhi oleh pemikiran Pythagoras seperti halnya doktrin Aristoteles, ternyata mampu bertahan hampir 2 milenium. Angka nol dan bilangan irrasional bertentangan dengan doktrin tersebut, tetapi memberi landasan bagi para matematikawan berikutnya agar memperhatikan angka nol dan bilangan irrasional. *) Oktaf artinya 8 yaitu: nada dari 1(do) sampai 1 (do tinggi) atau dari C sampai C lagi

13 Sumbangsih Penemuan Pythagoras dalam bidang musik dan matematika tetap hidup sampai saat ini. Theorema Pythagoras tetap diajarkan di sekolah-sekolah dan digunakan untuk menghitung jarak suatu sisi segitiga. Sebelum Pythagoras belum ada pembuktian atas asumsi-asumsi. Pythagoras adalah orang pertama yang mencetuskan bahwa aksioma-aksioma, postulat-postulat perlu dijabarkan terlebih dahulu dalam mengembangkan geometri. Manfaat ini, kelak, membuat matematika tetap dapat digunakan sebagai alat bantu dalam melakukan perhitungan terhadap pengamatan terhadap fenomenafenomena alam, setelah melalui pengembangan dan penyempurnaan oleh para matematikawan setelah Pythagoras. Theorema Pythagoras mendasari adanya theorema Fermat (tahun 1620): xn + yn = zn yang baru dapat dibuktikan oleh Sir Andrew Wiles pada tahun Tujuan kehidupan adalah hidup selaras dengan alam ( The goal of life is living in agreement with nature. ) Zeno Matematikawan bengal pencipta banyak paradoks Zeno ( SM) Riwayat Zeno dikenal banyak orang karena namanya tercantum pada halaman pertama buku Parmenides karangan Plato. Diperkirakan bahwa saat itu Zeno berumur 40 tahun, sedang Socrates masih remaja, kisaran usia 20 tahun. Dengan mengetahui bahwa Socrates lahir pada 469 SM, maka diperkirakan Zeno lahir pada tahun 490 SM. Disinyalir bahwa Zeno mempunyai hubungan khusus dengan Parmenides. Catatan Plato menyebutkan adanya gosip bahwa mereka saling jatuh cinta saat Zeno masih muda, dan tulisan Zeno tentang paradoks digunakan untuk melindungi filsafat Parmenides dari para pengkritiknya. Semua catatan itu tidak pernah ada dan cerita itu dituturkan oleh tangan kedua. Tulisan Aristoteles yang terdapat pada Simplicius - terbit ribuan tahun setelah Zeno - digunakan sebagai acuan. Zeno dari Elea, lahir pada awal mulainya perang Persia konflik antara Timur dan Barat. Yunani dapat menaklukkan Persia, tapi semua filsuf Yunani tidak pernah berhasil menaklukkan Zeno. Zeno mengemukakan 6 paradoks, teka-teki yang tidak dapat dipecahkan oleh logika filsuf terkemuka Yunani saat itu. Paradoks yang dilontarkan Zeno membingungkan semua filsuf Yunani, namun tidak seorang pun dapat menemukan kesalahan pada logika Zeno. Paradoks ini menjadi sangat termasyur karena terus mengganggu pemikiran para matematikawan; dan baru dapat dipecahkan hampir 2000 tahun kemudian. Dari enam paradoksnya, yang paling terkenal, adalah paradoks lomba lari Achilles dan kura-kura.

14 Latar belakang Parmenides menolak faham pluralisme dan realitas dalam berbagai macam perubahan: baginya segala sesuatu tidak dapat dibagi, realitas tidak berubah, dan hal-hal yang tampak dan berbeda hanyalah ilusi belaka, sehingga dapat dibantah dengan argumen/alasan. Tidak perlu disangsikan lagi, faham ini mendapat banyak kritikan tajam. Tanggapan terhadap kritik Zeno memicu sesuatu yang lebih nyata, namun mampu memberi dampak mendalam bagi filsafat Yunani bahkan sampai saat ini. Zeno berusaha menunjukkan bahwa suatu kemustahilan diikuti oleh logika dari pandangan Parmenides. Segala sesuatu dapat menjadi sangat kecil atau menjadi sangat besar. Paradoks ini sebagai bukti kontradiksi atau kemustahilan akibat asumsi-asumsi yang (tampak) masuk akal. Apabila dilihat lebih dalam maka paradoks mengarah kepada target spesifik yaitu menyangkut lebih atau kurang: pandangan orang atau aliran pemikiran tertentu. Zeno lewat paradoks - berusaha menyatakan bahwa alam semesta ini tidak berubah dan tidak bergerak. Mencoba menyingkap siapa yang menjadi target serangan Zeno relatif lebih mudah daripada mencoba memecahkan paradoksnya. Tahun kelahiran Zeno, menunjuk bahwa dunia remajanya dipenuhi dengan pandangan Pythagoras ( SM) dan para pengikutnya (pythagorean). Tampaknya doktrin Pythagorean mau diserang Zeno, meskipun dugaan ini masih terlampau dini untuk disebut karena topik ini masih menjadi ajang perdebatan sampai sekarang. Paradoks Zeno mengungkapkan problem-problem yang tidak dapat diselesaikan oleh semua teknik matematika yang tersedia pada saat itu. Penyelesaian paradoks Zeno baru dimulai pada abad 18 (atau lebih awal dari itu). Paradoks itu mampu merangsang otak-otak kreatif matematikawan dan memberi warna pada sejarah perkembangan matematika. Matematikawan hitam Zeno ( SM) dari Alea dan Eudoxus ( SM) dari Cnidus menghadirkan pertentangan dua kubu pemikiran matematika: penghancuran kritikal dan pengembangan kritikal. Pertentangan kedua pemikiran ini layak disebut dengan ajang pertempuran logika antara matematikawan hitam dan matematikawan putih. Duel aliran tidak hanya terjadi pada jaman kuno, matematikawan modern juga mengekor atau menjadi pengikut salah satu idola mereka. Penghancuran kritikal seperti pemikiran Zeno diteruskan oleh Kronecker ( ) dan Brouwer ( ), sedangkan pemikiran Eudoxus diteruskan oleh Weierstrass ( ), Dedekind ( ) dan Cantor ( ). Paradoks Zeno Ada 4 paradoks Zeno yang terkenal, meskipun yang paling terkenal adalah paradoks kedua, perlombaan lari Archilles dan kura-kura.

15 1. Dikhotomi Paradoks ini dikenal sebagai dikhotomi karena selalu terjadi pengulangan pembagian menjadi dua. Gerak adalah tidak dimungkinkan, sebab apapun yang terjadi gerak harus mencapai (titik) tengah terlebih dahulu sebelum mencapai (titik) akhir; tapi sebelum mencapai titik tengah terlebih dahulu mencapai seperempat dan seterusnya, suatu ketakterhinggaan. Jadi, gerak tidak akan pernah ada bahkan pada saat untuk memulainya. 2. Perlombaan lari Achilles dan kura-kura Achilles - kesatria pada perang Troya, mitologi Yunani, berlomba lari dengan kura-kura, tetapi Achilles tidak dapat mengalahkan kura-kura yang berjalan lebih dahulu. Untuk memudahkan penjelasan, maka diberikan ilustrasi dengan menggunakan angka pada paradoks ini. Bayangkan: Achilles berlari dengan kecepatan 1 meter per detik, sedangkan kura-kura selalu berjalan dengan kecepatan setengahnya, ½ meter per detik, namun kura-kura mengawali perlombaan dari ½ jarak yang akan ditempuh (misal: jarak tempuh perlombaan 2 km, maka titik awal/start kura-kura berada pada posisi 1 km, sedang Archilles pada titik 0 km). Kura-kura berjalan begitu Achilles mencapai tempatnya. Begitu Achilles mencapai posisi 1 km, kura-kura berada pada posisi 1,5 km; Achilles mencapai posisi 1,5 km, kura-kura mencapai posisi 1,75; Achilles mencapai posisi 1,75 km, kura-kura mencapai posisi 1,875 km. Pertanyaannya adalah kapan Achilles dapat menyusul kura-kura?. 3. Anak panah Anak panah bergerak (karena dilepaskan dari busur) pada waktu tertentu, diam maupun tidak diam. Apabila waktu tidak dapat dibagi, panah tidak akan bergerak. Apabila waktu kemudian dibagi. Tetapi waktu juga tersusun dari setiap (satuan) saat. Jadi panah tidak dapat bergerak pada suatu saat tertentu, tidak dapat bergerak pula pada waktu. Oleh karena itu anak panah selalu diam. 4. Stadion Paradoks tentang gerakan urutan orang duduk di dalam stadion. Urutan [AAAA] yang diam diperbandingkan dengan urutan bergerak pada tempat duduk stadion dari dua arah yang berlawanan, [BBBB]: urutan orang yang bergerak ke kiri dan [CCCC]: urutan orang duduk yang bergerak ke kanan. Paradoks tentang stadion ini dapat digambarkan sbb.: AAAA: urutan berhenti BBBB: urutan bergerak ke kiri CCCC: urutan bergerak ke kanan Semuanya bergerak dengan kecepatan tetap/sama. Posisi I Posisi II

16 A A A A B B B B C C C C A A A A B B B B C C C C Posisi I: Urutan duduk AAAA, BBBB dan CCC terletak rapi, baris dan kolom sama. Gerakan dimulai, dengan kecepatan sama, urutan BBBB dan urutan CCCC bergerak. Urutan B paling kiri melewati 2 orang: C paling kiri dan A paling kiri. Jarak B paling kiri dengan C paling kiri adalah 2 kali jarak B paling kiri dengan A paling kiri, dengan waktu yang sama. Zeno mempertanyakan mengapa dengan waktu yang sama dan kecepatan sama ada perbedaan jarak yang ditempuh? Pemecahan modern Semua orang tahu bahwa dalam dunia nyata, Achilles pasti dapat menyusul kura-kura, namun dari argumen Zeno, Achilles tidak akan pernah dapat menyusul kura-kura. Para filsuf jaman itu pun tidak mampu membuktikan paradoks tersebut, walaupun mereka tahu bahwa kesimpulan akhirnya adalah salah. Senjata filsuf hanya logika, dan deduksi tidaklah berguna dalam kasus ini. Semua langkah tampaknya masuk akal, dan jika semua prosedur sudah dijalani, bagaimana kesimpulan yang didapat ternyata salah? Mereka terperangah dengan problem tersebut, tetapi tidak memahami akar permasalahan: ketakterhingga (infinite). Hal ini sama dapat terjadi apabila anda membagi sebuah mata uang menjadi 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 dan seterusnya sampai tidak terhingga tetapi hasilnya akhirnya jelas, yaitu: tetap 1 mata uang. Matematikawan modern menyebut fenomena ini dengan istilah limit; angka 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128 dan seterusnya mendekati angka 0 sebagai titik akhir (limit). Angka berurutan dengan pola tertentu sampai tidak mempunyai batas akhir; mereka makin kecil dan bertambah kecil sampai tidak dapat dibedakan lagi. Orang Yunani tidak mampu menangani ketakterhinggaan. Mereka berpikir keras tentang konsep kosong (void) tetapi menolak (angka) 0 sebagai angka. Hal ini pula yang membuat mereka pernah dapat menemukan kalkulus. Dua paradoks tambahan Tidak puas dengan empat paradoks yang dilontarkan. Zeno menambahkan dua paradoks lain yang tidak kalah rumitnya. 5. Paradoks tentang tempat Paradoks ini cukup singkat, sehingga Zeno sulit menjelaskannya. Secara garis besar dapat disederhanakan sbb.: keberadaan segala sesuatu benda (misal: batu) adalah suatu tempat tertentu (misal: meja), sedangkan tempat tertentu itupun (meja) memerlukan suatu tempat (misal: rumah) dan seterusnya sampai ketakterhinggaan.

17 6. Paradoks tentang bulir gandum Apabila anda menjatuhkan sebuah karung berisi gandum yang belum dikupas kulitnya akan terdengar suara keras; tetapi suara itu adalah akibat gesekan bulirbulir gandum dalam karung; akibatnya setiap bagian dari bulir-bulir gandum menimbulkan suara saat jatuh ke tanah. Kemudian pertimbangkanlah menjatuhkan setiap bagian dari bulir gandum itu; kita semua tahu bahwa tidak ada suara yang terdengar. Zeno boleh mati, tetapi paradok tetap hidup Karena kecerdikan sendiri, Zeno akhirnya menghadapi problem serius. Sekitar tahun 435 SM, dia bersekongkol untuk mengulingkan tirani Elea saat itu, Nearhus. Zeno membantu menyelundupkan senjata dan mendukung pemberontakan. Sialnya, Nearchus mengetahui skenario itu, dan Zeno akhirnya ditangkap. Berharap dapat mengungkap konspirasi itu, Zeno disiksa. Tidak tahan oleh siksaan, Zeno menyuruh para penyiksanya untuk menghentikan siksaan dan dia berjanji akan menyebutkan nama rekan-rekannya. Ketika Nearchus mendekat, Zeno meminta agar tiran itu lebih mendekat lagi karena dia akan menyebutkan nama-nama komplotan rahasia itu langsung di telinga Nearchus. Setelah telinga ada dalam jangkauan, tiba-tiba Zeno menggigit telinga Nearchus. Nearchus menjerit-jerit kesakitan, namun Zeno menolak untuk melepaskan gigitannya. Para penyiksanya hanya dapat melepaskan gigitan Zeno dengan jalan menusuk mati Zeno. Ini adalah akhir hayat, pencipta paradoks atau guru ketakterhinggaan. Sumbangsih Jasa Zeno paling besar adalah pengaruhnya bagi filsafat. Sasaran tembak Zeno adalah pluraliti dan gerak sesuatu ditanamkan pada opini-opini geometrikal yang lazim dikenal selain akal sehat, menyerang doktrin-doktrin Pythagorean, ternyata mampu memberi inspirasi para teori relativitas (paradoks keempat) dan fisika quantum. Kenyataannya ruang dan waktu bukanlah struktur matematika utuh (continuum). Alasan bahwa ada cara untuk melestarikan realitas gerak mengingkari bahwa ruang dan waktu terbentuk dari titik-titik dan saat-saat. Paradoks ini sangat terkenal, terutama paradoks Archilles dan kura-kura, kelak dipecahkan oleh Cantor. Hampir seluruh buku matematika mencantumkan nama Zeno pada indeksnya. Paradoks tidak hanya merupakan pertanyaan terhadap matematika abstrak tetapi juga pada realitas fisik. Memperkecil skala seperti halnya paradoks bulir gandum, sampai tidak dapat dibagi memicu orang membedah suatu benda sampai tingkat atom. Archytas ( SM) Setelah Pythagoras meninggal, tidak ada lagi peninggalan tersisa dalam bentuk karya-karya tertulis, namun ide-ide besar dibawa oleh para murid-muridnya.

18 Mereka yang lolos dari pembantaian membawa doktrin-doktrin ajaran tersebut ke bagian wilayah lain Yunani. Salah seorang pengungsi ini adalah Philolaus dari Tarentum. Fanatisme para pengikut Pythagoras (Pythagorean) ditularkan oleh Philolaus lewat bentuk tetractyis (segi lima), sama seperti ajaran Pythagoras tentang kosmologi. Gambar: segi lima Pandangan ini disebut dengan Philolean, kemudian dimodifikasi oleh pengikutnya: Ecphantus dan Hicetas yang mencetuskan geosentris (pandangan bahwa bumi sebagai pusat alam semesta). Dan yang paling ekstrim dari modifikasi Philolean dilakukan oleh Archytas, murid Philolaus. Archytas melanjutkan tradisi Pythagorean dengan menempatkan aritmatika di atas geometri, tetapi dia tidak lagi terlalu antusias terhadap angka. Angka tidak lagi dianggap religius dan mistikal dibandingkan dengan gurunya. Dia menulis aplikasi aritmatika, geometri dan musik. Pernyataan paling penting dari Archytas adalah nisbah dua bilangan n : (n+1), disebutkan bahwa hasilnya bukanlah integer tetapi titik geometri. Archytas lebih banyak berkutat di bidang musik dibandingkan dengan para pendahulunya. Kurikulum Archytas Archytas menempatkan posisi matematika sebagai kurikulum pendidikan dengan membagi menjadi 4 kelompok, yaitu: - Aritmatika - Geometri - Musik - Astronomi Digabungkan dengan 3 obyek yang terus dipelajari dari Aristoteles hingga Zeno, yaitu: - Tata bahasa - Retorik (keahlian berpidato) - Dialektik (terkait dengan dialek) Tiga-dimensi versi Archytas Hal lain tentang Archytas adalah memberikan solusi tiga-dimensi yang dalam bahasa modern disebut dengan geometri analitik, notasi akar yang digunakan untuk menuntaskan keterbatasan rumus Pythagoras. Solusi tiga-dimensi Archytas digunakan untuk menyelesaikan problem Delian yang barangkali mudah untuk diuraikan tetapi lebih sering disebut mendahului jamannya. Misal: a adalah sisi sebuah kubus, dan titik (a, 0, 0) adalah titik pusat bidang yang saling bersilangan secara tegak lurus dengan lingkaran berjari-jari a terletak didalamnya yang tegak lurus dengan koordinat. Persamaan dengan tiga sisi x² = y² + z² dan 2 ax = x² + y² dan (x² + y² + z²)² = 4a²(x² + y²). Ketiga bidang saling bersinggungan/berpotongan pada sumbu x pada titik a ³ 12; merupakan, panjang potongan garis pada kubus. Prestasi Archytas lebih impresif saat kita

19 melihat bahwa solusi yang diberikan tanpa menggunakan bantuan sistem koordinat. Sumbangsih Solusi tiga-dimensi dari Archytas mampu memberi gambaran awal tentang terjadinya sistem ordinat dan absis (Kartesian), meskipun di sini sudah membahas tiga-dimensi yang dapat dikatakan sebagai non-euclidian. Pada masa Euclidian dianggap salah, namun dengan tampilnya non-euclidian makin lengkaplah [peralatan] matematika agar mempunyai kemampuan menyelesaikan problem-problem yang dihadapi sehari-hari. Kelak sistem ini dikembangkan lebih jauh oleh Lobachevsky, Bolyai, Riemann dan menjadi dasar teori relativitas dari Einstein, karena ternyata Euclidian sudah tidak mampu lagi digunakan untuk menggambarkan fenomena yang terjadi. Memasukkan musik dalam kurikulum dapat disebut salah satu jasanya, sekaligus menjadi bukti bahwa musik tidak jauh berbeda dengan matematika. Eudoxus ( SM) Riwayat Eudoxus adalah anak Arsghnes lahir di Cnidus, Asia kecil (sekarang Turki). Dia pergi ke Tarentum, Italia untuk belajar pada Archytas *. Archytas adalah salah seorang pengikut Pythagoras (pythagorean). Problem menggandakan kubus (problem klasik) yang menyihir Archytas juga menarik hati Eudoxus, selain mempelajari teori angka dan teori musik. Bosan menetap di satu tempat, Eudoxus pergi ke Sisilia, dan belajar obat-obatan pada Philiston, sebelum menuju Athena bersama-sama dengan fisikawan masa itu, Theomedon. Selama 2 bulan di Athena, Eudoxus secara teratur mengikuti kuliah Plato dan filsuf-filsuf lain pada akademi Plato. Tidak lama meninggalkan Athena, dia menghabiskan beberapa tahun di Mesir untuk belajar astronomi pada pendeta-pendeta Heliopolis. Tidak betah, dia pulang ke tanah kelahirannya, Cyzidus di bagian barat laut Asia kecil, selatan laut Maruma. Di sini dia mendirikan sekolah yang sangat terkenal dan mempunyai banyak pengikut. Tahun 368, Eudoxus berkunjung kembali ke Athena bersama beberapa pengikutnya. Hubungan dengan Plato Eudoxus adalah teman sekaligus murid Plato. Eudoxus memperluas jangkauan menghitung luas bentuk-bentuk geometri dengan menggunakan pertambahan angka-angka yang sangat kecil (infitesimal). Dia terlalu miskin untuk belajar di akademi Athena, sehingga di tinggal di Piraeus, dan setiap hari dia berangkat ke akademi Plato.** Meskipun Plato bukan seorang matematikawan, Plato mencoba menekuni matematika atas dorongan murid berbakatnya ini, Eudoxus. Eudoxus menjelajah Mesir dan Yunani untuk belajar Geometri. Eudoxus menemukan metode makin lama makin kecil, untuk menghitung luas bentuk-