PELUANG. Makalah Ini Disusun Untuk Memenuhi Tugas Kajian Matematika SMP 2 Dosen Pengampu: Koryna Aviory, S.Si., M.Pd.

Transkripsi

1 PELUANG Makalah Ini Disusun Untuk Memenuhi Tugas Kajian Matematika SMP 2 Dosen Pengampu: Koryna Aviory, S.Si., M.Pd. Disusun Oleh: 1. Ernawati ( ) 2. Nadia Nur Farohmah ( ) 3. Dedi Hermawan Sutanto ( ) 4. Siti Aziza ( ) 5. Nikmahtun Tri Harsiwi ( ) Kelas: 4A4 PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA 2016

2 DAFTAR ISI DAFTAR ISI... ii PEMBAHASAN... 1 A. PENGERTIAN PELUANG Kejadian Acak Kejadian Sederhana Frekuensi Relatif dan Peluang Suatu Kejadian Titik dan Ruang Sampel dalam Teori Peluang Kisaran Nilai Peluang... 8 B. Frekuensi Harapan Daftar Pustaka ii

3 PEMBAHASAN A. PENGERTIAN PELUANG Kalian sering mendengar ungkapan-ungkapan berikut dalam kehidupan sehari-hari: (i) Berdasarkan hasil pertandingan babak penyisihan, tim Indonesia memiliki peluang yang kecil untuk mencapai babak final. (ii) Kemungkinan Klub Jaya memenangkan pertandingan sangat besar. (iii)hari ini cuaca mendung, kemungkinan besar hujan akan turun. (iv) Berdasarkan nilai ulangan harian yang telah dicapai, Nadia dan Erna memiliki kesempatan yang sama untuk menjadi juara kelas. Apakah sebenarnya yang dimaksud dengan peluang atau kejadian itu? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, pelajarilah pengertian peluang dan nilai peluang suatu kejadian berikut. 1. Kejadian Acak Aktivitas 1 Percobaan 1 Lemparkan sebuah mata uang logam. Dapatkah kita memastikan sisi yang akan muncul, sisi angka atau sisi gambar? Percobaan 2 Lemparkan sebuah dadu. Dapatkah kita memastikan sisi dadu yang akan muncul? Percobaan 3 Sediakan sebuah kotak. Isikan kelereng berwarna merah, kuning dan hijau masing-masing sebanyak butir ke dalam kotak tersebut. Aduklah kelereng tersebut, kemudian tutuplah matamu dan ambillah sebutir demi sebutir secara acak sebanyak kali pengambilan. Dapatkah kita memastikan, kelereng warna apa saja yang terambil jika setiap selesai pengambilan, kelereng tersebut dikembalikan lagi ke dalam kotak? Pada percobaan, kejadian yang menjadi perhatian adalah munculnya sisi angka atau gambar. Tentu saja kita tidak tahu pasti sisi 1

4 uang logam yang akan muncul. Kita hanya mengetahui bahwa hasil yang mungkin muncul adalah sisi angka atau sisi gambar. Tentu saja, kedua sisi ini tidak mungkin muncul secara bersamaan. Kejadian munculnya sisi angka atau sisi gambar pada Percobaan tidak dapat dipastikan, sehingga dinamakan kejadian acak. Demikian pula kejadian munculnya sisi dadu pada Percobaan dan terambilnya kelereng bewarna merah, kuning atau hijau pada Percobaan merupakan kejadian acak. 2. Kejadian Sederhana Seperangkat kartu bridge terdiri atas buah kartu merah bergambar hati, kartu merah bergambar wajik, kartu hitam bergambar sekop dan kartu hitam bergambar keriting. Misalkan, sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge tersebut. Andaikan kartu yang terambil bergambar wajik pada pengambilan tersebut dinamakan kejadian sederhana karena munculnya kartu bergambar wajik pasti bewarna merah. Berbeda jika kartu yang terambil berwarna merah, kejadian tersebut dinamakan kejadian bukan sederhana karena munculnya kartu berwarna merah belum tentu bergambar wajik, tetapi mungkin bergambar hati. 3. Frekuensi Relatif dan Peluang Suatu Kejadian Pada bagian ini, kalian akan belajar tentang cara menghitung peluang dengan pendekatan frekuensi relatif. Ambillah sekeping uang logam, kemudian lakukan percobaan statistika, yaitu melempar uang logam tersebut sebanyak kali. Misalnya, muncul sisi angka sebanyak kali. Perbandingan banyak kejadian munculnya angka dan banyak pelemparan adalah. Nilai ini dinamakan frekuensi relatif munculnya angka. Jika sebuah dadu dilempar kali dan muncul muka dadu bernomor sebanyak kali, berapakah frekuensi relatif munculnya muka dadu bernomor? 2

5 Uraian tersebut menggambarkan rumus frekuensi relatif munculnya suatu kejadian yang diamati, yaitu sebagai berikut: Frekuensi relatif ( ) munculnya kejadian dirumuskan sebagai berikut: Contoh 1: Pada pelemparan dadu sebanyak kali, muncul muka dadu bernomor sebanyak kali. Tentukan frekuensi munculnya muka dadu bernomor. Penyelesaian: Banyak percobaan: kali Banyak kejadian munculnya muka dadu bernomor adalah kali. Jadi, frekuensi relatif munculnya muka dadu bernomor adalah. Aktivitas 2 Lemparkan sekeping uang logam ke atas sebanyak kali. Catat banyak sisi angka yang muncul dan isikan hasilnya pada Tabel A. 1. Kemudian, hitung frekuensi relatifnya, teliti sampai dua desimal. Ulangi langkah-langkah tersebut untuk pelemparan sebanyak dan kali. Misalkan Tabel A. 1. Sebagai berikut: 3

6 Banyak Lemparan Tabel A. 1 Tabel Frekuensi Relatif Banyak Sisi Angka yang Frekuensi Relatif Muncul Sisi Muncul Angka Apa yang dapat kalian simpulkan tentang frekuensi relatif munculnya sisi angka jika banyaknya lemparan semakin besar? Kegiatan tersebut menunjukkan bahwa semakin banyak lemparan yang dilakukan maka frekuensi relatif kejadian munculnya sisi angka akan mendekati suatu bilangan yaitu. Bilangan ini disebut peluang dari kejadian muncul sisi angka. Jadi, peluang suatu kejadian dapat dihitung melalui pendekatan frekuensi relatif. 4. Titik dan Ruang Sampel dalam Teori Peluang a. Pengertian Titik Sampel dan Ruang Sampel Suatu Kejadian Pada pelemparan mata uang logam, kejadian yang mungkin adalah muncul angka atau gambar. Jika dinyatakan dengan notasi himpunan, misalnya, maka. Himpunan tersebut dinamakan ruang sampel, sedangkan titik dan dinamakan titik sampel. Banyak anggota sampel dinotasikan dengan. Uraian tersebut memperjelas pengertian ruang sampel dan titik sampel, yaitu sebagai berikut: 4

7 1) Ruang Sampel adalah himpunan semua kejadian yang mungkin diperoleh dari suatu percobaan. 2) Titik Sampel adalah setiap anggota ruang sampel atau disebut juga kejadian yang mungkin. Contoh 2: Tentukan ruang sampel dan titik sampel dari pelemparan sebuah dadu. Penyelesaian: Kejadian yang mungkin dari pelemparan sebuah dadu adalah munculnya muka dadu yang bernomor atau. Dengan demikian, dan titik sampelnya dan. b. Menyusun Ruang Sampel dengan Cara Mendaftar Pada pelemparan tiga mata uang logam sekaligus, misalkan muncul sisi angka pada mata uang pertama, muncul sisi gambar pada mata uang kedua, dan muncul sisi angka pada mata uang ketiga. Gambar A. 1 Kejadian tersebut dapat ditulis. Kejadian lain yang mungkin dari pelemparan tiga mata uang sekaligus adalah dan. Jika ruang sampelnya dituliskan dengan cara mendaftar, diperoleh sehingga. c. Menyusun Ruang Sampel dengan menggunakan Diagram Pohon Cara lain yang dapat digunakan untuk menuliskan anggota ruang sampel adalah dengan menggunakan diagram pohon. Amati kembali kasus pelemparan tiga mata uang sekaligus pada bagian b. 5

8 Sekarang, kalian susun ruang sampelnya dengan menggunakan diagram pohon. Gambar A. 2 Gambar A. 3 Gambar A. 4 6

9 Untuk mata uang pertama, kejadian yang mungkin adalah munculnya sisi angka atau gambar. Diagramnya dapat kalian buat seperti pada Gambar A. 2. Untuk mata uang kedua, kejadian yang mungkin adalah sama. Diagram pohonnya tampak pada Gambar A. 3. Kejadian yang mungkin untuk mata uang ketiga juga sama. Diagram pohon untuk kejadian pelemparan tiga mata uang tampak pada Gambar A. 4. Berdasarkan diagram pohon tersebut, dapat ditentukan ruang sampelnya, yaitu. d. Menyusun Ruang Sampel dengan Cara Membuat Tabel Pada percobaan melemparkan dua dadu sekaligus, misalnya muncul muka dadu bernomor pada dadu pertama dan muka dadu bernomor pada dadu kedua. Kejadian ini dapat dinyatakan sebagai pasangan berurutan, yaitu. Jika muncul muka dadu bernomor pada dadu pertama dan muka dadu bernomor pada dadu kedua, bagaimana menyatakan kejadian itu sebagai pasangan berurutan? Gambar A. 5 Ruang sampel dari percobaan melempar dua dadu sekaligus dapat disusun dengan cara membuat tabel seperti berikut. 7

10 Dadu ke-1 Tabel A. 2 Tabel Ruang Sampel Dadu ke-2 Pada tabel tersebut dapat dilihat terdapat 36 titik sampel sehingga. Jadi, pada pelemparan sebuah dadu terdapat 6 titik sempel, maka pada pelemparan dua dadu dihasilkan titik sampel. 5. Kisaran Nilai Peluang a. Rumus Peluang Perhatikan kejadian pada pelemparan sebuah dadu. Hasil pelemparan yang mungkin adalah muncul muka dadu bernomor atau, sehingga ruang sampelnya adalah. Misalkan, adalah kejadian munculnya muka dadu bernomor genap maka. Banyak anggota himpunan atau kejadian dinotasikan dengan, sehingga. Peluang munculnya setiap titik sampel dalam ruang sampel sama, yaitu. Dengan demikian, peluang munculnya muka dadu bernomor genap adalah sebagai berikut: juga dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut: 8

11 maka. sehingga.. Jika setiap anggota ruang sampel memiliki peluang muncul yang sama, dengan adalah suatu kejadian dalam ruang sempel, maka peluang kejadian yang memiliki anggota sebanyak didefinisikan sebagai berikut:, dengan Dengan subset Contoh 3: Sebuah dadu dilemparkan sebanyak satu kali. Hitunglah peluang munculnya muka dadu bernomor: 1) 2) Kurang dari 3) 4) atau Penyelesaian: maka. 1) Misalkan, kejadian munculnya muka dadu bernomor 2 maka,, dan. 2) Misalkan, kejadian munculnya muka dadu bernomor kurang dari 4 maka,, dan. 3) Misalkan, kejadian munculnya muka dau bernomor maka,, dan. 4) Misalkan, adalah kejadian munculnya muka dadu bernomor atau maka dan sehingga, 9

12 . b. Nilai Peluang Contoh 3 memperlihatkan kepada kalian bahwa peluang suatu kejadian nilainya berkisar sampai. Secara matematis, hal itu ditulis, dengan adalah peluang suatu kejadian. Jika nilai peluang suatu kejadian sama dengan nol atau, nilai tersebut menunjukkan bahwa kejadian tidak mungkin terjadi. Misalnya, pada pelemparan dadu, peluang munculnya mata dadu bernomor adalah nol, atau karena pada dadu tidak terdapat mata dadu yang bernomor (lihat contoh 3 (3)). Untuk kejadian-kejadian lain yang nilainya mendekati nol, berarti kemungkinan kejadian tersebut terjadi sangat kecil. Sebaliknya, jika nilai peluang suatu kejadian sama dengan satu atau, nilai tersebut menunjukkan bahwa kejadian pasti terjadi. Misalnya, pada pelemparan sebuah dadu, peluang munculnya mata dadu yang lebih dari tetapi kurang dari adalah. Dengan kata lain, munculnya mata dadu yang lebih dari pasti terjadi. Dari uraian tersebut, dapatkah kalian menemukan pernyataan berikut? 1) Peluang suatu kejadian nilainya dari sampai dengan (ditulis ). 2) Peluang suatu kejadian yang tidak mungkin terjadi, nilainya nol atau (kejadian tersebut dinamakan kejadian mustahil). 3) Peluang suatu kejadian yang pasti terjadi, nilainya atau (kejadian tersebut dinamakan kejadian nyata/ pasti). Jika kejadian merupakan komplemen dari kejadian maka atau. Misalkan, peluang hari ini hujan maka peluang hari ini tidak hujan adalah. Contoh 4: 10

13 1) Dua puluh lima kartu diberi angka. Kartu tersebut dikocok. Kemudian, diambil kartu secara acak (setiap pengambilan satu kartu, dikembalikan lagi). Berapa peluang terambilnya kartu berangka a) Ganjil b) Kelipatan Penyelesaian: Ruang sampel sehingga. a) Misalkan, kejadian terambilnya kartu berangka ganjil maka sehingga. Peluang adalah. Jadi, peluang terambilnya kartu berangka ganjil adalah. b) Misalkan, adalah kejadian terambilnya kartu berangka kelipatan 3 maka, sehingga Peluang adalah. Jadi, peluang terambilnya kartu dengan angka kelipatan adalah. 2) Dua mata uang logam dilempar secara bersamaan. Berapakah peluang munculnya? a) Tepat dua angka b) Angka dan gambar c) Paling sedikit satu angka. Penyelesaiaan: Ruang sampel percobaan ini dapat ditentukan dengan diagram pohon dibawah ini. 11

14 Jadi, ruang sampel percobaan ini adalah sehingga a) Misalnya, kejadian muncul tepat dua angka maka dan. Peluang kejadian adalah. Jadi, peluang muncul tepat dua angka adalah. b) Misalnya, kejadian muncul angka dan gambar maka dan Peluang kejadian adalah. Jadi, peluang muncul angka dan gambar adalah. c) Misalnya, kejadian muncul paling sedikit satu angka maka dan. Peluang kejadian adalah. Jadi, peluang muncul paling sedikit satu angka adalah. B. Frekuensi Harapan Frekuensi harapan dari suatu kejadian adalah harapan banyaknya muncul suatu kejadian yang diamati dari sejumlah percobaan yang dilakukan. Frekuensi harapan diperoleh dengan cara mengalikan nilai kemungkinan suatu kejadian dengan banyaknya percobaan. Frekuensi harapan dinotasikan dengan. Secara matematis ditulis sebagai berikut: 12

15 dengan peluang kejadian banyaknya percobaan Contoh 5: Sebuah mata uang logam dilempar sebanyak kali. Dalam sekali pelemparan, peluang munculnya sisi angka adalah. Dari pelemparan uang logam sebanyak kali, kalian dapat mengharapkan munculnya sisi angka sebanyak kali. Namun, memungkinkan pula dalam percobaan itu ternyata muncul sisi angka sebanyak kali, kali, kali, atau kali. Harapan munculnya sisi angka sebanyak kali dari kali pelemparan uang logam disebut frekuensi harapan. Contoh 6: 1) Sebuah dadu dilemparkan ke atas sebanyak kali. Berapa frekuensi harapan munculnya mata dadu bernomor? Penyelesaian: Ruang sampel sehingga. Misalkan, kejadian munculnya mata dadu bernomor sehingga Banyaknya lemparan kali. Jadi, frekuensi harapan munculnya mata dadu bernomor dari kali pelemparan adalah kali. 2) Dua buah dadu dilempar kali. Berapa frekuensi harapan munculnya mata dadu berjumlah lebih dari sepuluh? Penyelesaian: Ruang sampel sehingga. Misalkan, kejadian munculnya mata dadu berjumlah lebih dari sepuluh maka sehingga. Peluang adalah. 13

16 Banyaknya lemparan kali. kali. Jadi, frekuensi harapan munculnya mata dadu berjumlah lebih dari sepuluh dari kali pelemparan adalah kali. 3) Dua keping uang logam dilempar bersama sebanyak kali. Frekuensi harapan munculnya paling sedikit satu gambar adalah... Penyelesaian: Ruang sampel sehingga Misalkan, G adalah kejadian muncul paling sedikit satu gambar maka maka. Peluang adalah. Banyaknya lemparan kali. kali. Jadi, frekuensi harapan muncul paling sedikit satu gambar dari kali pelemparan adalah kali. 4) Tiga buah mata uang logam yang sama dilemparkan secara serempak sebanyak 80 kali. Frekuensi harapan ketiganya muncul angka adalah... Penyelesaian: Ruang sampel sehingga. Misalkan, adalah kejadian ketiganya muncul angka maka sehingga. Peluang adalah. Banyaknya lemparan kali. kali. Jadi, frekuensi harapan ketiganya muncul angka dari adalah kali. kali pelemparan 14

17 Daftar Pustaka Dwi Susanti, Wahyudin Djumanta Belajar Matematika Aktif dan Menyenangkan. Jakarta: Pusat perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. Nuniek Avianti Agus Mudah Belajar Matematika. Jakarta: Pusat perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. 15