PENGENDALIAN KUALITAS PRODUK X UNTUK KARAKTERISTIK ph DENGAN MENGGUNAKAN GRAFIK PENGENDALI BERDASARKAN DENSITAS KERNEL

Transkripsi

1 PENGENDALIAN KUALITAS PRODUK X UNTUK KARAKTERISTIK ph DENGAN MENGGUNAKAN GRAFIK PENGENDALI BERDASARKAN DENSITAS KERNEL Novriyanthi Taungke, Adi Setiawan, Hanna Arini Parhusip Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana Salatiga Jl. Diponegoro Salatiga Abstrak Sebuah perusahaan dalam memproduksi suatu produk perlu memperhatikan kualitas produk yang dihasilkan agar dapat bersaing di pasaran. Untuk menghasilkan produk yang berkualitas, maka pengendalian kualitas sangat diperlukan untuk mengontrol proses produksi agar dapat diketahui apakah terjadi penyimpangan pada proses tersebut. Metode yang digunakan untuk mengontrol proses produksi adalah metode Statistical Process Control (SPC). Salah satu alat yang dapat digunakan dalam SPC adalah grafik pengendali berdasarkan densitas kernel. Grafik pengendali berdasarkan densitas kernel merupakan salah satu grafik pengendali non parametrik. Hal yang penting dalam dugaan densitas kernel adalah pemilihan bandwidth yang optimal. Dalam penelitian ini digunakan grafik pengendali berdasarkan densitas kernel untuk mengendalikan proses produksi. Data yang digunakan merupakan data karakteristik ph produk X. Pengolahan data dilakukan dengan menggunakan program R Pemilihan h yang optimal dilakukan dengan cara meminimalkan Cross Validation. Dengan menggunakan dugaan densitas kernel dapat dibuat suatu grafik pengendali. Dalam kasus ini, kernel yang baik digunakan adalah kernel Epanechnikov, Gaussian dan Rectangular. Kata kunci : kualitas, SPC, grafik pengendali berdasarkan densitas kernel. 1. PENDAHULUAN Latar Belakang Pada zaman yang semakin modern ini, tentunya persaingan bisnis antara perusahaanperusahaan sangat ketat. Setiap perusahaan bersaing untuk menarik perhatian konsumen untuk menggunakan produk yang dihasilkan oleh perusahaan tersebut. Kualitas barang atau jasa merupakan salah satu faktor yang sangat mempengaruhi dalam menarik perhatian konsumen. Dalam hal ini yang dimaksud kualitas adalah ukuran seberapa dekat suatu barang atau jasa sesuai dengan standar tertentu (Marimin, 2005). Peningkatan kualitas barang atau jasa terus menerus dilakukan oleh setiap perusahaan agar dapat bersaing di pasar global. Di dunia yang penuh persaingan, perusahaan yang efektif adalah perusahaan yang dapat memberikan produk atau jasa yang berkualitas kepada konsumen. Para pengecer, bank, perusahaan manufaktur, pengacara, dokter, dan perusahaan lainnya menemukan agar tetap dapat bertahan dalam bisnis (bertahan dalam istilah efektivitas) konsumen harus senantiasa dibuat senang dan puas (Ivancevich, 2006). Mengingat bahwa peranan kualitas sangat penting dalam setiap perusahaan maka pengendalian kualitas sangat dibutuhkan dalam proses produksi untuk menjaga kestabilan kualitas. Pengendalian kualitas adalah aktivitas keteknikan dan manajemen, dimana aktivitas tersebut mengukur ciri-ciri kualitas produk, membandingkannya dengan spesifikasi atau persyaratan, dan mengambil tindakan penyehatan yang sesuai apabila ada perbedaan antara

2 penampilan yang sebenarnya dan yang standar (Montgomery, 1990). Pengendalian tersebut bertujuan untuk mendeteksi penyimpangan-penyimpangan yang terjadi agar dapat dilakukan suatu tindakan koreksi terhadap proses dan sistem yang digunakan dalam mengolah produk. Melalui pengendalian ini dapat membantu dalam menghasilkan produk yang lebih berkualitas sehingga dapat memberi kepuasan terhadap konsumen. Menurut Russel dan Taylor (1998) pengendalian kualitas dapat dilakukan dengan menggunakan Statisical Process Control (SPC) dan salah satu alat statistik yang melandasi hal tersebut adalah grafik pengendali (Marimin, 2005). Suatu alat yang digunakan dalam pengendalian kualitas secara statistik pada proses produksi disebut grafik pengendali (Control Chart). Salah satu contoh grafik pengendali adalah grafik pengendali rata-rata atau disebut dengan grafik pengendali Shewhart. Dalam grafik pengendali Shewhart menggunakan asumsi dasar berdistribusi normal. Namun dalam kenyataannya, karakteristik kualitas tidak selalu berdistribusi normal. Dalam kasus sampel yang tidak berdistribusi normal, grafik pengendali Shewhart kurang sesuai jika digunakan. Oleh karena itu, dikembangkan alternatif grafik pengendali dengan pendekatan non parametrik karena metode non parametrik tidak membutuhkan asumsi distribusi normal (Najib, 2007). Salah satu cara untuk membangun grafik pengendali non parametrik yaitu berdasarkan pendekatan kernel yang telah diperkenalkan oleh Vermaat et al. (2003). Fungsi densitas kernel atau fungsi kernel merupakan fungsi yang digunakan untuk menduga fungsi densitas suatu peubah. Beberapa fungsi kernel antara lain kernel Epanechnikov, Biweight, Triangular, Gaussian dan Rectangular. Pada penelitian ini akan dibahas Pengendalian Kualitas produk X untuk Karakteristik ph dengan Grafik Pengendali Berdasarkan Densitas Kernel. Perumusan Masalah Perumusan masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana menerapkan grafik pengendali berdasarkan fungsi densitas kernel untuk mengendalikan kualitas produk. Tujuan Penelitian Tujuan dalam penelitian ini adalah menerapkan grafik pengendali berdasarkan fungsi densitas kernel. 2. DASAR TEORI Pada pasal ini akan dibahas pokok pembahasan yang berkaitan tentang Statistical Process Control (SPC) dan Fungsi Densitas Kernel. Statistical Process Control (SPC) Pengendalian kualitas adalah aktivitas keteknikan dan manajemen, dimana aktivitas tersebut mengukur ciri-ciri kualitas produk, membandingkannya dengan spesifikasi atau persyaratan, dan mengambil tindakan penyehatan yang sesuai apabila ada perbedaan antara penampilan yang sebenarnya dan yang standar (Montgomery, 1990). Statistical Process Control (SPC) merupakan salah satu metode pengendalian kualitas. Pada tahun 1924, Walter A. Shewhart dari Bell Telephone Laboratories mengembangkan diagram pengawasan dengan pendekatan statistik untuk mengontrol variabel-variabel penting dalam proses produksi. Metode SPC lebih banyak menggunakan pendekatan diagram-diagram fungsi dan statistika dalam implementasinya. Metode tersebut merupakan salah satu cikal bakal konsep pendekatan jaminan

3 kualitas terbaik yang diperkenalkan di dunia industrialisasi modern. Oleh karena konsep-konsep strateginya tersebut, pada masa sekarang Shewhart dianggap sebagai tokoh statistical quality control. SPC dapat mengidentifikasi dan membedakan apakah sebuah proses dalam keadaan variasi normal atau status fluktuasi abnormal (Hidayat, 2007). Statistical Process Control adalah sekumpulan strategi, teknik, dan tindakan yang diambil oleh sebuah organisasi untuk memastikan bahwa strategi tersebut menghasilkan produk yang berkualitas atau menyediakan pelayanan yang berkualitas (Lind, 2008). Dalam kamus manajemen (mutu) dikatakan bahwa Statistical Process Control (pengendalian proses secara statistik) merupakan pengaplikasian teknik-teknik statistik untuk mengendalikan suatu proses untuk menentukan stabilitasnya dan kemampuannya menghasilkan produk/jasa bermutu (Sugian, 2006). SPC memiliki kemampuan untuk mendeteksi segala bentuk penyimpangan/ketidaksesuaian maupun kesesuaian terhadap standar (produk, proses maupun sistem). Dengan demikian perusahaan dapat mengidentifikasi penyimpangan-penyimpangan yang terjadi sehingga dapat diambil tindakan perbaikan yang diperlukan agar produk yang dihasilkan dapat memenuhi standar atau berkualitas. Sebuah proses adalah serangkaian operasi untuk mengubah input seperti tenaga kerja, bahan mentah, dan metode menjadi output, dalam bentuk produk atau jasa. Dalam proses apapun, tidak dapat dihindari terjadinya variasi dalam pengukuran kualitas dari produk yang satu ke produk yang lain atau dari jasa yang satu ke jasa yang lain. Kontrol proses statistik adalah penerapan metode kendali mutu statistik ke dalam pemantauan proses (dan bukan hanya dalam pemeriksaan output akhir dari proses tersebut). Tujuannya adalah untuk mengendalikan mutu output produk atau jasa dari sebuah proses dengan menjaga kontrol dari proses tersebut. Jika sebuah proses digambarkan sebagai berada dalam kendali, artinya bahwa jumlah variasi dalam output masih relatif konstan dan masih berada dalam batas yang dapat diterima (Kazmier, 2005). Salah satu alat yang dapat digunakan dalam SPC adalah grafik pengendali. Grafik pengendali ini akan memberikan tanda apakah ada masalah atau penyimpangan dalam suatu proses. Salah satu contoh grafik pengendali yang dapat digunakan dalam pengendalian proses secara statistika dalam produksi adalah grafik pengendali berdasarkan densitas kernel. Kualitas Kualitas adalah ukuran seberapa dekat suatu barang atau jasa sesuai dengan standar tertentu. Standar mungkin berkaitan dengan waktu, bahan, kinerja, keandalan, atau karakteristik (objektif dan dapat diukur) yang dapat dikuantifikasikan (Marimin, 2005). Kualitas memegang peranan penting dalam pengambilan keputusan konsumen untuk mengkonsumsi barang atau jasa yang beredar di pasaran. Demikian pula bagi para produsen sangat memperhatikan kualitas barang atau jasa yang dihasilkan agar barang atau jasa yang dihasilkan tersebut dapat bersaing di pasaran. Kualitas dapat juga didefinisikan sebagai kecocokan penggunaannya. Ada dua segi umum tentang kualitas yaitu kualitas rancangan dan kualitas kecocokan. Semua barang dan jasa dihasilkan dalam berbagai tingkat kualitas. Variasi dalam tingkat kualitas ini memang disengaja, maka dari itu istilah teknik yang sesuai adalah kualitas rancangan. Sedangkan kualitas kecocokan adalah seberapa baik produk itu sesuai dengan spesifikasi dan kelonggaran yang disyaratkan oleh rancangan itu. Kualitas kecocokan dipengaruhi oleh banyak faktor, termasuk pemilihan proses pembuatan, latihan dan pengawasan angkatan kerja, jenis sistem jaminan kualitas (pengendalian proses, uji aktivitas pemeriksaan dan sebagainya) yang digunakan, seberapa jauh prosedur

4 jaminan kualitas ini diikuti, motivasi angkatan kerja untuk mencapai kualitas (Montgomery, 1990). Tiap produk mempunyai sejumlah unsur yang bersama-sama menggambarkan kecocokan penggunanya. Parameter-parameter ini biasanya dinamakan ciri-ciri kualitas. Ciri-ciri kualitas ada beberapa jenis : 1. Fisik. Panjang, berat, voltase, kekentalan. 2. Indera. Rasa, penampilan, warna. 3. Orientasi waktu. Keandalan (dapat dipercaya), dapat dipelihara, dapat dirawat (Montgomery, 1990). Setiap perusahaan tentunya menginginkan produk atau jasa yang dihasilkan dapat diterima oleh para konsumen sehingga dapat bersaing di pasaran. Oleh karena itu, agar perusahaan berhasil dalam persaingan global, sangat penting bagi perusahaan untuk memperhatikan kualitas produk atau jasa. Grafik Pengendali Pengendalian proses statistik pada jalur adalah alat utama yang digunakan dalam membuat produk dengan benar sejak awal. Grafik pengendali adalah macam prosedur pengendalian proses pada jalur yang paling sederhana. Grafik pengendali dapat juga digunakan untuk menaksir parameter suatu proses produksi, dan melalui informasi ini, dapat menentukan kemampuan proses. Selain itu, grafik pengendali dapat juga memberikan informasi yang berguna dalam meningkatkan proses itu (Montgomery, 1990). Salah satu tujuan penggunaan grafik pengendali adalah untuk menemukan, jika mungkin menghilangkan sebab-sebab khusus variasi. Variasi yang muncul dalam berbagai proses dapat dikarenakan oleh sebab-sebab biasa maupun oleh sebab-sebab khusus. Keragaman alamiah yang ada pada bahan, mesin, dan manusia merupakan sebab-sebab biasa yang timbulnya variasi di dalam proses. Dalam konteks industri, sebab-sebab khusus dinisbahkan pada hal-hal misalkan tingkat aus yang berlebihan pada alat, operator baru yang belum terampil, penggantian bahan, pemasok yang berbeda, dan sebagainya (Spiegel, 2007). Secara umum, grafik pengendali terdiri dari elemen batas-batas pengendali dan sebuah garis pertengahan, seperti yang diperlihatkan pada Gambar 1. Bentuk dasar grafik pengendali tersebut merupakan peragaan grafik suatu karakteristik kualitas yang telah diukur atau dihitung dari sampel terhadap nomor sampel atau waktu. Pada grafik pengendali memuat garis tengah yang merupakan nilai rata-rata karakteristik kualitas yang berkaitan dengan keadaan terkontrol yaitu hanya sebab-sebab tak tersangka yang ada (Montgomery, 1990). Selain itu, grafik pengendali juga mempunyai dua batas pengendali yaitu batas pengendali atas (upper limit control) dan batas pengendali bawah (lower limit kontrol). Batas pengendali atas dan batas pengendali bawah sering disebut dengan UCL dan LCL. Apabila titik-titik sampel berada di antara UCL dan LCL maka dapat dikatakan bahwa proses dalam keadaan terkendali. Akan tetapi, jika ada titik-titik sampel yang berada di luar UCL atau LCL maka proses dikatakan tidak terkendali.

5 Gambar 1. Grafik Pengendali Grafik Pengendali Unit Individu Banyak proses yang menggunakan ukuran sampel n = 1 untuk pengendalian proses. Ini seringkali terjadi apabila digunakan teknologi pemeriksaan dan pengukuran otomatis dan setiap unit yang diproduksi diperiksa. Ini juga terjadi apabila tingkat produksi terlalu lamban untuk dapat menggunakan ukuran sampel n > 1 dengan enak, atau apabila pengukuran-pengukuran berulang hanya berbeda karena kesalahan laboratori atau analisis, seperti dalam banyak proses kimia. Dalam hal seperti itu, grafik pengendali unit individual akan berguna (Montgomery, 1990). Menurut Harinaldi (2005), grafik pengendali nilai individu adalah grafik yang memonitor setiap nilai yang diamati dalam sebuah proses. Sebuah grafik pengendali nilai-nilai individu didasarkan pada probabilitas dengan distribusi normal. Unsur unsur pada grafik pengendalinya ditentukan sebagai berikut :,,. (2.4) dengan = rata-rata (mean) sampel, = deviasi standar sampel, kelipatan deviasi standar. Biasanya kelipatan deviasi standar dalam teknik statistik digunakan k = 3 (Montgomery, 1990). Fungsi Densitas Kernel Metode statistika non parametrik merupakan salah satu metode yang mudah dalam penerapan dan relatif sederhana. Hal ini disebabkan metode statistika non parametrik tidak

6 memerlukan asumsi normalitas, maka metode ini sering disebut sebagai metode distribusi bebas. Metode statistika non parametrik dapat juga digunakan untuk pengujian hipotesis maupun untuk dugaan. Salah satu dugaan dengan menggunakan metode statistika non parametrik yaitu dugaan fungsi densitas. Dalam statistik, fungsi densitas kernel merupakan salah satu metode non parametrik untuk menduga fungsi kepadatan probabilitas dari suatu variabel acak (web 4). Suatu fungsi K disebut fungsi kernel jika K fungsi kontinu, bernilai riil, simetris dan terbatas (Web 5). Berikut adalah sifat-sifat dari fungsi kernel. a. Memenuhi hukum probabilitas, 1 b. Memiliki mean sama dengan nol, 0 c. Memiliki nilai variansi yang berupa konstanta yang tidak sama dengan nol,, 0. Salah satu teknik untuk mengestimasi fungsi mulus adalah teknik pemulus kernel (Hardle, 1990). Teknik pemulus kernel pada estimator densitas merupakan pengembangan dari estimator histogram (Odgen, 1997). Jika diketahui F(x) merupakan fungsi distribusi dari fungsi densitas f(x), maka: 1 lim 2 Bila nilai h diambil cukup kecil, akan mendekati fungsi f(x). Untuk menduga densitas pada suatu x dalam interval, dapat dirumuskan sebagai berikut : #, dengan 1 yang dikenal sebagai fungsi kernel Rectangular, # menyatakan banyak data pada interval, dan I merupakan fungsi indikator. Dikatakan sebagai fungsi indikator jika,

7 Secara umum fungsi densitas kernel di atas dapat dituliskan sebagai 1 dengan ukuran sampel,, peubah beba, titik sampel ke, 1, 2,.,, kernel. 2.5 Dalam hai ini h merupakan parameter pemulus (smoothing parameter) disebut juga dengan bandwidth. Untuk menentukan dugaan densitas kernel, fungsi K dapat diganti dengan fungsi-fungsi kernel lainnya. Beberapa fungsi kernel yang terkenal antara lain kernel Epanechnicov, Biweight, Triangular, Gaussian, dan Rectangular seperti yang dicantumkan pada Tabel 1. Dengan menggunakan definisi fungsi kernel Epanechnicov, Biweight, Triangular, Gaussian, dan Rectangular dapat digambarkan grafik dari masing-masing kernel seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2. Kernel Epanechnikov Tabel 1. Fungsi Kernel K(z). 0 untuk z 5 lainnya Biweight Triangular Gaussian Rectangular untuk z 1 lainnya untuk z 1 lainnya untuk z 1 lainnya Penduga Densitas Terbaik Kebaikan penduga densitas kernel ditentukan oleh dua hal penting yaitu pemilihan fungsi kernel dan bandwidth (h). Namun yang paling menentukan adalah pemilihan h yang optimal (Santoso, 2008). Bandwidth disebut juga sebagai parameter pemulus karena tingkat kemulusan ditentukan oleh fungsi kernel dan bandwidth. Nilai h yang kecil memberikan grafik yang

8 kurang mulus sedangkan nilai h yang besar memberikan grafik yang sangat mulus. Sebagai contoh seperti yang ditunjukkan pada gambar 3 dengan mengambil 70 sampel data dari karakteristik ph. Terlihat bahwa semakin besar h yang digunakan semakin mulus grafik dugaan densitasnya. Oleh karena itu, perlu dipilih nilai h yang optimal untuk memperoleh hasil dugaan densitas yang akurat. Epanechnikov Biweight K(z) K(z) z z Triangular Gaussian K(z) K(z) z z Rectangular K(z) z Gambar 2. Grafik Fungsi Kernel Gambar 3. Dugaan densitas menggunakan h = 0.01, h = 0.02, h = 0.03 dan h = 0.04.

9 Salah satu metode pemilihan bandwidth optimal adalah menggunakan metode Cross Validation. Cross Validation (CV) merupakan metode yang digunakan untuk menduga kesalahan prediksi. Salah satu bentuk Cross Validation adalah Least Squares Cross Validation. Dibentuk persamaan jarak antara fungsi densitas f dan fungsi penduga dinyatakan sebagai berikut : 2. Bagian A dapat dihitung dari data dan bagian C merupakan nilai konstan yang tidak tergantung kepada h, sehingga meminimalkan adalah identik dengan meminimalkan 2. Bagian B adalah bentuk dari 2 yang harus diduga dari data. Dengan menggunakan metode leave one out cross-validation diperoleh 1, dengan 1 1, 1. Sehingga bandwidth (h) dapat dipilih dan didekati secara numerik dengan memilih h yang meminimalkan 2,. 2.6 Membangun Grafik Pengendali Berdasarkan Pendekatan Densitas Kernel Telah diketahui bahwa fungsi densitas kernel dapat dituliskan sebagai berikut: 1 dengan K merupakan fungsi kernel, h = bandwidth, i = 1,2.,n. Untuk membangun suatu grafik pengendali non parametrik berdasarkan fungsi densitas kernel akan ditentukan nilai UCL (Upper Control Limit), CL (Center Line) dan LCL (Lower Control Limit). Nilai m (median) ditentukan sebagai garis tengah (Center Line) sehingga kemudian ditentukan LCL (Lower Control Limit) sehingga 2 dan UCL (Upper Control Limit) ditentukan sehingga

10 Dalam menentukan LCL dan UCL akan digunakan nilai q = Nilai q = merupakan probabilitas yang diperoleh dari distribusi normal jika digunakan k = 3 (lihat persamaan 2.4) sehingga P (- 3 Z 3) = = Dapat dikatakan bahwa ada kemungkinan kita dapat melakukan keputusan yang salah sebesar (Montgomery, 1990). Untuk memperjelas definisi rumus di atas, dapat diberikan gambaran mengenai hubungan antara dugaan densitas kernel dengan UCL, CL dan LCL seperti yang digambarkan pada Gambar 4. Setelah diperoleh dugaan densitas kernel seperti yang ditunjukkan pada gambar 4, selanjutnya menentukan nilai CL, LCL dan UCL dengan mengggunakan persamaan 2.7a, 2.7b dan 2.7c sehingga dapat diperoleh suatu grafik pengendali berdasarkan densitas kernel. Gambar 4. Gambaran mengenai hubungan dugaan densitas kernel dengan UCL, CL dan LCL. 3. METODE PENELITIAN Pada bab ini akan dijelaskan tentang langkah-langkah dalam mengolah data yang diperoleh dari CV. Y. Studi Literatur Studi literatur merupakan bagian yang sangat penting. Studi literatur dilakukan dengan cara mencari dan memahami teori-teori yang berkaitan dengan masalah yang akan dibahas pada penelitian ini. Studi literatur ini diperoleh dari berbagai sumber pustaka. Sumber pustaka yang dimaksud adalah buku-buku, jurnal ilmiah, dan internet. Studi literatur ini meliputi beberapa pembahasan mengenai SPC, grafik pengendali, fungsi densitas kernel, bagaimana membangun grafik pengendali berdasarkan densitas kernel, dan cara menggunakan program paket R sebagai alat bantu penghitungan. Dengan demikian, studi literatur dapat dijadikan pedoman dalam menyelesaikan masalah pada penelitian ini. Data Data yang digunakan dalam penelitian ini merupakan data sekunder. Data tersebut merupakan data karakteristik ph dalam produk susu merek X pada CV. Y untuk bulan Februari sampai Agustus Standar ph yang diberikan perusahaan adalah Data dapat dilihat pada Tabel 2.

11 Tabel 2. Data karakteristik ph Susu Segar Nasional rasa Coklat di CV. Cita Nasional pada bulan Februari Agustus No PH No PH No PH No PH No PH No PH

12 Rancangan Penelitian Data yang digunakan dalam penelitian ini dihitung dengan bantuan program paket R Data yang diperoleh dihitung untuk mencari nilai bandwidth (h) yang optimal dengan menggunakan kernel Epanechnikov kemudian h yang telah diperoleh akan digunakan untuk memperoleh dugaan densitas berdasarkan kernel Epanechnikov. Dugaan densitas berdasarkan kernel Epanechnikov yang telah diperoleh tersebut dengan menggunakan data ph produk X kemudian akan dicari nilai UCL, CL dan LCL sehingga dapat dibangun suatu grafik pengendali berdasarkan densitas kernel Epanechnikov. Selanjutnya akan dibandingkan dengan grafik pengendali untuk kernel-kernel lainnya dan grafik pengendali unit individu. Pengolahan Data Langkah-langkah dalam mengolah data adalah sebagai berikut : 1. Data yang digunakan berupa data karakteristik ph produk X yang diproduksi dari tanggal 1 Februari sampai dengan 31 Agustus 2010 sebanyak 200 data. 2. Data diolah dengan menggunakan program paket R dan untuk menggambarkan grafik pengendali. 3. Menggambarkan grafik berdasarkan syarat ph yang telah ditentukan oleh perusahaan untuk produk X. 4. Menggambarkan grafik pengendali unit individu. 5. Data yang digunakan berupa data karakteristik ph produk X yang diproduksi dari tanggal 1 Februari sampai dengan 31 Agustus 2010 sebanyak 200 data. 6. Data diolah dengan menggunakan program paket R dan untuk menggambarkan grafik pengendali. 7. Menggambarkan grafik berdasarkan syarat ph yang telah ditentukan oleh perusahaan untuk produk X. 8. Menggambarkan grafik pengendali unit individu. 9. Mendefinisikan fungsi-fungsi kernel dalam bahasa yang digunakan pada paket program R untuk mencari nilai h dengan meminimalkan CV. Fungsi-fungsi kernel didefinisikan sebagai berikut : a. Fungsi epane untuk menggambarkan grafik fungsi Epanechnikov. epane <- function(z) has <- 0 if (abs(z)<sqrt(5)) has <- (3/4)*(1-0.2*z^2)/sqrt(5) return(has) b. Fungsi biwe untuk menggambarkan grafik fungsi Biweight. biwe <- function(z) has <- 0 if (abs(z) < 1) has <- (15/16)*(1-z^2)^2 return(has)

13 c. Fungsi trian untuk menggambarkan grafik fungsi Triangular. trian <- function(z) has <- 0 if (abs(z)<1) has <- 1- abs(z) return(has) d. Fungsi rectan untuk menggambarkan grafik fungsi Rectangular. rectan <- function(z) has <- 0 if (abs(z)<1) has <- 1/2 return(has) e. Fungsi Gaussian pada program R telah mendefinisikan dengan nama fungsi dnorm. 4. Dengan menggunakan fungsi yang telah diuraikan diatas kemudian akan didefinisikan fungsi kernel untuk dugaan fungsi densitas asal, jika diketahui x, sampel data dan h. a. Kernel Epanechnikov. Kernel_Epane <- function(x,sampel_data,h) n<-length(sampel_data) has <- 0 for(i in 1:n) has <- has+epane((x- sampel_data [i])/h) hasil <- (1/(n*h))*has return(hasil) b. Kernel Biweight. Kernel_Biwe <- function(x,sampel_data,h) n <- length(sampel_data) has <- 0 for (i in 1:n) has <- has + biwe((x-sampel_data[i])/h) hasil <- (1/(n*h))*has return(hasil)

14 c. Kernel Triangular. Kernel_Trian <- function(x,sampel_data,h) n <- length(sampel_data) has <- 0 for (i in 1:n) has <- has + trian((x-sampel_data[i])/h) hasil <- (1/(n*h))*has return(hasil) d. Kernel Gaussian. Kernel_Gauss <- function(x,sampel_data,h) n <- length(sampel_data) hasil <- (1/(n*h))*sum(dnorm((x-sampel_data)/h)) return(hasil) e. Kernel Rectangular. Kernel_Rectan <- function(x,sampel_data,h) n <- length(sampel_data) has <- 0 for (i in 1:n) has <- has + rectan((x-sampel_data[i])/h) hasil <- (1/(n*h))*has return(hasil) 5. Menurut Santoso (2008) untuk mencari h yang optimal dengan meminimalkan CV dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut : a. Menentukan beberapa nilai awal untuk h yaitu h 1 <h 2 <...<h k. b. Menghitung CV(h i ), i = 1,2,...,k. c. Terdapat kemungkinan CV(h 1 ) < CV(h 2 ) <... < CV(h k ) berarti h optimal sebenarnya berada di sebelah kiri h 1. Langkah a diulangi untuk nilai-nilai h disebelah kiri h 1. CV(h 1 ) > CV(h 2 ) >... > CV(h k ) berarti h optimal sebenarnya berada di sebelah kanan h k. Langkah a) diulangi untuk nilai-nilai h di sebelah kanan h k.

15 Dalam hal ini, pemilihan h berhenti jika grafik dari CV telah menunjukkan adanya titik minimum sehingga h optimal diperoleh. 6. Menggambarkan grafik dugaan densitas kernel Epanechnikov dengan menggunakan h yang telah diperoleh dengan perintah sebagai berikut : Gambar.densitas <- function(sampel_data) u <- seq(min(sampel_data),max(sampel_data),by=0.01) v <- numeric(length(u)) h < for (i in 1:length(u)) v[i] <- Kernel_Epane(u[i],sampel_data,h) plot(u,v,type="l") title("kernel Epanechnikov") Untuk menggambarkan grafik dugaan densitas kernel Biweight, Triangular, Gaussian dan Rectangular dapat dilakukan dengan cara yang sama dengan cara mengganti fungsi kernel yang diinginkan, misalkan diinginkan menggambarkan grafik dugaan densitas kernel Biweight dengan cara mengganti Kernel_Epane menjadi Kernel_Biwe sehingga dapat diperoleh grafik dugaan densitas untuk kernel Biweight. Demikian pula untuk kernel-kernel yang lain. 7. Mencari nilai UCL, CL dan LCL dengan menggunakan metode numerik. 8. Kemudian akan digambarkan grafik pengendali berdasarkan fungsi densitas kernel Epanechnikov dengan menggunakan bantuan program paket R Dengan cara yang sama dapat diperoleh grafik pengendali untuk kernel Biweight, Triangular, Rectangular dan Gaussian. 10. Selanjutnya akan dibandingkan dengan grafik pengendali unit individu. Analisis dan Pembahasan Dalam bagian ini akan dibahas tentang penghitungan nilai CV, UCL, CL, dan LCL. Dengan menghitung CV yang minimal dapat diperoleh h yang optimal sehingga dapat digambarkan grafik dugaan densitas dan grafik pengendali berdasarkan densitas kernel Epanechnikov. Dengan menggunakan grafik pengendali dapat dideteksi banyaknya titik-titik sampel yang berada di luar batas pengendali. Selanjutnya akan dibandingkan dengan grafik pengendali unit individu dan grafik pengendali untuk kernel-kernel lainnya seperti Biweight, Triangular, Rectangular dan Gaussian. Membuat Kesimpulan Setelah menganalisis hasil akan dibuat kesimpulan, apakah tujuan dari penelitian ini bisa dicapai atau tidak, serta hal-hal apa saja yang masih perlu diperhatikan dalam penelitian ini agar selanjutnya dapat diperoleh hasil yang lebih baik lagi. 4. ANALISIS DAN PEMBAHASAN Dalam pasal ini akan dilakukan analisis data berdasarkan data yang diperoleh dari CV. Cita Nasional yang ditunjukkan pada Tabel 2. Pengolahan data menggunakan program paket R

16 Data Tabel 2 adalah Karakteristik ph pada produk X Rasa Coklat. Data karakteristik ph pada produk X yang diproduksi CV. Y dapat dilihat pada Tabel 2 yang telah dicantumkan pada pasal 3. Pengambilan sampel dilakukan setiap hari. Dalam proses produksi tersebut pengambilan sampel setiap harinya hanya dilakukan 1 kali saja karena untuk mengolah produk X tersebut dilakukan satu kali pengolahan dalam jumlah yang besar. Berikut ini adalah analisis data karakteristik ph yang menyangkut gambaran data karakteristik ph, analisis data dengan menggunakan grafik pengendali unit individu, analisis data dengan menggunakan grafik pengendali berdasarkan kernel Epanechnikov, membandingkan grafik pengendali berdasarkan kernel Epanechnikov, Biweight, Triangular, Gaussian dan Rectangular dan studi simulasi. Gambaran Data Karakteristik ph pada produk X. Data karakteristik ph pada produk X telah diperlihatkan pada Tabel 2 pada pasal sebelumnya. Syarat ph untuk produk X telah ditentukan oleh perusahaan sebagai standar perusahaan yaitu antara 6.7 sampai 6.8. Karena perusahaan tidak menggunakan grafik pengendali sebagai alat untuk mengontrol proses produksi maka dapat ditentukan batas-batas spesifikasi yang digunakan dengan UCL = 6.8 dan LCL = 6.7. Sedangkan garis tengah diperoleh dari CL = (UCL+LCL)/2 sehingga CL = ( )/2 = Data tersebut akan diperlihatkan secara jelas dengan menggunakan batasan-batasan spesifikasi yang telah ditetapkan oleh perusahaan. sampel_data Index Gambar 5. Grafik karakteristik ph pada produk X dengan batasan yang diinginkan dari perusahaan. Gambar 5 menampilkan data dari perusahaan dengan batas-batas yang telah ditentukan oleh perusahaan. Dari grafik tersebut nampak bahwa banyak data yang berada di luar batas pengendali. Data yang berada dalam batas-batas pengendali hanya sebanyak 28 data dan 172 data berada di luar batas pengendali.

17 Grafik Pengendali Unit Individu untuk Karakteristik ph pada produk X. Pengolahan data menggunakan grafik pengendali unit individu. UCL, CL dan LCL dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan 2.4. Sehingga dapat dihitung nilai UCL, CL dan LCL sebagai berikut : , , Dengan bantuan program dapat diperoleh UCL, CL dan LCL masing-masing adalah , dan Sehingga dapat digambarkan grafik pengendali unit individu untuk data ph pada produk X seperti pada Gambar 6. Berdasarkan Gambar 6 terlihat bahwa ada 1 titik yang berada di luar batas pengendali. Grafik pengendali unit individu pada Susu Segar Nasional rasa coklat, menggambarkan bahwa terjadi suatu penyimpangan atau ketidaksesuaian pada proses produksi mungkin akibat dari kurangnya pengawasan pada saat proses produksi berlangsung sehingga hal ini sangat perlu diperhatikan. Akan tetapi jika dibandingkan dengan grafik dari standar yang diinginkan perusahaan jauh lebih banyak memperlihatkan titik sampel yang berada di luar batas pengendali. sampel_data Index Gambar 6. Grafik pengendali unit individu untuk data karakteristik ph pada Susu Segar Nasional Rasa Coklat.

18 Grafik Pengendali Berdasarkan Kernel Epanechnikov untuk Karakterisik ph produk X. Dalam membangun suatu grafik pengendali berdasarkan kernel Epanechnikov ada beberapa langkah yang harus dilakukan. Seperti yang telah diuraikan pada pasal 3, bahwa langkah pertama yang harus dilakukan untuk membangun suatu grafik pengendali berdasarkan kernel Epanechnikov adalah mendefinisikan fungsi Epanechnikov dan kernel Epanechnikov. Kemudian langkah selanjutnya adalah menduga nilai h yang optimal. Untuk menduga nilai h digunakan metode leave one out Cross Validation atau kita sebut sebagai CV. Dalam hal ini, h yang dipilih merupakan h yang dapat meminimalkan CV atau h yang dipilih adalah yang menghasilkan CV paling minimal dari beberapa h yang telah ditentukan. Dari output program, jika nilai h yang diambil h = 1, 2, 3 dan 4 terlihat bahwa < < < Hal tersebut menunjukkan bahwa CV(1) < CV(2) < CV(3) < CV(4) sehingga dapat dikatakan bahwa h optimal sebenarnya berada di sebelah kiri h = 1. Kemudian akan dicari nilai yang berada di sebelah kiri h = 1. Dengan cara yang sama dilakukan beberapa kali percobaan pada nilai h yang berada di sebelah kiri h = 1, akhirnya diperoleh h = sehingga dapat digambarkan grafik dugaan densitas kernel seperti yang ditunjukkan pada Gambar 7. v u Gambar 7. Grafik Dugaan Densitas Kernel Epanechnikov. Dalam membangun grafik pengendali berdasarkan kernel Epanechnikov juga digunakan nilai h = Kemudian dengan menghitung UCL, CL dan LCL dapat dibangun suatu grafik pengendali berdasarkan kernel Epanechnikov seperti yang terlihat pada Gambar 8. Untuk menentukan nilai CL, LCL dan UCL dapat digunakan persamaan 2.7a, 2.7b dan 2.7c sehingga diperoleh nilai UCL = 6.93, CL = 6.84 dan LCL = Dibandingkan dengan standar yang diberikan perusahaan, batas-batas pengendali menjadi lebar jika menggunakan grafik pengendali berdasarkan kernel Epanechnikov.

19 sampel_data Index Gambar 8. Grafik Pengendali berdasarkan Kernel Epanechnikov. Grafik Pengendali Biweight, Triangular, Gaussian dan Rectangular untuk Karakterisik ph pada produk X. Selain kernel Epanechnikov juga dikenal beberapa kernel yang sering digunakan yaitu kernel Biweight, Triangular, Gaussian dan Rectangular. Dengan menggunakan cara yang sama dapat diperoleh h yang optimal untuk masing-masing kernel. Masing-masing kernel tersebut memiliki nilai h yang berbeda seperti yang dicantumkan pada Tabel 3. Kemudian masing-masing kernel dapat digambarkan grafik dugaan densitasnya dengan menggunakan h yang dapat meminimalkan CV. Tabel 3. Nilai h yang optimal, UCL, CL dan LCL dari kernel Epanechnikov, Biweight, Triangular, Gaussian dan Rectangular. No Kernel Nilai h yang optimal UCL CL LCL 1 Epanechnikov Biweight Triangular Gaussian Rectangular Gambar 9 memperlihatkan grafik dari dugaan densitas kernel Epanechnikov, Biweight, Triangular, Gaussian dan Rectangular. Dari Gambar 9 terlihat grafik dugaan densitas kernel Epanechnikov dan Gaussian memiliki bentuk yang mirip. Demikian pula untuk grafik dugaan densitas kernel Biweight dan Triangular juga memiliki bentuk yang hampir sama. Dari dugaan densitas kernel yang telah diperoleh untuk masing-masing kernel dapat ditentukan batas-batas

20 pengendalinya. Pada Tabel 3 telah dicantumkan batas-batas pengendali yaitu UCL, CL dan LCL untuk masing-masing kernel. Kernel Epanechnikov Kernel Biweight v v u u Kernel Triangular Kernel Gaussian v v u u Kernel Rectangular v u Gambar 9. Grafik Dugaan Densitas Kernel Epanechnikov, Biweight, Triangular, Gaussian, dan Rectangular. Dengan menggunakan nilai h pada Tabel 3 dapat juga digambarkan grafik pengendali untuk masing-masing kernel seperti yang ditunjukkan pada Gambar 10. Pada Gambar 10 terlihat bahwa terdapat beberapa titik sampel berada di luar batas pengendali. Dengan batas-batas pengendali yang telah ditentukan seperti yang dicantumkan pada Tabel 3 pada grafik pengendali berdasarkan kernel Epanechnikov, Gaussian dan Rectangular terdapat 14 titik sampel yang berada di luar batas pengendali. Grafik pengendali berdasarkan kernel Biweight dan Triangular memiliki 20 titik sampel yang berada di luar batas pengendali. Dibandingkan dengan grafik pengendali individu hanya terdapat 1 titik sampel yang berada di luar batas pengendali.

21 Grafik Pengendali Epanechnikov Grafik Pengendali Biweight sam pel_data sam pel_data Index Index Grafik Pengendali Triangular Grafik Pengendali Gaussian sam pel_data sam pel_data Index Index Grafik Pengendali Rectangular sam pel_data Index Gambar 10. Grafik Pengendali berdasarkan kernel Epanechnikov, Biweight, Triangular, Gaussian, dan Rectangular. Berdasarkan grafik pengendali yang diperoleh dapat dikatakan bahwa kernel Epanechnikov, Gaussian dan Rectangular merupakan kernel yang baik digunakan untuk data karakteristik ph produk X. Grafik pengendali berdasarkan kernel Epanechnikov, Gaussian dan Rectangular baik digunakan karena banyaknya titik sampel yang berada di luar batas pengendali lebih sedikit dibandingkan kernel Biweight dan Triangular. 5. KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan Dari pasal-pasal sebelumnya dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut : 1. Grafik pengendali berdasarkan fungsi densitas kernel dapat digambarkan dengan menggunakan langkah-langkah seperti yang telah dijelaskan pada pasal Dengan memilih bandwidth (h) yang optimal dapat dibangun suatu grafik pengendali berdasarkan kernel Epanechnikov, Biweight, Triangular, Gaussian dan Rectangular. Berdasarkan hasil analisis dapat dikatakan bahwa kernel Epanechnikov, Gaussian

22 dan Rectangular merupakan kernel yang baik digunakan untuk data karakteristik ph produk X. Grafik pengendali berdasarkan kernel Epanechnikov, Gaussian dan Rectangular baik digunakan karena memiliki titik sampel yang berada di luar batas pengendali lebih sedikit dibandingkan kernel Biweight dan Triangular. 3. Studi simulasi dilakukan untuk membangkitkan data baru yang memiliki sifat yang sama dengan data karakteristik ph untuk berbagai ukuran n yang berbeda-beda yaitu n = 200, n = 500, n = 1000 dan n = 5000 dengan menggunakan kernel normal (Gaussian). Semakin besar ukuran data maka nilai h yang diperoleh cenderung menuju ke nol. Selain itu, jika ukuran data yang digunakan semakin besar maka proporsi titik yang berada di luar batas pengendali cenderung normal yaitu mendekati Saran 1. Untuk penelitian selanjutnya dapat dikembangkan grafik pengendali berdasarkan densitas kernel untuk data bivariat dan data multivariat. 2. Selain metode Cross Validation, pemilihan bandwidth yang optimal dapat juga menggunakan metode lain. 3. Grafik pengendali berdasarkan densitas kernel dapat digunakan untuk data-data baru pada perusahaan untuk melihat apakah ada titik-titik sampel yang berada di luar batas pengendali. Jika ada maka perlu dilakukan pengecekan yang menyebabkan titik-titik sampel tersebut berada di luar batas pengendali. 6. DAFTAR PUSTAKA Halim, Siana, Rahardjo Jani dan Gunarto Willy Estimasi Kernel Densitas Serta Aplikasinya Dalam Pembuatan Regresi Nonparametrik. Majalah Ilmiah Himpunan Matematika Indonesia, vol. 6 no. 3, P4M-ITB. Hardle,W Smoothing Techniques With Implementation in S, Springer-Verlag. New York. Harinaldi Prinsip-Prinsip Statistik Untuk Teknik dan Sains. Jakarta : Erlangga. Hart, J.D Nonparametric Smoothing and Lack-of-Fit Test, Spinger, New York. Hidayat, Anang STRATEGI SIX SIGMA Peta Pengembangan Kualitas dan Kinerja Bisnis. Jakarta : PT.Gramedia. Ivancevich, John M, dkk Perilaku Dan Manajemen Organisasi. Jakarta : Erlangga. Kazmier, Leonard J Schaum s Easy Outlines : Statistik untuk Bisnis. Jakarta : Erlangga. Lind, Douglas A, dkk Teknik-teknik Statistika dalam Bisnis dan Ekonomi Menggunakan Kelompok Data Global, Edisi 13. Jakarta : Salemba Empat. Marimin Teknik dan Aplikasi : Pengambilan Keputusan Kriteria Majemuk. Jakarta : PT. Grasindo. Montgomery, Douglas C Pengantar Pengendalian Kualitas Statistik. Yogyakarta: Gadjah Mada University Press. Ndoen, Dedy Jermias (Skripsi) Perbandingan Beberapa Fungsi Kernel dan Lebar Pita Dalam Menentukan Dugaan Fungsi Densitas. Salatiga : Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana. Odgen, R.T Essential Wavelets for Statistical Applications and Data Analysis, Birkhauser. Boston. Spiegel, Murray R, dkk Schaum s Outlines : Teori dan Soal-soal Statistik, Edisi Ketiga. Jakarta : Erlangga.

23 Sugian O, Syahu Kamus Manajemen (Mutu). Jakarta : PT Gramedia Pustaka Utama. Widiyana, Catur Yeni (Skripsi) Pengendalian Kualitas Minuman Coca-Cola dan Fanta Rasa Strawberi Berdasarkan Kandungan Karbondioksida (CO 2 ) dengan Bagan Exponentially Weighted Moving Average (EWMA). Salatiga : Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana. Web 1 : (Diunduh pada Kamis, 06 Januari 2011) Web 2 : MR_.htm (Diunduh pada Kamis, 06 Januari 2011) Web 3 : (Diunduh pada Selasa, 04 Januari 2011) Web 4 : (Diunduh pada Selasa, 04 Januari 2011) Web 5 : Suparti dan Sudargo Estimasi Densitas Mulus dengan Metode Kernel. Diunduh pada Senin, 20 Desember Web 6 : Najib, Mohammad Diagram Kontrol Statistik Non Parametrik Sum Of Ranks Untuk Target Pada Data Non-Normal. Diunduh pada Minggu, 11 Juli Web 7 : Santoso, R Grafik Pengendali Non Parametrik Empirik. Diunduh pada Sabtu, 17 Juli Web 8 : Vermaat, Ion, Does, Klaassen A Comparison of Shewhart Individuals Control Chart Based on Normal, Non-Parametric and Extreme-value Theory. Diunduh pada Senin, 19 Juli