Sebuah Pengantar Populer Karangan Jujun S. Sumantri Tentang Matematika Dan Statistika

Transkripsi

1 Sebuah Pengantar Populer Karangan Jujun S. Sumantri Tentang Matematika Dan Statistika A. MATEMATIKA Matematika Sebagai Bahasa Untuk mengatasi kekurangan yang terdapat pada bahasa maka kita berpaling kepada matematika. Dalam hal ini dapat kita katakan bahwa matematika adalah bahasa yang berusaha untuk menghilangkan sifat kubur, majemuk dan emosional dari bahasa verbal. Lambang-lambang dari matematika dibuat secara artifisal dan individual yang merupakan perjanjian yang berlaku khusus untuk masalah yang sedang kita kaji. Pernyataan matematika mempunyai sifat yang jelas, spesifik dan informatif dengan tidak menimbulkan konotasi yang bersifat emosional. Sifat Kuantitatif dari Matematika Matematika mempunyai kelebihan lain dibandingkan dengan bahasa verbal. Matematika mengembangkan bahasa numerik yang memungkinkan kita untuk melakukan pengukuran secara kuantitatif. Bahasa verbal hanya mampu mengemukakan pernyataan yang bersifat kualitatif. Demikian juga maka penjelasan dan ramalan yang diberikan oleh ilmu dalam bahasa verbal semuanya bersifat kualitatif. Untuk mengatasi masalah ini, matematika mengembangkan konsep pengukuran. Lewat pengukuran, maka kita dapat mengetahui dengan tepat berapa panjang suatu benda dan pertambahan panjang suatu benda. Sifat kuantitatif dari matematika meningkatkan daya prediktif dan kontrol dari ilmu. Ilmu memberikan jawaban yang lebih bersifat eksak yang memungkinkan pemecahan masalah secara lebih tepat dan cermat. Matematika memungkinkan ilmu mengalami perkembangan dari tahap kualitatif ke kuantitatif. Matematika: Sarana Berfikir Deduktif Berfikir deduktif adalah proses pengambilan kesimpulan yang didasarkan kepada premis-premis yang kebenarannya telah ditentukan. Matematika menemukan pengetahuan yang baru berdasarkan premis-premis tertentu. Pengetahuan yang ditemukan ini sebenarnya hanyalah merupakan konsekuensi dari pernyataanpernyataan ilmiah yang telah kita temukan sebelumnya. Dari beberapa premis yang telah diketahui kebenarannya dapat ditemukan pengetahuan-pengetahuan lainnya yang memperkaya perbendaharaan ilmiah kita.

2 Perkembangan Matematika Ditinjau dari perkembangan nya maka ilmu dapat dibagi dalam tiga tahap yakni tahap sistematika, komparatif, dan kuantitatif. Pada tahap sistematika maka ilmu mulai menggolong-golongkan obyek empiris ke dalam kategori-kategori tertentu. Penggolongan ini memungkinkan kita untuk menemukan ciri-ciri yang bersifat umum dari anggota-anggota yang menjadi kelompok tertentu. Ciri-ciri yang bersifat umum ini merupakan pengetahuan bagi manusia dalam mengenali dunia fisik. Dalam tahapan komparatif, kita mulai melakukan perbandingan antara obyek yang satu dengan obyek yang lain, kategori satu dengan kategori lain, dan seterusnya. Pada tahapan kuantitatif, kita mencari hubungan sebab akibat berdasarkan pengukuran yang eksak dari obyek yang sedang kita selidiki. Bahasa verbal berfungsi dengan baik dalam kedua tahapan akan tetapi pada tahap ketiga maka pengetahuan membutuhkan matematika. Lambang-lambang matematika bukan saja jelas, namun juga eksak dengan mengandung informasi tentang obyek tertentu dalam dimensidimensi pengukuran. Disamping sebagai bahasa, matematika juga berfungsi sebagai alat berfikir. Menurut Wittgenstein, matematika tak lain adalah metode berfikir logis. Logika berkembang menjadi matematika, seperti disimpulkan oleh Bertrand Russell, matematika adalah masa kedewasaan logika, sedangkan logika adalah masa kecil matematika. Bertrand Russell dan Whitehead mencoba membuktikan bahwa dalildalil matematika pada dasarnya adalah pernyataan logika meskipun tidak seluruhnya berhasil. Pierre de Fermat ( ) menyatakan bahwa x n + y n = z n dengan x, y, z, dan n adalah bilangan bulat positif yang tidak mempunyai jawaban bila n = 2. Dengan kata lain, hanya bilangan 1 dan 2 yang memenuhi persyaratan ini seperti = 7 1 (penjumlahan biasa) dan = 5 2. Akan tetapi Fermat tidak menyertakan pembuktian rumus tersebut yang sampai sekarang tetap merupakan tantangan bagi logika deduktif meskipun secara mudah dapat didemonstrasikan kebenarannya. Immanuel Kant ( ) berpendapat bahwa matematika merupakan pengetahuan sintetik a priori dimana eksistensi matematika tergantung pada dunia pengalaman kita. Menurut Wittgenstein, sebuah pernyataan matematika tidaklah mengekspresikan produk pikiran (tentang obyek yang faktual). Disamping sarana berfikir deduktif yang merupakan aspek estetik, matematika juga merupakan kegunaan praktis dalam kehidupan sehari-hari. Matematika dalam hubungannya dengan komunikasi ilmiah mempunyai peranan ganda, kata Fehr yakni sebagai ratu sekaligus pelayanan ilmu, sebagai ratu, matematika merupakan bentuk tertinggi dari logika, sedangkan sebagai pelayan matematika memberikan bukan saja system pengorganisasian ilmu yang bersifat logis, namun juga pernyataan dalam bentuk model matematika. Menurut Morris Kline, matematika sebagai bahasa mempunyai ciri-ciri bersifat ekonimis dengan kata-kata. Matematika juga tidak bersifat tunggal seperti logika, melainkan bersifat jamak.

3 Beberapa Aliran dalam Filsafat Matematika Immanuel Kant ( ) dari aliran logistik berpendapat bahwa matematika merupakan cara berfikir logis yang salah atau benarnya dapat ditentukan tanpa mempelajari dunia empiris. Aliran intuisionis yang dipelopori oleh Jan Brouwer ( ) menyatakan bahwa intuisi murni dari berhitung merupakan titik tolak tentang matematika bilangan. Hakikat sebuah bilangan harus dapat dibentuk melalui kegiatan intuitif dalam berhitung (counting) dan menghitung (calculating). Aliran ketiga yang dipelopori oleh David Hilbert ( ) yang terkenal dengan sebutan kaum formalis. Kaum formalis menyatakan bahwa konsep matematika dapat direduksikan menjadi konsep logika. Banyak masalah-masalah dalam bidang logika yang sama sekali tidak ada hubungannya dengan matematika, matematika merupakan pengetahuan tentang struktur formal dari lambing. Kaum formalis menekankan pada aspek formal dari matematika sebagai bahasa perlambang (sign-language) dan mengusahakan konsistensi dalam penggunaan matematika sebagai bahasa lambang. Matematika dan Peradaban Sekitar 3500 SM bangsa Mesir Kuno telah mempunya simbol yang melambangkan angka-angka. Para pendeta mereka merupakan ahli matematika yang pertama, yang melakukan pengukuran pasang surutnya Sungai Nil dan meramal timbulnya banjir, seperti apa yang sekarang kita lakukan di abad ke dua puluh dikota metropolitan Jakarta. Bedanya pengetahuan tentang matematika pada waktu itu dianggap keramat. Para pendeta dengan sengaja menyembunyikan pengetahuan tentang matematika untuk mempertahankan kekuasaan mereka. Matematika makin lama makin bersifat abstrak dan esoterik yang makin jauh dari tangkapan orang awam; magis dan misterius seperti mantera-mantera pendeta Mesir Kuno. Bagi bidang keilmuan modern, matematika adalah sesuatu yang imperatif: sebuah sarana untuk meningkatkan kemampuan penalaran deduktif.

4 B. STATISTIKA Sekitar tahun 1645, seorang ahli matematika amatir, Chevalier de Mere, mengajukan permasalahan mengenai perjudian kepada seorang ahli matematika Prancis Blaise Pascal ( ). Pascal tertarik dengan permasalahan yang berlatar belakang teori ini dan kemudian mengadakan korespondensi dengan ahli matematika Prancis lainnya Pierre de Fermat ( ) dan keduanya mengembangkan cikal bakal teori peluang. Pendeta Thomas Bayes pada tahun 1763 mengembangkan teori peluang subyektif berdasarkan kepercayaan seseorang akan terjadi suatu kejadian. Teori ini berkembang menjadi cabang khusus dalam statistika sebagai pelengkap teori peluang yang bersifat obyektif. Peluang yang merupakan dasar dari teori statistika, merupakan konsep baru yang tidak dikenal dalam pemikiran Yunani Kuno, Romawi, dan bahkan Eropa dalam abad pertengahan. Teori mengenai kombinasi bilangan sudah terdapat dalam aljabar yang dikembangkan oleh sarjana Muslim namun bukan dalam lingkup teori peluang. Demikianlah, statistika yang relatif sangat muda dibandingkan dengan matematika, berkembang dengan sangat cepat terutama dalam dasawarsa lima puluh tahun belakangan ini. Penelitian ilmiah, baik yang berupa survey maupun eksperimen, dilakukan dengan lebih cermat dan teliti mempergunakan teknik-teknik statistika yang dikembangkan sesuai kebutuhan. Statistika dan Cara Berfikir Induktif Ilmu secara sederhana dapat didefinisikan sebagai pengetahuan yang telah teruji kebenarannya. Semua pernyataan ilmiah adalah bersifat faktual, dimana konsekuensinya dapat diuji baik dengan jalan menggunakan pancaindera maupun dengan alat-alat yang membantu pancaindera tersebut. Pengujian merupakan suatu proses pengumpulan fakta yang relevan dengan hipotesis yang diajukan yang didukung oleh fakta-fakta empiris maka pernyataan hipotesis tersebut diterima atau disahkan kebenarannya. Sebaliknya jika hipotesis tersebut bertentangan dengan kenyataan maka hipotesis itu ditolak. Pengujian mengharuskan untuk menarik kesimpulan yang bersifat umum dari kasus-kasus yang bersifat individual. Jadi dalam hal ini kita menarik kesimpulan berdasarkan logika induktif. Penyusunan hipotesis merupakan penarikan kesimpulan yang bersifat khas dari pernyataan yang bersifat umum dengan menggunakan deduksi. Kedua penarikan kesimpulan ini tidak sama dan tidak boleh disatukan. Logika deduktif berpaling kepada matematika sebagai sarana penalaran penarikan kesimpulan sedangkan logika induktif berpaling kepada statistika. Statistika merupakan pengetahuan untuk melakukan penarikan kesimpulan induktif secara lebih seksama. Penalaran deduktif maka kesimpulan yang ditarik adalah benar sekiranya premis yang digunakan adalah benar dan prosedur penarikan kesimpulan nya adalah sah. Sedangkan dalam penalaran induktif, meskipun premis-premisnya adalah benar dan prosedur penarikan kesimpulannya adalah sah, maka kesimpulan itu belum tentu benar. Statistika merupakan pengetahuan yang memungkinkan kita untuk menghitung tingkat peluan ini dengan eksak.

5 Statistika mampu memberikan secara kuantitatif tingkat ketelitian dari kesimpulan yang ditarik tersebut, yang didasarkan pada asas yang sangat sederhana, yakni makin besar contoh yang diambil maka makin tinggi pula tingkat ketelitian kesimpulan tersebut. Sebaliknya makin sedikit contoh yang diambil maka makin rendah pula tingkat ketelitiannya. Statistika juga memberikan kemampuan kepada kita untuk mengetahui apakah suatu hubungan kausalita antara dua faktor atau lebih bersifat kebetulan atau memang benar terkait dalam hubungan yang bersifat empiris. Logika lebih banyak dihubungkan dengan matematika dan jarang dihubungkan dengan statistika, padahal hanya logika deduktif yang berkaitan dengan matematika sedangkan logika induktif justru berkaitan dengan statistika. Secara hakiki statistika mempunyai kedudukan yang sama dalam penarikan kesimpulan induktif seperti matematika dalam penarikan kesimpulan secara deduktif. Kedua penarikan kesimpulan tersebut mempunyai kedudukan yang sama dalam penelaahan keilmuan. Jika terlalu mementingkan logika deduktif maka kita terjatuh kembali kepada paham rasionalisme, sebaliknya dipihak lain, jika kita terlalu mementingkan logika induktif maka kita mundur kembali kepada empirisme. Karakteristik Berfikir Induktif Logika induktif tidak memberikan kepastian namun sekedar tingkat peluang bahwa untuk premis-premis tertentu dapat ditarik. Statistika merupakan pengetahuan yang memungkinkan kita untuk menarik kesimpulan secara induktif berdasarkan peluang. Dasar dari teori statistika dalah teori peluang. Teori peluang merupakan cabang dari matematika sedangkan statistika merupakan disiplin tersendiri. Menurut bidang pengkajiannya statistika dapat dibedakan menjadi statistika teoritis dan statistika terapan. Statistika teoritis merupakan pengetahuan yang mengkaji dasar-dasar teori statistika, dimulai dari teori penarikan contoh, distribusi, penaksiran dan peluang. Statistika terapan merupakan penggunaan statistika teroitis yang disesuaikan dengan bidang tempat penerapannya. Kegiatan ilmiah memerlukan penelitian untuk menguji hipotesis yang diajukan. Penelitian pada dasarnya merupakan pengamatan dalam alam empiris apakah hipotesis tersebut memang didukung oleh fakta-fakta. Berfikir logis secara deduktif sering kali dikacaukan dengan berpikir logis secara induktif. Kekacauan logika inilah yang menyebabkan kurang berkembangnya ilmu di negara kita. Untuk mempercepat perkembangan kegiatan keilmuan di negara kita maka penguasaan berpikir induktif dengan statistika sebagai alat berfikir harus mendapatkan perhatian yang sungguhsungguh. Statistika sebagai suatu disiplin keilmuan sering dikacaukan dengan statistika yang berupa data yang dikumpulkan. Salah paham ini harus segera dihilangkan agar siklus berfikir ilmiah dapat dilakukan dengan lengkap.