PENYELESAIAN PERMASALAHAN TRIM LOSS DENGAN MODEL INTEGER LINEAR PROGRAMMING DAN MIXED INTEGER LINEAR PROGRAMMING

Transkripsi

1 PENYELESAAN PERMASALAHAN TRM LOSS DENGAN MODEL NTEGER LNEAR PROGRAMMNG DAN MXED NTEGER LNEAR PROGRAMMNG Nama Mahasiswa : Pradina Eka Wardani NRP : urusan : Matematika Dosen Pembimbing : Dra. Laksmi Prita Wardhani, M.Si Abstrak Masalah trim loss merupakan masalah kerugian yang timbul dari hasil proses pemotongan yang tidak optimal. erugian ini ditimbulkan oleh beberapa faktor, salah satu diantaranya adalah peletakan pola pemotongan yang kurang tepat sehingga mengakibatkan ketidakefisienan penggunaan bahan baku. Pada Tugas Akhir ini, masalah trim loss ditinjau berdasarkan trim loss dari proses pemotongan kayu. permasalahan trim loss yang dikembangkan merupakan model dalam bentuk nteger Non Linear Programming (NLP) sebab terdapat beberapa kendala dari model yang bersifat bilinier. Untuk mendapatkan hasil penyelesaian dari model tersebut, maka model tersebut dilinierkan ke dalam bentuk nteger Linear Programming () dan Mixed nteger Linear Programming (M). Proses penyelesaian permasalahan dilakukan dalam dua tahapan. Pertama, model permasalahan trim loss bentuk dan M diolah dengan program simulasi sehingga menjadi bentuk model yang siap untuk tahapan selanjutnya. edua, model permasalahan trim loss hasil program simulasi diselesaikan dengan menggunakan LNGO 8 sehingga diketahui penyelesaian permasalahannya. Dari beberapa contoh kasus yang dilakukan, dapat ditunjukkan bahwa model permasalahan trim loss bentuk lebih efisien untuk penyelesaian permasalahan jika dibandingkan dengan model permasalahan trim loss bentuk M. ata kunci : trim loss, nteger Linear Programming (), nteger Non Linear Programming (NLP), Mixed nteger Linear Programming (M) 1. Pendahuluan Pada proses produksi, khususnya pada proses pemotongan material, sering dihasilkan sisa potongan material yang tidak dapat digunakan lagi. Hal ini tidak dapat dihindari karena bahan baku yang diterima dari pemasok tidak selalu dapat memenuhi ukuran dimensi yang sesuai dengan yang diharapkan pada setiap proses. Masalah ini dikenal sebagai masalah trim loss yang berarti kerugian yang timbul dari hasil proses pemotongan yang tidak optimal. erugian ini ditimbulkan oleh beberapa faktor, salah satu diantaranya adalah peletakan pola pemotongan yang kurang tepat sehingga mengakibatkan ketidakefisienan penggunaan bahan baku. Sebenarnya permasalahan trim loss tidak selalu dihadapi oleh setiap industri. ndustri yang menggunakan bahan baku yang bisa didaur ulang seperti industri logam dan sebagainya mungkin tidak akan menjadikan masalah trim loss sebagai kendala utama, namun tidak demikian halnya dengan industri yang menggunakan bahan baku yang selain tidak dapat didaur ulang juga mahal dan sukar diperoleh seperti kertas, plastik dan kayu. Masalah trim loss selain mengakibatkan adanya pemborosan dalam penggunaan bahan baku juga menimbulkan biaya kerugian bahan baku yang cukup besar terutama untuk bahan baku yang mahal, sehingga biaya produksi yang diharapkan seminimal mungkin malah menjadi besar. Permasalahan trim loss dalam Tugas Akhir ini dibentuk berdasarkan data proses pemotongan kayu yang diperoleh dari PT. Sinarindo Megantara serta model permasalahan trim loss yang dikembangkan oleh Harjunkoski (1996). Pembahasan trim loss dalam Tugas Akhir ini dilakukan dengan mengabaikan faktor-faktor eksternal seperti kerusakan mesin, tetapi hanya menitikberatkan pada pengaturan pola pemotongan yang optimal. Permasalahan trim loss dibentuk dalam bentuk integer non-linear programming (NLP). Permasalahan ini juga dapat dituliskan dan diperluas dalam bentuk linier sehingga dapat dibentuk sebagai permasalahan integer linear programming () atau mixed integer linear programming (M). Adapun tujuan dari Tugas Akhir ini adalah : 1. Mendapatkan model permasalahan trim loss dalam bentuk NLP. 1

2 2. Memperoleh model matematis permasalahan trim loss dalam bentuk dan M. 3. Mendapatkan hasil penyelesaian permasalahan trim loss, baik dengan menggunakan maupun M. 4. Mengetahui hasil penyelesaian permasalahan trim loss yang lebih efisien antara model dan M. 2. Trim Loss Tujuan utama CSP adalah untuk meminimalkan trim loss yang biasanya didefinisikan sebagai peminimalan jumlah pola pemotongan. Tetapi pada umumnya trim loss pada setiap pemotongan bisa diformulasikan sebagai: " trim loss = panjang objek - total panjang pemotongan material" Formulasi di atas dapat diaplikasikan baik dalam metode CSP yang berorientasi item maupun berorientasi pola. Dalam kasus proses pemotongan tumpukan kertas (Westerlund, 1998), permasalahan trim loss bisa dikategorikan sebagai permasalahan non convex integer nonlinear programming. Adapun formulasinya adalah sebagai berikut : R min c r m r B r,max f B q,m r,y r r=1 Dengan kendala : + c r y r (2.1) B q B r,max 0 (2.2) B q + B r,min 0 (2.3) Z r,max 0 (2.4) m r Z y r 0 (2.5) r = 1,2,3,, R N q R r=1 R r=1 q = 1,2,3,,, m r Z + y r {0,1} m r 0 (2.6) m r N q q 0 (2.7) : banyak tipe lembaran kertas q= 1,2,3,, R : banyak pola pemotongan r= 1,2,3,, R B q : lebar dari lembaran kertas ke-q N q : banyak lembaran kertas ke-q B r,min : lebar minimum pola pemotongan ke-r B r,max : lebar maksimum pola pemotongan ke-r Z r,max : maksimum banyaknya pisau untuk pola pemotongan ke-r : jumlah lembaran kertas ke-q untuk pola pemotongan ke-r m r : banyaknya pola pemotongan ke-r y r : pola pemotongan ke-r yang akan digunakan atau tidak c r : koefisien biaya f : bobot produk yang disesuaikan dengan Z : bilangan positif q : banyak produk tambahan ke-q yang dapat dijual 3. Proses Pemotongan ayu Proses pemotongan kayu merupakan sebuah proses membagi potongan kayu yang besar (kayu baku) menjadi potongan-potongan kayu yang lebih kecil (kayu produk). Proses pemotongan kayu dilakukan melalui tiga tahapan yaitu: 1. Pemotongan tebal kayu, kayu baku dipotong pada sisi tebal dengan ukuran yang sesuai dengan tebal kayu produk. 2. Pemotongan panjang kayu, setiap hasil pemotongan tebal kayu baku dipotong pada sisi panjang dengan ukuran yang sesuai dengan panjang kayu produk. 3. Pemotongan lebar kayu, setiap hasil pemotongan panjang kayu baku dipotong pada sisi lebar dengan ukuran yang sesuai dengan lebar kayu produk. (a) (b) dimana, 2

3 (c) Gambar 3.1 Gambar proses pemotongan kayu. (a) Pemotongan tebal kayu, (b) Pemotongan panjang kayu, dan (c) Pemotongan lebar kayu 4. NLP Permasalahan Trim Loss yang digunakan sebagai landasan dalam pengerjaan Tugas Akhir ini merupakan model optimasi trim loss yang dikembangkan oleh Westerlund (1996). Dalam jurnal ilmiahnya, model optimasi trim loss tersebut digunakan dalam pemotongan kertas (persamaan 2.1 (2.7)). Permasalahan pemotongan kayu dengan tujuan untuk meminimumkan trim loss dari hasil pemotongan kayu, dapat ditulis sebagai min N j V v i m ij N j,n ij dengan kendala: d i v i N j (4.1) m i,j V 0 (4.2) m ij m ij, N j Z + N j 0, i = 1,, (4.3) p 0 (4.4) 5. Permasalahan Trim Loss Untuk mendapatkan model permasalahan trim loss maka dilakukan proses pelinieran pada model NLP permasalahan trim loss. Pelinieran dilakukan dengan menggunakan teknik enumerasi. Teknik enumerasi adalah mengasumsikan salah satu variabel yang menyebabkan munculnya sifat bilinier menjadi sebuah parameter. Variabel yang dijadikan parameter adalah variabel m ij. permasalahan trim loss dapat ditulis sebagai min N j V v i m ij N j (5.1) dengan kendala: d i j=1 m ij N j 0, i = 1,, (5.2) N j p 0, j = 1,, (5.3) N j Z + 6. M Permasalahan Trim Loss Sama seperti sebelumnya, untuk mendapatkan model M permasalahan trim loss juga dilakukan proses pelinieran. Cara yang digunakan untuk pelinieran adalah mengganti variabel-variabel integer yang menyebabkan model permasalahan trim loss berbentuk nonlinier. Variabel-variabel integer yang dimaksud yaitu variabel N j dan m ij. Dalam pelinieran, variabel N j akan digantikan dengan variabel biner sedangkan perkalian antara variabel integer m ij dengan variable biner akan digantikan oleh variabel S i,j,k. Rumus yang digunakan adalah: N j = k=1, j = 1,, m i,j = S i,j,k M permasalahan trim loss dapat ditulis sebagai min,s i,j,k j=1 k=1 dengan kendala: d i k=1 v i V k=1 S i,j,k v i (6.1) m i,j V 0 (6.2) j=1 k=1 S i,j,k 0, i = 1,, (6.3) p 0, j = 1,, (6.4) S i,j,k m ij 0 (6.5) i = 1,,, j = 1,,, k = 1,, S i,j,k + m ij L i,j (1 ) 0 (6.6) i = 1,,, j = 1,,, k = 1,, S i,j,k L i,j 0 (6.7) S i,j,k L i,j 0 (6.8) i = 1,,, j = 1,,, k = 1,, 0,1, S i,j,k R + 3

4 7. Penyelesaian Permasalahan Untuk mendapatkan hasil penyelesaian dari model permasalahan maka diperlukan dua tahapan. Tahapan yang pertama adalah pengolahan data dengan menggunakan program simulasi. Sedangkan tahapan yang kedua adalah penyelesaian akhir dengan menggunakan software LNGO 8. Program simulasi dibuat untuk menjabarkan model dan M dari permasalahan trim loss sesuai dengan data yang menjadi masukan bagi program. Gambar 7.1 Program simulasi 8. Uji Coba dan Hasil asus 1 Pada kasus 1, ukuran dimensi kayu baku yang digunakan adalah tebal = 32 mm, panjang = 4200 mm, dan lebar = 130 mm. Sedangkan jumlah persediaan dari kayu baku tersebut adalah sebanyak 398 unit. Untuk ukuran dimensi dan jumlah kayu produk disajikan pada Tabel 8.1. Berdasarkan data pada Tabel 8.1, dilakukan tiga kali uji coba, yaitu uji coba dengan menggunakan tiga data (E10, G10, dan E7), lima data (E10, E12, G10, B4, dan E7), dan tujuh data. Tabel 8.1 Data kayu produk No. Tebal Panjang Lebar Demand omponen (mm) (mm) (mm) (unit) E E G G B G E Hasil dari setiap uji coba adalah sebagai Tabel 8.2 Hasil penyelesaian kasus 1 Uji Coba Hasil Penyelesaian M 3 data x x data x x data x x 10 8 asus 2 Pada kasus 2, ukuran dimensi kayu baku yang digunakan adalah tebal = 32 mm, panjang = 4200 mm, dan lebar = 140 mm. Sedangkan jumlah persediaan dari kayu baku tersebut adalah sebanyak 897 unit. Untuk ukuran dimensi dan jumlah kayu produk menggunakan data yang disajikan pada Tabel 8.1. Berdasarkan data pada Tabel 8.1, dilakukan tiga kali uji coba, yaitu uji coba dengan menggunakan tiga data (E10, G10, dan E7), lima data (E10, E12, G10, B4, dan E7), dan tujuh data. Hasil dari setiap uji coba adalah sebagai Tabel 8.3 Hasil penyelesaian kasus 2 Hasil Penyelesaian Uji Coba M 3 data x x data x x data x x 10 8 asus 3 Pada kasus 3, ukuran dimensi kayu baku yang digunakan adalah tebal = 32 mm, panjang = 4200 mm, dan lebar = 160 mm. Sedangkan jumlah persediaan dari kayu baku tersebut adalah sebanyak 322 unit. Untuk ukuran dimensi dan jumlah kayu produk menggunakan data yang disajikan pada Tabel 8.1. Berdasarkan data pada Tabel 8.1, dilakukan tiga kali uji coba, yaitu uji coba dengan menggunakan tiga data (E10, G10, dan E7), lima data (E10, E12, G10, B4, dan E7), dan tujuh data. Hasil dari setiap uji coba adalah sebagai 4

5 Tabel 8.4 Hasil penyelesaian kasus 3 Uji Coba Hasil Penyelesaian M 3 data x x data x x data x x an Hasil Penyelesaian an hasil penyelesaian dari masing-masing uji coba pada kasus 1, 2, dan 3 disajikan dalam Tabel 9.1 s.d Tabel 9.9 berikut ini. Tabel 9.1 an kasus 1 dengan 3 data M Fungsi objektif (mm 3 ) x x 10 8 Variabel Fungsi pembatas Percabangan 0 43 terasi Waktu 00:00:00 00:00:00 Tabel 9.2 an kasus 2 dengan 3 data M Fungsi objektif (mm 3 ) x x 10 7 Variabel Fungsi pembatas Percabangan terasi Waktu 00:00:00 00:00:01 Tabel 9.3 an kasus 3 dengan 3 data M Fungsi objektif (mm 3 ) x x 10 8 Variabel Fungsi pembatas Percabangan terasi Waktu 00:00:00 00:00:02 Tabel 9.4 an kasus 1 dengan 5 data M Fungsi objektif (mm 3 ) x x 10 8 Variabel Fungsi pembatas Percabangan terasi Waktu 00:00:00 00:00:03 Tabel 9.5 an kasus 2 dengan 5 data M Fungsi objektif (mm 3 ) x x 10 8 Variabel Fungsi pembatas Percabangan terasi Waktu 00:00:00 00:01:35 Tabel 9.6 an kasus 3 dengan 5 data M Fungsi objektif (mm 3 ) x x 10 8 Variabel Fungsi pembatas Percabangan terasi Waktu 00:00:00 00:06:51 Tabel 9.7 an kasus 1 dengan 7 data M Fungsi objektif (mm 3 ) x x 10 8 Variabel Fungsi pembatas Percabangan terasi Waktu 00:00:00 00:05:04 Tabel 9.8 an kasus 2 dengan 7 data M Fungsi objektif (mm 3 ) x x 10 8 Variabel Fungsi pembatas Percabangan terasi Waktu 00:00:00 00:06:04 Tabel 9.9 an kasus 3 dengan 7 data M Fungsi objektif (mm 3 ) x x 10 8 Variabel Fungsi pembatas Percabangan

6 terasi Waktu 00:00:00 00:02:07 Berdasarkan pembandingan diperoleh beberapa kesimpulan sebagai 1. Fungsi objektif diperoleh nilai yang sama sebab kedua model memiliki permasalahan yang sama hanya saja terdapat perbedaan pada penulisan fungsi objektifnya. 2. Variabel diperoleh nilai yang berbeda sebab variabel pada model (N j ) diperluas menjadi variabel biner ( ) pada model M. 3. Fungsi pembatas diperoleh nilai yang berbeda sebab fungsi pembatas pada model M memiliki jumlah yang lebih banyak daripada model. 4. Percabangan diperoleh nilai yang berbeda sebab variabel yang digunakan pada model M lebih banyak daripada model. 5. terasi diperoleh nilai yang berbeda sebab jumlah percabangan yang digunakan pada model M lebih banyak daripada model. 6. Waktu diperoleh nilai yang berbeda sebab jumlah iterasi yang digunakan pada model M lebih banyak daripada model. 10. esimpulan 1. permasalahan trim loss dalam bentuk NLP adalah persamaan (4.1) (4.4). 2. permasalahan trim loss dalam bentuk diperoleh dari hasil pelinieran model permasalahan trim loss bentuk NLP dengan menggunakan teknik enumerasi, sedangkan model penyelesaian permasalahan trim loss dalam M diperoleh dari hasil pelinieran model permasalahan trim loss bentuk NLP dengan cara mengganti variabel N j dan m i,j. ditulis pada persamaan (5.1) (5.3). Sedangkan model M ditulis pada persamaan (6.1) (6.8). 3. Penyelesaian permasalahan trim loss dilakukan dalam dua tahapan. Tahapan pertama adalah tahap pengolahan data dengan menggunakan program simulasi. Tahapan kedua merupakan penyelesaian akhir, yaitu hasil yang diperoleh dari program simulasi dijadikan sebagai input dan diselesaikan dengan menggunakan LNGO Hasil pembandingan menunjukkan bahwa model lebih efisien untuk penyelesaian permasalahan trim loss daripada model M dalam segi jumlah variabel, fungsi pembatas, percabangan, iterasi, dan lama waktu. 11. Daftar Pustaka [1]. avanshir, H. dan Shadalooee, M., April "The trim loss concentration in onedimensional cutting stock problem (1D- CSP) by defining a virtual cost". ournal of ndustrial Engineering nternasional 2007, Vol. 3, No. 4, [2]. arelahti,. 25 Nov Solving the Cutting Stock Problem in the Steel ndustry. Master s Thesis Submitted in Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Master of Science in Technology. [3]. Siringoringo, Hotniar Seri Teknik Riset Operasional. Pemrograman Linear. Penerbit Graha lmu. Yogyakarta. [4]. Lasserre,. B Linear and nteger Programming vs Linear ntegration and Counting. Springer Science + Business Media, LLC. [5]. Westerlund, T., saksson,., dan Harjunkoski,. 24 Okt "Solving a two-dimentional trim-loss problem with M". European ournal of Operation Research 104 (1998) [6]. Westerlund, T., saksson,., Harjunkoski,., dan Skrifvars, H "Different Formulations for Solving Trim Loss Problems in A Paper-Converting Mill with ". Computers chem. Engng Vol. 20, Suppl., pp. S121-S126. [7]. Williams, H. P Logic and nteger Programming. Springer Science + Business Media, LLC. 6