ATURAN PENCACAHAN DAN PERMUTASI. Tujuan Pembelajaran
|
|
- Glenna Jayadi
- 6 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 KTSP & K-13 matematika K e l a s XI ATURAN PENCACAHAN DAN PERMUTASI Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami aturan perkalian dan penjumlahan. 2. Dapat menggunakan aturan perkalian dan penjumlahan dalam pemecahan masalah. 3. Memahami notasi faktorial dan cara menentukan hasilnya. 4. Dapat menentukan permutasi dari n unsur yang berbeda. 5. Dapat menentukan permutasi r unsur dari n unsur yang tersedia. 6. Dapat menentukan permutasi siklis. 7. Dapat menentukan permutasi dengan unsur yang sama. A. Aturan Pencacahan Aturan pencacahan adalah dasar dari perhitungan peluang. Dengan menguasai aturan pencacahan, kamu dapat menentukan banyaknya kemungkinan pengaturan unsur atau objek dalam suatu percobaan. Ada dua macam aturan pencacahan, yaitu aturan perkalian (aturan pengisian tempat yang tersedia) dan aturan penjumlahan. 1. Aturan Perkalian Prinsip dari aturan ini adalah mengalikan banyaknya kemungkinan cara (pilihan) dari setiap kejadian yang terjadi secara bersamaan. Agar kamu lebih mengerti, mari perhatikan contoh soal berikut ini.
2 Contoh Soal 1 SMA Cerdas berhasil memperoleh 5 siswa sebagai calon peserta olimpiade Matematika dan 3 siswa sebagai calon peserta olimpiade Fisika. Sekolah akan mengutus 1 siswa untuk setiap mata pelajaran. Calon peserta juga hanya diperbolehkan fokus pada salah satu mata pelajaran. Tentukan banyak cara memilih utusan sekolah sebagai peserta olimpiade Matematika dan Fisika. Misalkan lima siswa calon peserta olimpiade Matematika adalah m 1, m 2, m 3, m 4, dan m 5. Sementara tiga siswa calon peserta olimpiade Fisika adalah f 1, f 2, dan f 3. Dengan menggunakan tabel silang, diperoleh: Fisika Matematika m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 f 1 (f 1, m 1 ) (f 1, m 2 ) (f 1, m 3 ) (f 1, m 4 ) (f 1, m 5 ) f 2 (f 2, m 1 ) (f 2, m 2 ) (f 2, m 3 ) (f 2, m 4 ) (f 2, m 5 ) f 3 (f 3, m 1 ) (f 3, m 2 ) (f 3, m 3 ) (f 3, m 4 ) (f 3, m 5 ) Pilihan utusan sekolah Pilihan utusan sekolah Ini berarti, banyak cara memilih = 15 cara. Cara tersebut secara sederhana dapat dituliskan sebagai berikut. Matematika Fisika Banyak Pilihan 5 3 Jadi, banyak cara memilihnya adalah 5 3 = 15 cara. Contoh Soal 2 Seorang ahli gizi menyusun menu makan siang dan makan malam untuk pasien penderita mag di sebuah rumah sakit. Setiap menu harus berisi 1 macam karbohidrat, protein hewani, protein nabati, sayur, dan buah. Makanan berkarbohidrat yang disediakan adalah nasi putih. Protein hewaninya adalah sup ayam dan sup ikan. Protein nabatinya adalah tempe bacem dan tahu mendoan. Sayurnya adalah kangkung dan taoge. Buahnya adalah pepaya dan semangka. Tentukan banyak cara menyusun menu dari makanan-makanan tersebut! 2
3 Berdasarkan soal, banyaknya pilihan makanan yang disediakan adalah sebagai berikut. Makanan berkarbohidrat ada 1, yaitu nasi putih. Makanan berprotein hewani ada 2, yaitu sup ayam dan sup ikan. Makanan berprotein nabati ada 2, yaitu tempe bacem dan tahu mendoan. Sayur ada 2, yaitu kangkung dan taoge. Buah ada 2, yaitu pepaya dan semangka. Dengan menggunakan diagram pohon, diperoleh: Berdasarkan diagram pohon tersebut, pilihan susunan menunya adalah sebagai berikut. {(nasi putih, sup ayam, tempe bacem, kangkung, pepaya), (nasi putih, sup ayam, tempe bacem, kangkung, semangka), (nasi putih, sup ayam, tempe bacem, taoge, pepaya), (nasi putih, sup ayam, tempe bacem, taoge, semangka), (nasi putih, sup ayam, tahu mendoan, kangkung, pepaya), (nasi putih, sup ayam, tahu mendoan, kangkung, semangka), 3
4 (nasi putih, sup ayam, tahu mendoan, taoge, pepaya), (nasi putih, sup ayam, tahu mendoan, taoge, semangka), (nasi putih, sup ikan, tempe bacem, kangkung, pepaya), (nasi putih, sup ikan, tempe bacem, kangkung, semangka), (nasi putih, sup ikan, tempe bacem, taoge, pepaya), (nasi putih, sup ikan, tempe bacem, taoge, semangka), (nasi putih, sup ikan, tahu mendoan, kangkung, pepaya), (nasi putih, sup ikan, tahu mendoan, kangkung, semangka), (nasi putih, sup ikan, tahu mendoan, taoge, pepaya), (nasi putih, sup ikan, tahu mendoan, taoge, semangka)} Ini berarti, banyak cara menyusun menu = 16 cara. Cara tersebut secara sederhana dapat dituliskan sebagai berikut. Karbohidrat Protein Hewani Protein Nabati Sayur Buah Banyak Pilihan Jadi, banyak cara menyusun menunya adalah = 16 cara. Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan tentang aturan perkalian sebagai berikut. Aturan Perkalian Misalkan terdapat k buah kejadian yang saling bebas, dengan: kejadian ke-1 dapat terjadi dalam n 1 cara berbeda; kejadian ke-2 dapat terjadi dalam n 2 cara berbeda; kejadian ke-k dapat terjadi dalam n k cara berbeda. Banyak cara terjadinya seluruh kejadian tersebut adalah sebagai berikut. n 1 n 2... n cara berbeda k Persoalan aturan perkalian umumnya berkaitan dengan cara penyusunan objek/unsur pada tempat/posisi yang tersedia. Sebagai contoh, susunan angka yang menunjukkan bilangan tertentu, susunan huruf yang membentuk kata tertentu, dan sebagainya. 4
5 Contoh Soal 3 Dari angka-angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7 akan disusun bilangan genap yang terdiri atas 3 angka berbeda. Banyak bilangan genap yang dapat disusun adalah... (UN 2014) A. 60 D. 120 B. 90 E. 126 C. 108 Jawaban: B Diketahui 7 angka berbeda, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, dan 7. Bilangan yang akan disusun terdiri atas 3 angka. Ini berarti, ada 3 tempat yang tersedia, yaitu ratusan, puluhan, dan satuan. Oleh karena angkanya berbeda, maka angka yang sudah digunakan tidak boleh digunakan lagi. Oleh karena bilangannya genap, maka angka satuannya harus genap. Dengan demikian, pengisian tempat harus dimulai dari satuan, puluhan, dan terakhir ratusan. Untuk lebih jelasnya, perhatikan tabel berikut. Satuan Puluhan Ratusan Banyak Pilihan Angka Angka yang Dipilih Angka genap yaitu 2, 4, 6. Enam buah angka dari 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (salah satu angka sudah digunakan untuk mengisi tempat satuan). Lima buah angka dari 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 (satu angka sudah digunakan untuk mengisi tempat satuan dan 1 angka lain untuk mengisi tempat puluhan). Jadi, banyak bilangan genap yang dapat disusun adalah = 90. Contoh Soal 4 Dari angka-angka 1, 2, 4, 5, 6, 7, dan 8 akan disusun bilangan yang terdiri atas 4 angka berbeda. Tentukan banyak bilangan lebih dari yang dapat disusun dari angka-angka tersebut! 5
6 Dalam soal ini, ada syarat bilangan lebih dari 4000 yang membatasi pilihan angka pada posisi ribuan. Oleh karena itu, kita kerjakan posisi ribuan terlebih dahulu, kemudian posisi lain yang tersisa. Perhatikan tabel berikut. Ribuan Ratusan Puluhan Satuan Banyak Pilihan Angka Angka yang Dipilih Angka 4, 5, 6, 7, 8 agar bilangan lebih dari Enam buah angka dari 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8 (satu angka sudah digunakan untuk mengisi tempat ribuan). Lima buah angka dari 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8 (dua angka sudah digunakan untuk mengisi posisi ribuan dan ratusan). Empat buah dari angka 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8 (tiga angka sudah digunakan di posisi ribuan, ratusan, dan puluhan). Dengan menggunakan aturan perkalian, banyak bilangan lebih dari yang dapat disusun dari 4 angka berbeda diambil dari angka-angka 1, 2, 4, 5, 6, 7, dan 8 adalah = 600 bilangan. Jika dalam soal melibatkan penggunaan syarat membatasi bilangan seperti kurang atau lebih dari bilangan tertentu, kemudian digabungkan dengan syarat genap atau ganjil, maka dahulukan pengisian pada posisi paling awal, kemudian satuan, baru setelah itu posisi yang tersisa. Contoh Soal 5 Tentukan banyak bilangan ratusan genap kurang dari 600 yang dapat disusun dari angkaangka 0, 1, 4, 5, 6, 7, dan 8! Pada soal tersebut tidak dinyatakan bahwa angka tidak boleh berulang sehingga angka yang sama dapat digunakan lebih dari sekali. Dengan menggunakan aturan perkalian, diperoleh: 6
7 Ratusan Satuan Puluhan Banyak Pilihan Angka Angka yang Dipilih Angka 1, 4, dan 5 agar bilangan ratusan kurang dari 600. Angka 0, 4, 6, dan 8 agar bilangannya genap. Semua angka boleh digunakan karena tidak ada syarat bahwa angka harus berbeda. Jadi, banyak bilangan ratusan genap kurang dari 600 yang dapat disusun dari angkaangka 0, 1, 4, 5, 6, 7, dan 8 adalah = 84 bilangan. Untuk mengerjakan soal seperti contoh soal 6 berikut ini, diperlukan kehati-hatian karena disyaratkan bilangan tidak boleh berulang. Perlu diperhatikan bahwa akan ada kemungkinan angka yang beririsan pada posisi ratusan dan satuan. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut. Contoh Soal 6 Tentukan banyak bilangan ratusan genap kurang dari 600 yang dapat disusun dari angkaangka 0, 1, 4, 5, 6, 7, dan 8, dengan syarat angka tidak boleh berulang! Misal kamu kerjakan dari posisi ratusan, satuan, kemudian puluhan. Ratusan Satuan Puluhan Banyak Pilihan Angka Angka yang Dipilih 3 3 atau 4 5 Angka 1, 4, dan 5 agar bilangan ratusan kurang dari buah yaitu angka 0, 6, dan 8 jika angka 4 dipilih pada posisi ratusan. 4 buah yaitu 0, 4, 6, dan 8 jika pada posisi ratusan dipilih angka ganjil. Dua angka sudah digunakan pada posisi ratusan dan satuan. 7
8 Oleh karena ada dua kemungkinan pada posisi satuan, maka kejadian tersebut dipisah menjadi terpilihnya angka ganjil pada posisi ratusan dan terpilihnya angka genap pada posisi ratusan. Kondisi 1: Terpilihnya angka ganjil pada posisi ratusan Ratusan Satuan Puluhan Banyak Pilihan Angka Angka yang Dipilih Angka 1 dan 5 agar bilangan ratusan kurang dari yaitu 0, 4, 6, dan 8 agar angkanya genap. Dua angka sudah digunakan pada posisi ratusan dan satuan. Ini berarti, banyak bilangan genap kurang dari 600 dengan angka ganjil pada posisi ratusan adalah = 40 bilangan. Kondisi 2: Terpilihnya angka genap pada posisi ratusan Ratusan Satuan Puluhan Banyak Pilihan Angka Angka yang Dipilih Angka 4 agar bilangan kurang dari 600. Salah satu di antara angka 0, 6, dan 8. Dua angka sudah digunakan pada posisi ratusan dan satuan. Ini berarti, banyak bilangan genap kurang dari 600 dengan angka genap pada posisi ratusan adalah = 15 bilangan. Jadi, banyak bilangan ratusan genap kurang dari 600 dengan angka tidak berulang adalah = 55 bilangan. 8
9 Super "Solusi Quipper" = 55 Keterangan: angka 3 menunjukkan banyak bilangan yang mungkin menempati posisi ratusan; angka 4 menunjukkan banyak bilangan yang mungkin menempati posisi satuan (abaikan irisan); angka 5 menunjukkan sisa angka yang mungkin menempati posisi puluhan; pengurangan dilakukan untuk membuang angka-angka yang beririsan; serta angka 1 menunjukkan banyak bilangan yang beririsan, yaitu angka 4 (genap dan kurang dari 6). Untuk lebih memahaminya, mari simak contoh penggunaan cara SUPER, Solusi Quipper pada soal lain. Contoh Soal 7 Dari angka-angka 1, 3, 4, 5, 7, 8, dan 9 akan disusun bilangan yang terdiri atas 3 angka berbeda. Banyak bilangan ganjil lebih dari 500 yang dapat disusun dari angka-angka tersebut adalah... Super "Solusi Quipper" = = 85 Jadi, banyak bilangan ganjil lebih dari 500 yang dapat disusun dari angka-angka tersebut adalah 85 bilangan. 2. Aturan Penjumlahan Prinsip dari aturan ini adalah menjumlahkan banyaknya kemungkinan cara (pilihan) dari kejadian-kejadian yang tidak terjadi secara bersamaan. Agar lebih jelas, mari simak contoh berikut. 9
10 Contoh Soal 8 Jabatan ketua OSIS dapat diduduki oleh siswa kelas XI atau kelas XII. Jika siswa kelas XI terdiri atas 110 orang dan siswa kelas XII terdiri atas 90 orang, tentukan banyak cara memilih ketua OSIS. Berdasarkan soal, dapat diperoleh informasi berikut. Banyak siswa kelas XI = 110 orang. Banyak siswa kelas XII = 90 orang. Jabatan ketua OSIS hanya disediakan untuk 1 orang dari salah satu tingkatan kelas. Ini berarti terdapat 2 kemungkinan, yaitu 1 siswa kelas XI terpilih sebagai ketua OSIS atau 1 siswa kelas XII yang terpilih. Dua kemungkinan ini tidak dapat terjadi secara bersamaan sehingga aturan pencacahan yang digunakan adalah aturan penjumlahan. Jadi, banyak cara memilih ketua OSIS tersebut adalah = 200 cara. Berdasarkan contoh soal 8, dapat disimpulkan tentang aturan penjumlahan sebagai berikut. Aturan Penjumlahan Misalkan terdapat k buah kejadian yang saling lepas, dengan: kejadian ke-1 dapat terjadi dalam n 1 cara berbeda; kejadian ke-2 dapat terjadi dalam n 2 cara berbeda; kejadian ke-k dapat terjadi dalam n k cara berbeda. Banyak cara terjadinya seluruh kejadian tersebut adalah sebagai berikut. n 1 + n n k cara berbeda Agar kamu dapat dengan mudah mengenali aturan perkalian dan penjumlahan, mari pahami perbedaannya pada tabel berikut ini. 10
11 Perbedaan antara Aturan Perkalian dan Penjumlahan Pembeda Aturan Perkalian Aturan Penjumlahan Banyak cara terjadinya k buah kejadian n 1 n 2... n k cara n 1 + n n k cara Waktu dan sifat kejadian Bersamaan atau berurutan Tidak bersamaan, tidak serentak, satu per satu, atau bersifat pilihan Kata kunci dalam soal cerita Dan Atau Aturan perkalian dan penjumlahan juga dapat digunakan bersama-sama tergantung perintah soalnya. Contoh Soal 9 Suatu organisasi OSIS di sebuah SMA memiliki 20 anggota yang terdiri atas 4 siswa kelas XII, 6 siswa kelas XI, dan 10 siswa kelas X. Dari anggota tersebut, akan dilakukan pemilihan pengurus baru, yaitu ketua, wakil, dan sekretaris. Posisi wakil dan sekretaris harus diduduki oleh siswa yang kelasnya lebih rendah dari kelas ketua. Tentukan banyak cara pemilihan pengurus yang mungkin! Oleh karena posisi wakil dan sekretaris harus diduduki oleh siswa yang kelasnya lebih rendah dari kelas ketua, maka ada dua pilihan pada ketua, yaitu ketua dari kelas XII atau dari kelas XI. Pilihan 1: Ketua dari kelas XII Jika ketua dari kelas XII, posisi wakil dan sekretaris bisa dari kelas XI dan X. Banyak cara pemilihan pengurus adalah = 960 pilihan Pilihan 2: Ketua dari kelas XI Jika ketua dari kelas XI, posisi wakil dan sekretaris hanya bisa dari kelas X. Banyak cara pemilihan pengurus adalah = 540 pilihan Oleh karena kejadian pemilihan ketua baik dari kelas XII maupun dari kelas XI tidak mungkin terjadi bersamaan atau bersifat pilihan, maka aturan yang digunakan adalah aturan penjumlahan. Dengan demikian, banyak cara pemilihan pengurus yang mungkin adalah = cara. Jadi, banyak cara pemilihan pengurus yang mungkin adalah cara. 11
12 B. Faktorial Faktorial merupakan bentuk perkalian bilangan bulat positif berurutan. Pemahaman terhadap faktorial akan sangat membantu kamu dalam mempelajari permutasi dan kombinasi. Definisi Faktorial Misalkan terdapat n buah bilangan bulat positif. n! (dibaca: n faktorial) dapat didefinisikan sebagai berikut. n! = n (n 1) (n 2) Definisi tambahan: 0! = 1 1! = 1 Sifat-Sifat Faktorial Jika n, a, dan b bilangan bulat positif, berlaku: 1. n = n! n 1! 2. a b! a! b! 3. a+ b! a! + b! 4. a b! a! b! 5. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b! a! b! Contoh faktorial: 1. 6! = = 6 5! = 30 4! 2 5! 6 5! 6!. = = 24 12
13 Contoh Soal ! + 5! 6! =... Dengan menyamakan penyebut pecahan, diperoleh: = ( ) + 4! 5! 6! 6! 6! 6! = 6! 24 = 6! = = 30 Jadi, =. 4! 5! 6! 30 Contoh Soal 11 ( ) ( ) = ( ) ( ) Untuk n 3, buktikan bahwa n 2! n 3! n 3! n 3. Dengan menguraikan ruas kiri persamaan, diperoleh: ( ) ( ) = ( )( ) ( ) = ( n 3)!( n 2 1) = ( n 3)!( n 3) n 2! n 3! n 2 n 3! n 3! ( ) ( ) = ( ) ( ) Jadi, terbukti bahwa n 2! n 3! n 3! n 3. C. Permutasi Permutasi merupakan banyak cara penyusunan unsur-unsur (objek) dengan memerhatikan urutan. Secara umum, terdapat 5 jenis permutasi. Mari simak penjelasannya satu per satu berikut ini. 13
14 1. Permutasi n Unsur yang Berbeda Untuk memahami konsep permutasi n unsur yang berbeda, perhatikan contoh soal berikut. Contoh Soal 12 Tentukan banyak cara menyusun 4 buah buku yang terdiri atas buku Biologi (B), Fisika (F), Matematika (M), dan Sejarah (S) di sebuah rak secara berjajar. Kemungkinan susunan buku Biologi (B), Fisika (F), Matematika (M), dan Sejarah (S) adalah sebagai berikut. BFMS BSFM FMBS MBFS MSBF SFBM BFSM BSMF FMSB MBSF MSFB SFMB BMFS FBMS FSBM MFBS SBFM SMBF BMSF FBSM FSMB MFSB SBMF SMFB Jadi, banyak cara menyusunnya adalah 24. Jika pembahasan contoh soal 12 dituliskan dalam bentuk faktorial, banyak cara menyusun 4 buku = 24 = = 4! Dengan demikian, diperoleh kesimpulan berikut. Permutasi n Unsur yang Berbeda Banyak cara menyusun n unsur yang berbeda adalah sebagai berikut. n P = P = P = n n n n ( nn, )! Contoh Soal 13 Dari huruf S, I, M, A, dan K dapat dibuat 120 kata. Jika kata ini disusun secara alfabetikal, kata SIMAK akan berada pada urutan ke-... (SIMAK UI 2009) A. 105 D. 115 B. 106 E. 116 C. 107 Jawaban: C 14
15 Jika huruf S, I, M, A, dan K disusun secara alfabetikal, maka urutannya adalah A, I, K, M, S. Susunan kata dari huruf-huruf tersebut hingga ditemukan kata SIMAK disajikan pada tabel berikut. Susunan Kata Banyak Susunan A ! = 24 I ! = 24 K ! = 24 M ! = 24 S A ! = 6 S I A ! = 2 S I K ! = 2 S I M A K 1 Jumlah 107 Catatan:... dapat diisi dengan huruf yang belum digunakan. Jadi, kata SIMAK berada pada urutan ke Permutasi r dari n Unsur dengan 0 r n Untuk memahami konsep permutasi r dari n unsur dengan 0 r n, perhatikan contoh soal berikut. Contoh Soal 14 Pada pemilihan ketua dan wakil ketua RT, muncul 3 kandidat yaitu Aliando, Bondan, dan Chiko. Tentukan banyak susunan pasangan ketua dan wakil ketua RT yang mungkin. 15
16 Dengan menggunkan tabel, diperoleh: Ketua Aliando Aliando Bondan Bondan Chiko Chiko Wakil Ketua Bondan Chiko Aliando Chiko Aliando Bondan Jadi, banyak susunan ketua dan wakil ketua RT yang mungkin adalah 6 pasang. Jika pembahasan contoh soal 14 dituliskan dalam bentuk faktorial, banyak susunan pasangan ketua dan wakil ketua RT (2 orang) dari 3 kandidat adalah sebagai berikut = =! = = 1 1! 3! 3 2! ( ) Dengan demikian, diperoleh kesimpulan berikut. Permutasi r dari n Unsur dengan 0 r n Banyak cara menyusun r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia adalah sebagai berikut. P = P = P n r = n n r r (, ) n! n r! ( ) Contoh Soal 15 Suatu organisasi motor cross ingin menentukan pengurus yaitu ketua, sekretaris, dan bendahara dari 20 anggota. Banyak susunan yang mungkin adalah... (UN 2015) A D B E C Jawaban: B 16
17 Diketahui: banyak pengurus = r = 3 (ketua, sekretaris, bendahara); dan banyak anggota = n = 20. Oleh karena 3 pengurus (ketua, sekretaris, bendahara) akan dipilih dari 20 anggota, maka: n P = P = r ! ( ) = 20! = ! 20 3! 17! 17! = Jadi, banyak susunan yang mungkin adalah Permutasi Siklis (Melingkar) Untuk memahami konsep permutasi siklis, perhatikan contoh soal berikut. Contoh Soal 16 Empat buah manik-manik dengan warna merah, kuning, hijau, dan biru akan dirangkai menjadi sebuah cincin. Tentukan banyak cara merangkai manik-manik tersebut! Misalkan: manik merah = M; manik kuning = K; manik hijau = H; dan manik biru = B. 17
18 Rangkaian manik-manik yang mungkin adalah sebagai berikut. M M M B K K B K H H Rangkaian 1 H Rangkaian 2 B Rangkaian 3 M M M H K H B B H B Rangkaian 4 K Rangkaian 5 K Rangkaian 6 Jadi, banyak cara merangkai manik-manik tersebut adalah 6 cara. Perhatikan kembali rangkaian 1 dan 2 pada pembahasan contoh soal 16. Susunan rangkaian 1 dan 2 terlihat sama. Namun, jika manik berwarna merah dijadikan acuan, susunan rangkaian keduanya menjadi berbeda. Ini berarti, kita cukup menentukan susunan 3 manik-manik lainnya dengan permutasi n unsur berbeda (n!). Dengan demikian, banyak cara merangkai sebuah cincin dari 4 manik-manik adalah sebagai berikut. (4 1)! = 3! = = 6 cara. Dengan demikian, diperoleh kesimpulan berikut. Permutasi Siklis Banyak cara menyusun n unsur berbeda secara melingkar adalah sebagai berikut. P siklis = ( n 1! ) Kata kunci pada soal: melingkari, mengelilingi, cincin, gelang, dan kalung. Contoh Soal 17 Anggota Palang Merah Remaja (PMR) yang terdiri atas 2 anggota senior dan 6 junior sedang mengadakan rapat. Mereka duduk mengelilingi meja bundar. Tentukan banyak cara mereka duduk jika anggota senior selalu duduk berdampingan! 18
19 Diketahui: banyak anggota = 8 orang; banyak anggota senior = n s = 2 orang; dan banyak anggota junior = n j = 6 orang. Oleh karena duduknya mengelilingi meja bundar (melingkar), maka banyak susunannya adalah (n 1)! Oleh karena anggota senior selalu duduk berdampingan, maka dianggap sebagai 1 kelompok sehingga n = n j + 1 = = 7 Posisi anggota senior yang duduk berdampingan dapat diacak selama masih berada dalam kelompoknya sehingga banyak susunan duduk anggota senior 2! Dengan demikian, banyak cara mereka duduk adalah sebagai berikut. (7 1)! 2! = 6! 2! = cara. Jadi, banyak cara mereka duduk jika anggota senior selalu duduk berdampingan adalah cara. 4. Permutasi dengan Unsur yang Sama Banyak cara menyusun r 1, r 2,... r n unsur yang sama dari n unsur yang tersedia dengan r 1 + r r n adalah sebagai berikut. n! npr1, r2,..., r = n r! r!..., r! 1 2 n Contoh Soal 18 Tentukan banyak kata berbeda yang dapat disusun dari huruf-huruf pada kata MATEMATIKA! Dari 10 huruf (M, A, T, E, M, A, T, I, K, A) terdapat huruf yang sama yaitu M = r 1 = 2, A = r 2 = 3, dan T = r 3 = 2. Dengan menggunakan permutasi unsur yang sama, diperoleh: P n r1, r2,r 3 n! 10! = = r! r! r! 232!!!
20 Jadi, banyak kata berbeda yang dapat disusun dari huruf-huruf pada kata MATEMATIKA 10! adalah 232!!!. Contoh Soal 19 Dari huruf-huruf L, O, U, I, S, I, A, N, A akan dibentuk sebuah kata. Tentukan banyak cara menyusun kata yang diawali dengan huruf N. Dari 9 huruf (L, O, U, I, S, I, A, N, A) terdapat huruf yang sama yaitu I dan A. Oleh karena kata yang akan dibentuk diawali dengan huruf N, maka posisi huruf N tetap di depan sehingga kita tinggal menyusun 8 huruf lagi. Ini berarti: banyak huruf yang disusun = n = 8; banyak huruf I = r 1 = 2; dan banyak huruf A = r 2 = 2. Dengan menggunakan permutasi unsur yang sama, diperoleh: P n r1, r2 n! 8! = = = r! r! 22!! 1 2 Jadi, banyak cara menyusun kata yang diawali dengan huruf N adalah cara. Agar kamu dapat dengan mudah mengenali soal permutasi, mari pahami ciri-ciri permutasi berikut. Ciri-Ciri Permutasi - Memerhatikan urutan. - Kata kunci pada soal cerita: menyusun (dengan setiap posisi memiliki arti yang berbeda), memilih/mengambil dengan tujuan/jabatan tertentu. 20
SOAL-JAWAB MATEMATIKA PENCACAHAN
SOAL-JAWAB MATEMATIKA PENCACAHAN Soal 1 Tersedia angka-angka 1, 2, 3, 7, 8, 9. a) Dari angka-angka tersebut disusun bilangan terdiri dari tiga angka berbeda. Berapa banyaknya bilangan yang dapat disusun?
Lebih terperinciB. Aturan Permutasi ATURAN PENCACAHAN 7/8/2015. B. Aturan Permutasi
Jurnal Materi W22b B. Aturan Permutasi Daftar Hadir Materi B SoalLKS SoalLatihan ATURAN PENCACAHAN Kelas XI, Semester 4 B. Aturan Permutasi Notasi faktorial : n! = n (n - 1) (n - 2) (n - 3) 3. 2. 1 dimana
Lebih terperinciB. Aturan Permutasi ATURAN PENCACAHAN 11/20/2015. B. Aturan Permutasi
Jurnal Materi Umum B. Aturan Permutasi Daftar Hadir Materi B SoalLatihan ATURAN PENCACAHAN Kelas XI, Semester 4 B. Aturan Permutasi Notasi faktorial : n! = n (n - 1) (n - 2) (n - 3) 3. 2. 1 dimana n bilangan
Lebih terperinciPERMUTASI & KOMBINASI
MODUL MATEMATIKA 11.1.4 PERMUTASI & KOMBINASI KELAS : XI BAHASA SEMESTER : I (SATU) Disusun Oleh : Drs. Pundjul Prijono Nip. 19580117.198101.1.003 http://vidyagata.word press.com/ PEMERINTAH KOTA MALANG
Lebih terperinciSTATISTIK DESKRIPTIF
PENGANTAR TEORI PELUANG OLEH HERDIAN S.Pd., M.Pd. SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER (STIMIK) PRINGSEWU NOTASI FAKTORIAL (!) adalah hasil kali bilangan asli berurutan dari 1 sampai n. dirumuskan
Lebih terperinciPERMUTASI. Yaitu : penyusunan obyek-obyek yang ada ke dalam suatu urutan tertentu.
PERMUTASI Merupakan suatu analisis yang mempunyai peranan penting dalam matematika modern, khususnya dalam menentukan banyaknya alternatif yang mungkin terjadi didalam pengambilan keputusan. Yaitu : penyusunan
Lebih terperinciMAKALAH MATEMATIKA SEKOLAH 2 ATURAN PERKALIAN DAN PERMUTASI
MAKALAH MATEMATIKA SEKOLAH 2 ATURAN PERKALIAN DAN PERMUTASI Oleh: Anggota Kelompok 2 : 1. Alfia Anggraeni Putri (12030174021) 2. Lusi Rahmawati (12030 174208) 3. Rahma Anggraeni (12030 174226) 4. Raka
Lebih terperinciPeluang Aturan Perkalian, Permutasi, dan Kombinasi dalam Pemecahan Masalah Ruang Sampel Suatu Percobaan Peluang Suatu Kejadian dan Penafsirannya
2 Aturan Perkalian, Permutasi, dan Kombinasi dalam ; Pemecahan Masalah Ruang Sampel Suatu Percobaan ; Suatu Kejadian dan Penafsirannya ; Pada era demokrasi saat ini untuk menduduki suatu jabatan tertentu
Lebih terperinciA. Aturan Pengisian Tempat yang Tersedia
Jurnal DaftarHadir MateriA SoalLatihan Materi Umum ATURAN PENCACAHAN Kelas XI, Semester 4 A. Aturan Pengisian Tempat yang Tersedia A. Aturan Pengisian Tempat yang Tersedia Terdapat tiga macam aturan (kaidah)
Lebih terperinciBAB 2 PELUANG RINGKASAN MATERI
BAB PELUANG A RINGKASAN MATERI. Kaidah Pencacahan Bila terdapat n tempat yang tersedia dengan k cara untuk mengisi tempat pertama, k cara untuk mengisi tempat kedua, dan seterusnya, maka cara untuk mengisi
Lebih terperincipeluang Contoh 6.1 Ali mempunyai 2 celana dan 3 baju yang berbeda. Berapa stelan celana dan baju berbeda yang dipunyai Ali? Matematika Dasar Page 46
peluang 6.1 Kaidah Pencacahan A. Aturan Perkalian Misal suatu plat nomor sepeda motor terdiri atas dua huruf berbeda yang diikuti tiga angka dengan angka pertama bukan 0. Berapa banyak plat nomor berbeda
Lebih terperinciPELUANG. n cara yang berbeda. Contoh 1: Ali mempunyai 2 celana dan 3 baju yang berbeda. Berapa stelan celana dan baju berbeda yang dipunyai Ali?
-1- PELUANG 1. KAIDAH PENCACAHAN 1.1 Aturan Pengisian Tempat Jika beberapa peristiwa dapat terjadi dengan n1, n2, n3,... cara yang berbeda, maka keseluruhan peristiwa itu dapat terjadi dengan n n......
Lebih terperinciAnalisis Kombinatorial
28 Februari 2017 Chandra Novtiar 085794801125 chandramathitb07@gmail.com PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN (STKIP) SILIWANGI BANDUNG Garis Besar Pembahasan
Lebih terperinciKONSEP DASAR PROBABILITAS
KONSEP DASAR PROBABILITAS PENDAHULUAN Tanpa kita sadari kehidupan kita sehari-hari selalu berhubungan dengan matematika, khususnya peluang. Misalnya dalam pemilihan umum terdapat 5 orang calon presiden,
Lebih terperinciKombinatorial. Matematika Diskrit Pertemuan ke - 4
Kombinatorial Matematika Diskrit Pertemuan ke - 4 Pengertian Cabang matematika yang mempelajari pengaturan objek-objek Solusi yang diperoleh : jumlah cara pengaturan objek-objek tertentu dalam himpunan
Lebih terperinciPELUANG. Standar kompetensi : Menggunakan aturan statistika, kaidah, pencacahan, dan sifatsifat peluang dalam pemecahan masalah
1 PELUANG Standar kompetensi : Menggunakan aturan statistika, kaidah, pencacahan, dan sifatsifat peluang dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar : Menggunakan aturan perkalian, permutasi dan kombinasi
Lebih terperinci6. PELUANG A. Kaidah Pencacahan 1. Aturan perkalian
6. PELUANG A. Kaidah Pencacahan. Aturan perkalian Apabila suatu peristiwa dapat terjadi dengan n tahap yang berurutan, dimana tahap pertama terdapat a cara yang berbeda dan seterusnya sampai dengan tahap
Lebih terperinciPELUANG. Permutasi dengan beberapa elemen yang sama: Dari n obyek terdapat n
PELUANG Bab 11 1. Faktorial Faktorial adalah perkalian bilangan asli berurutan Hasil perkalian dari n bilangan asli pertama yang terurut dikatakan sebagai n faktorial (n!) n! n( n 1)( n 2)...3.2.1 5! =
Lebih terperinciSUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN MATEMATIKA BAB I PELUANG
SUMBER BELAJAR PENUNJANG PLPG 2016 MATA PELAJARAN/PAKET KEAHLIAN MATEMATIKA BAB I PELUANG Dr. Djadir, M.Pd. Dr. Ilham Minggi, M.Si Ja faruddin,s.pd.,m.pd. Ahmad Zaki, S.Si.,M.Si Sahlan Sidjara, S.Si.,M.Si
Lebih terperinciUnit 5 PELUANG. Clara Ika Sari Budhayanti. Pendahuluan
Unit 5 PELUANG lara Ika Sari Budhayanti Pendahuluan P ada unit lima ini kita akan membahas peluang. Peluang merupakan salah satu cabang matematika yang mempelajari cara menghitung tingkat keyakinan seseorang
Lebih terperinciBab 11 PELUANG. Contoh : 5! = = 120
PELUANG Bab 11 1. Faktorial Faktorial adalah perkalian bilangan asli berurutan Hasil perkalian dari n bilangan asli pertama yang terurut dikatakan sebagai n faktorial (n!) n! n( n 1)( n 2)...3.2.1 5! =
Lebih terperinciPENCACAHAN RUANG SAMPEL
PENCACAHAN RUANG SAMPEL PERTEMUAN VII EvanRamdan PENDAHULUAN Tanpa kita sadari kehidupan kita sehari-hari selalu berhubungan dengan matematika, khususnya peluang. Misalnya dalam pemilihan umum terdapat
Lebih terperinciBAHAN AJAR HARRY DWI PUTRA MATEMATIKA SMA KELAS XI SEMESTER 2
BAHAN AJAR DENGAN PENDEKATAN SCIENTIFIC DISERTAI STRATEGI WHAT IF NOT UNTUK MENINGKATKAN KEMAMPUAN MATHEMATICAL PROBLEM POSING DAN BERPIKIR REFLEKTIF MATEMATIS SISWA Mata Pelajaran Wajib MATEMATIKA SMA
Lebih terperinciContoh Soal Soal Peluang
Contoh Soal Soal Peluang 1. 10 orang finalis suatu lomba kecantikan akan dipilih secara acak 3 yang terbaik. Banyak cara pemilihan tersebut ada cara. a. 70 b. 80 c. 120 d. 360 e. 720 ( Soal Ujian Nasional
Lebih terperinciPembahasan Contoh Soal PELUANG
Pembahasan Contoh Soal PELUANG 1. Nomor rumah yang dimaksud terdiri atas dua angka. Ini berarti ada dua tempat yang harus diisi, yaitu PULUHAN dan SATUAN. Karena nomor rumah harus ganjil, maka tempat Satuan
Lebih terperinciJadi, seluruhnya ada 4 x 4 x 3 x 2 = 96 bilangan yang dapat disusun dengan angkaangka yang tidak boleh berulang.
Jika kejadian pertama dapat terjadi dengan n cara berbeda Kejadian kedua dapat terjadi dengan n cara berbeda Kejadian ketiga dapat terjadi dengan n 3 cara berbeda Kejadian keempat dapat terjadi dengan
Lebih terperinciPELUANG. Standar kompetensi : Menggunakan aturan statistika, kaidah, pencacahan, dan sifatsifat peluang dalam pemecahan masalah
1 PELUANG Standar kompetensi : Menggunakan aturan statistika, kaidah, pencacahan, dan sifatsifat peluang dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar : Menggunakan aturan perkalian, permutasi dan kombinasi
Lebih terperinciCONTOH BAHAN AJAR PENDEKATAN INDUKTIF-DEDUKTIF
CONTOH BAHAN AJAR PENDEKATAN INDUKTIF-DEDUKTIF 1 2 ATURAN PERKALIAN LEMBAR KERJA SISWA KE-1 Perhatikan soal yang berkaitan dengan perjalanan berikut ini. Pak Zidan dengan mobilnya akan bepergian dari kota
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA PELUANG
Nama Siswa : LEMBAR AKTIVITAS SISWA PELUANG 2 2. Kelas : Kompetensi Dasar (KURIKULUM 2013): 3.16 Memahami dan menerapkan berbagai aturan pencacahan melalui beberapa contoh nyata serta menyajikan alur perumusan
Lebih terperincimatematika DISTRIBUSI VARIABEL ACAK DAN DISTRIBUSI BINOMIAL K e l a s A. Penarikan Sampel dari Suatu Populasi Kurikulum 2013 Tujuan Pembelajaran
Kurikulum 20 matematika K e l a s XI DISTRIBUSI VARIABEL ACAK DAN DISTRIBUSI BINOMIAL Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami perbedaan
Lebih terperinciI. Standar Kompetensi 1.1 Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN ( R P P ) Mata Pelajaran : Matematika Satuan Pendidikan : SMA Kelas/Semester : XI IPS/ Ganjil Alokasi waktu : 2 x 45 menit I. Standar Kompetensi 1.1 Menggunakan aturan
Lebih terperinciPermutasi dan Kombinasi Peluang Diskrit
dan Kombinasi Peluang Diskrit Pengantar Permutasi -Faktorial Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Besaran n faktorial (n!) didefinisikan sebagai hasil kali semua bilangan bulat antara n hingga 1.
Lebih terperinciPELUANG. LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI. Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PELUANG Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI Created By Ita Yuliana 13 Peluang Kompetensi Dasar 1. Menggunakan
Lebih terperinciKOMBINATORIKA. (Latihan Soal) Kus Prihantoso Krisnawan. August 30, 2012 PEMBINAAN OLIMPIADE MATEMATIKA SMA 1 KALASAN
KOMBINATORIKA (Latihan Soal) Kus Prihantoso August 30, 2012 PEMBINAAN OLIMPIADE MATEMATIKA SMA 1 KALASAN Teori Faktorial Teori Faktorial n! = n (n 1) (n 2) (n 3) 2 1 0! = 1 Teori Faktorial n! = n (n 1)
Lebih terperinciATURAN PENCACAHAN 7/8/2015. B. Aturan Permutasi. Soal 01W362. Nilai dari 5!. 2! Adalah A. 120 B. 200 C. 240 D. 280 E Soal 02W168.
Jurnal Latihan W22b Soal 01W362 Daftar Hadir Materi B SoalLKS ATURAN PENCACAHAN Kelas XI, Semester 4 B. Aturan Permutasi Nilai dari 5!. 2! Adalah A. 120 B. 200 C. 240 D. 280 E. 480 SoalLatihan www.yudarwi.com
Lebih terperincimatematika LIMIT ALJABAR K e l a s A. Pengertian Limit Fungsi di Suatu Titik Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran
Kurikulum 6/1 matematika K e l a s XI LIMIT ALJABAR Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Dapat mendeskripsikan konsep it fungsi aljabar dengan
Lebih terperinci9. 2 Menghitung peluang suatu kejadian
Sumber: Art and Gallery Standar Kompetensi Kompetensi Dasar. Memecahkan masalah dengan konsep teori peluang 9. Mendeskripsikan kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi 9. 2 Menghitung peluang suatu
Lebih terperinciSOAL DAN SOLUSI MATEMATIKA IPA UJIAN NASIONAL PELUANG
SOAL DAN SOLUSI MATEMATIKA IPA UJIAN NASIONAL 2014 2013 PELUANG 1. UN 2014 Dua buah dadu dilambungkan bersama-sama satu kali. Peluang muncul jumlah mata dadu genap atau jumlah mata dadu lima adalah...
Lebih terperinciPermutasi dan Kombinasi
Permutasi dan Kombinasi Menghitung Titik Sampel Dasar dari prinsip menghitung titik sampel sering di diartikan sebagai aturan pengalian. Aturan 1: Jika suatu operasi dapat dilakukan dalam n cara, dan dari
Lebih terperincimatematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA
K1 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami bentuk-bentuk persamaan
Lebih terperinciSOAL DAN SOLUSI MATEMATIKA IPA UJIAN NASIONAL PELUANG
SOAL DAN SOLUSI MATEMATIKA IPA UJIAN NASIONAL 2014 2013 PELUANG 1. UN 2014 Dua buah dadu dilambungkan bersama-sama satu kali. Peluang muncul jumlah mata dadu genap atau jumlah mata dadu lima adalah...
Lebih terperinciPELUANG KEJADIAN. Macam-macam permutasi 1. Permutasi n unsur dari n unsur n. P n. 2. Permutasi dengan beberapa unsur yang sama
PELUANG KEJADIAN A. Aturan Perkalian/Pengisian Tempat Jika kejadian pertama dapat terjadi dalam a cara berbeda, kejadian kedua dapat terjadi dalam b cara berbeda, kejadian ketiga dapat terjadi dalam c
Lebih terperinciPELUANG. A Aturan Pengisian Tempat. B Permutasi
PELUANG KAIDAH PENCACAHAN kaidah pencacahan didefinisikan sebagai suatu cara atau aturan untuk menghitung semua kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu percobaan tertentu. Ada beberapa metode pencacahan,
Lebih terperinciBIMBINGAN BELAJAR GEMILANG
BIMBINGAN BELAJAR GEMILANG A. Pilihlah jawaban yang tepat.. Banyaknya titik sampel dari pelemparan koin dan sebuah dadu adalah. 0. Banyaknya ruang sampel pada pelemparan buah mata uang sekaligus adalah.
Lebih terperinciPeluang. Hazmira Yozza Izzati Rahmi HG Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas LOGO
Peluang Hazmira Yozza Izzati Rahmi HG Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas LOGO Kompetensi menjelaskan mengenai ruang contoh, titik contoh dan kejadian mencacah titik contoh menghitung peluang
Lebih terperinciRencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) Pembelajaran Berbasis Masalah (Problem Based Learning) Permutasi Siklis
Rencana Pelaksanaan Pembelajaran (RPP) Pembelajaran Berbasis Masalah (Problem Based Learning) Permutasi Siklis Disusun oleh: Nur Ayu Istiqomah (12030174064) Pendidikan Matematika 2012C JURUSAN MATEMATIKA
Lebih terperinci10. PELUANG A. Kaidah Pencacahan 1. Aturan perkalian
0. PELUANG A. Kaidah Pencacahan. Aturan perkalian Apabila suatu peristiwa dapat terjadi dengan n tahap yang berurutan, dimana tahap pertama terdapat a cara yang berbeda dan seterusnya sampai dengan tahap
Lebih terperinciProbabilitas dan Statistika Ruang Sampel. Adam Hendra Brata
dan Statistika Ruang Adam Hendra Brata adalah suatu ilmu untuk memprediksi suatu kejadian (event) atau dapat disebut peluang suatu kejadian berdasarkan pendekatan matematis. Dengan ilmu probabilitas, kita
Lebih terperinciBAB 2 PELUANG. Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah.
Standar Kompetensi 2 PELUNG Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar 1. Menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi
Lebih terperinciBAB 2 PELUANG. Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah.
Standar Kompetensi 2 PELUNG Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar 1. Menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi
Lebih terperinciDEFINISI Kombinatorial adalah cabang matematika untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya.
KOMBINATORIAL DEFINISI Kombinatorial adalah cabang matematika untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya. ENUMERASI Sebuah sandi-lewat (password)
Lebih terperinciDEFINISI Kombinatorial adalah cabang matematika untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya.
KOMBINATORIAL DEFINISI Kombinatorial adalah cabang matematika untuk menghitung jumlah penyusunan objek-objek tanpa harus mengenumerasi semua kemungkinan susunannya. ENUMERASI Sebuah sandi-lewat (password)
Lebih terperinciwww.matematika-pas.blogspot.com E-learning matematika, GRATIS
Penyusun Editor : Indyah Sulistyawati, S.Pd. ; Wiwik Hermawati, S.Si. : Drs. Keto Susanto, M.Si. M.T. ; Istijab, S.H. M.Hum. Imam Indra Gunawan, S.Si. ). Pengertian Kaidah Pencacahan (Counting Slots) Kaidah
Lebih terperinciMATEMATIKA Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) Kelas XII
i MATEMATIKA Sekolah Menengah Kejuruan (SMK) Kelas XII Kelompok Penjualan dan Akuntansi To ali Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional ii Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi
Lebih terperinciC n r. h t t p : / / m a t e m a t r i c k. b l o g s p o t. c o m. P n. P ( n, n ) = n P n = P n n!
Ringkasan Materi : Kaidah Pencacahan. Aturan Perkalian Jika sesuatu objek dapat diselesaikan dalam n cara berbeda, dan sesuatu objek yang lain dapat diselesaikan dalam n cara berbeda, maka kedua objek
Lebih terperinciKUESIONER PENELITIAN PERILAKU DIET IBU NIFAS DI DESA TANJUNG SARI KECAMATAN BATANG KUIS KABUPATEN DELI SERDANG. 1. Nomor Responden :...
KUESIONER PENELITIAN PERILAKU DIET IBU NIFAS DI DESA TANJUNG SARI KECAMATAN BATANG KUIS KABUPATEN DELI SERDANG 1. Nomor Responden :... 2. Nama responden :... 3. Umur Responden :... 4. Pendidikan :... Jawablah
Lebih terperinciMODUL PELUANG MATEMATIKA SMA KELAS XI
KATA PENGANTAR Segala puji syukur bagi Allah SWT yang senantiasa melimpahkan rahmat dan karunia-nya. Sebaik-baiknya shalawat serta salam semoga Allah SWT limpahkan kepada Nabi Besar Muhammad SAW, beserta
Lebih terperinciMelakukan Operasi Hitung Bilangan Bulat dalam Pemecahan Masalah
Bab 1 Melakukan Operasi Hitung Bilangan Bulat dalam Pemecahan Masalah Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari bab ini, diharapkan siswa dapat: 1. menguasai sifat-sifat operasi hitung bilangan bulat,. menjumlahkan
Lebih terperinciPERTIDAKSAMAAN PECAHAN
PERTIDAKSAMAAN PECAHAN LESSON Pada topik sebelumnya, kalian telah mempelajari topik tentang konsep pertidaksamaan dan nilai mutlak. Dalam topik ini, kalian akan belajar tentang masalah pertidaksamaan pecahan.
Lebih terperinciIndikator Sub Indikator Banyaknya Butir. kejadian pada percobaan pelemparan uang logam. pelemparan dadu. pengambilan buah. pengambilan kartu bridge.
51 52 53 54 Kisi-kisi Instrumen untuk Instrumen Tes Hasil Belajar Mata Pelajaran : Matematika Kelas/ Semester : XI BAHASA/ 2 Standar Kompetensi : Menggunakan aturan statistika, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat
Lebih terperinciPERMUTASI & KOMBINASI ARUM H. PRIMANDARI
PERMUTASI & KOMBINASI ARUM H. PRIMANDARI ATURAN PENGALIAN ATURAN 1 ATURAN 2 MENGHITUNG TITIK SAMPEL Dasar dari prinsip menghitung titik sampel sering di diartikan sebagai aturan pengalian. Aturan 1: Jika
Lebih terperincimatematika LIMIT TRIGONOMETRI K e l a s Kurikulum 2006/2013 Tujuan Pembelajaran
Kurikulum 6/ matematika K e l a s XI LIMIT TRIGONOMETRI Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Dapat menghitung it fungsi trigonometri di suatu
Lebih terperinciAturan Pencacahan MATERI MATEMATIKA SMA KELAS XI MIA PERMUTASI SAPTANA SURAHMAT. Penyusun : Sub-pokok Bahasan:
Aturan Pencacahan MATERI MATEMATIKA SMA KELAS XI MIA Sub-pokok Bahasan: PERMUTASI 1 Penyusun : SAPTANA SURAHMAT Target Kompetensi *) Dikutif dari Lampiran Peraturan Mentri Nomor 58 Tahun 2014 tentang Kurikulum
Lebih terperincia. Ruang Sampel dan Titik Sampel Dalam himpunan ruang sampel disebut Semesta S = 1, 2, 3, 4,5, 6
1. Kejadian a. Ruang Sampel dan Titik Sampel Ruang Sampel adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu kegiatan Contoh : Kegiatan melempar sebuah dadu hasil atau angka yang mungkin muncul adalah
Lebih terperinciBab 2. Prinsip Dasar Perhitungan
Bab 2. Prinsip Dasar Perhitungan 2.1. Prinsip-prinsip Dasar Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering dihadapkan dengan masalah perhitungan. Sebagai contoh, sebuah Warung Tegal menyediakan menu yang terdiri
Lebih terperinciStatistika. Matematika Kelas XI Program IPA. Ukuran Pemusatan Data dan Penafsirannya. Ukuran Letak Data dan Penafsirannya
Statistika Membaca dan Menyajikan Data Ukuran Pemusatan Data dan Penafsirannya Ukuran Letak Data dan Penafsirannya Ukuran Penyebaran Data dan Penafsirannya Penyajian data Mean Median Modus Kuartil Persentil
Lebih terperinciPeluang. 2. Jika C n = 3. maka tentukan n. 3. Berapa banyak jabat tangan yang terjadi antara 5 orang?
Peluang. Dari angka-angka, 5,, dan 9 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda yang kurang dari 400. Ada berapa banyak bilangan yang didapat? Banyaknya ratusan x puluhan x satuan x 4 x
Lebih terperinciPembahasan OSK Tahun 2011 Tingkat SMP Bidang Matematika
Pembahasan OSK Tahun 011 Tingkat SMP Bidang Matematika Bagian A : Pilihan Ganda 1. Nilai dari a. 113 b. c. 91 73 1 8! 9! + 3 adalah... d. e. 71 4 Jawaban : c 1 8! 9! + 3 = 10 9 10 + 3 = 73. Menggunakan
Lebih terperinciPendahuluan. abcdef aaaade a123fr. erhtgahn yutresik ????
Kombinatorial 1 Percobaan! Melampar dadu! Berapa saja angka yang muncul? Memilih 4 wakil dari kelas ini! Berapa kemungkinan perwakilan yang dapat dibentuk? Menyusun 5 huruf dari a,b,c,d,e, tidak boleh
Lebih terperinciPERMUTASI, KOMBINASI DAN PELUANG. Kaidah pencacahan membantu dalam memecahkan masalah untuk menghitung
PERMUTASI, KOMBINASI DAN PELUANG A. KAIDAH PENCACAHAN Kaidah pencacahan membantu dalam memecahkan masalah untuk menghitung berapa banyaknya cara yang mungkjin terjadi dalam suatu percobaan. Kaidah pencacahan
Lebih terperinciDAFTAR TERJEMAH NO. BAB KUTIPAN HAL. TERJEMAH
80 Lampiran 1. Daftar Terjemah DAFTAR TERJEMAH NO. BAB KUTIPAN HAL. TERJEMAH 1 1 "Mathematics is the queen of science, and arithmetic is the queen of mathematics. 2 2. 1 3 1 4 1 Mathematics is the language
Lebih terperinciPELATIHAN OLIMPIADE MATEMATIKA
MATERI PELATIHAN OLIMPIADE MATEMATIKA SMA N 7 PURWOREJO 26-28 FEBRUARI 2008 DI HOTEL PAKEMSARI SLEMAN DISUSUN OLEH : HIMMAWATI PUJI LESTARI, M.Si JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU
Lebih terperinciSOAL- SOAL MATEMATIKA KELAS XII IPB. 26. Nilai dari 2 log log 12 2 log 6 =. 27. Nilai dari 3 log log 6 3 log 10 =.
A. LOGIKA MATEMATIKA. lngkaran dari pernyataan "Semua siswi SMA Tarakanita bertempat tinggal di Jakarta" adalah.... Negasi dari pernyataan Disa cantik tetapi sombong adalah... (kata lain dari tetapi adalah
Lebih terperinci3.3 UKURAN PEMUSATAN. APA YANG AKAN KAMU PELAJARI? KATA KUNCI: KERJA KELOMPOK
3.3 UKURAN PEMUSATAN. APA YANG AKAN KAMU PELAJARI? KATA KUNCI: KERJA KELOMPOK 3.3 Apa yang akan kamu pelajari? Pengertian rata-rata, median dan modus Menghitung nilai ratarata, median dan modus. Kata
Lebih terperinciPETA KONSEP. Aturan perkalian Faktorial ( ) ( ) Permutasi Urutan diperhatikan. Kombinasi Urutan tidak diperhatikan.
PETA KONSEP Aturan perkalian F = k k... n k n Kaidah Pencacahan Faktorial n! = n n n ( ) ( )! = Permutasi Urutan diperhatikan... Permutasi r unsur dari n unsur n n! n Pr = Pr = P( n, r ) = ( n )! Permutasi
Lebih terperinciKOMBINATORIKA SEDERHANA
KOMBINATORIKA SEDERHANA Kaidah Penjumlahan Misal suatu peristiwa dapat terjadi dalam cara yang berlainan (saling asing ). Dalam cara pertama terdapat kemungkinan hasil yang berbeda. Cara kedua memberikan
Lebih terperinciRuang Sampel. Bahan Kuliah II2092 Probabilitas dan Statistik Oleh: Rinaldi Munir Sekolah Teknik Elektro dan Informatika ITB
Ruang Sampel Bahan Kuliah II2092 Probabilitas dan Statistik Oleh: Rinaldi Munir Sekolah Teknik Elektro dan Informatika ITB 1 Ruang Sampel (Sample Space) Ruang sampel: himpunan semua hasil (outcome) yang
Lebih terperinciKOMBINATORIAL. /Nurain Suryadinata, M.Pd
Nama Mata Kuliah Kode Mata Kuliah/SKS Program Studi Semester Dosen Pengampu : Matematika Diskrit : MAT-3615/ 3 sks : Pendidikan Matematika : VI (Enam) : Nego Linuhung, M.Pd /Nurain Suryadinata, M.Pd Referensi
Lebih terperinciII. KONSEP DASAR PELUANG
II. KONSEP DASAR PELUANG Teori Peluang memberikan cara pengukuran kuantitatif tentang kemungkinan munculnya suatu kejadian tertentu dalam suatu percobaan/peristiwa. Untuk dapat menghitung peluang lebih
Lebih terperinciBAB III PEMBAHASAN. kali makanan utama dan tiga kali makanan antara/kudapan (snack) dengan jarak
BAB III PEMBAHASAN A. Perencanaan Menu Diet Diabetes Mellitus Diet DM di RS PKU Muhammadiyah Yogyakarta diberikan dengan cara tiga kali makanan utama dan tiga kali makanan antara/kudapan (snack) dengan
Lebih terperinciBAHAN AJAR MATEMATIKA KELAS 5 SEMESTER I
BAHAN AJAR MATEMATIKA KELAS 5 SEMESTER I Oleh: Sri Subiyanti NIP 19910330 201402 2 001 DINAS PENDIDIKAN KABUPATEN PATI KECAMATAN JAKEN SEKOLAH DASAR NEGERI MOJOLUHUR 2015 I. Tinjauan Umum A. Standar Kompetensi
Lebih terperinciIbu mempunyai sebuah kue berbentuk lingkaran. Kue itu kemudian dipotong menjadi 10 bagian sama
BAB 7 PECAHAN SEDERHANA Ibu mempunyai sebuah kue berbentuk lingkaran. Kue itu kemudian dipotong menjadi 0 bagian sama besar. Dio mendapat 0 bagian. Tata mendapat bagian kue. Berapa potongkah kue yang didapat
Lebih terperinci3.3 Ukuran Pemusatan. Apa yang akan kamu pelajari? Kata Kunci: Kerja Kelompok
3.3 Ukuran Pemusatan Apa yang akan kamu pelajari? Pengertian rata-rata, median dan modus Menghitung nilai rata-rata, median dan modus. Kata Kunci: Rata-rata Median Modus Ukuran pemusatan sering digunakan
Lebih terperinciKOMBINATORIKA DAN PELUANG. Jika n adalah bilangan asli, maka n factorial, ditulis n! diartikan sebagai
KOMBINATORIKA DAN PELUANG Faktorial Jika n adalah bilangan asli, maka n factorial, ditulis n! diartikan sebagai n(n-1)(n-2).3.2.1 dan didefinisikan 0!=1 Permutasi Permutasi dari n unsur adalah banyaknya
Lebih terperinciBILANGAN. Kita bisa menggunakan garis bilangan di bawah ini untuk memaknai penjumlahan 3 ditambah 4.
BILANGAN A. BILANGAN BULAT Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang terdiri dari himpunan bilangan positif (bilangan asli), bilangan nol, dan bilangan bulat negatif. Himpunan bilangan bulat
Lebih terperinciDBMP DBMP Yetti Wira_Gizi_2014_Poltekkes Palangka Raya. Yetti Wira_Gizi_2014_Poltekkes Palangka Raya
DBMP DBMP Pengertian : DBMP adalah daftar yang berisi 7 golongan bahan makanan. pada tiap golongan, dalam jumlah (dapat berbeda setiap makanan) yang dinyatakan bernilai energi dan zat gizi yang sama. Oleh
Lebih terperinciUJIAN SEMESTER GANJIL. Mata Pelajaran : Matematika Waktu : Menit Kelas/Jurusan : XI IPA Hari/Tanggal :
UJIAN SEMESTER GANJIL Mata Pelajaran : Matematika Waktu : Menit Kelas/Jurusan : XI IPA Hari/Tanggal : Pilihlah jawaban a, b, c, d dan e yang menurut anda benar!. Nilai rataan hitung dari data : 4, 0, 7,
Lebih terperinciPeta konsep BILANGAN. Kata Kunci. Operasi Hitung Bilangan Sampai Tiga Angka. meminjam menaksir meyimpan pola
Peta konsep BILANGAN Operasi Hitung Bilangan Sampai Tiga Angka Mengenal Bilangan Garis Bilangan Operasi Hitung Bilangan Nilai Mata Uang Kata Kunci barisan bilangan garis bilangan ketidaksamaan meminjam
Lebih terperinciSOAL PELUANG KELAS XI MATEMATIKANET.COM 1.! B. 4 2 C. 2 2 D. E. 2 2 A. 840 B. 504 C. 162 D. 84 E. 168
SOAL PELUANG KELAS XI MATEMATIKANET.COM 1.!!. A. B. 4 2 C. 2 2 D. 2 2 2.!!!. A. 840 B. 504 C. 162 D. 84 168 3. Untuk menuju kota C dari Kota A harus melewati kota B. Dari kota A menuju kota B melewati
Lebih terperinciMAKALAH MANAGEMEN GIZI INSTITUSI SIKLUS MENU SEHAT 10 HARI CITA RASA ANAK REMAJA
MAKALAH MANAGEMEN GIZI INSTITUSI SIKLUS MENU SEHAT 10 HARI CITA RASA ANAK REMAJA Dosen pembimbing : Ir. Suyatno, M.Kes Disusun oleh : Bertin F W 25010110141094 Annisa Arum S 25010112150038 BAGIAN GIZI
Lebih terperinciSolusi Pengayaan Matematika Edisi 14 April Pekan Ke-2, 2006 Nomor Soal:
Solusi Pengayaan Matematika Edisi 4 April Pekan Ke-, 006 Nomor Soal: 3-40 3. Manakah yang paling besar di antara bilangan-bilangan 0 9 b, 5 c, 0 d 5, dan 0 e 4 3? A. e B. d C. c D. b E. a Solusi: [E] 5
Lebih terperinciPerpangkatan dan Akar
Bab 4 Perpangkatan dan Akar Pada kehidupan sehari-hari kamu sering menemukan angka berpangkat seperti 2 2, 2 3, 2 4, dan seterusnya. Bilangan berpangkat ini memiliki makna tersendiri nilainya. Apakah kamu
Lebih terperinciBAB 2 LANDASAN TEORI
BAB 2 LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep dasar seperti teorema dan beberapa definisi yang akan penulis gunakan sebagai landasan berpikir dalam melakukan penelitian ini sehingga mempermudah
Lebih terperinciPertemuan 4. Permutasi
Pertemuan 4 Permutasi Faktorial Faktorial dinotasikan atau dilambangkan dengan n! (dibaca n faktorial). n! adalah hasil perkalian semua bilangan asli dari 1 sampai n, sehingga didefinisikan sebagai berikut:
Lebih terperinciULANGAN KENAIKAN KELAS (UTAMA)
ULANGAN KENAIKAN KELAS (UTAMA) MATA PELAJARAN : MATEMATIKA KELAS / PROGRAM : XI BAHASA HARI / TANGGAL : RABU, 10 JUNI 01 WAKTU : 07.00-09.00 KODE MAPEL : 06 Nama : Kelas/No : PETUNJUK UMUM 1. Tuliskan
Lebih terperinciBAB IV PENYAJIAN DATA DAN ANALISIS DATA
BAB IV PENYAJIAN DATA DAN ANALISIS DATA A. Deskripsi Lokasi Penelitian 1. Sejarah Singkat Berdirinya MAN 1 Banjarmasin Madrasah Aliyah Negeri 1 Banjarmasin adalah sekolah tingkat menengah sederajat SMU
Lebih terperinciMODUL PROBABILITAS BAHAN AJAR MATEMATIKA DASAR 2 SMA NEGERI 10 MELATI SAMARINDA DI SUSUN OLEH : KHAIRUL BASARI, S.Pd
MODUL ROBABILITAS BAHAN AJAR MATEMATIKA DASAR SMA NEGERI MELATI SAMARINDA DI SUSUN OLEH : KHAIRUL BASARI, S.d khairulfaiq.wordpress.com e-mail : muh_abas@yahoo.com age of 7 Kegiatan embelajaran A. STANDAR
Lebih terperinciSilabus. Kegiatan Pembelajaran Instrumen
NAMA SEKOLAH : MATA PELAJARAN : Matematika KELAS : XI STANDAR KOMPETENSI : Menerapkan logika matematka dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor KODE KOMPETENSI
Lebih terperinciBAB I BILANGAN. Skema Bilangan. I. Pengertian. Bilangan Kompleks. Bilangan Genap Bilangan Ganjil Bilangan Prima Bilangan Komposit
BAB I BILANGAN Skema Bilangan Bilangan Kompleks Bilangan Real Bilangan Imajiner Bilangan Rasional Bilangan Irasional Bilangan Bulat Bilangan Pecahan Bilangan Cacah Bilangan Bulat Negatif Bilangan Asli
Lebih terperinciLampiran 1. Siklus Menu 10 Hari Instalasi Gizi RSUD Kabanjahe
Lampiran 1. Siklus Menu 10 Hari Instalasi Gizi RSUD Kabanjahe Hari VIP Kelas Ruangan I Pagi Pagi Pagi Ikan acar kuning Telur dadar Telur dadar Tempe goreng Tempe goreng Tempe goreng Tumis bayam Tumis bayam
Lebih terperinci