Peluang. A. Kaidah Pencacahan B. Peluang Suatu Kejadian C. Kejadian Majemuk

Transkripsi

1 ab Sumber: okumentasi Penerbit Setelah mempelajari bab ini, nda harus mampu menggunakan kaidah pencacahan untuk menentukan peluang suatu kejadian dan penafsirannya dengan cara menggunakan sifat dan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah, menentukan ruang sampel suatu percobaan, serta menentukan peluang suatu kejadian dan menafsirkannya. nda telah mempelajari konsep peluang di Kelas IX. Pada pembahasan tersebut telah dipelajari tentang ruang sampel dan menghitung peluang suatu kejadian. Pada bab ini, materi akan dikembangkan sehingga nda memahami konsep permutasi, kombinasi, dan peluang kejadian majemuk. Teori peluang, lahir pada abad pertengahan di Prancis. Saat ini teori peluang banyak digunakan di berbagai bidang, seperti asuransi, bisnis, biologi, olahraga, dan kesehatan. Salah satunya dapat nda simak pada uraian berikut ini. ari hasil penelitian di suatu kota "X" terhadap.000 anak diperoleh data sebagai berikut. anak yang diberi SI adalah 90%. anak yang mendapatkan imunisasi campak adalah 60%. anak yang mendapatkan vaksin Polio adalah 80%. engan menggunakan konsep peluang, nda dapat menentukan anak yang mendapatkan imunisasi ampak dan vaksin Polio.. Kaidah Pencacahan. Suatu Kejadian. Kejadian Majemuk 4

2 iagram lur Untuk mempermudah nda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikan sebagai berikut. berhubungan dengan terdiri atas Pencacahan terdiri atas Kejadian Majemuk Kejadian Sederhana turan Perkalian Permutasi Kombinasi terdiri atas menggunakan Teori Perkalian jenisnya Komplemen Gabungan jenisnya Saling ebas Saling ergantung Saling Lepas Tidak Saling Lepas rumus rumus rumus rumus P( ) = P() P() P( ) = P() P( ) P( ) = P() + P() P( ) = P() + P() P( ) Tes Kompetensi wal Sebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.. Hitunglah a b c Faktorkanlah suku tiga berikut. a. n n 56 b. n + 3n Jabarkanlah bentuk-bentuk berikut ini. a. (x + y) c. (x + y) 4 b. (x + y) 3 d. (x + y) 5 4. seorang penduduk di suatu Rukun Warga (RW) menjadi anggota koperasi adalah 75%. Jika jumlah penduduk RW itu ada.000 orang, berapa orang yang menjadi anggota koperasi? 4 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan lam

3 . Kaidah Pencacahan. turan Perkalian Misalkan, dari 3 orang siswa, yaitu lgi, ianda, dan ahyadi akan dipilih untuk menjadi ketua kelas, sekretaris, dan bendahara dengan aturan bahwa seseorang tidak boleh merangkap jabatan pengurus kelas. anyak cara 3 orang dipilih menjadi pengurus kelas tersebut akan dipelajari melalui uraian berikut. mati Gambar.. a. Untuk ketua kelas (K) Posisi ketua kelas dapat dipilih dari 3 orang, yaitu lgi (), ianda (), atau ahyadi (). Jadi, posisi ketua kelas dapat dipilih dengan 3 cara. b. Untuk Sekretaris (S) Jika posisi ketua kelas sudah terisi oleh seseorang maka posisi sekretaris hanya dapat dipilih dari orang yang belum terpilih menjadi pengurus kelas. Jadi, posisi sekretaris dapat dipilih dengan cara. c. Untuk endahara (H) Jika posisi ketua kelas dan sekretaris sudah terisi maka posisi bendahara hanya ada satu pilihan, yaitu dijabat oleh orang yang belum terpilih menjadi pengurus kelas. Jadi, posisi bendahara dapat dipilih dengan cara. engan demikian, banyak cara yang dilakukan untuk memilih 3 orang pengurus kelas dari 3 orang kandidat adalah 3 = 6 cara. Uraian tersebut akan lebih jelas apabila mengamati skema berikut. K S H Hasil yang Mungkin 3 = 6 ari uraian tersebut, dapatkah nda menyatakan aturan perkalian? obalah nyatakan aturan perkalian itu dengan kata-kata nda sendiri. lgi () ianda () ahyadi () Ketua kelas (K) Gambar. Sekretaris (S) endahara (H) 43

4 turan Perkalian Misalkan, operasi dapat dilaksanakan dalam n cara; operasi dapat dilaksanakan dalam n cara; operasi k dapat dilaksanakan dalam n k cara. anyak cara k operasi dapat dilaksanakan secara berurutan adalah n = n n n 3... n k. ontoh. Ingatlah pabila terdapat n buah tempat yang akan diduduki oleh n orang, terdapat: n (n ) (n )... cara orang menduduki tempat tersebut. erapa cara yang dapat diperoleh untuk memilih posisi seorang tekong, apit kiri, dan apit kanan dari 5 atlet sepak takraw pelatnas SE GMES jika tidak ada posisi yang rangkap? (Tekong adalah pemain sepak takraw yang melakukan sepak permulaan). Untuk posisi tekong. Posisi tekong dapat dipilih dengan 5 cara dari 5 atlet pelatnas yang tersedia. Untuk posisi apit kiri. apat dipilih dengan 4 cara dari 4 atlet yang ada ( atlet lagi tidak terpilih karena menjadi tekong). Untuk posisi apit kanan. ara untuk memilih apit kanan hanya dengan 3 cara dari 3 atlet yang ada ( atlet tidak dapat dipilih karena telah menjadi tekong dan apit kiri). engan demikian, banyak cara yang dilakukan untuk memilih posisi dalam regu sepak takraw adalah =.730 cara.. Faktorial nda telah mempelajari, banyak cara yang dilakukan untuk memilih 3 orang pengurus kelas dari 3 orang kandidat adalah 3 = 6 cara. Selanjutnya, 3 dapat dinyatakan dengan 3! (dibaca 3 faktorial). Jadi, 3! = 3 = 6 engan penalaran yang sama 4! = 4 3 = 4 3! = 4 6 = 4 5! = = 5 4! = 5 4 = 0 6! = 6 5! = 6 0 = 70 Uraian tersebut memperjelas definisi berikut. 44 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan lam

5 efinisi. a. n! = n (n ) (n )... 3, dengan n bilangan asli, untuk n. b.! = c. 0! = ontoh.. Hitunglah a. 7! b. 7! 0! 6! c.!! 8!. Nyatakan bentuk-bentuk berikut ke dalam faktorial: a b. 8!(9 0) c. n(n )(n ) 3. Tentukan nilai n dari (n + 3)! = 0(n + )!. a. 7! = = ! 7 6! b. 7 06!! 6!! 0 8! 0 9 c. 59! 8!! 8! d. 8! ! 7 8 5! 5! !. a = ! b. 8!(9 0) = ( )(9 0) = 0! c. n(n )(n ) = n n nn... n! n nn... n n! 3. (n + 3)! = 0(n + )! (n +3)(n + )! = 0(n + )! n + 3 = 0 0 n = 7 d. 8! 5! 3. Permutasi alam suatu kelas,terdapat 4 orang yang akan dipilih 3 orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. anyak cara untuk memilih 3 orang tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut. Misal, keempat orang kandidat itu adalah,,, dan. Posisi ketua dapat dipilih dengan 4 cara, posisi sekretaris dapat dipilih dengan 3 cara, dan posisi bendahara dapat dipilih dengan cara. Jadi banyak cara yang dilakukan untuk memilih 3 orang pengurus kelas dari 4 orang kandidat adalah 4 3 = 4 cara. Uraian tersebut akan lebih jelas apabila nda mengamati skema berikut. Sumber: okumentasi Penerbit Gambar. alon pengurus kelas 45

6 Ketua Sekretaris endahara Hasil yang mungkin Ingatlah Urutan berbeda dengan urutan. alam urutan, sekretaris adalah. alam urutan, sekretaris adalah. Gambar.3 iagram pohon untuk pemilihan 3 pengurus kelas dari 5 calon yang ada. 46 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan lam

7 ari skema tersebut diperoleh 4 susunan 3 unsur, yaitu Tampak susunan 3 unsur tersebut memperhatikan urutannya. adalah suatu permutasi, juga suatu permutasi dan keduanya berbeda. Urutan pada 4 susunan itu berlainan. Susunan yang memperhatikan urutannya disebut permutasi. ari uraian tersebut dapatkah nda menduga pengertian permutasi? obalah nyatakan pengertian permutasi dengan kata-kata nda sendiri. Konsep yang telah nda pelajari tersebut memperjelas definisi berikut. efinisi. Permutasi adalah urutan yang mungkin dari sejumlah unsur yang berbeda tanpa adanya pengulangan. anyaknya permutasi 3 unsur yang diambil dari 4 unsur adalah 4 3 = 4. anyaknya permutasi 3 unsur yang diambil dari 4 unsur dapat ditulis P(4, 3) = 4 3 = 4 3 4! 4 3! Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur dapat dipelajari melalui Tabel.. Tabel. Tempat ke r... anyak ara n n(n ) n(n ) (n )... n(n ) (n )...(n (r ))... ari tabel tersebut, banyak permutasi r unsur yang diambil dari n unsur, dinotasikan P(n, r) adalah P(n, r) = n (n ) (n ) (n (r r )) Untuk r =, maka P(n, ) = n Untuk r =, maka P(n, ) = n (n ) = nn nn n... n... nn... 3 n!! Soal Terbuka uatlah sebuah soal permutasi yang berbeda dengan soal yang ada di buku ini. erikan soal ini ke teman untuk diselesaikan dan beri komentar. Ingatlah Notasi P(n, k) dapat juga ditulis dengan P n k. 47

8 Untuk r = 3 maka P(n, 3) = n (n )(n ) nn nn n n = n... n! n...n ! Untuk r = k, diperoleh P(n, k) = n (n )(n )(n 3) (n (k )) nn nn n... = nn k n kn k n! = n k! Untuk r = n, diperoleh P(n, n) = n (n )(n ) (n (r r ))( n r) (3)()() = n! anyak permutasi n unsur apabila disusun dalam k unsur adalah n! P n, k= dengan k n n-k! Sumber: okumentasi Penerbit Gambar.4 Salah satu susunan yang mungkin. apatkah nda menentukan susunan lainnya? 4 diisi puluhan satuan Gambar.5 ontoh.3. Tiga orang wiraniaga dicalonkan untuk mengisi kekosongan jabatan kepala cabang di dua kota. Tentukan banyak cara untuk memilih dua kepala cabang dari tiga orang wiraniaga tersebut, dengan menggunakan rumus permutasi. P(3, ), dengan n = 3 (banyak wiraniaga) dan k = (banyak wiraniaga terpilih). n! 3! 3 Pn, k P, 6 n k!!! Jadi, terdapat 6 cara. oba nda tentukan ke-6 susunan yang mungkin tersebut.. ari kartu angka 4, 5, 6, 7, dan 8 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda. Tentukan banyaknya bilanganbilangan tersebut yang kurang a. dari 500 b. dari 600 a. Oleh karena bilangan-bilangan kurang dari 500 maka angka ratusan hanya dapat diisi oleh satu angka, yaitu angka 4. Salah satu susunan yang mungkin dapat nda lihat pada Gambar.4. mati gambar.5. ngka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5, 6, 7, dan 8. Ini berarti nda harus memilih dua angka dari 4 angka, yaitu 4! 4! P(4,) =. 4!! 48 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan lam

9 Jadi, terdapat cara untuk menyusun bilangan kurang dari 500. apatkah nda mengerjakan dengan cara lain? Silakan coba. Sekarang, coba nda buktikan hal ini dengan menggunakan kartu angka. Tentukan pula susunan-susunan yang mungkin. b. Oleh karena bilangan-bilangan itu kurang dari 600 maka angka ratusan hanya diisi oleh dua angka, yaitu angka 4 dan 5. 4 angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 5, 6, 7, dan 8 (pilih dari 4 unsur). 5 angka puluhan dan satuan dapat diisi oleh angka 4, 6, 7, dan 8 (pilih dari 4 unsur). anyak bilangan yang kurang dari 600 adalah 4! P(4,) = Jadi, terdapat 4 bilangan yang kurang dari 600. a. Permutasi eberapa Unsur yang Sama Pada kata "UKU" terdapat dua huruf yang sama, yaitu U. Permutasi huruf-huruf pada kata "UKU" dapat nda amati pada diagram pohon di samping. oba nda buat diagram pohon untuk huruf-huruf: U, K, dan U. Jika benar mengerjakannya, hasil dari seluruh diagram pohon tersebut adalah sebagai berikut.. UKU 6. UUK. UUK 6. KUU. UUK. UUK 7. UKU. UKU 7. KUU. UUK 3. KUU 8. UKU 3. KUU 8. KUU 3. UKU 4. KUU 9. UUK 4. KUU 9. UUK 4. UKU 5. UKU 0. UUK 5. KUU 0. UKU U K U K U UKU U K UUK U U KUU U U KUU K U UKU U K UUK matilah 4 susunan huruf tersebut. Tampak ada beberapa susunan huruf yang sama sehingga permutasinya menjadi:. UKU 4. UKU 7. UUK 0. KUU. UUK 5. UKU 8. UUK. KUU 3. KUU 6. UUK 9. UKU. KUU anyak permutasi huruf-huruf pada kata UKU adalah atau = 4 3 = 4 3 4!!. Sekarang, selidikilah permutasi untuk kata MM dengan menggunakan diagram pohon. Jika nda melakukan dengan benar, terdapat 6 permutasi yang berbeda, yaitu MM, MM, MM, MM, MM, dan MM, karena kata MM mempunyai dua pasang huruf yang sama. anyak permutasi untuk 4 unsur dengan dua pasang unsur sama, yaitu M dan dua unsur lainnya, yaitu adalah ! !.!! 49

10 anyaknya permutasi n unsur yang mempunyai l unsur jenis pertama, l unsur jenis kedua, l 3 unsur jenis ketiga, dan l k unsur jenis ke-k yang sama adalah P(n, l, l... l k ) = n! I!II!...! I k Posisi Posisi Gambar.6 ontoh.4 Tentukan permutasi atas semua unsur yang dapat dibuat dari katakata berikut.. JYPUR. MTEMTIK. Pada kata "JYPUR", terdapat 3 buah yang sama sehingga permutasinya adalah P(8, 3) = 8! 3! = Pada kata "MTEMTIK" terdapat buah M, 3 buah, dan buah T yang sama sehingga permutasinya adalah 0! P(0,, 3, )= 3!!! = b. Permutasi Siklis Permutasi yang dibuat dengan menyusun unsur secara melingkar menurut arah putaran tertentu disebut permutasi siklis. Pada Gambar.6 posisi dan posisi menunjukkan permutasi dan yang disusun melingkar searah putaran jarum jam. oba nda amati Gambar.5, apakah susunan pada posisi berbeda dengan susunan pada posisi? pabila nda mengamati dengan saksama maka posisi = posisi Jadi, permutasi siklis dua unsur mempunyai satu cara. Pada permutasi siklis dua unsur, satu unsur ditetapkan sebagai titik acuan. Sementara, satu unsur yang lainnya ditempatkan dalam! cara atau ( )! cara. gar nda lebih memahami permutasi siklis, pelajari uraian berikut ini. Misalkan, dalam satu ruangan ada 4 orang masing-masing diberi nama,,, dan. Keempat orang tersebut sedang membaca di meja bundar. anyak cara keempat orang itu duduk melingkari meja bundar dapat diterangkan sebagai berikut. 50 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan lam

11 Sumber: okumentasi Penerbit Gambar.7 ontoh permutasi siklis Keterangan: huruf yang diwarnai dianggap sebagai titik pangkal. engan cara yang sama, nda dapat membuat formasi lingkaran untuk titik pangkal,, dan. Hasil dari seluruh formasi lingkaran tersebut adalah sebagai berikut mati bahwa ada susunan-susunan yang sama, yaitu = = = = = = = = = = = = = = = = = = engan demikian, dari 4 susunan tersebut terdapat 6 susunan yang berbeda, yaitu,,,,, dan. Jadi, banyak permutasi siklis dari 4 unsur ada 6. Pada permutasi siklis dari 4 unsur, ditetapkan satu unsur sebagai titik pangkal, kemudian 3 unsur lainnya ditempatkan dalam 3! cara atau (4 )! cara. Permutasi siklis 4 unsur adalah (4 )! = 3! = 3 = 6 cara. Susunan manik-manik pada kalung mirip susunan melingkar, tetapi berbeda dengan permutasi siklis. Pada permutasi siklis, arah putaran diperhatikan, sedangkan pada susunan manik-manik dalam kalung arah putaran tidak diperhatikan. mati Gambar.7. ari gambar, susunan manik-manik pada posisi adalah atau ditulis. dapun susunan manik-manik pada posisi adalah atau ditulis. Ingatlah Susunan pada gambar (a) dan gambar (b) adalah sama karena unsur dekat dengan dan, meskipun titik acuan berbeda. 5

12 Posisi () Posisi () Gambar.8 Susunan manik-manik pada Gambar.8 adalah sama. Oleh karena itu, banyak cara menyusun 3 manik-manik dalam kalung adalah susunan. anyaknya cara yang digunakan untuk menyusun 3 manik-manik dalam kalung adalah setengah dari banyak permutasi siklis 3 unsur, yaitu susunan atau 3!. Untuk n unsur, apabila disusun seperti manik-manik dalam kalung terdapat n! susunan yang berbeda. ontoh.5. elapan orang ilmuwan duduk melingkar di sebuah meja bundar untuk membahas sebuah proyek tertentu. erapa banyak cara agar para ilmuwan dapat duduk melingkar dengan urutan yang berbeda?. ua puluh lima mutiara akan dibuat sebuah kalung. da berapa cara mutiara-mutiara itu dapat disusun?. Susunan kedelapan ilmuwan itu adalah (8 )! = 7! = cara.. anyaknya cara mutiara itu dapat disusun menjadi sebuah kalung adalah 5 4! cara. Ingatlah Kombinasi sama dengan kombinasi atau. 4. Kombinasi Pada permutasi, nda telah dapat memilih 3 orang dari 5 orang untuk menjadi ketua, sekretaris, dan bendahara. Lain halnya jika dari 5 orang itu akan dipilih 3 orang untuk mengikuti lomba debat. anyak cara untuk memilih 3 orang tersebut tidak sebanyak 60 cara seperti pada pemilihan ketua, sekretaris, dan bendahara. gar lebih jelasnya, pelajari uraian berikut. Misalkan, dari 5 orang akan dipilih 3 orang untuk mengikuti lomba debat. anyak cara untuk memilih 3 orang tersebut dapat diterangkan sebagai berikut. ari Subbab.3 telah dijelaskan bahwa susunan 3 unsur dari 5 unsur, yaitu E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E 5 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan lam

13 E E E E E E E E E E E E E E E E Oleh karena pemilihan 3 orang untuk mengikuti lomba debat tidak memperhatikan urutan maka dari 60 susunan itu terdapat 0 susunan yang berbeda. Kesepuluh susunan tersebut adalah,, E,, E, E,, E, E, dan E. Susunan yang tidak memperhatikan urutannya disebut kombinasi. ari uraian tersebut, dapatkah nda menyatakan pengertian kombinasi? obalah nyatakan pengertian kombinasi dengan kata-kata nda sendiri. Konsep pengertian kombinasi yang telah nda pelajari tersebut memperjelas definisi berikut. efinisi.3 Kombinasi r unsur dari n unsur ialah himpunan bagian r unsur yang dapat diambil dari n unsur yang berlainan dengan urutan penyusunan unsur tidak diperhatikan. Soal Terbuka Jelaskan perbedaan antara permutasi dan kombinasi. eri contoh untuk memperjelas uraian nda. anyaknya kombinasi r unsur dari n unsur dilambangkan r dengan n atau n r atau =(n, r). a. Menentukan anyak Kombinasi Telah diketahui bahwa banyaknya kombinasi 5 unsur berlainan jika disusun sebanyak 3 unsur adalah 5 4 = 0 cara. Kombinasi 5 unsur yang disusun atas 3 unsur ditulis ! ! 3! Uraian tersebut memberi gambaran mengenai banyaknya kombinasi n unsur berlainan jika disusun sebanyak r unsur yang dirumuskan = n r = n! 3 5 dengan r < n r! n r! 53

14 Pe embahasan Soal Suatu pertemuan dihadiri oleh 5 orang undangan. Jika mereka saling berjabat tangan, banyak jabat tangan yang terjadi dalam pertemuan itu adalah... anyak jabat tangan = (5,) 5! = 05! 3! Soal Ebtanas 000 Pe embahasan Soal anyaknya segitiga yang dapat dibuat dari 7 titik tanpa ada tiga titik yang terletak segaris adalah... Membuat segitiga dengan memilih 3 titik dari 7 titik yang tersedia adalah masalah kombinasi (7, 3). Jadi, banyaknya segitiga = (7,3) = 7! ! 35 3! 4! 3 4! Soal UMPTN 000 ontoh.6 Kerjakan soal-soal berikut.. iketahui n = 4n, tentukanlah nilai n.. ari 0 siswa akan dipilih sebuah tim sepakbola yang terdiri atas orang. Tentukan banyak cara dalam pemilihan tersebut. n!. n 4 n 4n! n! n! 4n!! n 4n n(n ) = 8n n n = 8n n 9n = 0 n(n 9) = 0 Oleh karena n r maka yang memenuhi adalah n = 9.. Pemilihan tim sepakbola tersebut adalah masalah kombinasi karena tidak memperhatikan urutan. anyak cara memilih orang siswa dari 0 siswa, yaitu 0. 0! 0! 0! 0!! 9! !! = oba nda tentukan susunannya dengan diagram pohon. b. inomial Newton i SMP nda telah mempelajari cara menjabarkan bentuk perpangkatan berikut. (a + b) 0 = (a + b) = a + b (a + b) = a + ab + b (a + b) 3 = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a b + 4ab 3 + b 4 Untuk pangkat 4, nda masih dapat menjabarkannya. agaimana menjabarkan (a+b) 5? Untuk menyelesaikannya nda memerlukan rumus umum bentuk perpangkatan tersebut. 54 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan lam

15 mati dengan saksama koefisien-koefisien bentukbentuk perpangkatan tersebut. pabila koefisien-koefisien dari bentuk perpangkatan dituliskan dalam bentuk diagram, diperoleh dan seterusnya. iagram itu dikenal dengan nama Segitiga Pascal. mati pola Segitiga Pascal tersebut. aris ke-: aris ke-: aris ke-3: aris ke-4: ( + ) ( + ) aris ke-5: ( + + ) ( + ) + ( + ) ( + + ) dan seterusnya. Karena 0 0 = 0 = = 0 = = 3 0 = 3 3 =, =, dan 3 = 3 = 3 maka pola Segitiga Pascal tersebut dapat dituliskan dalam bentuk simbol banyaknya kombinasi berikut dan seterusnya. ari uraian tersebut, bentuk perpangkatan dapat dituliskan sebagai berikut. (a + b) 0 = 0 0 (a + b) = 0 a b Tokoh Matematika Omar Khayyam (049 3) Untuk n =, Teorema inomial telah ditemukan oleh Euclid pada tahun 300 Sebelum Masehi. kan tetapi, untuk yang lebih umum ditemukan oleh matematikawan dan ahli astronomi Irak, yaitu Omar Khayyam. Sumber: Precalculus,

16 (a + b) = 0 a a b b (a + b) 3 = a 3 a b ab 3 b 3 3 dan seterusnya. Secara umum bentuk (a + b) n dapat ditulis menjadi n n n a n a b b 0 r n n nr r a b n ab n n bn dengan n n r n r! r! n r! engan demikian, 0 n n a n a b n a b n b n n (a + b) n i ni i = a b i n i0 n n n entuk tersebut dinamakan binomial Newton (ekspansi binomial). ontoh.7 Jabarkan dan sederhanakan bentuk (x + y) (x + y) = x = x 0 + 0x 8 y + 40x 6 y + 80x 4 y x y 4 + 3y 5 Mari, ari Tahu arilah di perpustakaan buku petunjuk penggunaan kalkulator, cara menghitung faktorial, permutasi, dan kombinasi dengan kalkulator scientific. nda juga dapat menanyakan hal tersebut ke kakak kelas. emonstrasikan dan laporkan hasilnya di depan kelas termasuk jenis kalkulator yang digunakan. n Tes Kompetensi Subbab Kerjakanlah pada buku latihan nda.. alam sebuah perkumpulan panjat tebing ada 5 calon untuk ketua, 4 calon untuk wakil ketua, 3 calon untuk sekretaris, dan 4 calon untuk bendahara. pakah masalah ini adalah kombinasi atau permutasi? da berapa cara keempat posisi tersebut dapat diisi? 56 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan lam

17 . engan menggunakan 5 huruf pertama dalam abjad, dibuat kata yang terdiri atas 3 huruf. erapa banyak kata yang dapat dibuat jika: a. tidak ada huruf boleh diulang, b. huruf-huruf boleh diulang, dan c. hanya huruf-huruf pertama tidak boleh diulang. 3. Ketua dan wakil OSIS harus dipilih di antara 8 orang laki-laki dan 4 orang perempuan. alam berapa cara hal itu dapat dilakukan jika a. ketua harus laki-laki, sedangkan wakilnya boleh laki-laki atau perempuan; b. ketua harus perempuan, sedangkan wakilnya boleh laki-laki atau perempuan; c. wakilnya harus laki-laki; d. wakilnya harus perempuan. 4. Empat orang siswa masuk ruang rapat. Tempat yang masih kososng ada 5 kursi, berapa cara mereka dapat mengambil tempat duduk? 5. Hitung nilai n dari persamaan berikut. a. (n + 4)! = 9(n + 3)! b. (n + 3)! = 0(n + )! 6. ilangan yang terdiri atas tiga angka berbeda, disusun dari angka, 3, 4, 5, 6, 7, dan 8. Tentukan banyak bilangan dengan angka-angka yang berlainan dan lebih kecil dari Tentukan berapa cara yang berbeda dapat dituliskan dari hasil kali x 4 y 3 z tanpa menggunakan eksponen. 8. Tentukan suku keempat dari penjabaran dan penyederhanaan bentuk (3x 4y 3 ) alam pertemuan untuk menentukan tanggal kelulusan siswa, 0 orang guru diundang, setelah memutuskan tanggal kelulusan, mereka saling berjabat tangan. erapa banyak jabat tangan yang terjadi? 0. Jika 5P(n, 3) = 4 (n, 4), berapa nilai n? Untuk soal nomor 6, tentukan banyak cara yang dapat dilakukan.. Mengatur susunan tempat duduk dalam suatu rapat yang disusun melingkar dan dihadiri oleh 8 orang serta ada orang yang selalu berdampingan.. Memilih 5 orang dari 5 orang siswa untuk menjadi pelaksana upacara bendera Senin pagi. 3. Menentukan tiga orang pemenang juara,, dan 3 dari 5 orang finalis. 4. Menentukan lima orang pemain cadangan dari 6 orang anggota kesebelasan sepakbola. 5. Menyusun lima buku Matematika yang sama, tiga buku Fisika yang sama, tiga buku Kimia yang sama, dan dua buku iologi yang sama dalam rak buku. (Petunjuk: buku-buku yang berjudul sama harus berdampingan). Sebuah uang logam yang bentuknya simetris ditos (dilempar ke atas sambil diputar) dan dibiarkan jatuh ke lantai. Oleh karena uang itu bentuknya simetris maka tidak beralasan munculnya gambar lebih sering atau kurang daripada munculnya angka. Secara matematika, nilai peluang munculnya gambar adalah salah satu dari dua atau, dan dengan sendirinya nilai peluang munculnya angka adalah juga. 57

18 (a) (b) (c) (d) Gambar.9 Seperangkat kartu remi. (a) Kartu hati yang berwarna merah. (b) Kartu wajik yang berwarna hitam. (c) Kartu diamond yang berwarna merah. (d) Kartu kriting yang berwarna hitam.. Suatu Kejadian a. Kejadian Sederhana alam seperangkat kartu remi terdapat 3 kartu merah bergambar hati, 3 kartu merah bergambar diamond, 3 kartu hitam bergambar wajik, dan 3 kartu hitam bergambar kriting. Sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu tersebut. Misalkan, kartu yang terambil bergambar hati. Kejadian muncul kartu bergambar hati pada pengambilan tersebut dinamakan kejadian sederhana karena muncul kartu bergambar hati pasti berwarna merah. Lain halnya jika kartu yang terambil berwarna merah. Kejadian muncul kartu berwarna merah dinamakan kejadian bukan sederhana karena muncul kartu berwarna merah belum tentu bergambar hati, tetapi mungkin bergambar diamond. b. Ruang Sampel Jika sekeping uang logam ditos, akan muncul muka angka () atau muka gambar (G). Pada pengetosan tersebut, dan G dinamakan titik sampel, sedangkan {, G} dinamakan ruang sampel. Jika sebuah dadu ditos, titik sampelnya adalah mata dadu,, 3, 4, 5, dan 6, sedangkan ruang sampelnya adalah {,, 3, 4, 5, 6}. ari uraian tersebut, dapatkah nda menyatakan pengertian ruang sampel? obalah nyatakan pengertian ruang sampel dengan kata-kata nda sendiri. Konsep yang telah nda pelajari tersebut memperjelas definisi berikut. efinisi.4 Ruang sampel adalah himpunan semua titik sampel atau himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Ruang sampel dinotasikan dengan S. ontoh.8 Tentukan ruang sampel percobaan berikut. a. Tiga keping uang logam ditos bersamaan. b. ua keping uang logam dan sebuah dadu ditos bersamaan. 58 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan lam

19 a. Perhatikan diagram pohon pada Gambar.0 di samping dengan saksama. ari diagram ter sebut, jika tiga keping uang logam ditos bersamaan, ruang sampelnya adalah {, G, G, GG, GG, G, GG, GG, GGG}. b. ua keping uang logam dan sebuah dadu ditos, ruang sampelnya (amati Tabel.3) adalah {,, 3, 4, 5, 6, G, G, G3, G4, G5, G6, G, G, G3, G4, G5, G6, GG, GG, GG3, GG4, GG5, GG6}. Tabel.3 adu Uang Logam G G G G G G G3 G4 G5 G6 G G G3 G4 G5 G6 GG GG GG3 GG4 GG5 GG6 G G G Gambar.0 iagram pohon pelemparan 3 keping uang logam. G G G G G G GG G GG GG GGG Mari, ari Tahu ersama dengan teman sebangku, cari di internet atau di buku terbitan luar negeri artikel yang ber hubung an dengan materi peluang. Kemudian, kumpulkan hasilnya pada guru nda. c. Misalkan, sekeping uang logam yang bentuknya simetris ditos sebanyak 50 kali, kejadian munculnya muka gambar sebanyak 3 kali sehingga 3 046, dinamakan frekuensi 50 relatif muncul muka gambar. Jika pengetosan uang logam tersebut dilakukan berulang-ulang dalam frekuensi yang besar, frekuensi relatif kejadian muncul muka gambar akan mendekati suatu bilangan tertentu, yaitu. ilangan tersebut dinamakan peluang dari kejadian muncul angka. Pada pengetosan sekeping uang logam yang bentuknya simetris, kemungkinan yang muncul hanya dua, yaitu permukaan gambar dan permukaan angka. muncul permukaan gambar atau permukaan angka sama. Secara matematika, peluang munculnya permukaan gambar adalah satu dari dua kemungkinan atau sehingga peluang munculnya permukaan angka juga. Tantangan untuk nda. Tiga keping uang logam dilemparkan secara bersamaan. Tentukan a. ruang sampel, b. kejadian muncul dua angka.. Sebuah tas berisi 5 kelereng merah, 5 kelereng putih, dan 9 kelereng hijau. pabila diambil 3 kelereng sekaligus secara acak, tentukan peluang yang terambil: a. semua hijau; b. semua putih; c. merah dan hijau. Gambar. Hasil yang mungkin dari pelemparan sebuah uang logam Rp500,00. 59

20 Ingatlah Mata uang yang bentuknya simetris artinya tidak lebih berat ke arah gambar atau ke arah angka. Misalkan, sebuah kotak berisi 8 bola, yaitu 3 bola merah, bola putih, dan 4 bola hijau. ari kotak tersebut, akan diambil sebuah bola. terambil bola dari kotak yang berisi 8 bola tersebut adalah. terambilnya bola 8 merah adalah 3. dapun peluang terambilnya bola putih 8 adalah 8, dan peluang terambil bola hijau adalah 4 8. iketahui, N adalah banyak titik sampel pada ruang sampel S dari sebuah percobaan. Kejadian adalah salah satu kejadian pada percobaan tersebut sehingga peluang adalah P() = N. pabila banyak kejadian yang terjadi dari percobaan tersebut adalah n, peluang terjadinya kejadian adalah P() = n N. Informasi untuk nda Informations for You Pada 000 tahun Sebelum Masehi, orang kaya dan penyihir menggunakan dadu sebagai permainan. adu yang digunakan berbentuk bangun bersisi empat. entuk dadu sekarang dikenal beberapa waktu kemudian. adu yang kali pertama digunakan dalam permainan tersebut terbuat dari tulang rusa, sapi, atau kerbau. t least as far back as 000, the rich and the mystical have had dice to play with. Very early dice were often in the shape of a tetrahedron. The modern cube shape came later. The first dice like objects to be used for games were made from the astralagus of deer, cow or oxen. Sumber: ontoh.9 alam pengetosan sebuah dadu yang seimbang, tentukan a. peluang muncul angka prima; b. peluang muncul kelipatan ; Pada pengetosan sebuah dadu, ruang sampelnya adalah {,, 3, 4, 5, 6} n (S) = 6. a. muncul angka prima. Ruang sampel mata dadu angka prima adalah P = {, 3, 5} maka n (P) = 3, engan demikian, peluang muncul angka prima adalah P(prima) = n P N S 3 6. b. muncul kelipatan. Ruang sampel mata dadu angka kelipatan adalah K = {, 4, 6} maka n (K) = 3. engan demikian, peluang muncul kelipatan adalah P(K) = n K N S 3 6. d. Kisaran Nilai i Kelas IX nda telah mengetahui bahwa nilai peluang suatu percobaan adalah antara 0 dan atau 0 P(x) dengan x adalah kejadian pada percobaan tersebut. 60 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan lam

21 pabila P(x) = 0, kejadian x mustahil terjadi. pabila P(x) =, kejadian x pasti terjadi. Jadi, jika nda mengetahui bahwa suatu kejadian kemungkinan kecil terjadi maka peluangnya mendekati nilai nol. Sebaliknya, jika peluang suatu kejadian yang kemungkinan besar dapat terjadi, peluangnya mendekati nilai. ontoh.0 Tentukan peluang dari pernyataan-pernyataan berikut.. Ikan dapat hidup di darat.. ir mengalir dari tempat tinggi ke tempat rendah. 3. Lumut tumbuh di daerah gurun. 4. Muncul kartu as pada pengambilan seperangkat kartu remi.. Ikan hidup di darat merupakan suatu kemustahilan sehingga peluangnya sama dengan 0.. ir mengalir dari tempat tinggi ke tempat rendah merupakan suatu kepastian sehingga peluangnya sama dengan. 3. Lumut tumbuh di daerah gurun merupakan suatu kemustahilan sehingga peluangnya sama dengan Muncul kartu as pada kartu remi bukan merupakan suatu kemustahilan dan bukan pula suatu kepastian sehingga peluangnya di antara 0 dan, yaitu 3.. Frekuensi Harapan nda telah mempelajari bahwa peluang muncul permukaan gambar pada pengetosan uang logam adalah. pabila pengetosan dilakukan 00 kali, harapan akan muncul permukaan angka adalah 50 kali atau setengah dari 00. anyak muncul permukaan angka sebanyak 50 kali dari 00 kali pengetosan dinamakan frekuensi harapan. ari uraian tersebut, dapatkah nda menyatakan pengertian frekuensi harapan suatu kejadian? obalah nyata kan pengertian frekuensi harapan suatu kejadian dengan katakata nda sendiri. Konsep yang telah nda pelajari tersebut memperjelas definisi berikut. Tokoh Matematika Pierre de Fermat (60 665) Pierre de Fermat adalah seorang hakim. Kemahiran matematikanya luar biasa memungkinkannya memberi sumbangan besar pada matematika tingkat tinggi, antara lain teori bilangan dan kalkulus diferensial. Ketika ia mengklaim bahwa ia telah membuktikan beberapa teorema matematika, ia selalu berkata benar. "Teorema khir Fermat" yang menyebabkan ia terkenal, akhirnya terbukti 300 tahun kemudian, yaitu pada tahun 994 oleh ndrew Willes. Sumber: Finite Mathematics and its pplication, 994 6

22 efinisi. Frekuensi harapan suatu kejadian ialah frekuensi yang diharapkan terjadinya kejadian tersebut selama n percobaan tersebut. Frekuensi harapan dirumuskan sebagai berikut. f H = n P() alam hal ini, n : banyak percobaan P() : peluang terjadinya kejadian Tantangan untuk nda. seorang anak terjangkit penyakit demam berdarah adalah 0,087. Tentukan peluang seorang anak tidak terkena demam berdarah.. alam suatu percobaan diambil sebuah kartu secara acak dari satu set kartu remi, kemudian mengembalikannya (satu set kartu remi terdiri atas 5 kartu). Tentukanlah frekuensi harapan yang terambil adalah kartu jack jika percobaan dilakukan 7 kali. 3. alam percobaan melempar dua keping logam secara bersamaan, tentukan frekuensi harapan muncul sedikitnya satu muka jika percobaan dilakukan 00 kali. ontoh.. Sebuah dadu ditos sebanyak 00 kali, tentukan a. harapan muncul mata dadu 5, b. harapan muncul mata dadu yang habis dibagi 3, c. harapan muncul mata dadu prima ganjil, d. harapan muncul mata dadu prima genap, dan e. harapan muncul mata dadu ganjil.. i sebuah negara diketahui bahwa peluang orang dewasa yang terkena serangan jantung adalah 0,07 dan peluang terkena penyakit liver adalah 0,7. Jika sebanyak orang dewasa di negara tersebut diperiksa, berapa orang dewasa terkena penyakit serangan jantung dan berapa orang yang terkena penyakit liver? 3. alam sebuah penelitian diperoleh data bahwa dari hasil penyilangan diperoleh hasil.000 bunga dengan warna yang berbeda dengan perbandingan putih : 3 merah muda : merah. erapakah banyak bunga merah, merah muda, dan putih yang dihasilkan?. a f H (mata dadu 5) = b. 00 f H (habis dibagi 3) = c. 00 f H ( prima ganjil) = d f H ( prima genap) = e. 3 f H (ganjil) = f H (orang terkena serangan jantung) = ,07 =.750 f H (orang terkena penyakit liver) = ,7 = Hasil yang diperoleh : 3 :, maka banyaknya bunga yang diperoleh adalah 6 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan lam

23 bunga putih = bunga bunga merah muda = bunga bunga merah = bunga ktivitas Matematika Sediakan sebuah dadu. Kemudian, bersama kelompok belajar nda lemparkanlah ke atas (sambil diputar) dadu itu sebanyak 00 kali. atatlah berapa kali muncul a. mata dadu bilangan 5, b. mata dadu bilangan yang habis dibagi 3, c. mata dadu bilangan prima ganjil, d. mata dadu bilangan prima genap, dan e. mata dadu bilangan ganjil. oba nda bandingkan dengan penyelesaian ontoh.(). pa yang dapat nda simpulkan? Presentasikan kesimpulan nda di depan kelas. Tes Kompetensi Subbab Kerjakanlah pada buku latihan nda.. Tentukan ruang sampel percobaan berikut. a. Pengetosan 3 keping uang logam sekaligus. b. Pengetosan dua keping uang logam dan sebuah dadu. c. Penelitian jenis kelamin tiga bayi. d. Penelitian warna kulit (putih, sawo matang, dan hitam) dari tiga orang. e. Penelitian golongan darah dari empat orang pasien (untuk memudahkan, golongan darah ditulis ).. Lima puluh dua kartu diberi angka,,,3, 4, 5,..., 5. Kemudian, diambil sebuah kartu secara acak. Tentukan peluang: a. terambil kartu berangka ganjil; b. terambil kartu berangka prima; c. terambil kartu berangka habis dibagi tiga; d. terambil kartu berangka kelipatan lima; e. terambil kartu berangka kelipatan dua dan tiga; f. terambil kartu berangka memiliki 4 faktor. 3. i suatu daerah, peluang bayi terkena polio adalah 0,03 dan peluang terkena campak adalah 0,05. Jika.500 bayi di daerah itu diperiksa, be rapakah: a. bayi yang terkena polio; b. bayi yang tidak terkena polio; c. bayi yang terkena campak; d. bayi yang tidak terkena campak? 63

24 Situs Matematika nda dapat mengetahui informasi lain tentang melalui internet dengan mengunjungi situs berikut. bukan Gambar.. Kejadian Majemuk Misalkan, pada sebuah kotak terdapat bola merah dan 3 bola hijau. ari kotak tersebut, nda akan mengambil buah bola merah dan buah bola hijau. Kejadian terambilnya buah bola merah dan buah bola hijau dinamakan kejadian majemuk.. Komplemen Suatu Kejadian iketahui, adalah kejadian pada sebuah ruang sampel, sedangkan adalah kejadian bukan yang juga terdapat pada ruang sampel tersebut. Kejadian bukan atau dinamakan juga komplemen kejadian. kejadian dilambangkan dengan P(), dan peluang komplemen kejadian bukan dilambangkan dengan P(bukan ) atau P( ). mati diagram Venn pada Gambar.. Gambar. menunjukkan ruang sampel yang terdiri atas kejadian dan kejadian bukan. ruang sampel sama dengan sehingga P(( ) + P(bukan ) = atau P(bukan ) = P(( ) ontoh. Tentukan peluang komplemen dari peluang berikut. a. kereta datang terlambat adalah 0,03. b. Indra meraih juara kelas adalah 0,5. a. Komplemen kejadian kereta api datang terlambat adalah kejadian kereta api datang tepat waktu. kereta api datang tepat waktu adalah ( 0,03) = 0,97. b. gagal menjadi juara kelas adalah ( 0,5) = 0,75.. Gabungan ua Kejadian yang Saling Lepas Sebuah dadu seimbang dilempar ke atas. Misalkan, adalah kejadian (kejadian) muncul dadu bermata ganjil dan adalah kejadian muncul mata dadu genap. Kejadian dan merupakan kejadian saling lepas sebab irisan dari dua kejadian tersebut adalah himpunan kosong. 64 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan lam

25 iketahui, himpunan melambangkan kejadian dan himpunan melambangkan kejadian. pabila P() dan P() setiap peluang kejadian dan kejadian yang saling lepas, peluang gabungan kejadian tersebut yang dinyatakan oleh P() adalah P() + P() P(). Oleh karena = Ø maka tentunya P() = 0 sehingga ontoh.3 P() = P() + P() rtinya, pada dua kejadian dan kejadian yang saling lepas, peluang terjadinya kejadian atau kejadian adalah penjumlahan peluang dua kejadian tersebut.. Pada percobaan mengocok sebuah kartu remi, misalkan kejadian adalah muncul kartu berwarna merah dan kejadian adalah kejadian muncul kartu berwarna hitam. pakah kejadian dan saling lepas?. Pada percobaan melempar sebuah dadu dan satu keping uang logam, tentukan peluang munculnya: a. mata dadu < 3 atau angka; b. mata dadu prima genap atau gambar;. Pada kartu remi terdapat 5 kartu. anyak kartu merah dan hitam masing-masing 6 kartu. Muncul kartu merah terlepas dari muncul kartu hitam. Jadi, kejadian dan saling lepas.. a. Ruang sampel pelemparan dadu = {,, 3, 4, 5, 6}. Misalkan, = kejadian muncul dadu < 3 sehingga P(( ) =. 6 3 Ruang sampel pelemparan satu keping uang logam = {, G}. Misalkan, = kejadian muncul angka sehingga P() = 3 5 P P P b. = kejadian muncul mata dadu prima genap sehingga P() = 6. = kejadian muncul gambar sehingga P() =. 4 P P P Tugas ersama kelompok belajar nda, buatlah tiga contoh dua kejadian yang saling lepas dalam kehidupan seharihari. Kemudian, jelaskan (presentasikan) di depan kelas mengapa contoh yang nda buat merupakan dua kejadian yang saling lepas. Ingatlah dan saling lepas P(( ) = P(( ) + P() dan tidak saling lepas P(( ) = P(( ) + P() P(( ) Tantangan untuk nda Tiga puluh kartu diberi nomor,, 3,..., 30. Kartu dikocok, kemudian diambil secara acak. Tentukan: a. peluang kartu yang terambil adalah kartu yang bernomor bukan kelipatan 3, b. peluang kartu yang terambil adalah kartu yang bernomor bukan kelipatan 3 dan 5, dan c. peluang kartu yang terambil adalah kartu yang bernomor bukan kelipatan 6. 65

26 Pe embahasan Soal Suatu kelas terdiri atas 40 siswa, 5 siswa gemar matematika, siswa gemar IP, dan 9 siswa gemar matematika dan IP. seorang tidak gemar matematika maupun IP adalah... n(s) = 40; n(m) = 5; n(i) = ; n(m I) = 9 n(m I) = n(m) + n(i) n(m I) = = 37 P(M I) = P( M I) = n n = Tantangan untuk nda Soal Ebtanas 000. Sebuah kartu diambil secara acak dari satu set kartu remi. Tentukan peluang yang terambil, kartu hitam atau king.. Sebuah dadu merah dan dadu putih dilemparkan bersamaan. Tentukan peluang muncul mata dadu berjumlah 6 atau berjumlah kelipatan 5. ontoh.4 ua puluh buah kartu diberi nomor sampai 0. Kemudian, dikocok dan diambil secara acak. Tentukanlah peluang dari: a. kartu yang terambil nomor bilangan genap atau nomor 6; b. kartu yang terambil nomor bilangan ganjil atau nomor 5; a. terambil kartu nomor bilangan genap adalah P(genap) = 0 0. terambil kartu nomor bilangan kelipatan 6 adalah P(kelipatan 6) = 3 0. Jadi, peluang terambil kartu nomor bilangan genap atau nomor bilangan kelipatan 6 adalah P(genap atau kelipatan 6) = P(genap) + P(kelipatan 6) = b. terambil kartu nomor bilangan ganjil adalah P(ganjil) = 0 0. terambil kartu nomor 5 adalah P(5) = 0. Jadi, peluang terambil kartu nomor bilangan ganjil atau nomor 5 adalah P(ganjil atau 5) = P(ganjil) + P(5) = ua Kejadian yang Saling ebas a. Kejadian Melempar ua Mata Uang secara ersamaan alam pelemparan dua keping uang logam secara serempak, apabila G adalah kejadian muncul permukaan gambar pada pengetosan mata uang pertama maka kejadian muncul permukaan gambar ataupun permukaan angka pada mata uang kedua tidak dipengaruhi oleh G. egitu pula apabila menyatakan kejadian muncul permukaan angka pada mata uang pertama maka muncul permukaan gambar ataupun permukaan angka pada mata uang kedua tidak akan dipengaruhi oleh. Kejadian pelemparan dua mata uang secara bersamaan dinamakan dua kejadian yang saling bebas. 66 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan lam

27 Misalkan, G adalah kejadian muncul permukaan gambar pada mata uang kedua dan adalah kejadian muncul permukaan angka pada mata uang kedua sehingga ruang sampel untuk pelemparan dua buah mata uang logam adalah {(, ), (, G ), (G, ), (G, G )}. muncul permukaan gambar pada mata uang pertama sama dengan peluang muncul permukaan gambar pada mata uang kedua sehingga PG P G. munculnya permukaan angka pada mata uang pertama sama dengan peluang munculnya permukaan angka pada mata uang kedua sehingga P P. munculnya dan munculnya = P( dan ) = = P( ) P( ) = 4 Jadi, Pdan P P. 4 engan cara yang sama, coba nda tunjukkan: P( dan G ) = P( ) P(G ) = 4 P(G dan ) = P(G ) P( ) = 4 P(G dan G ) = P(G ) P(G ) = 4 b. Kejadian Mengambil ola dari alam Sebuah Tas Sebuah kotak berisi 5 bola hijau dan 7 bola biru. nda ingin mengambil dua bola secara bergantian dengan pengembalian. Misalkan, pada pengambilan pertama diperoleh bola hijau, kemudian bola itu dikembalikan lagi ke dalam kotak. Pada pengambilan kedua diperoleh bola biru. Kedua kejadian pengambilan bola tersebut dinamakan dua kejadian yang saling bebas stokastik karena pengambilan bola pertama tidak mem pengaruhi pengambilan bola kedua. Ruang sampel kejadian pengambilan bola tersebut adalah sebagai berikut. Pengambilan bola pertama, ruang sampelnya: {hijau, biru} P(hijau) = 5 dan P(biru) = 7. Pengambilan kedua (dengan pengembalian), ruang sampelnya: {(hijau dan hijau), (hijau dan biru), (biru dan hijau), (biru dan biru)}. 67

28 Ingatlah ua kejadian yang saling bergantung dinamakan juga dengan kejadian bersyarat. P(hijau dan hijau) = P(hijau) P(hijau) = P(hijau dan biru) = P(hijau) P(biru) = P(biru dan hijau) = P(biru) P(hijau) = P(biru dan biru) = P(biru) P(biru) = Uraian yang telah anda pelajari tersebut memperjelas rumus berikut Jika dua kejadian dan saling bebas stokastik maka peluang terjadinya kedua kejadian tersebut secara bersamaan, yang dinyatakan oleh P ( ) adalah P = P P Tantangan untuk nda Penerbangan dari bandara Soekarno-Hatta telah terjadwal teratur. berangkat tepat waktu adalah 0,80. sampai tepat waktu adalah 0,75. dapun peluang berangkat dan sampai tepat waktu adalah 0,70. Tentukan: a. peluang pesawat sampai tepat waktu jika diketahui berangkat tepat waktu; b. peluang berangkat tepat waktu jika diketahui sampai tepat waktu. ontoh.5. Sebuah kotak berisi bola yang diberi nomor hingga. ua bola diambil dari kotak secara bergantian dengan pengembalian. Tentukanlah peluang terambil bola-bola tersebut bernomor bilangan a. kelipatan 4 dan nomor 9; b. ganjil dan genap.. Sebuah kotak berisi bola yang bernomor sampai dengan. ua bola diambil dari kotak secara bergantian tanpa pengembalian. Tentukanlah peluang terambilnya bola-bola tersebut bernomor bilangan berikut ini. a. Genap, kemudian ganjil. b. Ganjil, kemudian genap. c. Kelipatan 3, kemudian nomor 8.. a. terambil bola bernomor kelipatan 4 adalah P (kelipatan 4) =, peluang bola bernomor 9 adalah P(9) =. Jadi, P (kelipatan 4 dan nomor 9) = P (kelipatan 4) P(9) =. b. bola bernomor bilangan ganjil adalah P (ganjil) = 6, peluang bola bernomor bilangan genap adalah P(genap) = Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan lam

29 Jadi, peluang bola bernomor ganjil dan genap adalah P(ganjil dan genap) = P(ganjil) P(genap) = a. bola bernomor bilangan genap adalah P(genap) = 5. Mengingat pengambilan dilakukan tanpa pengembalian, jumlah bola di dalam kotak tinggal 0 buah. terambil bola bernomor bilangan ganjil adalah P(ganjil genap) = 6. Jadi, P(bola bernomor bilangan genap 0 kemudian ganjil) adalah P(genap) P(ganjil genap) = = b. bola bernomor kelipatan 3 adalah P(kelipatan 3) = 3. Mengingat pengambilan dilakukan tanpa pengembalian, jumlah bola yang tersedia di dalam kotak tinggal 0 buah. terambil bola bernomor 8 adalah P(8 kelipatan 3) = 0. Jadi, P (kelipatan 3 kemudian nomor 8) adalah P (kelipatan 3) P (8 kelipatan 3) = c. bola bernomor kelipatan 4 adalah P(kelipatan 4) =. Mengingat pengambilan dilakukan tanpa pengembalian, jumlah bola yang tersedia dalam kotak tinggal 0 buah. terambil bola bernomor adalah P( kelipatan 4) =. Jadi, P(kelipatan 4 kemudian ) adalah 0 P( kelipatan 4) P( kelipatan4) = 0 = Mari, ari Tahu ersama tujuh orang teman, buatlah poster ilmuwan yang berjasa dalam mengembangkan materi peluang, seperti Pierre de Fermat dan laise Pascal. arilah ilmuwan lainnya. Tempelkan hasilnya di ruangan kelas nda. Hal Penting faktorial kombinasi kejadian majemuk 69

30 Tes Kompetensi Subbab Kerjakanlah pada buku latihan nda.. Tentukan peluang komplemen dari kejadian berikut. a. hari ini hujan 5. b. pengguna narkotika terinfeksi HIV 0,98. c. muncul mata dadu angka kurang dari 5 dari pengetosan sebuah dadu adalah 3. d. bayi yang baru lahir hidup adalah 75%. e. kesebelasan memenangkan pertandingan adalah 63%. f. bukan perokok terkena penyakit jantung adalah 0,05.. Pada pengetosan dua buah dadu berwarna merah dan putih, tentukanlah peluang muncul jumlah mata dadu sama dengan a. 3 atau 5, d. 4 atau 0, b. 3 atau 6, e. 5 atau 6, c. 4 atau 7, f. 6 atau ari seperangkat kartu remi diambil sebuah kartu secara acak. Tentukan peluang dari kartu yang terambil kartu a. as atau king, b. as hati atau queen merah, c. kartu bernomor 0 atau jantung, d. kartu bernomor kelipatan 5 atau bernomor 9, e. kartu bernomor kelipatan atau kartu sekop, f. kartu jantung atau kartu bergambar. 4. Pada pengetosan dua buah dadu, tentukan peluang untuk memperoleh a. angka ganjil pada dadu pertama dan angka genap pada dadu kedua, b. angka kurang dari 4 pada dadu pertama dan angka lebih dari 4 pada dadu ke dua, c. angka kelipatan dua pada dadu pertama dan angka prima ganjil pada dadu kedua, dan d. angka prima genap pada dadu pertama dan angka kelipatan 3 pada dadu kedua. 5. Tiga orang pasien penyakit tumor, usus buntu, dan hernia akan dioperasi. ketiga pasien itu tertolong adalah sebagai berikut. pasien tumor tertolong adalah P(T) = 7. pasien usus buntu tertolong adalah P() = 0 7. pasien hernia tertolong adalah P(H) = 4. Tentukan peluang dari: 7 a. ketiga pasien akan tertolong; b. ketiga pasien tidak akan tertolong; c. pasien hernia tertolong, tetapi pasien tumor dan usus buntu tidak tertolong; d. pasien usus buntu dan hernia tertolong, tetapi pasien tumor tidak tertolong; e. pasien tumor tertolong, tetapi pasien usus buntu dan hernia tidak tertolong; f. pasien tumor dan usus buntu tertolong, tetapi pasien hernia tidak tertolong. 6. Sebuah kotak berisi lima belas kartu bernomor sampai dengan 5. Tiga lembar kartu diambil acak secara bergantian tanpa pengembalian. Tentukan peluang kartu-kartu tersebut bernomor bilangan berikut. a. Kelipatan 4, kelipatan 5, kemudian kelipatan 7. b. Nomor ganjil, genap kurang dari 5, kemudian kelipatan 6. c. Nomor genap, prima ganjil kemudian kelipatan Misalkan, peluang seorang laki-laki dapat hidup sampai 60 tahun adalah 0,75 dan perempuan dapat hidup sampai 60 tahun peluangnya 0,70. erapa peluang kedua orang itu dapat hidup sampai 60 tahun? 70 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan lam

31 8. alam sebuah kotak terdapat 7 kelereng merah, 4 kelereng biru, dan 5 kelereng kuning. Kelereng tersebut diambil secara acak. a. Tentukan peluang terambilnya kelereng merah atau bukan biru. b. Jika dilakukan tiga kali pengambilan secara berurutan tanpa pengembalian, tentukan peluang terambilnya berturut-turut kelereng merah, biru, kemudian kuning. 9. Sebuah kantong berisi 8 kelereng merah, kelereng kuning, dan 8 kelereng biru. Sebuah kelereng diambil secara acak dari kantong. Tentukan peluang terambil kelereng merah atau kuning. Rangkuman Permutasi adalah susunan dari semua atau sebagian elemen suatu himpunan yang mementingkan urutannya. Kombinasi adalah susunan dari semua atau sebagian elemen suatu himpunan tidak mementingkan urutannya. Frekuensi harapan suatu kejadian ialah harapan banyaknya kejadian yang dapat terjadi dari banyak percobaan yang dilakukan. Frekuensi harapan dirumuskan f H = n P(( ) alam halini n : banyak percobaan P() : peluang terjadinya kejadian Sekarang, lanjutkanlah rangkuman di atas. Refleksi Setelah nda mempelajari ab,. tuliskanlah materi mana yang menurut nda sulit dan yang mudah,. bagian manakah yang menurut nda sangat menarik dan penting untuk dipelajari. 7

32 Tes Kompetensi ab. Pilihlah salah satu jawaban dan berikan alasannya.. ari angka 3, 5, 6, 7, dan 9 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda. i antara bilangan-bilangan tersebut yang kurang dari 400 banyaknya adalah... a. 6 d. 8 b. e. 6 c. 0. ua buah dadu ditos sekali. kedua mata dadu berjumlah bilangan prima adalah... a. 7 4 d. 8 b. 5 e. c Sebuah dadu dan sekeping logam ditos bersama-sama. dadu menunjukkan angka genap dan uang menunjukkan angka adalah... a. d. 6 b. e. 3 c Pada pengetosan dua buah dadu, peluang munculnya mata dadu berjumlah kurang dari delapan adalah... a. 5 5 d. 36 b. 7 8 e. c Jika rn menyatakan banyaknya kombinasi r elemen dari n elemen dan n 3 = n maka n 7 =... a. 6 d. 9 b. e. 8 c. 6. Tiga keping uang logam ditos sebanyak 08 kali. Frekuensi harapan munculnya minimal dua sisi gambar adalah... a. 56 d. 7 b. 30 e. 5 c Tiga orang siswa masuk ruangan rapat. Tempat yang masih kosong 5 kursi. anyaknya cara mereka dapat mengambil tempat duduk adalah... a. 7 d. 4 b. 60 e. 8 c pada pengetosan 7 mata uang sekaligus yang muncul 3 gambar adalah a. d b. e c Jika P(n + 4,) : P(n + 3,) = 4 : 3 maka n =... a. d. 9 b. e. 8 c Koefisien x 7 dari x 5 ( x ) 7 adalah... a..376 d. 688 b. 94 e. 94 c ua buah dadu dilempar undi bersamasama. munculnya jumlah mata dadu 9 atau 0 adalah a. d. b. c e Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan lam