BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN

Transkripsi

1 Kode IS. C W B 0 o B BGIN PROYEK PENGEMBNGN KURIKULUM DIREKTORT PENDIDIKN MENENGH KEJURUN DIREKTORT JENDERL PENDIDIKN DSR DN MENENGH DEPRTEMEN PENDIDIKN NSIONL 004

2 Kode IS. Penusun Drs. Supardiono, M.Si. Editor: Dr. Budi Jatmiko, M.Pd. Drs. Munasir, M.Si. BGIN PROYEK PENGEMBNGN KURIKULUM DIREKTORT PENDIDIKN MENENGH KEJURUN DIREKTORT JENDERL PENDIDIKN DSR DN MENEGH DEPRTEMEN PENDIDIKN NSIONL 004 Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar ii

3 Kata Pengantar Puji sukur kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas karunia dan hidaah-na, kami dapat menusun bahan ajar modul manual untuk SMK Bidang daptif, akni mata-pelajaran isika, Kimia dan Matematika. Modul ang disusun ini menggunakan pendekatan pembelajaran berdasarkan kompetensi, sebagai konsekuensi logis dari Kurikulum SMK Edisi 004 ang menggunakan pendekatan kompetensi (CBT: Competenc Based Training). Sumber dan bahan ajar pokok Kurikulum SMK Edisi 004 adalah modul, baik modul manual maupun interaktif dengan mengacu pada Standar Kompetensi Nasional (SKN) atau standarisasi pada dunia kerja dan industri. Dengan modul ini, diharapkan digunakan sebagai sumber belajar pokok oleh peserta diklat untuk mencapai kompetensi kerja standar ang diharapkan dunia kerja dan industri. Modul ini disusun melalui beberapa tahapan proses, akni mulai dari peniapan materi modul, penusunan naskah secara tertulis, kemudian disetting dengan bantuan alat-alat komputer, serta divalidasi dan diujicobakan empirik secara terbatas. Validasi dilakukan dengan teknik telaah ahli (epertjudgment), sementara ujicoba empirik dilakukan pada beberapa peserta diklat SMK. Harapanna, modul ang telah disusun ini merupakan bahan dan sumber belajar ang berbobot untuk membekali peserta diklat kompetensi kerja ang diharapkan. Namun demikian, karena dinamika perubahan sain dan teknologi di industri begitu cepat terjadi, maka modul ini masih akan selalu dimintakan masukan untuk bahan perbaikan atau direvisi agar supaa selalu relevan dengan kondisi lapangan. Pekerjaan berat ini dapat terselesaikan, tentu dengan banakna dukungan dan bantuan dari berbagai pihak ang perlu diberikan penghargaan dan ucapan terima kasih. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini tidak Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar iii

4 berlebihan bilamana disampaikan rasa terima kasih dan penghargaan ang sebesar-besarna kepada berbagai pihak, terutama tim penusun modul (penulis, editor, tenaga komputerisasi modul, tenaga ahli desain grafis) atas dedikasi, pengorbanan waktu, tenaga, dan pikiran untuk menelesaikan penusunan modul ini. Kami mengharapkan saran dan kritik dari para pakar di bidang psikologi, praktisi dunia usaha dan industri, dan pakar akademik sebagai bahan untuk melakukan peningkatan kualitas modul. Diharapkan para pemakai berpegang pada azas keterlaksanaan, kesesuaian dan fleksibilitas, dengan mengacu pada perkembangan IPTEK pada dunia usaha dan industri dan potensi SMK dan dukungan dunia usaha industri dalam rangka membekali kompetensi ang terstandar pada peserta diklat. Demikian, semoga modul ini dapat bermanfaat bagi kita semua, khususna peserta diklat SMK Bidang daptif untuk mata-pelajaran Matematika, isika, Kimia, atau praktisi ang sedang mengembangkan modul pembelajaran untuk SMK. Jakarta, Desember 004 a.n. Direktur Jenderal Pendidikan Dasar dan Menengah Direktur Pendidikan Menengah Kejuruan, Dr. Ir. Gatot Hari Priowirjanto, M.Sc. NIP Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar iv

5 DTR ISI Halaman Sampul... i Halaman rancis... ii Kata Pengantar... iii Daftar Isi... v Peta Kedudukan Modul... vii Daftar Judul Modul... viii Glosar... i I. PENDHULUN a. Deskripsi... b. Prasarat... c. Petunjuk Penggunaan Modul... d. Tujuan khir... e. Kompetensi... 4 f. Cek Kemampuan... 5 II. PEMELJRN. Rencana Belajar Peserta Diklat... 8 B. Kegiatan Belajar III. EVLUSI. Kegiatan Belajar... 9 a. Tujuan Kegiatan Pemelajaran... 9 b. Uraian Materi... 0 c. Rangkuman... 4 d. Tugas e. Tes ormatif f. Kunci Jawaban... 5 g. Lembar Kerja Tes Tertulis B. Tes Praktik Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar v

6 KUNCI JWBN. Tes Tertulis B. Lembar Penilaian Tes Praktik IV. PENUTUP... 6 DTR PUSTK Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar vi

7 Peta Kedudukan Modul.IS.0.IS.0.IS.0.IS.0.IS..IS..IS.04.IS.05.IS.06.IS.07.IS.08.IS.09.IS..IS.8.IS.9.IS.4.IS.5.IS.6.IS.7.IS.0.IS..IS..IS..IS.4.IS.7.IS.5.IS.6.IS.8 Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar vii

8 DTR JUDUL MODUL No. Kode Modul Judul Modul.IS.0 Sistem Satuan dan Pengukuran.IS.0 Pembacaan Masalah Mekanik.IS.0 Pembacaan Besaran Listrik 4.IS.04 Pengukuran Gaa dan Tekanan 5.IS.05 Gerak Lurus 6.IS.06 Gerak Melingkar 7.IS.07 Hukum Newton 8.IS.08 Momentum dan Tumbukan 9.IS.09 Usaha, Energi, dan Daa 0.IS.0 Energi Kinetik dan Energi Potensial.IS. Sifat Mekanik Zat.IS. Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar.IS. luida Statis 4.IS.4 luida Dinamis 5.IS.5 Getaran dan Gelombang 6.IS.6 Suhu dan Kalor 7.IS.7 Termodinamika 8.IS.8 Lensa dan Cermin 9.IS.9 Optik dan plikasina 0.IS.0 Listrik Statis.IS. Listrik Dinamis.IS. rus Bolak-Balik.IS. Transformator 4.IS.4 Kemagnetan dan Induksi Elektromagnetik 5.IS.5 Semikonduktor 6.IS.6 Piranti semikonduktor (Dioda dan Transistor) 7.IS.7 Radioaktif dan Sinar Katoda 8.IS.8 Pengertian dan Cara Kerja Bahan Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar viii

9 Glossar ISTILH Keseimbangan Statik Partikel Benda tegar Momen (momen gaa) Lengan momen Kopel Momen kopel Titik berat KETERNGN Suatu keadaan di mana benda tidak bergerak, baik rotasi maupun translasi. Benda ang ukuranna dapat diabaikan, sehingga dapat digambarkan sebagai suatu titik materi. Benda ang tidak berubah bentukna bila dikenai gaa luar. Suatu besaran ang menatakan kecenderungan suatu gaa untuk merotasi suatu benda terhadap porosna. Panjang garis ang ditarik dari titik poros rotasi sampai memotong tegak lurus garis kerja gaa. Dua buah gaa sama besar, berlawanan arah, dan memiliki garis kerja ang sejajar, tetapi tidak berimpit, serta dapat menebabkan benda berotasi dan tidak bertranslasi. Momen ang dihasilkan oleh kopel. Titik ang terhadapna gaa-gaa berat bekerja pada semua partikel benda itu sehingga menghasilkan momen resultan nol. Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar i

10 BB I. PENDHULUN. Deskripsi Dalam modul ini akan dipelajari tentang momen gaa, momen kopel, koordinat titik tangkap gaa resultan, momen inersia, momentum anguler sebagai dasar untuk mempelajari tentang dinamika rotasi dan translasi. Pokok bahasan ang utama adalah berkaitan dengan keseimbangan benda tegar. Pembahasanna diawali dengan keseimbangan partikel, aitu benda tegar dipandang sebagai titik partikel. Kemudian dilanjutkan dengan bahasan titik berat benda tegar. Setiap materi dijelaskan dengan teori singkat dan disertai contoh soal. Sebelum mempelajari materi keseimbangan benda tegar anda harus menguasai materi dinamika translasi dan rotasi. B. Prasarat gar dapat mempelajari modul ini anda harus telah menguasai materi dinamika translasi dan rotasi. nda dituntut juga untuk menguasai hukum-hukum Newton tentang gerak, dapat menggambarkan gaa-gaa reaksi antara dua benda ang berinteraksi. C. Petunjuk Penggunaan Modul Pelajari daftar isi modul serta skema kedudukan modul dengan cermat dan teliti, karena dalam skema modul akan tampak kedudukan modul ang sedang nda pelajari ini di antara modulmodul ang lain. Kerjakan pertanaan dan soal dalam cek kemampuan sebelum mempelajari modul ini. Jika nda mengalami kesulitan, pelajari materi dan contoh soal. Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar

11 Pahami setiap materi teori dasar ang akan menunjang penguasaan suatu pekerjaan dengan membaca secara teliti. Kerjakan evaluasi atau tugas di akhir materi sebagai sarana latihan, apabila perlu dapat anda konsultasikan pada guru. Kerjakan tes formatif dengan baik, benar dan jujur sesuai dengan kemampuan anda, setelah mempelajari modul ini. Catatlah kesulitan ang anda dapatkan dalam modul ini untuk ditanakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka. Bacalah referrensi lain ang berhubungan dengan materi modul agar nda mendapatkan pengetahuan tambahan. D. Tujuan khir Setelah mempelajari modul ini, diharapkan anda dapat: Menjelaskan pengertian momen gaa. Menjelaskan pengertian momentum sudut. Menjelaskan kaitan momentum sudut dengan momen gaa. Mengaplikasikan hukum kekekalan momentum sudut pada sistem ang berotasi. Mengaplikasikan hukum II Newton untuk gerak translasi dan rotasi benda tegar. Menjelaskan pengertian momen inersia. Menghitung momen gaa dari gaa-gaa ang bekerja pada suatu benda tegar. Menatakan sarat ang diperlukan agar keseimbangan statis sistem partikel dapat terjadi. Menggunakan sarat keseimbangan statis sistem partikel untuk menelesaikan soal-soal. Menatakan sarat ang diperlukan agar keseimbangan statis sistem benda tegar dapat terjadi Menggunakan sarat keseimbangan statis sistem benda tegar untuk menelesaikan soal-soal Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar

12 Menghitung gaa reaksi pada batang ang ditumpu. Menatakan persamaan untuk menentukan koordinat pusat berat suatu benda. Menentukan koordinat pusat berat suatu benda. Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar

13 E. Kompetensi Kompetensi : KESEIMBNGN BEND TEGR Program Keahlian : Program daptif Mata Diklat-Kode : ISIK-IS. Durasi Pembelajaran : 5 4 menit SUB KOMPETENSI KRITERI KINERJ LINGKUP BELJR. Menjelaskan gerak translasi, rotasi dan keseimbangan benda tegar. Peristiwa translasi dan rotasi benda tegar dijelaskan menggunakan hukum Newton. Berbagai gerak benda tegar digunakan konsep momentum anguler. Koordinat titik berat suatu benda ditentukan secara matematik. Materi kompetensi ini membahas tentang: - Momen gaa - Sarat keseimbangan. MTERI POKOK PEMBELJRN SIKP PENGETHUN KETERMPILN Teliti dalam menghitung momen gaa pada benda tegar Teliti dalam menghitung gaa reaksi pada batang ang ditumpu Pengertian momen gaa Momentum anguler Translasi dan rotasi benda tegar Titik pusat massa Keseimbangan benda tegar Menghitung momen gaa pada benda tegar Menghitung gaa reaksi pada batang ang ditumpu Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 4

14 . Cek Kemampuan Kerjakanlah soal-soal berikut ini, jika anda dapat mengerjakan sebagian atau semua soal berikut ini, maka anda dapat meminta langsung kepada instruktur atau guru untuk mengerjakan soal-soal evaluasi untuk materi ang telah anda kuasai pada BB III.. Jelaskan ang dimaksud dengan keseimbangan statik dan keseimbangan dinamik! Berikan sarat cukup untuk dua kesetimbangan tersebut.. pa ang membedakan antara usaha dan momen gaa, di mana kedua besaran tersebut didefinisikan sebagai hasil kali gaa dan jarak. Jika momen resultan terhadap suatu titik sama dengan nol, apakah momen resultan juga akan nol untuk titik lainna Beri penjelasan anda. 4. Dalam pernataan momen gaa r, apakah r sama dengan lengan momen Jelaskan jawaban anda dan berikan definisi tentang lengan momen. 5. pakah suatu benda dapat memiliki lebih dari satu momen inersia Selain dari bentuk dan massa benda, informasi apa saja ang harus diberikan untuk menentukan momen inersia 6. Sebuah piring diletakkan di atas meja putar horisontal ang dipasang pada poros vertikal tanpa gesekan. Piring mula-mula diletakkan pada bagian pinggir meja. pa ang terjadi pada putaran meja jika piring digeser mendekati poros 7. pakah sebuah benda tegar dapat berada dalam keseimbangan translasi dan rotasi, tetapi tidak dalam keseimbangan statik Berikan penjelasan anda dan contohna. Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 5

15 8. Perhatikan gambar di bawah ini. Tentukan lengan momen dan momen gaa dari gaa = 00 N dan gaa = 00 N terhadap poros di titik dan titik C, jika D = L, B = L/, dan C = L/4. D C B 0 o 9. Tentukan letak titik tangkap resultan gaa-gaa pada sistem dalam gambar di bawah ini. 0N Y 0N X N 0N 0. Seutas tali dililitkan mengelilingi sebuah silinder pejal bermassa M dan jari-jari R ang bebas berputar mengitari sumbuna. Tali ditarik dengan gaa. Jika silinder mula-mula diam, tentukan: a) Percepatan sudut dan kecepatan sudut silinder pada saat t, natakan dalam variabel M, R,, dan t. b) Percepatan sudut dan kecepatan sudut silinder pada saat t = s, jika M = 4 kg, R = 8 cm, dan = 0 N.. Momen inersia sistem katrol pada gambar R di samping adalah I = kg m, R sedangkan jari-jari luar R = 40 cm dan jari-jari dalam R = 0 cm. Massa beban T m = 4 kg dan m = kg. Jika T percepatan gravitasi g = 0 m/s, m m Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 6

16 tentukan: (a) percepatan sudut sistem katrol, (b) gaa tegang tali T dan T.. Sebuah bangun berupa luasan memiliki bentuk dan ukuran seperti tampak pada gambar. Tentukan koordinat titik beratna. 8 Y X Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 7

17 BB II. PEMBELJRN. Rencana Belajar Siswa Kompetensi : Menginterpretasikan gerak translasi, rotasi dan keseimbangan benda tegar Sub Kompetensi : Menjelaskan gerak translasi, rotasi dan keseimbangan benda tegar Jenis Kegiatan Tanggal Waktu Tempat Belajar lasan Perubahan Tanda Tangan Guru Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 8

18 B. Kegiatan Belajar. Kegiatan Belajar a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan anda dapat: Menjelaskan pengertian momen gaa. Menjelaskan pengertian momentum sudut. Menjelaskan kaitan momentum sudut dengan momen gaa. Mengaplikasikan hukum kekekalan momentum sudut pada sistem ang berotasi. Mengaplikasikan hukum II Newton untuk gerak translasi dan rotasi benda tegar. Menjelaskan pengertian momen inersia. Menghitung momen gaa dari gaa-gaa ang bekerja pada suatu benda tegar. Menatakan sarat ang diperlukan agar keseimbangan statis sistem partikel dapat terjadi. Menggunakan sarat keseimbangan statis sistem partikel untuk menelesaikan soal-soal. Menatakan sarat ang diperlukan agar keseimbangan statis sistem benda tegar dapat terjadi. Menggunakan sarat keseimbangan statis sistem benda tegar untuk menelesaikan soal-soal. Menghitung gaa reaksi pada batang ang ditumpu. Menatakan persamaan untuk menentukan koordinat pusat berat suatu benda. Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 9

19 b. Uraian Materi a. Momen gaa Benda tegar didefinisikan sebagai benda ang tidak berubah bentukna bila diberi gaa luar. Momen gaa (dilambangkan ) didefinisikan sebagai kecenderungan suatu gaa untuk memutar suatu benda terhadap suatu sumbu. Besar momen gaa ang ditimbulkan oleh gaa diberikan oleh persamaan. d dengan d adalah lengan momen dari gaa, aitu panjang garis ang ditarik dari titik poros rotasi sampai memotong tegak lurus garis kerja gaa. Perhatikan gambar berikut: O d Garis kerja gaa cos Baangkan sebuah batang berengsel diputar pada poros di titik O dengan gaa ang membentuk sudut terhadap arah horisontal batang. Lengan momen d r sin, sehingga momen gaa menjadi: r sin ( r sin ) atau r ( sin ) Dari persamaan ini dapat dinatakan bahwa komponen gaa ang cenderung menebabkan rotasi hanalah sin, aitu komponen tegak lurus terhadap r. Komponen horisontal cos Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 0

20 ang melewati titik poros O tidak menebabkan gerak rotasi (mengapa). Jika terdapat dua atau lebih gaa ang bekerja pada batang (benda tegar), maka harus diperhatikan kecenderungan arah memutar benda dari setiap gaa. Untuk menghitung momen gaa total akibat kedua atau lebih gaa perlu didefinisikan tanda dari momen gaa. Sebagai perjanjian, tanda momen gaa dapat ditetapkan sebagai berikut: Momen gaa bertanda positif (+), jika gaa cenderung memutar benda searah putaran jarum jam. Momen gaa bertanda negatif (-), jika gaa cenderung memutar benda berlawanan arah putaran jarum jam. Perhatikan gambar berikut: - d O d Momen gaa total terhadap poros O dari gambar di atas adalah: total d d Satuan momen gaa adalah satuan panjang (m) dikalikan satuan gaa (N), aitu m N. Dari persamaan di atas dinatakan bahwa besar momen gaa dinatakan sebagai: r ( sin ), persamaan ini merupakan hasil kali silang (cross product) antara vektor posisi titik kerja (r) dengan vektor gaa (), ditulis: r. + Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar

21 Contoh : O 0 o B 7 o Dari gambar di atas, tentukan momen total terhadap poros O. Jarak O 4m dan OB 8 m, gaa = 0 N, dan = 6 N. Jawab: Untuk gaa r = OB = 8 m = 7 o sin = 0,6 Besar momen gaa r sin 8(0)(0,6) rah momen gaa searah perputaran jarum jam. 48mN Untuk gaa r = O = 4 m = 0 o sin = 0,5 Besar momen gaa r sin 4 (6)(0,5) mn rah momen gaa berlawanan arah perputaran jarum jam. Momen gaa total adalah total 48 6mN rah momen gaa total adalah searah perputaran jarum jam. b. Momen Kopel Kopel adalah dua buah gaa ang sejajar, sama besar dan berlawanan arah. Kopel ang bekerja pada sebuah benda akan menghasilkan momen kopel ang mengakibatkan benda berotasi. Momen kopel (dilambangkan M) adalah perkalian antara gaa dengan jarak antara kedua gaa tersebut, dituliskan dalam perssamaan: Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar

22 + M d - d d d (a) (b) (c) Gambar (a) menunjukkan sebuah kopel bekerja pada suatu benda. Untuk gambar (b) menunjukkan bahwa kopel bertanda positif jika putaranna searah dengan perputaran jarum jam, tetapi jika perputaran kopel berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, maka kopel bertanda negatif seperti gambar (c). Jika pada sebuah benda bekerja beberapa kopel, maka resultan momen kopelna adalah jumlah aljabar dari masing-masing momen kopelna, aitu M M M M... M n P Contoh : Batang PQ panjangna 4m. Pada 4 m m m Q batang tersebut bekerja empat buah gaa = = 5N, dan = 4 = 8N, seperti tampak pada gambar di samping. Tentukan besar dan arah momen kopel pada batang PQ tersebut. Jawab: Gaa dan ang berjarak d = m membentuk kopel ang arahna searah perputaran jarum jam (+) dan besarna: M d 5 () 5mN Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar

23 Gaa dan 4 ang berjarak d = m membentuk kopel ang arahna berlawanan arah perputaran jarum jam (-) dan besarna: M d 8( ) 4mN Resultan momen kopel adalah: M M M 5 4 9mN Tanda negatif (-), menunjukkan bahwa momen kopel resultan arahna berlawanan dengan arah perputaran jarum jam. c. Koordinat Titik Tangkap Gaa Resultan Jika terdapat beberapa gaa ang bekerja pada bidang XY, maka setiap gaa tersebut dapat diuraikan atas komponenkomponenna pada sumbu-x dan sumbu-y. Misalkan, komponen-komponen gaa pada sumbu-x adalah...,,,, n, ang jarakna masing-masing terhadap sumbu-x adalah...,,,, n. Sedangkan komponenkomponen gaa pada sumbu-y adalah...,,,, n, ang jarakna masing-masing terhadap sumbu-y adalah...,,,, n. Semua komponen gaa pada sumbu-x dapat digantikan oleh sebuah gaa resultan R ang jarakna R dari sumbu-x, demikian juga semua komponen gaa pada sumbu-y dapat digantikan oleh sebuah gaa resultan R ang jarakna R dari sumbu-y. Momen gaa resultan terhadap sumbu-x berlaku hubungan:... n R... R n n R n n n Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 4

24 Demikian juga untuk momen gaa resultan terhadap sumbu-y berlaku hubungan:... n R... R n n R n n n Jadi koordinat titik tangkap gaa resultan adalah ( R, R ). Perjanjian tanda untuk menggunakan persamaan koordinat titik tangkap gaa resultan adalah: bertanda +, jika arahna ke kanan. bertanda +, jika arahna ke atas. bertanda +, jika arahna ke kanan dari titik acuan. Y bertanda +, jika arahna ke atas dari titik acuan. Contoh : =-N =5N Y =7N =-N X Dari gambar di samping, tentukan besar, arah, dan letak titik tangkap resultan dari empat gaa. Jawab: Semua gaa sejajar sumbu-y, gaa ke atas positif dan ke bawah negatif, resultan gaa adalah: R = = = 7 N (arah ke atas) Letak titik tangkap gaa resultan adalah: R R 4 4 Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 5

25 R ( )( ) (5)( ) 7 (7)() ( )() 7,9 d. Momen Inersia Massa dalam gerak linier adalah ukuran kelembaman suatu benda, aitu kecenderungan untuk tidak mengalami perubahan gerak. Untuk gerak rotasi, kecenderungan untuk tidak mengalami perubahan gerak, selain ditentukan oleh massa, juga dipengaruhi oleh distribusi massa terhadap sumbu putar ang disebut momen inersia. Momen inersia dari sebuah partikel bermassa m terhadap poros ang terletak sejauh r dari massa partikel didefinisikan sebagai hasil kali massa partikel tersebut terhadap kuadrat jarak dari titik poros, ditulis: I m r Jika terdapat banak partikel masing-masing m, m, m,., dan mempunai jarak r, r, r,, terhadap poros, maka momen inersia total adalah penjumlahan momen inersia setiap partikel, aitu: I i m i r i m r m r m r... Momen inersia benda tegar. Untuk benda tegar ang memiliki massa berbagai partikel (titik materi), momen inersia diperoleh dengan cara menjumlahkanna momen inersia setiap partikel. Untuk benda tegar ang memiliki massa ang terdistribusi kontinu, momen inersia diperoleh dengan cara mengintegralkan momen inersia dari elemen massa dm ang berjarak r dari poros, aitu: I r dm Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 6

26 Hasil perhitungan momen inersia dari berbagai bentuk benda tegar dapat dilihat pada gambar berikut: I M L I M L I M ( a b ) (a) Batang silinder, poros melalui pusat (b) Batang silinder, poros melalui ujung (c) pelat segiempat, poros melalui pusat I M a I M ( R R ) I M R (d) pelat segiempat tipis, poros sepanjang tepi (e) Silinder berongga (f) Silinder pejal I M R I I M R M R (g) Silinder tipis berongga (h) bola pejal (i) bola tipis berongga Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 7

27 Jika momen inersia benda terhadap pusat massa (I o ) diketahui, maka momen inersia benda terhadap sebarang sumbu ang sejajar dengan sumbu pusat massa dapat ditentukan dengan persamaan: I I o dengan d adalah jarak sumbu sejajar (ang baru) terhadap sumbu pusat massa, dan m adalah massa benda total. m d Contoh 4: Empat buah benda disusun M Y m M O m m m M 4 M X pada rangka pada sumbu koordinat XY seperti tampak pada gambar di samping. M =M =kg, M =kg, dan M 4 = kg. Tentukan momen inersia sistem jika sumbu putarna adalah (a) sumbu Y, (b) sumbu ang tegak lurus bidang XY melalui titik O. Jawab: (a) Jika sumbu-y sebagai sumbu putar (poros), maka dari data soal dapat disimpulkan bahwa r = r = r 4 = 0, dan r = m, sehingga: I I m r m r m r m r 7 kgm 4 4 ()(0) ()( ) ()(0) ()(0) (b) Jika sumbu putar tegak lurus bidang XY dan melalui titik O, maka diperoleh data-data: r = m, r = 0, r 4 = m, dan r = m, sehingga: I I m r m r m r m 4 r 4 ()( ) ()( ) ()(0) ()( 49 kgm ) Kaitan momen gaa dengan percepatan sudut. Perhatikan gaa tangensial bekerja pada sebuah partikel bermassa m, sehingga Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 8

28 bergerak melingkar dengan jari-jari r dan menimbulkan percepatan tangensial a T, seperti tampak pada gambar di bawah ini. m r Hukum II Newton dapat ditulis: m a T Karena percepatan tangensial a T r, maka m r momen gaa dapat ditulis:, sehingga r r m r ( m r ) I, dengan I m r, aitu momen inersia partikel m terhadap poros berjarak r. Contoh 5: Sebuah batu gerinda berbentuk silinder pejal berjari-jari cm dan bermassa kg diputar dengan kelajuan 00 rad/s. Batu gerinda digunakan untuk mengasah pisau pahat. Pada saat motor dipadamkan pisau ditekankan ke batu gerinda dan setelah 0 detik batu gerinda berhenti berputar. Tentukan gaa tangensial ang bekerja pada batu gerinda tersebut. Jawab: Jari-jari r = cm = 0, m Massa m = kg Kecepatan sudut awal o = 00 rad/s Saat pisau ditekankan terjadi gaa gesek sebagai gaa tangensial dan menghasilkan momen gaa ang memberikan perlambatan sudut sampai batu gerinda berhenti = 0 selama t = 0 s. Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 9

29 Perlambatan sudut dihitung dengan persamaan: t atau o (tanda -, menunjukkan perlambatan). t o Momen inersia batu gerinda berbentuk silinder pejal adalah: I r m (kg)(0,m) 7, 0 kg m rad/s Momen gaa: I 7, 0 ( 0) 7, 0 m N (tanda -, menunjukkan arah berlawanan dengan arah putaran batu gerinda). Gaa gesek merupakan gaa tangensial ang dihasilkan oleh pada jarak r dari poros, sehingga: 7, 0 r atau 0,6 N r 0, Jadi gaa tangensial ang bekerja pada batu gerinda adalah = 0,6 N dengan arah berlawanan dengan arah gerak gerinda. Contoh 6: Jawab: Massa m = 4 kg Jari-jari r = 0 cm = 0, m Gaa = 60 N Sebuah silinder pejal bermassa 4 kg dan jari-jari 0 cm berada di atas bidang mendatar kasar. Silinder ditarik dengan gaa mendatar = 60 N pada sumbuna, sehingga bergerak menggelinding. Tentukan: (a) percepatan linier, (b) percepatan anguler (sudut), dan (c) gaa gesek. f N a r O m g Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 0

30 Silinder pejal menggelinding, sehingga digunakan prinsip-prinsip gerak translasi dan rotasi bersama-sama. Momen gaa total: f r I f r (gaa tak menimbulkan momen gaa, mengapa). Oleh karena percepatan sudut pejal I m r, maka diperoleh: a m r f r r atau f m a Persamaan gerak translasi: a, dan momen inersia silinder r m a f m a (tanda -, menatakan arah gaa gesek berlawanan dengan arah gerak translasi) m a m a m a a m (60) (4) 0m/s Jadi percepatan linier benda adalah 0 m/s. Percepatan sudut: a r 0 0, 00 rad/s Gaa gesek: f m a (4)(0) 0N Contoh 7: Seutas tali dililitkan pada sebuah katrol berbentuk silinder pejal bermassa M = kg dan jari-jari R = 0 cm. Pada ujung-ujung tali diberi beban ang massana masing-masing m = 4 kg dan m = kg. Jika massa tali diabaikan, tentukan: (a) percepatan linier masing-masing benda (b) percepatan anguler katrol (c) gaa tegang tali pada m dan m. R M m m Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar

31 Jawab: massa katrol M = kg massa beban m = 4 kg massa beban m = kg jari-jari kstrol R = 0 cm = 0, m Kita gambarkan diagram gaa untuk benda m, m, dan katrol seperti gambar di bawah ini. Gambar (a) untuk m, gambar (b) untuk m, dan gambar (c) untuk katrol. T T T m m a M a m g T T m g Karena massa m m, maka m akan bergerak linier ke bawah dan m ke atas, serta katrol berotasi ke kiri, (mengapa ). Kita gunakan hukum II Newton untuk gerak translasi m dan m, serta gerak rotasi untuk katrol. Ingat!: arah gaa atau momen gaa positif (+), bila searah dengan arah gerak benda. Gerak translasi m dan m sesuai denngan gambar (a) dan (b) adalah: (a) Untuk m : m a m g T m a Untuk m : m a T m g m a (b) (c) Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar

32 Karena sistem m dan m bergerak bersama dalam waktu sama menempuh jarak sama pula (tali tak berubah panjangna), maka berlaku: a = a = a, sehingga diperoleh m g T m a *) dan T m g m a **) Jumlahkan persamaan *) dengan persamaan **), diperoleh: T T m m ) a ( m m ) g ***) ( Gerak rotasi katrol. Hukum II Newton untuk gerak rotasi katrol berdasarkan gambar (b), memberikan: I T R T R I (tanda -, menunjukkan momen gaa (T R) berlawanan dengan arah rotasi katrol ( )). Katrol berbentuk silinder pejal dengan momen inersia I M R dan a / R, sehingga persamaan menjadi: ( T T ) R M R ( a / ) ( T M a R ( T M a ****) T ) T ) Sisipkan persamaan ****) ke persamaan ***) diperoleh: ( M a m m ) a ( m m ) g ( m ) g ( m m a M a m ) a ( m m ) g ( m m M ) a ( 4 )0 ( 4 ) 0 8,5 m/s (a) Jadi percepatan linier benda m, m, dan katrol M adalah sama, aitu,5 m/s (b) Percepatan anguler katrol dihitung dengan a R,5 0, 6,5rad/s (c) Gaa tegang tali: Untuk T, gunakan persamaan *) m g T m a ( 4) (0) T (4)(,5) T 5N Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar

33 Untuk T, gunakan persamaan **) T () (0) ()(,5) T,75N e. Momentum nguler Jika pada gerak linier kita mengenal momentum linier (p), maka pada gerak rotasi kita mengenal momentum sudut (L). Dalam gerak rotasi momen inersia (I) merupakan analogi dari massa (m) dan kecepatan sudut ( ) merupakan analogi dari kecepatan linier (v), maka momentum sudut dapat ditulis dalam persamaan: L I Seperti momentum linier, momentum sudut juga merupakan besaran vektor. rah momentum sudut L dari suatu benda ang berputar diberikan oleh aturan tangan kanan, aitu: putar keempat jari ang dirapatkan sesuai dengan arah gerak rotasi, maka arah tunjuk jempol menatakan arah vektor momentum sudut. Jika lengan momen terhadap poros adalah r dan kecepatan linier v diberikan, maka momen inersia I m r dan kecepatan sudut v / r dapat dihitung, sehingga momentum sudut dapat dihitung dengan persamaan: L I ( m r )( v / r ) m r v Hubungan momentum sudut dengan momen gaa. Gaa merupakan kecepatan perubahan momentum, sehingga dapat ditulis: dp d ( mv ) d ( m r ), karena v = r, dan jika kedua dt dt dt ruas dikalikan r diperoleh: r d ( m r ) d ( I ) dt dt dl dt Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 4

34 Jadi momen gaa () adalah turunan dari fungsi momentum sudut terhadap waktu. Hukum kekekalan momentum sudut. Jika tidak ada resultan momen gaa luar ang bekerja pada sistem ( 0 ), maka momentum sudut sistem adalah kekal dl (tetap besarna), sehingga: 0 dt tetap (kekal). Karena L I momentum sudut dapat ditulis: L L atau I I d L 0 atau L =, maka hukum kekekalan Contoh 8: Seorang pesenam es berputar dengan kedua tanganna merapat ke tubuhna dengan kelajuan rad/s. Untuk menghambat kelajuanna pesenam merentangkan kedua tanganna. Jika momen inersia saat tanganna terentang adalah 5 kg m dan saat merapat adalah,5 kg m, maka tentukan kelajuan pesenam saat tanganna terentang. Jawab: Keadaan pertama saat kedua tangan merapat. = rad/s, dan I =,5 kg m Keadaan kedua saat kedua tangan terentang. =, dan I = 5 kg m Hukum kekekalan momentum sudut berlaku: I (,5)() I I rad/s I 5 Jadi kelajuan sudut saat tanganna terentang adalah rad/s. Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 5

35 f. Keseimbangan Partikel Partikel adalah benda ang ukuranna dapat diabaikan, sehingga dapat digambarkan sebagai suatu titik materi. Jika gaa ang bekerja pada titik materi tersebut (partikel) tak seimbang, maka benda hana bergerak translasi dan tak mengalami gerak rotasi. Sarat keseimbangan statik untuk benda ang dianggap sebagai partikel adalah resultan gaa ang bekerja pada benda tersebut sama dengan nol dan benda dalam keadaan diam. 0 Jika benda dalam keadaan bergerak dan 0, maka benda dikatakan seimbang dinamik. Jika partikel terletak pada bidang XY dan gaa-gaa ang bekerja diuraikan pada sumbu X dan Y, maka sarat keseimbangan statikna adalah: dengan 0 dan 0 = resultan gaa pada komponen sumbu X = resultan gaa pada komponen sumbu Y Contoh 9: 60 o 0 o T T T B W W Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 6

36 Sistem pada gambar di atas dalam keadaan seimbang statik. Jika beban W beratna 00 N, tentukan W, T, T, dan T. Jawab: Keseimbangan partikel dalam soal ini berkaitan dengan titik perpotongan gaa-gaa. Titik perpotongan gaa dalam soal adalah pada titik dan B. Data ang diketahui adalah W = 00 N ang berkaitan dengan titik, maka kita tinjau dahulu keseimbangan partikel di titik. Gambar gaa-gaa dan uraian gaa pada titik sebagai pusat sumbu koordinat. Y 60 o T Komponen gaa T : o T cos 60 ( ) dan T T T T o T sin60 ( )..*) T Sarat keseimbangan: T 60 o T X 0 T T 0 T T T T ( ).**) dan W 0 T W 0 T T 00 N ***) W Sisipkan persamaan *) ke persamaan ***), diperoleh: T ( ) 00 T 00 N ****) Sisipkan persamaan ****) ke persamaan **), diperoleh: T 00 ( ) 00 N Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 7

37 Gambar gaa-gaa dan uraian gaa pada titik B sebagai pusat sumbu koordinat: T Y 0 T W o T T 0 o X Komponen gaa T : T dan T T T o cos 0 ( T T ) o sin0 ( ) Sarat keseimbangan: 0 T T 0 T T T ( ) 00 T 00 N dan 0 T W 0 T ( ) W 00( ) W jadi W 00 N g. Keseimbangan Benda Tegar Benda tegar berbeda dengan partikel, selain mengalami gerak translasi benda tegar juga mengalami gerak rotasi. Oleh karena itu benda tegar dalam keadaan seimbang harus memenuhi dua sarat, aitu sarat keseimbangan translasi dan sarat keseimbangan rotasi. Sarat keseimbangan translasi. 0, dalam bidang XY, sarat keseimbanganna adalah: 0 dan 0 Sarat keseimbangan rotasi. 0 da dua macam keseimbangan, aitu keseimbangan statik dan keseimbangan dinamik. Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 8

38 Benda dalam keadaan seimbang statik, jika benda diam dan seimbang. Benda dalam keadaan seimbang dinamik, jika benda bergerak dengan percepatan linier a = 0, dan percepatan sudut = 0. Jadi benda dalam keadaan bergerak lurus beraturan atau bergerak melingkar beraturan. Langkah-langkah untuk menelesaikan soal-soal keseimbangan statik benda tegar. Gambar sketsa soal berdasarkan data-data ang diberikan pada soal. Tentukan benda tegar ang akan ditinjau. Gambar gaa-gaa ang hana bekerja pada benda tegar tersebut dan berikan nama (lambang) setiap gaa. Tentukan sumbu-x dan sumbu-y sebagai sumbu koordinat, kemudian uraikan gaa-gaa menurut arah sumbu-x dan sumbu-y. Gunakan sarat keseimbangan translasi benda tegar, aitu 0 dan 0. Pilihlah suatu titik sembarang sebagai poros sedemikian sehingga memudahkan untuk menghitung gaa-gaa ang ditanakan dalam soal. Sebagai poros pilihlah titik di mana pada titik tersebut tidak bekerja gaa ang ditanakan, tetapi pada titik tersebut paling banak bekerja gaa ang tak diketahui, sehingga momen gaana sama dengan nol. Gunakan sarat keseimbangan rotasi benda tegar, aitu 0. Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 9

39 Contoh 0: B Sebuah jembatan homogen beratna 8000 N dan panjangna 0m ditopang oleh dua penumpu dan B pada kedua ujungna, tampak seperti gambar di atas. Sebuag bus beratna 4000 N mogok di atas jembatan pada jarak m dari penumpu. Jika sistem dalam keadaan seimbang statik, tentukan: (a) Gaa reaksi pada penumpu dan B (b) Besar dan letak gaa resultan ang bekerja pada jembatan dari titik. Jawab: Gambar sketsa dan gaa ang bekerja pada jembatan. Letak titik tangkap gaa berat jembatan ada di tengahtengah jembatan (sama dengan 5 m dari titik ). Letak titik tangkap gaa berat bus adalah m dari titik. Gaa reaksi penumpu arahna ke atas (sebagai gaa normal). Y N m 5m W b =4000N W j =8000N N B B X Sarat seimbang translasi. Karena hana ada gaa vertikal (searah sumbu Y), maka hana ada satu sarat, aitu: Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 0

40 0 N N N N 000 *) B B Sarat seimbang rotasi dengan titik sebagai poros. 0 W B ( ) W j (5) N B (0) () 8000(5) N B (0) N B 4800N **) Sisipkan persamaan **) ke persamaan *), sehingga: N N 700N a) Jadi gaa reaksi di titik (gaa normal di titik ) adalah 700 N dan di titik B adalah 4800 N. b) Gaa resultan: R W b W j N Letak gaa resultan dihitung dengan persamaan: (ingat dalam soal ini hana ada dua gaa berat, aitu W b dan W j ). R W b W b b W W j j j 4000() 8000(5) m Jadi letak titik tangkap gaa resultan dari sistem di atas adala 4 m dari titik. Contoh : P B Q Batang PQ homogen beratna 00 N panjang 5 m ditumpu pada titik berjarak m dari P dan di titik B berjarak M dari Q. Pada jarak 0,5 m dari titik Q diberikan beban ang beratna W. Tentukan berat beban W maksimum sebelum batang PQ tepat terangkat dari penumpu di titik. Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar

41 Jawab: N m N B P,5m B W Q W PQ 0,5m Karena PQ = 5m, P = m dan BQ = m, maka jarak B = m Letak titik berat ada di tengah-tengah, maka jarak titik berat dari titik B adalah,5m Letak titik berat beban W adalah 0,5m dari titik B. Batang PQ tepat akan terangkat di titik, maka N = 0 (mengapa ) Untuk menentukan berat beban W cukup kita gunakan sarat keseimbangan rotasi dengan poros di titik B, sehingga gaa N B tak memberikan momen terhadap titik B, karena garis kerjana melalui B. 0 W ( 0,5) WPQ (,5) 0 W ( 0,5) 00(,5 ) W 600N Jadi berat beban maksimum adalah 600 N. Contoh : Batang homogen B beratna 0N panjang m dalam keadaan seimbang, seperti gambar di samping. Di titik 0 o B berengsel dan di titik B batang diikat dengan tali ang massana diabaikan serta diberi beban 0 N. Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar

42 Tentukan: (a) besar gaa tegang tali, (b) besar dan arah gaa reaksi pada engsel di titik. Jawab: Y m N T T N T 0,5m W B 0 o B X W Komponen gaa tegang tali, T o o T sin 0 T ( ), dan T T cos 0 T ( ) Berat batang B, W B = 0 N ang letak titik tangkapna di tengahtengah, dan berat beban W = 0 N. Sarat seimbang translasi: 0 N T 0 N T T ( ) *) 0 N T W B W 0 N T T ( ) 0 **) Sarat seimbang rotasi: N Karena N dan N belum diketahui nilaina, maka untuk menentukan nilai gaa tegang tali T digunakan titik sebagai poros, sehingga N, N dan T tak menebabkan momen gaa, karena garis kerja ketiga gaa tersebut melalui titik. 0 W B ( 0,5) W () T () 0 0(0,5) 0() T ( ) () 0 T 40N ***) Sisipkan persamaan ***) ke persamaan **) dan *), diperoleh: Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar

43 N T ( ) 0 N 40( ) 0 N 0N (tanda +, menunjukkan arah gaa normal N sesuai dengan gambar ang disketsa). N T ( ) N 40( ) N 0 N Nilai N dihitung dengan teori N N vektor, aitu resultan dua buah vektor ang saling tegak lurus. N N N N N ( 0 ) 0 N 00 0 N rah vektor gaa normal ( ) dihitung dengan persamaan: N 0 tan N 0 6 arc tan 6 Jadi gaa tegang tali, T = 40 N, gaa reaksi engsel N 0 N, dan arah gaa reaksi engsel adalah arc tan. 6 Contoh : Sebuah tangga B homogen B beratna 00 N bersandar pada tembok ang licin dan bertumpu licin pada lantai kasar. Tangga B membentuk sudut 45 o terhadap lantai. Jika tangga B tepat akan tergelincir, maka tentukan (a) gaa reaksi lantai dan tembok, (b) gaa gesek tangga terhadap lantai, dan kasar (c) koefisien gesek antara lantai dengan tangga. Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 4

44 Jawab: B Y N B B Gaa berat W = 00 N titik kerjana pada jarak B. Gaa normal pada tembok N B. C Gaa normal pada lantai N. Gaa gesek lantai terhadap N tangga f, sedangkan antara W dinding dan tangga tak ada f C X gesekan. Keseimbangan translasi: 0 f N B 0 N B f N..*) 0 N W 0 N W..**) Sisipkan persamaan **) ke persamaan *), diperoleh: N B W..***) Keseimbangan rotasi. Kita pilih titik sebagai poros karena N dan f belum diketahui nilaina, sehingga N dan f tak menimbulkan momen gaa pada tangga B. 0 W ( C') N ( B' ) 0 W ( B cos ) N ( B sin ) 0, sisipkan persamaan ***), diperoleh, W ( B cos ) W ( B sin ) cot, atau tan Karena = 45 o dan tan 45 o =, maka = ½. Dari persamaan **), bahwa N W N 00N Dari persamaan *), bahwa N f B N N B f (00) 50N Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 5

45 h. Titik Berat Titik berat atau pusat berat benda sebagai titik ang terhadapna gaa-gaa berat bekerja pada semua partikel benda itu sehingga akan menghasilkan momen gaa resultan nol. Titik berat merupakan titik di mana gaa berat bekerja secara efektif. (, ) W ( o, o ) (, ) W W Menentukan koordinat titik berat. Suatu benda tegar kita bagi atas banak bagian dengan berat tiap bagian adalah W, W, W,, W n. Tiap bagian dapat dianggap sebagai partikel dengan koordinat titik tangkap gaa beratna adalah (, ), (, ), (, ),, ( n, n ). Sehingga koordinat titik berat benda tegar dapat dituliskan sebagai ( o, o ) dengan: X o W W W W W W..., dan... o W W W W W W Hubungan berat dengan massa benda adalah sebagai berikut: W = m g, sehingga W = m g, W = m g, W = m g,.., W n = m n g, jika percepatan gravitasi g dianggap konstan (sama). Kita dapat menentukan titik pusat massa ang berimpit dengan titik berat, aitu: Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 6

46 X o m m m m m m......, dan o m m m m m m Jika benda tegar berdimensi tiga, maka massa benda (m) dapat dinatakan sebagai hasil kali massa jenis () dengan volume (V), aitu m = V. Untuk benda-benda homogen akan memiliki massa jenis ang sama tiap-tiap bagian penusunna, sehingga = = = =. Jadi koordinat titik berat benda homogen dapat ditulis: X o o V V V V V V V V V V V..., dan... V Letak titik berat benda pejal homogen berdimensi tiga ang bentukna teratur dapat dilihat pada gambar berikut: l o t o 4 t o (a) Prisma Pejal (b) Silinder Pejal (c) Limas Pejal beraturan t o 4 t (d) Kerucut Pejal o 8 R (e) Setengah bola Pejal Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 7

47 Jika tebal benda dapat diabaikan, maka benda dapat dianggap berbentuk luasan (dua dimensi), sehingga besaran volume untuk tiga dimensi sebanding dengan besaran luas untuk dua dimensi. Letak koordinat benda tegar homogen berbentuk luasan memenuhi persamaan: X o..., dan... o Letak titik berat bidang homogen dapat dilihat pada gambar berikut: t o R z o o R o t o t o R (a) Segitiga (b) jajaran genjang (c) juring lingkaran 4R o (d) setengah lingkaran Jika benda berbentuk garis (memenjang), maka massa benda atau berat benda dapat dianggap diwakili oleh panjangna (L). Koordinat titik beratna dapat ditentukan dengan persamaan berikut: X o o L L L L L L L L L L L..., dan... L Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 8

48 Gambar berikut menunjukkan letak titik berat benda homogen berbentuk garis, aitu busur setengah lingkaran. o R o R Contoh 4: Sebuah silinder pejal homogen tinggina R, bagian bawahna berongga dengan bentuk setengah bola. tentukan letak titik beratna. R Y Z Z silinder: volume X Jawab: Tentukan sumbu koordinat sebagai acuan pada gambar (jika dalam soal belum ditentukan). Bangun gambar kita bagi menjadi dua bagian, aitu silinder dengan titik berat Z dan pengurangan setengah bola pada alas dengan titik berat Z. Volume dan ordinat dari bangun tersebut adalah sebagai berikut:, ordinat R V R setengah bola: volume V, ordinat R (volume R 8 bertanda negatif, karena pengurangan volume setengah bola, sedangkan ordinat bertanda positif, karena letakna pada sumbu Y positif). Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 9

49 Koordinat susunan benda tegar tersebut adalah: 7 4 V V V R ( R ) R ( R ) R 8 4 o R 4 V V V R ( R ) R 6 X o = 0, karena sumbu Y merupakan sumbu simetri benda tersebut. Contoh 5: Tentukan koordinat titik berat bangun luasan seperti pada gambar di bawah ini. 7 4 Y Jawab: 7 Y 0 6 X Z 4 Z 0 6 X Bangun bidang di atas dibagi dalam dua bagian, aitu segiempat bawah dan segitiga di atas dengan titik berat masing-masing Z (, ) dan Z (, ). Luas, absis, dan ordinat masing-masing bangun adalah: Segiempat: = 6(4) = 4, =, dan =. Segitiga: = (/)6()=9, =(/)6=, dan =4+(/)=5. Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 40

50 Koordinat susunan benda tegar bentuk bidang tersebut: X o o (4) (9) 4 9 (4) 4 5(9) 9 90,7, dan 9,8 Jadi koordinat titik berat bangun luasan tersebut adalah Z o ( o, o ), aitu Z o (,7 ;,8). Contoh 6: Y 6 4 Tentukan koordinat titik berat susunan empat buah kawat berbentuk bangun seperti gambar di samping. 4 5 X Jawab: Dari gambar di samping, Y panjang kawat, letak absis dan ordinat titik beratna adalah: 6 kawat pertama: 4 L L L = 4, =, dan = 4. kawat kedua: L L X L = 4, =, dan =. kawat ketiga: L = 4, = 4, dan = 4. kawat keempat: L 4 =, 4 = 4, dan 4 =. Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 4

51 koordinat susunan benda tegar bentuk garis (kawat) tersebut: X o X o dan o o L,86 L,4 L L L L L L L L L L L 4 L L L 4 4 (4) (4) 4(4) 4() (4) (4) 4(4) () i. Macam-macam Keseimbangan Macam-macam keseimbangan suatu benda dapat diperkirakan dengan memperhatikan kedudukan titik beratna ketika gangguan kecil terjadi. Kedudukan titik berat benda dapat naik, turun, dan tetap dari kedudukan semula bila gangguan kecil dihilangkan. Keseimbangan statik benda tegar dapat dikelompokkan menjadi tiga jenis, aitu keseimbangan stabil, keseimbangan labil, dan keseimbangan netral. Keseimbangan stabil (mantap), aitu keseimbangan ang dialami benda tegar, jika gangguan kecil atau gaa diberikan pada benda tersebut kemudian dihilangkan, maka benda akan kembali ke kedudukan seimbangna semula. Ciri keseimbangan stabil adalah jika diberikan gaa atau gangguan, maka titik beratna naik. Keseimbangan labil (goah), aitu keseimbangan ang dialami benda tegar, jika gangguan kecil atau gaa diberikan pada benda tersebut kemudian dihilangkan, maka benda tidak kembali ke kedudukan seimbangna semula, bahkan meninggalkan gangguan itu. Ciri keseimbangan labil adalah jika diberikan gaa atau gangguan, maka titik beratna turun. Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 4

52 Keseimbangan netral (indiferen), aitu keseimbangan ang dialami benda tegar, jika gangguan kecil atau gaa diberikan pada benda, maka benda akan bergerak, tetapi jika gaa dihilangkan, maka benda akan kembali diam pada kedudukan seimbangna ang berbeda. Ciri keseimbangan netral adalah jika diberikan gaa atau gangguan, maka titik beratna tetap (tidak naik maupun turun). Contoh ketiga macam keseimbangan tersebut seperti tampak pada gambar di bawah ini. (a) (b) (c) Gambar. (a) adalah contoh keseimbangan labil, gambar (b) merupakan contoh keseimbangan stabil, dan gambar (c) adalah contoh keseimbangan netral. c. Rangkuman Kecenderungan suatu gaa untuk memutar atau merotasi suatu benda terhadap suatu poros diukur oleh suatu besaran ang disebut momen gaa (dilambangkan ). Besar momen gaa diberikan oleh persamaan: d dengan d adalah lengan momen, aitu panjang garis ang ditarik dari titik poros rotasi sampai memotong tegak lurus garis kerja gaa. Momen gaa bertanda positif jika arah rotasi searah dengan perputaran jarum jam. Sedangkan jika arah rotasi Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 4

53 berlawanan dengan arah perputaran jarum jam, maka momen gaa bertanda negatif. Dua gaa sama besar dan berlawanan arah serta mempunai garis kerja ang berbeda membentuk sebuah kopel. Momen ang dihasilkan oleh sebuah kopel sama dengan hasil kali salah satu gaa dengan jarak tegak lurus antara garis kerja kedua gaa. Tanda momen kopel positif jika searah perputaran jarum jam dan negatif jika berlawanan arah perputaran jarum jam. Bila dua atau lebih gaa sejajar bekerja pada sebuah benda, maka gaa-gaa tersebut dapat diganti oleh satu gaa tunggal ekivalen ang sama dengan jumlah gaa-gaa itu dan bekerja pada sebuah titik ang disebut titik tangkap gaa resultan. Dalam sistem koordinat kartesius, absis dan ordinat titik tangkap gaa resultan diberikan oleh persamaan: R n n n R n n n Momen inersia dari sebuah partikel bermassa m terhadap poros ang terletak sejauh r dari massa partikel didefinisikan sebagai hasil kali massa partikel tersebut terhadap kuadrat jarak dari titik poros, ditulis: I m r Untuk banak partikel dituliskan: I m i r i Momentum sudut sistem partikel (benda tegar) dengan kecepatan sudut diberikan oleh: L I. Jika lengan momen terhadap poros (r), dan kecepatan linier (v), maka momentum sudut dituliskan: L m r v. Untuk sistem terisolasi di mana resultan momen gaa luar pada benda adalah nol, maka berlaku Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 44

54 hukum kekekalan momentum sudut. Momen gaa untuk gerak dl rotasi adalah laju perubahan momentum anguler, aitu. dt Sarat keseimbangan statik sistem partikel adalah resultan gaa ang bekerja pada partikel adalah nol dan benda (partikel) dalam keadaan diam. 0, dalam bidang: 0 dan 0. Suatu benda tegar berada dalam keseimbangan statik, jika benda mula-mula diam dan memenuhi sarat: keseimbangan translasi 0, dan keseimbangan rotasi 0. Titik berat atau pusat berat suatu benda adalah titik ang terhadapna gaa-gaa berat bekerja pada semua partikel benda itu ang menghasilkan momen resultan nol. Koordinat pusat berat ( o, o ) dihitung dengan persamaan: X o o W W W W W W W W W W W..., dan... W Untuk percepatan gravitasi tetap, berat W dapat diganti dengan massa m, benda homogen berbentuk volum pejal berat W dapat diganti dengan massa V, luasan W diganti, garis W diganti L. da tiga jenis keseimbangan sebuah benda, aitu: stabil, labil dan netral. d. Tugas Pertanaan Konsep:. Jelaskan ang dimaksud dengan keseimbangan statik dan keseimbangan dinamik! Berikan sarat cukup untuk dua kesetimbangan tersebut. Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 45

55 . Berikan penjelasan dan sarat di mana benda dapat dianggap sebagai partikel dan di mana benda dianggap sebagai benda tegar.. pa ang membedakan antara usaha dan momen gaa, di mana kedua besaran tersebut didefinisikan sebagai hasil kali gaa dan jarak 4. Jika momen resultan terhadap suatu titik sama dengan nol, apakah momen resultan juga akan nol untuk titik lainna Beri penjelasan anda. 5. Dalam pernataan momen gaa r, apakah r sama dengan lengam momen Jelaskan jawaban anda dan berikan definisi tentang lengan momen. 6. pakah suatu benda dapat memiliki lebih dari satu momen inersia Selain dari bentuk dan massa benda, informasi apa saja ang harus diberikan untuk menentukan momen inersia 7. Sebuah bola menggelinding dari keadaan diam menuruni sebuah bidang miring, gaa apakah ang menghasilkan momen ang menebabkan percepatan sudut terhadap poros melalui pusat massa dan gaa apakah ang dihasilkan momen ang menebabkan percepatan sudut terhadap poros melalui titik kontak dengan permukaan bidang 8. Sebuah piring diletakkan di atas meja putar horisontal ang dipasang pada poros vertikal tanpa gesekan. Piring mula-mula diletakkan pada bagian pinggir meja. pa ang terjadi pada putaran meja jika piring digeser mendekati poros 9. pakah sebuah benda tegar dapat berada dalam keseimbangan translasi dan rotasi, tetapi tidak dalam keseimbangan statik Berikan penjelasan anda dan contohna. 0. Sebuah tangga bersandar miring pada sebuah dinding. Manakah ang lebih aman dinaiki, tangga ang bersandar pada dinding ang kasar dan bertumpu pada lantai ang licin atau tangga ang Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 46

56 bersandar pada dinding ang licin dan bertumpu pada lantai ang kasar Berikan penjelasan anda. Pertanaan Soal:. Perhatikan gambar di bawah ini. Tentukan lengan momen dan momen gaa dari gaa = 00 N dan gaa = 00 N terhadap poros di titik dan titik C, jika D = L, B = L/, dan C = L/4. C D B 0 o. Tentukan letak titik tangkap resultan gaa-gaa pada sistem dalam gambar di bawah ini. 0N Y 0N X N 0N. Seutas tali dililitkan mengelilingi sebuah silinder pejal bermassa M dan jari-jari R ang bebas berputar mengitari sumbuna. Tali ditarik dengan gaa. Jika silinder mula-mula diam, tentukan: (a) Percepatan sudut dan kecepatan sudut silinder pada saat t, natakan dalam variabel M, R,, dan t. Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 47

57 (b) Percepatan sudut dan kecepatan sudut silinder pada saat t = s, jika M = 4 kg, R = 8 cm, dan = 0 N. 4. Momen inersia sistem katrol pada gambar di samping adalah I = kg m, sedangkan jari-jari luar R = 40 cm dan jari-jari dalam R = 0 cm. Massa beban m = 4 kg dan m = kg. Jika percepatan gravitasi g = 0 m/s, tentukan: (a) percepatan sudut sistem katrol, (b) gaa tegang tali T dan T. 5. Perhatikan gambar di samping! Jika berat beban 00 N, tentukan gaa tegang tali T dan T, dan T. R R T T m m 60 o T T W T 6. Sistem dalam gambar di bawah ini berada dalam keadaan seimbang. Jika berat balok W = 400 N dan koefisien gesek statik antara balok W dengan dengan meja adalah 0,4. Tentukan berat balok W, dan gaa tegang tali T dan T, dan T. 60 o W T T T W Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 48

58 7. Batang PQ beratna 400 N dan panjangna 4 m. Jarak tumpuan P adalah m dan di titik batang dapat berputar. Seseorang beratna 600 N berjalan dari titik menuju Q. Berapa jarak maksimum dari titik P agar batang tetap seimbang (ujung batang P hampir terangkat). P Q 8. Batang B beratna 00 N dan engsel ditempatkan di titik dan di titik C diikat ke tembok dengan seutas tali ang massa dapat diabaikan. Di titik B diberikan beban ang beratna 00N. Jarak C = (/4) B. Jika sistem dalam keadaan seimbang tentukan: (a) tegangan tali, (b) besar gaa engsel. B C W 0 o 9. Susunan benda pejal homogen ang terdiri dari silinder berongga dan setengah bola terletak di atas lantai seperti tampak pada gambar. Tentukan jarak titik berat susunan benda tersebut dari lantai. R R Modul.IS. Keseimbangan Benda Tegar 49