Penentuan Hari pada Berbagai Sistem Penanggalan Menggunakan Kekongruenan Zeller

Transkripsi

1 Penentuan Hari pada Berbagai Sistem Penanggalan Menggunakan Kekongruenan Zeller Devin Hoesen Program Studi Teknik Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung, Jl. Ganesha Bandung 013, Indonesia @std.stei.itb.ac.id, dvnh.squall.ff8@gmail.com Abstrak Makalah ini membahas Kekongruenan Zeller ang menggunakan aspek-aspek teori bilangan dalam menentukan hari dari suatu tanggal dari berbagai sistem penanggalan. Teori-teori dasar ang digunakan dalam penghitungan penentuan hari ini adalah aritmetika modulo dan fungsi floor. Berbagai sistem penanggalan ang dibahas di sini adalah kalender Julian, Gregorian, dan Hijriah. Kalender Julian merupakan revisi atas sistem penanggalan Romawi kala itu. Kalender Julian ini ternata terlalu banak menambahkan tahun kabisat, sehingga direvisi kembali oleh kalender Gregorian. Kalender Gregorian sekarang merupakan sistem penanggalan ang paling luas dipakai secara internasional. Kalender Hijriah pun dibahas di sini mengingat sistem penanggalan ini merupakan salah satu sistem penanggalan ang luas pemakaianna di Indonesia ang merupakan negara muslim terbesar di dunia. Istilah Kunci Gregorian, Hijriah, Julian, Kekongruenan Zeller Abstract This paper is about Zeller s congruence which uses aspects of numbers theor in determining the da of ever given date from several calendar sstems. Basic theories which are used are modular arithmetics and floor function. We discuss several calendar sstems, that is Julian, Gregorian, and Hijri calendar. Julian calendar is a reform of Roman Calendar. This calendar indeed add too man leap ears. This calendar is then reformed b Gregorian calendar. Gregorian calendar is internationall mostl used calendar. Hijri calendar is discussed here because this calendar is widel used in Indonesia, which is the biggest moslem countr in the world. Index Terms Gregorian, Hijri, Julian, Zeller s congruence A. Fungsi Floor I. PENDAHULUAN Di dalam matematika dan ilmu komputer, fungsi floor memetakan suatu bilangan real ke bilangan bulat sebelumna. Secara lebih detail, floor( x) x menatakan bilangan bulat terbesar ang lebih kecil dari atau sama dengan x. Dengan kata lain, fungsi floor membulatkan ke bawah. Pada awalna, Carl Friedrich Gauss memperkenalkan notasi x untuk menatakan fungsi floor. Notasi ini menjadi notasi baku fungsi floor dalam matematika hingga Kenneth E. Iverson memperkenalkan nama floor dengan notasina, x, di dalam bukuna, A Programming Language, pada tahun 196. Selain kedua notasi tersebut, digunakan pula notasi x. Ketiga notasi ini terus dipergunakan di dalam matematika, namun dalam keseluruhan makalah ini, akan dipergunakan notasi Iverson. Beberapa contoh nilai dari fungsi floor adalah sebagai berikut Beberapa sifat dari fungsi floor ang akan digunakan dalam makalah ini akan diuraikan sebagai berikut Jika n adalah bilangan bulat, maka x n x n 1.. x x (sifat idempoten) 1.3. Jika n adalah bilangan positif, maka x m x m n n 1.. Jika m dan n adalah bilangan bulat, maka x / m x n mn B. Aritmetika Modulo Di dalam matematika, aritmetika modulo adalah sistem aritmetika menggunakan bilangan bulat ang berputar setelah mencapai hitungan tertentu. Karena alasan itu, terkadang aritmetika modulo disebut juga aritmetika bilangan jam. Operator ang digunakan dalam aritmetika modulo adalah mod. Operator mod, jika digunakan pada pembagian bilangan bulat, memberikan sisa positif pembagian. Definisi dari operator mod dinatakan sebagai berikut. Misalkan a adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat > 0. Operasi a mod m (dibaca a modulo m ) memberikan sisa positif jika a dibagi m. Dengan kata lain, a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0 r < m.

2 Bilangan m disebut modulus atau modulo dan hasil aritmetika modulo terletak di dalam himpunan {0, 1,,, m 1}. Beberapa contoh nilai hasil operasi modulo adalah sebagai berikut. (i) 38 mod 1 = (karena 38 = ) (ii) 1 mod 9 = (karena 1 = 9 + ) Perhatikan bahwa pada contoh (ii), hasil operasi bukanlah, karena hasil operasi harus 0 r < 9. Karena itulah hasil operasi ini disebut sisa positif. Bila dinatakan dengan fungsi floor, operasi modulo ini memiliki definisi sebagai berikut. a 1.. a mod m = r setara dengan kesamaan r a m m Kadang-kadang dua buah bilangan bulat, x dan, memiliki sisa ang sama bila dibagi dengan bilangan bulat positif m. Kita katakan bahwa x dan kongruen dalam modulo m, dan dilambangkan sebagai x (mod m) (notasi dibaca kongruen ). Notasi a mod m r dapat juga ditulis sebagai r a(mod m). ang perlu diperhatikan adalah bila menggunakan operasi kekongruenan ini, sisa hasil bagi bisa negatif. Contohna pada contoh (ii), bila menggunakan kekongruenan, sisa hasil bagina bisa menjadi. Beberapa bahasa pemrograman menggunakan kekongruenan ini dalam menghitung sisa hasil bagi. Karena itu dalam memprogram, harap berhati-hati untuk menggunakan operator mod dengan bilangan a negatif. Bila ingin lebih naman, ubahlah bilangan a ini menjadi bilangan tak negatif menggunakan sifat-sifat aritmetika modulo ang akan diuraikan berikut ini. Beberapa sifat aritmetika modulo ang akan dipergunakan dalam makalah ini adalah sebagai berikut Bila a mod m r, maka ( a km) mod m r untuk suatu k bilangan bulat. Dengan sifat ini, bilangan ang dibagi bisa diubah menjadi bilangan tak negatif. 1.. ( cx) mod m [( c km) x] mod m untuk suatu k bilangan bulat. Sifat ini memungkinkan kita menederhanakan operasi modulo dengan c m menjadi 0 c m. C. Kalender Julian Kalender Julian mulai digunakan pada tahun SM. Kalender ini merupakan kalender solar (matahari), akni berdasarkan peredaran bumi mengelilingi matahari. Kalender ini merupakan revisi Julius Caesar atas kalender Romawi saat itu. Pada saat itu, kalender Romawi memiliki 1 bulan dan 3 hari. Bulan kabisat (Mensis Intercalaris) ang berhari disisipkan di antara Februari dan Maret. Bulan ini biasana disisipkan sebelum lima hari terakhir bulan Februari sehingga lima hari terakhir bulan Februari menjadi lima hari terakhir bulan kabisat. Efekna jumlah hari dalam setahun menjadi 3 atau 38 hari tergantung jumlah hari pada bulan Februari. Idealna, siklus tahun kabisat adalah tahun biasa berhari 3 berselang-seling dengan tahun kabisat ang jumlah harina (dua tahun sekali) bergantian 3 dan 38 hari. Namun, pada praktikna, penentuan bulan kabisat ini diserahkan kepada Pontifex Maximus, jabatan politik semacam imam besar kala itu. Karena memegang jabatan politik, pontifex ini menetapkan bulan kabisat seenakna. Bila kawan politikna sedang bertakhta, bulan kabisat ini ditambahkan, bahkan penambahanna bisa dua tahun berturut-turut. Namun, bila lawan politikna ang bertakhta, bulan kabisat ini justru ditiadakan. Masa ini disebut sebagai Tahun-Tahun Kebingungan. Keadaan ini makin parah ketika Julius Caesar menjadi pontifex. Kalender sudah melenceng dari perubahan musim. Untuk itu Julius Caesar memulai reformasi terhadap kalender Romawi. Langkah pertama ang dilakukanna adalah menetapkan mulaina tahun baru, aitu 1 Januari SM, di musim tropis. Hal ini dilakukan dengan menambahkan bulan kabisat di bulan Februari dan dua bulan kabisat setelah Desember 6 SM. Hal ini mengakibatkan tahun 6 SM berhari, bertambah 6 hari. Lalu, Julius Caesar menambahkan sepuluh hari ke kalender pra-julian itu. Dua hari ke bulan Ianuarius, Sextilis, dan December, dan satu hari ke bulan Aprilis, Iunius, September, dan November. Bulan Februarius tetap 8 hari pada tahun biasa dan menjadi 9 hari pada tahun kabisat. Tahun kabisat ini terjadi setiap empat tahun sekali mengakibatkan jumlah hari dalam setahun 36, hari. Hal ini membentuk kalender seperti ang kita kenal sekarang. Lihat tabel berikut. Tabel I Perbandingan antara kalender Romawi dan kalender Julian Bulan Jumlah hari di Jumlah hari di kalender Romawi kalender Julian Ianuarius 9 31 Februarius 8 (kabisat: 3 atau ) 8 (kabisat: 9) Martius Aprilis 9 Maius Iunius 9 Quintilis Sextilis 9 31 September 9 Oktober November 9 December 9 31 Mensis Intercalaris 0 (kabisat: ) (dihilangkan) Pada perkembanganna, para pontifex menalahartikan jangka waktu empat tahun untuk tahun kabisat. Mereka menangka empat tahun itu termasuk tahun pertama dan keempat. Akibatna, penambahan hari kabisat terjadi setiap tiga tahun sekali. Setelah 36 tahun, kaisar Augustus menadari hal ini dan mulai menesuaikanna. Ia melewatkan tiga tahun kabisat untuk menesuaikan kembali kalender. Setelah beberapa lama, rakat Romawi akhirna mengganti nama Quintilis dan Sextilis berturut-turut menjadi Iulius dan Augustus. Hal ini untuk menghargai Julius Caesar dan Kaisar Augustus. Jadilah kalender

3 Julian ini seperti kalender ang kita kenal sekarang, dengan beberapa pengecualian. Lalu, penomoran tahun 1 M ditetapkan dari kepercaaan tradisional tentang tahun lahirna esus Kristus, meskipun sekarang diketahui bahwa esus Kristus tidak lahir pada tahun 1 M. Tidak ada tahun 0 M, tahun 1 SM langsung dilanjutkan oleh tahun 1 M. D. Kalender Gregorian Setelah beribu-ribu tahun digunakan, mulai disadari adana kesalahan pada kalender Julian. Hari Raa Paskah pada tahun 18 mulai melenceng. Maka, Paus saat itu, Paus Gregorius XIII, memulai reformasi atas kalender Julian. Dari perhitungan, lamana bumi berotasi ternata tidak 36 hari 6 jam (36, hari) tetapi kurang hampir 11 menit. Jika diakumulasikan, setelah empat ratus tahun, kalender Julian akan kelebihan tiga hari dari seharusna. Setelah beribu-ribu tahun, kemelencengan ini menjadi sepuluh hari. Paus Gregorius XIII kemudian mereformasi penambahan tahun kabisat pada kalender Julian. Pada aturan baru ini, tahun kabisat hana terjadi setiap empat tahun sekali, namun pada tahun ang bisa dibagi seratus, hana terjadi bila tahun itu bisa dibagi empat ratus. Dengan kata lain, tahun 1900 bukan tahun kabisat, tetapi tahun 000 adalah tahun kabisat. Dengan diterapkanna perubahan ini, hari dan tanggal setelah Kamis, Oktober 18 adalah Jumat, 1 Oktober 18. E. Kalender Hijriah Kalender ini merupakan kalender ang digunakan umat Islam sedunia untuk melaksanakan hari-hari keagamaan mereka. Jika dua kalender sebelumna adalah kalender solar, kalender ini adalah kalender lunar (bulan), akni berdasarkan peredaran bulan mengelilingi bumi. Selain itu, pada kalender ini, hari baru dimulai pada saat matahari terbenam, bukan pada saat tengah malam. Kalender pra-hijriah menggunakan bulan kabisat pada tahun kabisat. Penambahan bulan ini adalah agar waktu berziarah ke Mekkah saat itu tepat dengan musim. Tahun kabisat ini terjadi tiga tahun sekali. Penambahan bulan ini disebut Nasi. Pada tahun H diketahui dari QS 9:36-3 bahwa Allah melalui Nabi-Na melarang Nasi ini. Karena murni kalender lunar, kalender ini tidak mengikuti perubahan musim. Penamaan bulan-bulan dalam kalender Hijriah ini adalah seperti tabel berikut. Tabel II Bulan dalam kalender Hijriah No. Bulan Jumlah hari 1 Muharam Safar 9 3 Rabiulawal Rabiulakhir 9 Jumadilawal 6 Jumadilakhir 9 Rajab 8 Sakban 9 9 Ramadan Sawal 9 11 Zulkaidah 1 Zulhijah 9 (kabisat: ) Di antara bulan-bulan ini, pada masa Nabi, terdapat empat bulan saat perang dilarang, akni Muharam, Rajab, Zulkaidah, dan Zulhijah. Sepuluh tahun pertama dari kalender Hijriah tidak dinomori, tetapi dinamai berdasarkan peristiwa penting ang terjadi pada kehidupan Nabi Muhammad S.A.W. saat itu. Pada 1 H, Abu Musa Ashaari, salah satu pejabat Khalifah Umar bin Khattab di Basra, mengeluh mengenai tidak adana tahun dalam surat ang diterimana dari Khalifah Umar. Hal ini menulitkanna menentukan perintah mana ang paling baru dari Khalifah Umar. Hal ini menebabkan Khalifah Umar merasa perlu menomori tahun dalam kalender Hijriah. Setelah berdiskusi dengan penasihat-penasihatna, dipilihlah tahun ketika berpindahna (hijrah) Nabi Muhammad S.A.W. dari Mekkah ke Madinah sebagai tahun 1 H. Oleh karena itu, kalender ini dinamai kalender Hijriah. Penentuan tahun kabisat dalam kalender Hijriah agak sulit. ang pasti adalah setiap jangka waktu tiga puluh tahun tepat ada sebelas tahun kabisat. Terdapat bermacam aturan mengenai penentuan tahun kabisat ini. Dua di antarana ang sering dipakai adalah basis-16 dan basis- 1. Setiap tahun, dalam kalender Hijriah terdapat kelebihan 11/ hari. Kelebihan hari ini diakumulasi tiap tahunna. Pada basis-16, bila kelebihanna telah melebihi 1/ hari, tahun ang bersangkutan menjadi tahun kabisat, satu hari kabisat ditambahkan ke bulan Zulhijah, dan kelebihan harina dikurangi /. Pada basis-1, penambahan hari kabisat terjadi bila kelebihanna itu lebih besar dari atau sama dengan 1/ hari. Basis-1 ini disebut juga algoritma Kuwaiti dan dipakai oleh Microsoft. Untuk lebih jelasna, lihat tabel berikut. Tabel III Perhitungan tahun kabisat menggunakan basis-16 Tahun Kelebihan hari Tahun Kelebihan hari Ket.: Tahun ang diarsir merupakan tahun kabisat Pada basis-1, perhitungan dan tahun kabisatna serupa dengan tahun-tahun kabisat pada basis-16, kecuali pada

4 basis-1, tahun ke-1-lah ang merupakan tahun kabisat, bukan tahun ke-16. II. KEKONGRUENAN ZELLER A. Beberapa Persamaan Kekongruenan Zeller Persamaan ini ditemukan oleh Julius Christian Johannes Zeller, seorang pendeta dan matematikawan berkebangsaan Jerman. Kekongruenan Zeller dimaksudkan untuk diterapkan pada kalender Gregorian dan Julian. Untuk kalender Gregorian, digunakan persamaan berikut. 13( m 1) h d dengan h adalah hari dalam satu minggu (0 = Sabtu, 1 = Minggu,, 6 = Jumat) d adalah tanggal ang ingin dicari harina m adalah bulan dari tanggal ang ingin dicari harina (3 = Maret, = April,, 13 = Januari, 1 = Februari) adalah tahun pada abad ang dimaksud ( tahun mod0 ) c adalah abad ( tahun 0 ), dengan demikian tahun 011 bukan abad ke-1 tetapi abad ke-0. CATATAN: Dalam persamaan ini, Januari dan Februari dihitung sebagai bulan ke-13 dan ke-1 dari tahun sebelumna. Contohna Januari 011 dimasukkan ke persamaan ini sebagai bulan ke-13 tahun 0. Untuk kalender Julian, digunakan persamaan berikut. Untuk keperluan pemrograman, lebih naman bila menggunakan tahun dari tanggal ang bersangkutan saja dibandingkan harus menggunakan variabel dan c seperti persamaan di atas. Misalkan tahun dari tanggal ang bersangkutan dilambangkan dengan. Untuk kalender Gregorian, dengan memanfaatkan sifat 1.. pada aritmetika modulo, (1) bisa diubah menjadi: h d 0 ( m 1) mod 0 (1) () (3) Dengan menggunakan sifat 1.. pada fungsi floor, (3) bisa diubah menjadi 6( m1) h d 13( m 1) h d mod 00 0 mod c c mod c () Dengan menggunakan sifat 1.1. pada fungsi floor, merupakan bilangan bulat, () bisa karena suku 0 diubah menjadi mod 6( m1) h d ( m1) d mod () Dengan menggunakan sifat 1.6. dan 1.. pada aritmetika 1, akhirna () dapat modulo pada suku menjadi Dengan melakukan penurunan rumus seperti di atas, untuk kalender Julian, () dapat diubah menjadi CATATAN: Seperti juga pada (1) dan (), pada (6) dan () bulan Januari dan Februari dihitung sebagai bulan ke- 13 dan ke-1 dari tahun sebelumna. Persamaan (6) dan () lebih naman dan aman untuk digunakan dalam pemrograman karena melibatkan lebih sedikit variabel dan tidak melibatkan pencarian sisa bagi dari bilangan negatif. 0 6( m 1) h d 6 mod ( m 1) h d mod (6) () B. Analisis Kekongruenan Zeller pada Kalender Gregorian Dari manakah datangna rumus pada (1)? Sulit untuk membuktikanna secara matematis, namun di sini akan digunakan pendekatan intuitif mengenai rumus tersebut. Pertama, kita tidak ingin penambahan hari kabisat pada akhir Februari memengaruhi perhitungan kita. Oleh karena itu, kita mulai perhitungan dengan memisalkan bulan Maret adalah bulan pertama. Bila seluruh suku dalam tanda kurung pada (1) kita misalkan f, kita ingin mengetahui sisa pembagian f oleh. Kita tidak perlu mengetahui nilai sebenarna dari f. ang terpenting adalah kita ingin nilai f bertambah 1 ketika hari pada satu minggu mundur sehari. Kita analisis f bagian per bagian. Pertama, f bertambah 1 ketika tanggal d bertambah 1, sehingga langkah pertama adalah membangun persamaan berikut. f d (8) Lalu, kita lihat pengaruh pertambahan tahun dalam satu abad,, terhadap mundurna hari, tanpa memperhatikan tahun kabisat. Karena 36(mod ) 1, bertambahna tahun mengakibatkan hari mundur sehari. f d (9)

5 Sekarang, kita mulai memperhitungkan tahun kabisat. Pada tahun kabisat, selain hari mundur karena pertambahan tahun, hari juga mundur karena bertambahna sehari pada bulan Februari. Hal ini terjadi sebelum dimulaina tahun (karena tahun diibaratkan dimulai pada bulan Maret). Akibatna setiap tahun, hari mundur lagi 1 hari. f d () Selama ini kita berhitung hana dalam jangka waktu seabad. Perubahan abad belum diperhitungkan. Kita lihat akibat perubahan abad c dengan anggapan setiap abad bukanlah tahun kabisat. Dalam satu abad, hari mundur 1 hari (0 hari dari pertambahan tahun, hari dari tahun kabisat). Karena 1(mod ), bertambahna abad c mengakibatkan hari maju hari. f d c (11) Lalu, perubahan setiap abad mengakibatkan hari mundur lagi 1 hari (karena bila c habis dibagi, tahun 0c merupakan tahun kabisat). c f d (1) Bagian bulan adalah bagian tersulit. Karena alasan bulan inilah kita memulai tahun dari bulan Maret. Bulan Maret kita ibaratkan memiliki nilai M = 1, April,, Januari 11, dan Februari 1. Untuk setiap bulan, kita akan menghitung kelebihan harina (excess) dari 8 hari (karena 8 mod = 0). M Hari Excess Akumulasi \ / \ / \ Perhatikan bahwa kelebihan hari berulang setiap bulan. Setiap lima bulan itu, mundurna hari adalah 13 hari. Oleh karena itu pastilah ada suku ang mirip dengan 13M dalam f. Bila dihitung: M M Bila kita kurangi dari 13M, kita belum mendapatkan hasil ang seharusna. Dengan melakukan sedikit manipulasi aljabar, kita dapatkan: M M Akumulasi Terlihat bahwa bila kita kurangkan dari dapatkan hasil ang diinginkan. Maka: 13M 1 c 13M 1, kita f d (13) Nilai f ini harus dikoreksi dengan menambahkan atau mengurangkan konstanta dari f agar sesuai dengan hari ang dicari. Kita ambil hari Minggu, 11 Desember 011 sebagai koreksi. Dari situ, didapat d = 11, M =, = 11, dan c = 0. Diperoleh nilai f = 1 dan h = f mod =. Padahal untuk Minggu, dari keterangan (1) seharusna h = 1, karena itu, kita harus menambahkan konstanta 3 ke f. Maka: 13M 1 c f d (1) 1 Terakhir, kita harus mengonversi (1) ke (1). Perhatikan bahwa terdapat hubungan M = m, sehingga: 13( m) 1 1 f d c d d d 1 1 c c c 13( m1) 1 c 8 (1) Dengan menggunakan sifat 1.1 pada aritmetika modulo 13( m1) pada suku 8 pada (1), diperoleh: f d 13( m1) c (16) Karena ang akan dicari adalah h = f mod, kita bisa mempergunakan 1.6. pada aritmetika modulo, sehingga: f d 13( m1) c (1) ang merupakan seluruh suku dalam tanda kurung pada (1). C. Analisis Kekongrueanan Zeller pada Kalender Julian Persamaan () serupa dengan persamaan (1), hana saja c c ) diganti oleh ( c ). Suku-suku suku-suku ( ang tidak mengalami perubahan logika penemuanna sama dengan logika pada bagian Analisis Kekongruenan Zeller pada Kalender Gregorian sebelumna. Sekarang, misalkan seluruh suku di dalam tanda kurung pada () dengan variabel g. Suku ang tidak berubah dari f pada (1) langsung kita masukkan ke g. g d 13( m1) (18) ang berubah dari f hanalah suku ang mengandung c. Oleh karena itu, kita analisis pengaruh perubahan abad pada kalender Julian terhadap mundurna hari. Karena setiap abad pada kalender Julian adalah tahun kabisat, setiap perubahan abad pada kalender Julian mengakibatkan hari mundur 1 hari (0 hari dari pertambahan tahun, hari dari tahun kabisat). Karena 1(mod ) 1, bertambahna abad c mengakibatkan hari maju 1 hari. g d 13( m1) c (19)

6 Lalu, nilai g ini harus dikoreksi dengan menambahkan atau mengurangkan konstanta dari g agar sesuai dengan hari ang dicari. Kita ambil hari Kamis, Oktober 18, akni hari terakhir kalender Julian dipakai, sebagai koreksi. Dari situ, didapat d =, m =, = 8, dan c = 1. Diperoleh nilai g = 119 dan h = f mod = 0. Padahal untuk Kamis, dari keterangan (1) seharusna h =, karena itu, kita harus menambahkan konstanta ke g. Maka: g d 13( m1) c tepat seperti seluruh suku dalam tanda kurung pada (). (0) D. Perluasan Kekongruenan Zeller pada Kalender Hijriah Dengan menggunakan logika di atas, sangat memungkinkan untuk memperluas kekongruenan Zeller ini untuk memperkirakan hari dari suatu tanggal pada kalender Hijriah. Seperti telah dijelaskan pada pendahuluan, hari pada kalender Hijriah dimulai ketika matahari terbenam, namun untuk alasan kepraktisan, pada perhitungan ini, hari pada kalender Hijriah dianggap dimulai pada tengah malam. Karena penambahan hari kabisat terjadi pada bulan terakhir, kita bisa menghitung awal tahun mulai dari Muharam. Kita mulai setahap demi setahap. Kita misalkan variabel ang ingin dicari sisa hasil bagina oleh adalah a. Pertama, a bertambah 1 ketika tanggal d bertambah 1, sehingga langkah pertama adalah membangun persamaan berikut. a d (1) Selanjutna kita lihat pengaruh pertambahan tahun terhadap mundurna hari tanpa memperhatikan tahun kabisat. Perlu diingat bahwa tahun ang digunakan di sini adalah tahun apa adana bukan tahun dalam satu abad (133 H berarti = 133 bukan 33). Jumlah hari dalam 1 tahun biasa adalah 3 hari. Karena 3 mod =, bertambahna tahun mengakibatkan hari mundur hari. a d () Sekarang, kita lihat pengaruh tahun kabisat terhadap mundurna hari. Setiap tahun, terdapat 11 hari kabisat, sehingga hari mundur 11 hari. 11 a d (3) Sisa pembagian tahun dengan menentukan sudah berapa tahun kabisat ang terlewati dalam jangka waktu tahunan itu. Karena perhitungan untuk menentukan tahun kabisat cukup rumit, nilai k ang menatakan berapa tahun kabisat ang telah terlewati dalam jangka waktu tahunan diberikan oleh tabel di bawah ini. Tabel IV Tabel nilai k Nilai r = mod Nilai k r 0 < r 1 < r < r 3 < r < r 1 (Basis-1) 13 < r 16 (Basis-16) 1 < r 18 (Basis-1) 16 < r 18 (Basis-16) 6 18 < r 1 1 < r 8 < r < r 9 Dengan nilai k tersebut, (3) menjadi: k a d 11 () Kita tiba pada perhitungan bulan. Bulan Muharam kita ibaratkan memiliki nilai m = 1, Safar,, Zulkaidah 11, dan Zulhijah 1. Untuk setiap bulan, kita akan menghitung kelebihan harina (excess) dari 8 hari (karena 8 mod = 0). m Hari Excess Akumulasi \ / \ / \ / \ / \ / \ / Perhatikan bahwa kelebihan hari berulang setiap bulan. Setiap dua bulan itu, mundurna hari adalah 3 hari. Oleh karena itu pastilah ada suku ang mirip dengan dalam a. Bila dihitung: m Akumulasi Terlihat bahwa bila kita kurangkan 1 dari dapatkan hasil ang dinginkan. Maka: 11 k, kita a d 1 () Karena ang akan dicari adalah nilai a mod, kita 11, boleh mempergunakan sifat 1.. pada suku sehingga () bisa berubah menjadi: k a d 1 (6) Nilai a ini harus dikoreksi dengan menambahkan atau mengurangkan konstanta dari a agar sesuai dengan hari ang dicari. Kita ambil tanggal 1 Muharam 133 H ang jatuh pada Minggu, November 011, sebagai koreksi. Dari situ, didapat d = 1, m = 1, = 133. Karena 13od 3, dari Tabel IV diperoleh nilai k 8 sehingga nilai a = 99 dan a mod = 0. Padahal untuk Minggu, dari keterangan (1) seharusna a mod = 1, karena itu, kita harus menambahkan konstanta 1 ke a. Maka: k a d () Perubahan abad tidak kita perhitungkan di sini karena dari awal kita tidak membagi-bagi tahun berdasarkan

7 Sumber: (11 Desember 011) Gambar 1 Surat kabar pada tanggal 6 Rabiulakhir (Rabi al-thani) 131 H abad. Lagipula ang berpengaruh pada penanggalan Hijriah adalah perubahan setiap tiga puluh tahunan karena ada tepat 11 tahun kabisat dalam jangka waktu tiga puluh tahunan itu. Akhirna, dari rumus di atas, kita bisa memperkirakan hari dari suatu tanggal Hijriah dengan rumus berikut. h d k mod (8) dengan h adalah hari dalam satu minggu (0 = Sabtu, 1 = Minggu,, 6 = Jumat) d adalah tanggal ang ingin dicari harina m adalah bulan dari tanggal ang ingin dicari harina (1 = Muharam, = Safar,, 11 = Zulkaidah, 1 = Zulhijah) adalah tahun dari tanggal ang bersangkutan k adalah nilai ang menatakan jumlah tahun kabisat ang telah dilewati dalam jangka waktu tiga puluh tahunan, nilaina bisa dilihat pada Tabel IV Rumus ini telah diuji menggunakan Java applet Calendrica di situs calendar-book/calendrica.html dengan pilihan kalender Islamic (Arithmetic). Rumus telah memberikan hasil ang tepat berdasarkan applet tersebut. Namun, rumus ini bisa dipakai hana untuk memperkirakan hari dari suatu tanggal Hijriah. Pada kenataanna, penanggalan Hijriah harus ditentukan pula berdasarkan pengamatan terhadap bulan sehingga terkadang perkiraan ini meleset dari kenataanna. E. Contoh Penggunaan Kekongruenan Zeller Untuk penggunaan pada kalender Gregorian, kita ambil contoh tanggal 1 Agustus 19. Untuk itu, kita gunakan (1). Dari tanggal tersebut, didapat d = 1, m = 8, =, dan c = 19. Maka: 13(8 1) 19 h 1 19 mod 6 mod 6 Dari perhitungan tersebut, dapat disimpulkan bahwa 1 Agustus 19 jatuh pada hari Jumat. Untuk penggunaan pada kalender Julian, kita ambil contoh hari terjadina perang antara bangsa Inggris dan Perancis, Perang Agincourt, Jumat, Oktober 11 (en.wikipedia.org/wiki/battle_of_agincourt). Untuk itu, kita gunakan (). Dari tanggal tersebut, didapat d =, m =, = 1, dan c = 1. Maka: 13( 1) 1 h 1 1 mod 6 mod 6 Dari perhitungan tersebut, kita dapat mengonfirmasi bahwa memang Oktober 11 jatuh pada hari Jumat. Untuk penggunaan pada kalender Hijriah, kita ambil contoh tanggal pada surat kabar di atas, akni 6 Rabiulakhir 131 H. Untuk itu, kita gunakan (8). Dari tanggal tersebut, didapat d = 6, m =, dan = 131. Karena 131mod 1, dari Tabel IV diperoleh nilai k. Maka: h mod 91mod 1 Dari perhitungan tersebut, kita dapat mengonfirmasi bahwa memang 6 Rabiulakhir 131 H jatuh pada hari Minggu.

8 III. KESIMPULAN Kekongruenan Zeller dapat dipakai untuk menentukan hari pada kalender Gregorian dan Julian. Perbedaan kedua kalender ini hanalah permasalahan penentuan tahun kabisat. Karena perbedaan tersebut, persamaan Kekongruenan Zeller berbeda untuk keduana. Prinsip dasar perhitungan Kekongruenan Zeller adalah menghitung perubahan hari untuk suatu perubahan jangka waktu tertentu baik perubahan tanggal (hari), bulan, tahun, empat tahunan (kabisat), abad, empat ratus tahunan, maupun jangka waktu lainna. Dengan prinsip dasar tersebut, Kekongruenan Zeller dapat diperluas untuk memperkirakan hari dari suatu tanggal pada penanggalan Hijriah. Perubahan jangka waktu ang diperhitungkan pada penanggalan ini adalah perubahan tanggal (hari), bulan, tahun, tiga puluh tahunan, dan tahun kabisat ang jangka waktuna tidak pasti. Namun, rumus Kekongruenan Zeller untuk kalender Hijriah pada makalah ini hana bisa memperkirakan hari. Karena perhitungan kalender Hijriah harus disertai dengan pengamatan bulan, bisa jadi perkiraan ini meleset. REFERENSI [1] Rinaldi Munir. Diktat Kuliah IF091 Struktur Diskrit. Bandung: Program Studi Informatika Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung h. V-13 V-1. [] Doctor Peterson. "Deriving Zeller's Rule." Math Forum - Ask Dr. Math. Sabtu, Desember 011. <mathforum.org/librar/drmath/ view/63.html>. [3] "Floor and ceiling functions." Wikipedia, the Free Encclopedia. Sabtu, Desember 011. <en.wikipedia.org/wiki/ Floor_function>. [] "Gregorian calendar." Wikipedia, the Free Encclopedia. Sabtu, Desember 011. <en.wikipedia.org/wiki/gregorian_calendar>. [] "Islamic calendar." Wikipedia, the Free Encclopedia. Sabtu, Desember 011. <en.wikipedia.org/wiki/islamic_calendar>. [6] "Islamic Calendar Sstem." Joda-Time - Java Date and Time API - Home. Sabtu, Desember 011. <joda-time.sourceforge.net/ cal_islamic.html>. [] "Julian calendar." Wikipedia, the Free Encclopedia. Sabtu, Desember 011. <en.wikipedia.org/wiki/julian_calendar>. [8] " Tabular Islamic calendar." Wikipedia, the Free Encclopedia. Sabtu, Desember 011. <en.wikipedia.org/wiki/ Tabular_Islamic_calendar>. [9] "Zeller's Congruence." Wikipedia, the Free Encclopedia. Sabtu, Desember 011. <en.wikipedia.org/wiki/ Zeller's_congruence>. PERNATAAN Dengan ini saa menatakan bahwa makalah ang saa tulis ini adalah tulisan saa sendiri, bukan saduran, atau terjemahan dari makalah orang lain, dan bukan plagiasi. Bandung, 11 Desember 011 Devin Hoesen 13081