PEMROGRAMAN LINIER: MODEL TRANSPORTASI. Oleh: Ni Ketut Tari Tastrawati, S.Si, M.Si

PEMROGRAMAN LINIER: MODEL TRANSPORTASI Oleh: Ni Ketut Tari Tastrawati, S.Si, M.Si JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS UDAYANA 2015 i

KATA PENGANTAR Kebutuhan akan sumber belajar bagi mahasiswa di Jurusan Matematika yang mengambil mata kuliah Pemrograman Linear, maupun yang akan dan sedang mengerjakan Tugas Akhir mengenai Pemrograman Linear, khususnya kajian model transportasi, merupakan pertimbangan disusunnya karya tulis ini. Pemanfaatan karya tulis ini sebagai sumber belajar diharapkan dapat mengoptimalkan pembelajaran di kelas, maupun memperlancar proses penyelesaian Tugas Akhir mahasiswa di Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Udayana. Materi-materi yang disajikan dalam tulisan ini disusun dalam tiga bab, meliputi: Kajian Transportasi, Pemecahan Masalah Transportasi, dan Kasus-kasus Masalah Transportasi. Bab Kajian Transportasi membahas mengenai Definisi & Aplikasi Model Transportasi dan Keseimbangan Model Transportasi. Bagian Pemecahan Masalah Transportasi membahas tentang Langkah-langkah Dasar dari Teknik Transportasi yang meliputi Penyelesaian Fisibel Awal dan Proses Menuju Solusi Optimal. Bagian ketiga menyajikan Kasus-kasus Masalah Transportasi, meliputi: Masalah Transportasi Tidak Seimbang; Ada jalan Rusak; Penalti Terhadap Permintaan yang Tidak Terpenuhi; dan Soal Memaksimumkan. Tulisan ini disusun secara runtun bagian demi bagian, dengan harapan dapat memudahkan pembaca untuk memahami isi materi. Akhir kata, tiada gading yang tak retak, keterbatasan dari isi tulisan ini memerlukan penyempuraan lebih lanjut di masa mendatang. Walaupun demikian, diharapkan tulisan ini dapat memberikan manfaat yang sebesar-besarnya bagi pengguna. Bukit Jimbaran, 11 Desember 2015 Penyusun ii

DAFTAR ISI PENGANTAR..... DAFTAR ISI..... BAB I. MODEL TRANSPORTASI........ 1 1.1 Definisi dan Aplikasi Model Transportasi....... 1 1.2 Keseimbangan Model Transportasi..... 3 BAB II. PEMECAHAN MASALAH TRANSPORTASI 6 2.1 Langkah-langkah Dasar dari Teknik Transportasi.... 6 2.1.1 Penyelesaian Fisibel Awal. 6 2.1.2 Proses Menuju Solusi Optimal... 15 BAB III. KASUS-KASUS MASALAH TRANSPORTASI 29 3.1 Masalah Transportasi Tidak Seimbang........... 29 3.2 Ada jalan Rusak.. 36 3.3 Penalti Terhadap Permintaan yang Tidak Terpenuhi 46 3.4 Soal Memaksimumkan.. 51 DAFTAR PUSTAKA...... 66 ii iii iii

BAB I MODEL TRANSPORTASI Model transportasi merupakan salah satu kasus khusus dari persoalan pemrograman linier. Model transportasi pada dasarnya merupakan sebuah program linear yang dapat dipecahkan oleh metode simpleks yang biasa. Tetapi, strukturnya yang khusus memungkinkan pengembangan sebuah prosedur pemecahan, yang disebut teknik transportasi, yang lebih efisien dalam hal perhitungan. 1.1 Definisi dan Aplikasi Model Transportasi Dalam bagian ini, disajikan definisi dari model transportasi. Kemudian menjabarkan beberapa variasi dari model ini yang memperluas ruang lingkup aplikasinya ke berbagai masalah yang lebih luas di dunia nyata. Persoalan transportasi membahas masalah pendistribusian suatu komoditas atau produk dari sejumlah sumber (supply) kepada sejumlah tujuan (demand), dengan tujuan meminimumkan ongkos pengangkutan yang terjadi. Data dalam model ini mencangkup: 1. Tingkat penawaran di setiap sumber dan jumlah permintaan di setiap tujuan. 2. Biaya transportasi per unit barang dari setiap sumber ke setiap tujuan. Karena hanya terdapat satu barang, sebuah tujuan dapat menerima permintaannya dari satu sumber atau lebih. Tujuan dari model ini adalah menentukan jumlah yang harus dikirimkan dari setiap sumber ke setiap tujuan sedemikian rupa sehingga biaya transportasi total diminimumkan. Berguna untuk memecahkan permasalahan distribusi (alokasi). Memecahkan permasalahan bisnis lainnya, seperti masalah-masalah yang meliputi pengiklanan, pembelanjaan modal (capital financing) dan alokasi dana untuk investasi, analisis lokasi, keseimbangan lini perakitan dan perencanaan scheduling produksi. Ciri- ciri khusus persoalan transportasi ini adalah: 1. Terdapat sejumlah sumber dan sejumlah tujuan tertentu. 2. Kuantitas komoditas atau barang yang didistribusikan dari setiap sumber dan yang diminta oleh setiap tujuan, besarnya tertentu. 3. Komoditas yang dikirim atau diangkut dari suatu sumber ke suatu tujuan, besarnya sesuai dengan permintaan dan atau kapasitas sumber. 4. Ongkos pengangkutan kapasitas dari suatu sumber ke suatu tujuan, besarnya tertentu. Gambar di bawah ini memperlihatkan sebuah model transportasi dari sebuah jaringan dengan m sumber dan n tujuan. Sebuah sumber dan tujuan diwakili dengan sebuah node. Busur yang menghubungkan sebuah sumber dan 1

sebuah tujuan mewakili rute pengiriman barang tersebut. Jumlah penawaran di sumber adalah dan permintaan di tujuan adalah. Biaya unit transportasi antara sumber dan tujuan adalah dan mewakili jumlah barang yang dikirimkan dari sumber i ke tujuan j; maka model LP yang mewakili masalah transportasi ini diketahui secara umum sebagai berikut: ai = Jumlah supply pada sumber i bj = Jumlah permintaan pada tujuan j cij = Harga satuan transportasi antara sumber i dan tujuan j Dengan demikian, maka formulasi program linearnya adalah sebagai berikut: Minimumkan Dengan batasan Kelompok batasan yang pertama menetapkan bahwa jumlah pengiriman dari sebuah sumber tidak dapat melebihi penawarannya; demikian pula, kelompok batasan kedua mengharusan bahwa jumlah pengiriman ke sebuah tujuan harus memenuhi permintaannya. 2

Dalam bentuk tabel dapat disajikan seperti berikut ini: Tujuan 1 2 n Persediaan 1... Sumber 2 m Permintaan 1.2 Keseimbangan Model Transportasi Suatu model transportasi dikatakan seimbang apabila total supply sama dengan total demand. Dengan kata lain : Dalam persoalan yang sebenarnya, batasan ini tidak selalu terpenuhi atau dengan kata lain jumlah supply yang tersedia mungkin lebih besar atau lebih kecil daripada jumlah yang diminta. Jika hal ini terjadi, maka model persoalannya disebut sebagai model yang tidak seimbang. Namun, setiap persoalan transportasi dapat dibuat seimbang dengan cara memasukkan variabel dummy. Contoh 1 (Model Transportasi Standar) MG Auto Company memiliki pabrik di Los Angeles, Detroit, dan New Orleans. Pusat distribusinya terletak di Denver dan Miami. Kapasitas ketiga pabrik tersebut selama kwartal berikutnya adalah 1000, 1500, dan 1200 mobil. Permintaan kwartalan di kedua pusat distribusi adalah 2300 dan 1400 mobil. Biaya transportasi darat per mobil per mil adalah sekitar 8 sen. Bagan jarak antara pabrik dan pusat distribusi tersebut adalah sebagai berikut: 3

Denver Miami Los Angeles 1000 2690 Detroit 1250 1350 New Orleans 1275 850 Bagan jarak di atas dapat diterjemahkan menjadi biaya per mobil dengan tarif 8 sen per mil. Ini menghasilkan biaya berikut ini (yang dibulatkan ke dollar terdekat), yang mewakili dalam model umum: Denver (1) Miami (2) Los (1) Detroit (2) New (3) Angeles Orleans 80 215 100 108 102 68 Dengan menggunakan kode-kode numerik untuk mewakili pabrik dan pusat distribusi, kita menganggap mewakili jumlah mobil yang dikirimkan dari ke tujuan karena penawaran total (=1000+1500+1200=3700) kebetulan sama dengan permintaan total (=2300+1400=3700), model transportasi yang dihasilkan berimbang. Jadi model LP berikut yang mewakili masalah ini memiliki batasan yang semua berbentuk persamaan: Minumumkan Dengan batasan 4

Sebuah metode yang lebih ringkas untuk mewakili model traansportasi ini adalah menggunakan apa yang kita sebut tabel transportasi. Tabel ini adalah bentuk matriks dengan baris-baris yang mewakili sumber dan kolom-kolom mewakili tujuan. Unsur biaya diringkaskan dalam sudut timur laut sel matriks. Model MG dapat diringkas seperti diperlihatkan pada tabel. Tujuan Denver Miami 80 215 (1) ( 2) Penawaran Los Angeles (1) 1000 x11 100 108 Sumber Detroit (2) 1500 x12 x21 x22 New Orleans (3) 1200 102 68 x31 x32 Permintaan 2300 1400 5

BAB II PEMECAHAN MASALAH TRANSPORTASI 2.1 Langkah-langkah Dasar dari Teknik Transportasi Dalam bagian ini kami perkenalkan perincian untuk pemecahan model transportasi. Metode ini menggunakan langkah-langkah metode simpleks secara langsung dan hanya berbeda dalam perincian penerapan kondisi optimalitas dan kelayakan. Langkah-langkah dasar dari teknik transportasi adalah 1. Langkah 1 : Tentukan penyelesaian fisibel awal. 2. Langkah 2 : Tentukan variabel masuk dari di antara variabel nondasar. Jika semua variabel masuk memenuhi kondisi optimalitas (dari metode simpleks), berhenti; jika tidak, lanjutkan ke langkah 3 3. Langkah 3 : Tentukan variabel keluar (dengan menggunakan kondisi kelayakan) dari di antara variabel-variabel dalam pemecahan dasar saat ini; lalu temukan pemecahan dasar baru. Kembali ke langkah 2. 2.1.1 Penyelesaian Fisibel Awal Penyelesaian fisibel awal digunakan untuk menetukan penyelesaian awal dalam masalah transportasi. Ada beberapa metode yang biasa digunakan, antara lain metode sudut barat laut, metode biaya terendah, dan metode pendekatan Vogel. Masing-masing metode memiliki keuntungan yang berbeda. Metode sudut barat laut merupakan metode yang paling mudah, akan tetapi biasanya dibutuhkan lebih banyak iterasi untuk mencapai penyelesaian optimal dibandingkan dengan metode biaya terendah atau metode pendekatan Vogel. Tidak ada teori yang akan menjamin bahwa penyelesaian awal merupakan penyelesaian optimal. Jika tabel transportasi terdiri dari m baris dan n kolom, maka penyelesaian awal harus menghasilkan m + n 1 buah variabel basis (sel yang terisi). Jika penyelesain awal berisi kurang dari m + n 1 buah variabel basis maka harus ditambahkan variabel dummy agar proses pengecakan keoptimalan dan iterasi dapat dilakukan. Metode Sudut Barat Laut ( northwest-corner rule) Sesuai dengan namanya, metode barat laut mengisi tabel awal transportasi dari sisi barat laut (kiri atas) dengan kuantitas sebanyak-banyaknya. Pengisian dilakukan terus-menerus hingga semua sumber dihabiskan. 6

Contoh : Tiga pabrik barang dengan kapasitas 90 ton, 60 ton dan 50 ton hendak mengirim barang ke tiga kota dengan kebutuhan masing masing kota adalah 50 ton, 110 ton dan 40 ton. Biaya pengiriman (ribuan) dari dari pabrik ke kota disajikan dalam tabel berikut. Pabrik Kota A B C 1 20 5 8 2 15 20 10 3 25 10 19 Tentukan penyelesaian fisibel awal dengan metode sudut barat laut. Penyelesaian : Jumlah kapasitas yang dimiliki pabrik 1,2, dan 3 adalah 90 + 60 + 50 = 200 ton, sedangkan jumlah permintaan di setiap kota A,B, dan C adalah 50 + 110 + 40 = 200 ton. Karena keduanya sama maka proses iterasi dapat dimulai. Kondisi transportasi tampak pada tabel di bawah. Biaya pengiriman perunit barang tampak pada ujung kanan atas tiap sel. Disisi kanan tampak jumlah persediaan barang dari tiap pabrik, sedangkan sisi bawah tabel adalah jumlah permintaan tiap kota. 7

Ujung barat laut dari tabel adalah sel dengan c11 = 20. Sel ini diisi dengan kuantitas sebanyak mungkin. Pabrik 1 memiliki 90 ton barang sedangkan kota A membutuhkan 50 ton. Maka x11 diisi sebanyak-banyaknya, yaitu 50 ton. Dengan mengisi x11 = 50 maka otomatis permintaan kota A sudah terpenuhi sehingga x21 dan x31 tidak boleh diisi lagi. Sekarang ujung barat laut adalah sel dengan c12 = 5 yang akan diisi dengan barang semaksimal mungkin. Pabrik 1 hanya memiliki 90 ton dan sudah dikirimkan ke kota A sebanyak 50 ton sehingga tersisa 40 ton. Di sisi lain, kota B membutuhkan sebanyak 110 ton. Maka x12 = 40. Dengan pengisian ini maka pabrik 1 sudah kehabisan barang sehingga x13 tidak boleh diisi lagi. 8

Karena barang pabrik 1 sudah habis maka sekarang ujung barat lautanya terletak pada sel dengan c22 = 20. Pabrik 2 memiliki 60 ton barang sedangkan kota B tinggal membutuhkan 70 ton barang lagi. Maka x22 = 60 dan x23 tidak boleh diisi lagi. Demikian seterusnya sehingga semua barang terdistribusi. Hasil penyelesaian fisibel awal dengan metode sudut barat laut tampak pada tabel dibawah. Biaya total pengiriman adalah sebesar 50(20) + 40(5) + 60(20) + 10(10) + 40(19) = 3.260 (ribuan). Tampak bahwa jumlah sel basis (sel terisi) = 5 sel yang sama dengan jumlah baris + jumlah kolom 1 = 3 + 3-1 = 5. Jadi jumlah basisnya mencukupi dan tidak memerlukan variabel basis dummy. Metode Biaya Terendah Prinsip dasar penyelesaian fisibel awal dengan metode biaya terendah tidak jauh berbeda dengan metode sudut barat laut. Hanya saja pengisian tidak dilakukan dari sisi barat laut, tetapi dari sel yang biaya pengirimannya terendah. Pada sel itu kita isi dengan barang sebanyak mungkin. Jika ada beberapa sel yang biaya terendahnya sama, maka dipilih sembarang. Metode biaya terendah sering juga disebut metode greedy karena sifatnya selalu memulai penyelesaian dari biaya yang kecil tanpa memperhitungkan efeknya terhadap keseluruhan proses. Meskipun selalu dimulai dari sel yang biayanya kecil, namun metode biaya terendah belum tentu menghasilkan penyelesaian optimal. 9

Secara logika, hasil yang didapat dengan metode biaya terendah akan lebih baik dibandingkan dengan metode barat laut karena pengisian dengan metode barat laut tidak mempertimbangkan biaya pengiriman pada sel yang bersangkutan. Akibatnya, total biaya pengiriman akan cenderung tidak optimal. Contoh : Selesaikan soal sebelumnya dengan menggunakan metode biaya terendah. Penyelesaian : Biaya terkecil adalah pengiriman dari pabrik 1 ke kota B dengan c12 = 5 sel ini diisi dengan kuantitas sebanyak-banyaknya, yaitu sebesar x12 = 90. Dengan pengisian ini maka pabrik 1 sudah kehabisan barang sehingga x11 dan x13 tidak bisa terisi lagi. Dari sisa sel yang masih bisa diisi pengiriman dengan biaya terendah adalah dari pabrik 3 ke kota B dengan biaya c32 = 10. Jumlah maksimum barang yang dapat diisikan pada sel ini adalah sebanyak x32 = 20 untuk memenuhi permintaan kota b yaitu 110 ton. Proses dilanjutkan dengan sel terkecil berikutnya yang belum terarsir. Hasil akhir penyelesaian fisibel awal dengan metode biaya terendah tampak pada tabel dibawah. Biaya total pengiriman adalah sebesar 90(5) + 20(15) + 40(10) + 30(25) + 20(10) = 2.100 (ribuan). 10

Kota A B C Persediaan 20 5 8 Pabrik 1 90 90 15 20 10 2 60 20 40 25 10 19 3 50 30 20 Permintaan 50 110 40 Metode Pendekatan Vogel Perhitungan penyelesaian awal dengan metode pendekatan Vogel lebih rumit dibandingkan dengan metode terdahulu. Akan tetapi biasanya lebih mendekati penyelesaian optimalnya. Algoritma Pendekatan Vogel untuk menentukan penyelesaian fisibel awal masalah transportasi adalah sebagai berikut : 1. Pada tiap baris dan kolom hitunglah selisih dua sel dengan biaya yang terkecil. 2. Tetukan baris/kolom hasil langkah (1) yang selisihnya terbesar. Jika terdapat lebih dari 1, pilihan sembarang. 3. Pada baris/kolom yang terpilih, isikan barang semaksimum mungkin pada sel dengan biaya terkecil. Hapuskan baris/kolom yang dihabiskan karena pengisian tersebut pada perhitungan berikutnya. Jika baris dan kolom terhapus bersamaan, tambahkan sebuah variabel dummy. 4. Ulangi langkah 1-3 hingga semua permintaan/persediaan habis. 11

Contoh : Selesaikan contoh sebelumnya dengan metode Pendekatan Vogel. Penyelesaian : Pada baris 1, dua sel yang biayanya terkecil adalah c12 = 5 dan c13 = 8. Selisihnya adalah = 8 5 = 3. Pada baris 2, dual sel yang biayanya terkecil adalah c23 = 10 dan c21 = 15. Selisihnya adalah = 15 10 = 5. Demikian seterusnya dihitung selisih 2 sel dengan biaya terkecil pada tiap baris dan kolom. Hasilnya tampak pada tabel dibawah. Baris/Kolom 2 Sel dengan Biaya Terkecil Selisih Baris-1 c12 = 5 dan c13 = 8 8 5 = 3 Baris-2 c21 = 15 dan c23 = 10 15 10 = 5 Baris-3 c32 = 10 dan c33 = 19 19 10 = 9* Kolom-1 c11 = 20 dan c21 = 15 20 15 = 5 Kolom-2 c12 = 5 dan c32 = 10 10 5 = 5 Kolom-3 c13 = 8 dan c23 = 10 10 8 = 2 Selisih terbesar (=9) terjadi pada baris ke 3. Biaya terkecil pada baris ke 3 adalah c32 = 10. Pada sel ini dimasukan barang sebanyak-banyaknya, yaitu 50 ton. Jadi x32 = 50 ton. Dengan pengisian ini maka pabrik 3 sudah kehabisan barang sehingga sel lain pada baris 3 tidak diikutkan pada iterasi 12

berikutnya. Proses penghitungan selisih 2 sel yang biayanya terkecil dilanjutkan tetapi dengan menghilangkan baris 3 dari perhitungan sehingga kemudian didapat : Baris/Kolom 2 Sel dengan Biaya Terkecil Selisih Baris-1 c12 = 5 dan c13 = 8 8 5 = 3 Baris-2 c21 = 15 dan c23 = 10 15 10 = 5 Kolom-1 c11 = 20 dan c21 = 15 20 15 = 5 Kolom-2 c12 = 5 dan c22 = 20 20 5 = 15* Kolom-3 C13 = 8 dan c23 = 10 10 8 = 2 Selisih terbesar (=15) terjadi pada kolom 2. Biaya terkecil adalah pada baris 1 adalah c21 = 5. Pada sel ini diisikan barang sebanyak-banyaknya, yaitu 110 ton, akan tetapi karena kolom 2 sudah terpenuhi 50 ton pada iterasi sebelumnya maka x12 = 60. Dengan pengisian ini maka kolom 2 sudah terpenuhi, sehingga sel lain pada kolom 2 tidak dapat diisi lagi. Pada iterasi berikutnya, selisih 2 sel dengan biaya terkecil pada baris 1 dan 2 masing-masing adalah 12 dan 5. Selisih pada kolom 1 dan 3 masingmasing adalah 5 dan 2. Nilai maksimum terjadi pada baris 1, maka x13 = 30 dan baris 1 tidak boleh diisi lagi. 13

Kota A B C selisih 20 5 8 12* Pabrik 1 90 3 3 60 30 15 20 10 2 60 5 5 5 25 10 19 3 50 50 9* - - 50 110 40 Selisih 5 5 2 5 15* 2 5-2 Karena sekrang sisanya tinggal sel pada satu baris maka isikan mulai dari sel yang biayanya terkecil, yaitu x23 = 10 dan x21 = 50. Biaya total pengirimannya adalah sebesar 60(5) + 30(8) + 50(15) + 10(10) + 50(10) = 1.890 (ribuan). 14

Kota A B C selisih 20 5 8 12* Pabrik 1 90 3 3 60 30 15 20 10 2 60 5 5 5 50 10 25 10 19 3 50 50 9* - - 50 110 40 Selisih 5 5 2 5 15* 2 5-2 2.1.2 Proses Menuju Solusi Optimal Setelah tabel awal transportasi dibuat (dengan sembarang metode), langkah berikutnya adalah mengecek apakah tabel tersebut sudah optimal. Menentukan entering dan leaving variable adalah tahap berikutnya dari pemecahan persoalan transportasi, setelah solusi fisible awal diperoleh. Ada dua cara yang dapat digunakan dalam menentukan entering dan leaving variable yaitu dengan menggunakan metode stepping stone dan Modified Distribution Method (Metode MODI). 1. Metode Stepping Stone Syarat : Jumlah rute atau sel yang mendapat alokasi harus sebanyak Jumlah Kolom + Jumlah Baris 1 Langkah langkahnya : i. Memilih salah satu sel kosong (yang tidak mendapatkan alokasi). 15

ii. Mulai dari sel ini, kita membuat jalur tertutup melalui sel-sel yang mendapatkan alokasi menuju sel kosong terpilih kembali. Jalur tertutup ini bergerak secara horizontal dan vertikal saja. iii. Mulai dengan tanda (+) pada sel kosong terpilih, kita menempatkan tanda (-) dan (+) secara bergantian pada setiap sudut jalur tertutup. iv. Menghitung indeks perbaikan dengan cara menjumlahkan biaya transportasi pada sel bertanda (+) dan mengurangkan biaya transportasi pada sel bertanda (-). v. Mengulangi tahap 1 sampai 4 hingga indeks perbaikan untuk semua sel kosong telah terhitung. Jika indeks perbaikan dari sel-sel kosong lebih besar atau sama dengan nol, solusi optimal telah tercapai. Contoh : 1) Tiga pabrik barang dengan kapasitas 90 ton, 60 ton dan 50 ton hendak mengirim barang ke tiga kota dengan kebutuhan masing masing kota adalah 50 ton, 110 ton dan 40 ton. Biaya pengiriman (ribuan) dari dari pabrik ke kota disajikan dalam tabel berikut. Pabrik Kota A B C 1 20 5 8 2 15 20 10 3 25 10 19 Berapakan total biaya optimal yang harus dikeluarkan perusahaan dalam memenuhi kebutuhan ketiga kota tersebut? Penyelesaian : Tabel Transportasi 16

Dengan metode sudut barat laut diperoleh table fisible awal sebagai berikut : Tabel Alokasi Pertama dengan metode Stepping Stone 1 2 3 Biaya pengiriman untuk alokasi tahap pertama : 50(20) + 40(5) + 60(20) + 10(10) + 40(19) = 3260 Menguji sel sel yang masih kosong, apakah masih bisa memiliki nilai negatif atau tidak, artinya masih bisa menurunkan biaya transportasi atau tidak. Sel yang diuji adalah : Sel. Pengujian dilakukan pada setiap sel kosong tersebut dengan menggunakan metode Stepping Stone. Pada metode ini, pengujian dilakukan mulai dari sel 17

kosong tersebut, selanjutnya bergerak (boleh searah jarum jam dan boleh berlawanan) secara lurus/tidak boleh diagonal, ke arah sel yang telah terisi dengan alokasi, begitu seterusnya sampai kembali ke sel kosong tersebut. Setiap pergerakan ini akan mengurangi dan menambah secara bergantian biaya pada sel kosong tersebut. Perhatikan tanda panah dan tanda (+) atau (-) nya. Pengujian Sel = 8 19 + 10 5 = - 6 Sel = 15 20 + 5-20 = - 20 Sel = 10 19 + 10 20 = - 19 Sel = 25 20 + 5 10 = 0 Merubah alokasi pengiriman ke sel, yang pengujian sebelumnya memiliki pergerakan : Dari pergerakan dan tanda (+)/(-) yang ada, perhatikan sel yang bertanda minus saja, yakni sel dan sel. Dari kedua sel bertanda pergerakan minus ini, pilih sel yang alokasi pengiriman sebelumnya memiliki alokasi paling kecil. Dan ternyata sel, dengan alokasi sebelumnya 50 ton, dan ini lebih kecil dari alokasi sel yang 60 ton. Selanjutnya angka 50 ton di sel tersebut digunakan untuk mengurangi atau menambah alokasi yang ada selama pengujian (sesuai tanda pada pergerakan pengujian). Dengan demikian dapat dihasilkan tabel transportasi sebagai berikut: 18

Sel menjadi 0 karena 50 50 = 0 Sel menjadi 90 karena 40 + 50 = 90 Sel menjadi 10 karena 60 50 = 10 Sel menjadi 50 karena 0 + 50 = 50 Pengujian : Sel = 20 5 + 20 15 = 20 (menjadi lebih mahal 20/ton) Sel = 8 19 + 10 5 = - 6 Sel = 10 19 + 10 20 = -19 Sel = 25 15 + 20 10 = 20 (menjadi lebih mahal 20/ton) Dari hasil pengujian tersebut, ternyata sel masih dapat memberikan penurunan biaya sebesar RP 19/ton. Dengan demikian memang perlu dilakukan perubahan alokasi pengiriman, dengan mencoba mengalokasikan pengiriman ke sel dengan langkah : Dari pergerakan dan tanda (+)/(-) yang ada, perhatikan sel yang bertanda minus saja, yakni sel dan sel. Dari kedua sel bertanda pergerakan minus ini, pilih sel yang alokasi pengiriman sebelumnya memiliki alokasi paling kecil. Dan ternyata sel, dengan alokasi sebelumnya 10 ton, dan ini lebih kecil dari alokasi sel yang 40 ton. Selanjutnya angka 10 ton di sel tersebut digunakan untuk mengurangi atau menambah alokasi yang ada selama pengujian (sesuai tanda pada pergerakan pengujian). Dengan demikian dapat dihasilkan tabel transportasi sebagai berikut : 19

Sel menjadi 0 karena 10 10 = 0 Sel menjadi 10 karena 0 + 10 = 10 Sel menjadi 20 karena 10 + 10 = 20 Sel menjadi 50 karena 40-10 = 30 Pengujian Sel = 20 5 + 10 19 + 10-15 = 1 (menjadi lebih mahal 1/ton) Sel = 8 19 + 10 5 = - 6 Sel = 20 10 + 19 10 = 19 (lebih mahal 19/ton) Sel = 25 15 + 10 19 = 1 (menjadi lebih mahal 1/ton) Dari hasil pengujian tersebut, ternyata sel masih dapat memberikan penurunan biaya sebesar 6/ton. Dengan demikian memang perlu dilakukan perubahan alokasi pengiriman, dengan mencoba mengalokasikan pengiriman ke sel dengan langkah : Dari pergerakan dan tanda (+)/(-) yang ada, perhatikan sel yang bertanda minus saja, yakni sel dan sel. Dari kedua sel bertanda pergerakan minus ini, pilih sel yang alokasi pengiriman sebelumnya memiliki alokasi paling kecil. Dan ternyata sel, dengan alokasi sebelumnya 30 ton, dan ini lebih kecil dari alokasi sel yang 90 ton. Selanjutnya angka 30 ton di sel tersebut digunakan untuk mengurangi atau menambah alokasi yang ada selama pengujian (sesuai tanda pada pergerakan pengujian). Dengan demikian dapat dihasilkan tabel transportasi sebagai berikut : 20

Sel menjadi 60 karena 90 30 = 60 Sel menjadi 30 karena 0 + 30 = 30 Sel menjadi 50 karena 20 + 30 = 50 Sel menjadi 0 karena 30-30 = 0 Nilai alokasi pada sel dan tidak mengalami perubahan karena tidak termasuk dalam pergerakan pengujian sel tersebut. Pengujian Sel = 20 8 + 10 15 = 7 (menjadi lebih mahal 7/ton) Sel = 20 5 + 8 10 = 13 (menjadi lebih mahal 13/ton) Sel = 25 15 + 10 8 + 5-10 = 7 (lebih mahal 7/ton) Sel = 19 10 + 5 8 = 6 (menjadi lebih mahal 6/ton) Dari hasil pengujian tersebut, ternyata semua sel sudah tidak ada yang bernilai negatif lagi, atau dengan kata lain semua sel sudah tidak dapat memberikan penurunan biaya lagi, sehingga dengan demikian dapat dikatakan kasus telah optimal, dengan total biaya : Biaya mengirim 60 ton dari P1 ke kota B = 60 x 5 = 300 Biaya mengirim 30 ton dari P1 ke kota C = 30 x 8 = 240 Biaya mengirim 50 ton dari P2 ke kota A = 50 x 15 = 750 Biaya mengirim 10 ton dari P2 ke kota C = 10 x 10 = 100 Biaya mengirim 50 ton dari P3 ke kota B = 50 x 10 = 500 -----------------------------------------------------------------------------+ Total biaya pengirimannya = 1890 Kesimpulan : Jadi, total biaya optimal yang harus dikeluarkan perusahaan dalam memenuhi kebutuhan ketiga kota tersebut adalah Rp. 1.890.000,00. 2. Modified Distribution Method (Metode MODI) Metode MODI (Modified Distribution) merupakan perkembangan dari metode Stepping Stone. Penentuan sel kosong yang bisa menghemat biaya pada metode ini dilakukan dengan prosedur yang lebih pasti dan tepat serta metode ini dapat mencapai hasil optimal lebih cepat. Metode MODI 21

menghitung indeks perbaikan untuk setiap sel kosong tanpa menggunakan jalur tertutup. Indeks perbaikan dihitung dengan terlebih dahulu menentukan nilai baris dan kolom. Notasi dalam metode MODI terdiri dari: Ri = nilai yang ditetapkan untuk baris i Kj = nilai yang ditetapkan untuk kolom j cij = biaya transportasi dari sumber i ke tujuan j Ada lima langkah dalam aplikasi metode MODI, yaitu : 1) Menghitung nilai setiap baris dan kolom, dengan menetapkan Ri +Kj = cij Formula tersebut berlaku untuk sel yang mendapat alokasi saja. 2) Setelah semua persamaan telah tertulis, tetapkan R1 = 0 3) Mencari solusi untuk semua R dan K. 4) Menghitung indeks perbaikan dengan menggunakan formula cij - Ri - Kj 5) Mengaplikasikan kriteria optimalitas sebagaimana pada metode stepping stone. Contoh : Dengan kasus yang sama seperti contoh pada metode stepping stone. Berapakan total biaya optimal yang harus dikeluarkan perusahaan dalam memenuhi kebutuhan ketiga kota tersebut? Penyelesaian : Langkah-langkah: Tabel awal yang digunakan adalah tabel NWC Perubahan Alokasi 1 a) Buat variabel Ri dan Kj untuk masing-masing baris dan kolom. b) Hitung sel yang berisi (nilai tiap kolom dan tiap baris) dengan rumus: Nilai baris 1 = R1 = 0 Mencari nilai kolom A : 22

0 + KA = 20, nilai kolom A = 20 Mencari nilai kolom dan baris yang lain : ; 0 + KB = 5 ; KB = 5 ; R2 + 5 = 20 ; R2 = 15 ; R3 + 5 = 10 ; R3 = 5 ; 5 + KC = 19 ; KC = 14 Nilai nilai ini kemudian diletakkan pada baris/kolom yang bersangkutan, seperti terlihat pada tabel berikut : c) Menghitung index perbaikan setiap sel yang kosong dengan rumus: Index perbaikan = Sel Indeks Perbaikan 2 A 15 15 20-20 3 A 25 5 20 0 1 C 8 0 14-6 2 C 10 15 14-19 d) Memilih titik tolak perubahan Sel yang mempunyai indeks perbaikan negatif berarti bila diberi alokasi akan dapat mengurangi jumlah biaya pengangkutan. Bila nilainya positif berarti pengisian akan menyebabkan kenaikan biaya pengangkutan. Sel yang merupakan titik tolak perubahan adalah sel yang indeksnya bertanda negatif, dan angkanya terbesar. Dalam tabel diatas ternyata yang memenuhi syarat adalah sel 2 A. Oleh karena itu sel ini dipilih sebagai sel yang akan diisi. e) Memperbaiki alokasi Buat jalur tertutup. Berilah tanda positif pada 2 A. Pilih 1 sel terdekat yang isi dan sebaris (2 B), 1 sel yang isi terdekat dan sekolom (1 A), berilah tanda negatif pada dua sel terebut. Kemudian pilih satu sel yang sebaris atau sekolom dengan dua sel 23

bertanda negatif tadi (1 B) dan beri tanda positif. Selanjutnya pindahkan isi dari sel bertanda negatif ke yang bertanda positif sebanyak isi terkecil dari sel yang bertanda negatif yaitu 50. Jadi, 2 A kemudian berisi 50, 2 B berisi 60 50 = 10, 1 B berisi 40 + 50 = 90 dan 1 A tidak berisi. Biaya transportasi = 90 (5) + 50 (15) + 10 (20) + 10 (10) + 40 (19) = 2260 f) Ulangi langkah langkah tersebut sampai diperoleh biaya terendah. Bila masih ada indeks perbaikan yang bernilai negatif berarti alokasi tersebut masih dapat diubah untuk mengurangi biaya pengangkutan. Bila sudah tidak ada indeks yang negatif berarti sudah optimal. Perubahan Alokasi ke-2 a) Buat variabel Ri dan Kj untuk masing-masing baris dan kolom. b) Hitung sel yang berisi (nilai tiap kolom dan tiap baris) dengan rumus : Nilai baris 1 = R1 = 0 Mencari nilai kolom B : 0 + KB = 5, nilai kolom B = 5 Mencari nilai kolom dan baris yang lain : ; R2 + 5 = 20 ; R2 = 15 ; 15 + KA = 15 ; KA = 0 ; R3 + 5 = 10 ; R3 = 5 ; 5 + KC = 19 ; KC = 14 Nilai nilai ini kemudian diletakkan pada baris/kolom yang bersangkutan, seperti terlihat pada tabel berikut : 24

c) Menghitung index perbaikan setiap sel yang kosong dengan rumus: Index perbaikan = Sel Indeks Perbaikan 1 A 20 0 0 20 1 C 8 0 14-6 2 C 10 15 14-19 3 A 25 5 0 20 d) Memilih titik tolak perubahan Sel yang merupakan titik tolak perubahan adalah sel 2 C. e) Memperbaiki alokasi Buat jalur tertutup. Berilah tanda positif pada 2 C. Pilih 1 sel terdekat yang isi dan sebaris (2 B), 1 sel yang isi terdekat dan sekolom (3 C), berilah tanda negatif pada dua sel terebut. Kemudian pilih satu sel yang sebaris atau sekolom dengan dua sel bertanda negatif tadi (3 B) dan beri tanda positif. Selanjutnya pindahkan isi dari sel bertanda negatif ke yang bertanda positif sebanyak isi terkecil dari sel yang bertanda negatif yaitu 10. Jadi, 2 C kemudian berisi 10, 2 B tidak terisi, 3 B berisi 10 + 10 = 20 dan 3 C berisi 40 10 = 30. 25

Biaya transportasi = 90 (50) + 50 (15) + 10 (10) + 20 (10) + 30 (19) = 2070 Perubahan Alokasi ke-3 a) Buat variabel Ri dan Kj untuk masing-masing baris dan kolom. b) Hitung sel yang berisi (nilai tiap kolom dan tiap baris) dengan rumus: Nilai baris 1 = R1 = 0 Mencari nilai kolom B : 0 + KB = 5, nilai kolom B = 5 Mencari nilai kolom dan baris yang lain : ; R3 + 5 = 10 ; R3 = 5 ; 5 + KC = 19 ; KC = 14 ; R2 + 14 = 10 ; R2 = -4 ; -4 + KA = 15 ; KC = 19 Nilai nilai ini kemudian diletakkan pada baris/kolom yang bersangkutan, seperti terlihat pada tabel berikut : 26

c) Menghitung index perbaikan setiap sel yang kosong dengan rumus: Index perbaikan = Sel Indeks Perbaikan 1 A 20 0 19 1 1 C 8 0 14-6 2 B 20 + 4 5 19 3 A 25 5 19 1 d) Memilih titik tolak perubahan Sel yang merupakan titik tolak perubahan adalah sel 1 C. e) Memperbaiki alokasi Buat jalur tertutup. Berilah tanda positif pada 1 C. Pilih 1 sel terdekat yang isi dan sebaris (1 B), 1 sel yang isi terdekat dan sekolom (3 C), berilah tanda negatif pada dua sel terebut. Kemudian pilih satu sel yang sebaris atau sekolom dengan dua sel bertanda negatif tadi (2 B) dan beri tanda positif. Selanjutnya pindahkan isi dari sel bertanda negatif ke yang bertanda positif sebanyak isi terkecil dari sel yang bertanda negatif yaitu 30. Jadi, 1 C kemudian berisi 30, 1 B berisi 90 30 = 60, 2 B berisi 20 + 30 = 50 dan 3 C tidak terisi. Biaya transportasi = 60 (5) + 30 (8) + 50 (15) + 10 (10) + 50 (10) = 1890 Perubahan Alokasi ke -4 a) Buat variabel Ri dan Kj untuk masing-masing baris dan kolom. b) Hitung sel yang berisi (nilai tiap kolom dan tiap baris) dengan rumus : Nilai baris 1 = R1 = 0 Mencari nilai kolom B : 27

0 + KB = 5, nilai kolom B = 5 Mencari nilai kolom dan baris yang lain : ; 0 + KC = 8 ; KC = 8 ; R2 + 8 = 10 ; R2 = 2 ; 2 + KA = 15 ; KA = 13 ; R3 + 5 = 10 ; R3 = 5 Nilai nilai ini kemudian diletakkan pada baris/kolom yang bersangkutan, seperti terlihat pada tabel berikut : c) Menghitung index perbaikan setiap sel yang kosong dengan rumus: Index perbaikan = Sel Indeks Perbaikan 1 A 20 0 13 7 2 B 20 2 5 13 3 A 25 5 5 15 3 C 19 5 8 6 Karena indeks perbaikan pada setiap sel sudah tidak ada yang negatif, maka tabel pada perubahan alokasi ke-3 sudah optimal. Kesimpulan Jadi, total biaya optimal yang harus dikeluarkan perusahaan dalam memenuhi kebutuhan ketiga kota tersebut adalah Rp. 1.890.000,00 28

BAB III KASUS-KASUS MASALAH TRANSPORTASI 3.1 Masalah Transportasi tidak seimbang Kadang-kadang terjadi keadaan di mana jumlah persediaan tidak sama dengan jumlah permintaan. Dalam penyelesaian optimalnya pasti ada permintaan yang tidak terpenuhi (jika jumlah permintaan lebih besar dari jumlah persediaan) atau persediaan yang tidak terkirim (jika jumlah persediaan lebih besar dari jumlah permintaan). Pada kasus yang tidak seimbang, sebelum membuat penyelesaian fisibel awal, tabel transportasi terlebih dahulu diseimbangkan dengan menambah sebuah sumber/tujuan semu (tergantung mana yang jumlah barangnya lebih sedikit). Besarnya persediaan/ permintaan sumber/tujuan semu merupakan selisih antara jumlah persediaan dan jumlah permintaan awal. Langkah berikutnya adalah menyelesaikan masalah transportasi dengan cara yang sudah dijelaskan sebelumnya. Contoh Sebuah perusahaan persewaan mobil menghadapi masalah dalam hal mengalokasikan mobil untuk memenuhi permintaan pelanggan. Ada 2 garasi tempat menyimpan mobil yang hendak disewa(semua mobil bertipe sama), yang masing masing mampu menampung15 dan 13 mobil. Ada 4 penyewa yang masing masing membutuhkan 9,6,7, dan 9 buah mobil. Biaya perjalanan mobil(ribuan rupiah) dari garasi ke tempat penyewa tampak pada tabel dibawah ini, Tujuan 1 2 3 4 A 45 17 21 30 B 14 18 19 31 Buatlah alokasi pengiriman mobil yang akan meminimumkan total biaya pengiriman! Gunakan metode pendekatan vogel sebagai penyelesaian awal! Penyelesaian Total mobil yang ada 15 + 13 = 28 buah, sedangkan total permintaan mobil 9 + 6 + 7 + 9 = 31. Jadi jumlah permintaan > jumlah persediaan. Untuk menyeimbangkan tabel, ditambahkan sebuah persediaan semu (garasi C) yang memiliki persediaan 31 28 = 3 buah mobil. 29

Biaya pengiriman dari garasi semu ke semua tujuan = 0 (karena memang tidak ada mobil yang dikirimkan) tabel dibawah ini menunjukkan tabel awal transportasi. Dengan metode Pendekatan Vogel Pada baris-1, dua sel yang biayanya terkecil adalah c12 = 17 dan c13 = 21. Selisihnya adalah = 21 17 = 4. Pada baris-2, dua sel yang biayanya terkecil adalah c21 = 14 dan c22 = 18. Selisihnya adalah = 18 14 = 4. Demikian seterusnya dihitung selisih 2 sel dengan biaya terkecil pada tiap baris dan kolom. Hasilnya tampak pada table dibawah ini. Baris/Kolom 2 Sel dengan Biaya Selisih Terkecil Baris-1 c12 = 17 dan c13 = 21 21 17 = 4 Baris-2 c21 = 14 dan c22 = 18 18 14 = 4 Baris-3 0 0 Kolom-1 c21 = 14 dan c31 = 0 14 0 = 14 Kolom-2 c12 = 17 dan c32 = 0 17 0 = 17 Kolom-3 c23 = 19 dan c33 = 0 19 0 = 19 Kolom-4 c14 = 30 dan c34 = 0 30 0 = 30* Selisih terbesar (=30) terjadi pada kolom ke-4. Biaya terkecil pada kolom ke-4 adalah c14 = 0. Pada sel ini dimasukan barang-barang sebanyakbanyaknya, yaitu 3 unit. Jadi x14 = 3. Dengan pengisian ini maka Garasi C sudah terpenuhi permintaannya sehingga sel an pada baris ke-3 tidak diikutkan pada iterasi berikutnya. 30

Proses perhitungan selisih 2 sel yang biayanya terkecil dilanjutkan tetapi dengan menghilangkan baris ke-3 dari perhitungan sehingga kemudian didapat : Baris/Kolom 2 Sel dengan Biaya Terkecil Selisih Baris-1 c12 = 17 dan c13 = 21 17 = 4 21(tetap) Baris-2 c21 = 14 dan c22 18 14 = 4 =18(tetap) Baris-3 Tidak dihitung lagi - Kolom-1 c21 = 14 dan c11 = 45 45 14 = 31* Kolom-2 c12 = 17 dan c22 = 18 18 17 = 1 Kolom-3 c23 = 19 dan c13 = 21 21 19 = 2 Kolom-4 c14 = 30 dan c23 = 31 31 30 = 1 Selisih terbesar (=31) terjadi pada kolom ke-1. Biaya terkecil pada kolom ke-1 adalah c21 = 14. Pada sel ini dimasukan barang-barang sebanyakbanyaknya, yaitu 9 unit. Jadi x21 = 9. Dengan pengisian ini maka Tujuan 1 sudah terpenuhi permintaannya sehingga sel an pada kolom-1 tidak diikutkan pada iterasi berikutnya. 31

Proses perhitungan selisih 2 sel yang biayanya terkecil dilanjutkan tetapi dengan menghilangkan kolom ke-1 dari perhitungan sehingga kemudian didapat : Baris/Kolom 2 Sel dengan Biaya Selisih Terkecil Baris-1 c12 = 17 dan c13 = 21 17 = 4* 21(tetap) Baris-2 c23 = 19 dan c22 =18 19 18 = 1 Baris-3 Tidak dihitung lagi - Kolom-1 Tidak dihitung lagi - Kolom-2 c12 = 17 dan c22 18 17 = 1 =18(tetap) Kolom-3 c23 = 19 dan c13 21 19 = 2 =21(tetap) Kolom-4 c14 = 30 dan c23 =31(tetap) 31 30 = 1 Selisih terbesar (=4) terjadi pada baris ke-1, biaya terkecil pada baris ke-1 adalah c12 = 17. Pada sel ini dimasukan barang-barang sebanyak-banyaknya, yaitu 6 unit. Jadi x12 = 6. Dengan pengisian ini maka Tujuan 2 sudah terpenuhi permintaannya sehingga sel an pada kolom-2 tidak diikutkan pada iterasi berikutnya. 32

Proses perhitungan selisih 2 sel yang biayanya terkecil dilanjutkan tetapi dengan menghilangkan kolom ke-2 dari perhitungan sehingga kemudian didapat : Baris/Kolom 2 Sel dengan Biaya Selisih Terkecil Baris-1 c14 = 30 dan c13 = 21 30 21 = 9 Baris-2 c23 = 19 dan c24 =31 31 19 = 12* Baris-3 Tidak dihitung lagi - Kolom-1 Tidak dihitung lagi - Kolom-2 Tidak dihitung lagi - Kolom-3 c23 = 19 dan c13 21 19 = 2 =21(tetap) Kolom-4 c14 = 30 dan c23 31 30 = 1 =31(tetap) 33

Selisih terbesar (=12) terjadi pada baris ke-2,biaya terkecil pada baris ke-2 adalah c23 = 19. Pada sel ini dimasukan barang-barang sebanyak-banyaknya, yaitu 4 unit. Jadi x23 = 4. Karena pada kolom ke-3 hanya kurang pengisian di x13 maka x13 diisi dengan 7-4 = 3. Dengan pengisian ini maka Tujuan 3 dan Garasi B sudah terpenuhi permintaannya sehingga sel pada kolom-3 tidak diikutkan pada iterasi berikutnya. Karena sekarang sisanya tinggal pada x14 maka x14 diisi dengan 15 6 3 = 6. Sehingga tabel penyelesaian awal dengan Metode Pendekatan Vogel tampak terlihat dibawah ini - Selanjutnya adalah pengecekan optimalitas dengan menggunakan metode stepping stone Menguji sel sel yang masih kosong, apakah masih bisa memiliki nilai negatif atau tidak, artinya masih bisa menurunkan biaya transportasi atau tidak. 34

Sel yang diuji adalah : Sel x11, x22, x24, x31, x32 dan x33. Pengujian dilakukan pada setiap sel kosong tersebut dengan menggunakan metode Stepping Stone. Pada metode ini, pengujian dilakukan mulai dari sel kosong tersebut, selanjutnya bergerak (boleh searah jarum jam dan boleh berlawanan) secara lurus/tidak boleh diagonal, ke arah sel yang telah terisi dengan alokasi, begitu seterusnya sampai kembali ke sel kosong tersebut. Setiap pergerakan ini akan mengurangi dan menambah secara bergantian biaya pada sel kosong tersebut. Perhatikan tanda panah dan tanda (+)/(-) nya. Pengujian Sel x11 = 45 21 + 19 14 = 29 Sel x22 = 18 17 + 21-19 = 3 Sel x24= 31 30 + 21 19 = 3 Sel x31 = 0 14+ 19 21 + 30-0 = 14 Sel x32 = 0 17+ 30 0 = 13 Sel x33 = 0 21+ 30-0 = 9 Dari hasil pengujian tersebut, ternyata semua sel sudah tidak ada yang bernilai negatif, atau dengan kata lain semua sel sudah tidak dapat memberikan penurunan biaya lagi, sehingga dengan demikian dapat dikatakan kasus telah optimal, dengan total biaya minimumnya : 6(17) + 3(21) + 6(30) +4(19) + 9(14) + 3(0) = 547 (ribuan) 35

3.1 Ada Jalan Rusak Misalkan pada suatu masalah transportasi, ada jalur dari sumber-i ke tujuan-j yang tidak dapat dilalui sama sekali. Ini berarti bahwa dalam penyelesaian optimalnya, harus merupakan variabel bukan basis (yang berarti bahwa tidak ada barang yang dikirim dari sumber-i ke tujuan-j ). Untuk menjamin agar hal ini terjadi maka biaya transportasi dari sumber-i ke tujuan-j dibuat tak terhingga. Contoh Sebuah perusahaan lokal membuat produknya di 3 cabang (A, B, C) untuk dijual ke 4 toko berbeda(1, 2, 3, 4). Biaya pengiriman 1 unit produk dari cabang-i ke toko-j tampak dalam tabel dibawah ini CABANG TOKO 1 2 3 4 A 18-4 5 B 3 9 4 1 C 6 2-4 Permintaan masing masing toko adalah 220,240,125 dan 200. Kapasitas produksi tiap-tiap cabang adalah 360,120, dan 400. Toko- 2 tidak mau menerima produk dari cabang-a dan toko-3 tidak mau menerima produk dari cabang-c. Selesaikanlah masalah transportasi tersebut dengan menggunakan metode Pendekatan Vogel sebagai penyelesaian awal! Penyelesaian : Total barang yang diproduksi diketiga cabang adalah 360 + 120 + 400 = 880 unit, sedangkan total permintaan di 4 toko adalah 220 + 240 + 125 + 200 = 785 unit. Ini berarti terdapat kekurangan permintaan barang sebesar 880 785 = 95 unit. Agar seimbang terlebih dahulu dibuat sebuah toko semu (toko- 5) yang membutuhkan barang sebesar 95 unit. Biaya pengiriman dari semua cabang ke toko-5 = 0. Karena toko-2 tidak mau menerima barang dari cabang-a dan toko-3 tidak mau menerima barang dari cabang-c, maka. Lihat tabel dibawah ini 36

Dengan Metode Pendekatana Vogel Pada baris-1, dua sel yang biayanya terkecil adalah c13 = 4 dan c15 = 0. Selisihnya adalah = 4 0 = 4. Pada baris-2, dua sel yang biayanya terkecil adalah c24 = 1 dan c25 = 0. Selisihnya adalah = 1 0 = 1 Demikian seterusnya dihitung selisih 2 sel dengan biaya terkecil pada tiap baris dan kolom. Hasilnya tampak pada table dibawah ini. Baris/Kolom 2 Sel dengan Biaya Selisih Terkecil Baris-1 c13 = 4 dan c15 = 0 4 0 = 4 Baris-2 c24 = 1 dan c25 = 0 1 0 = 1 Baris-3 c32 = 2 dan c5 = 0 2 0 = 2 Kolom-1 c21 = 3 dan c31 = 6 6 3 = 3 Kolom-2 c12 = 9 dan c32 =2 9 2 = 7* Kolom-3 c31 = 4dan c32 = 4 4 4 = 0 Kolom-4 c24 = 1 dan c25 = 4 4 1 = 3 Kolom-5 0 0 37

Selisih terbesar (=7) terjadi pada kolom ke-2. Biaya terkecil pada kolom ke-2 adalah c32 = 2. Pada sel ini dimasukan barang-barang sebanyak-banyaknya, yaitu 240 unit. Jadi x32 = 240. Dengan pengisian ini maka toko-2 sudah terpenuhi permintaannya sehingga sel pada kolom ke-2 tidak diikutkan pada iterasi berikutnya. Proses perhitungan selisih 2 sel yang biayanya terkecil dilanjutkan tetapi dengan menghilangkan baris ke-3 dari perhitungan sehingga kemudian didapat : Baris/Kolom 2 Sel dengan Biaya Terkecil Selisih Baris-1 c13 = 4 dan c15 = 0(tetap) 4 0 = 4* Baris-2 c24 = 1 dan c25 = 0(tetap) 1 0 = 1 Baris-3 c32 = 2 dan c31 = 6 6 2 = 4 Kolom-1 c21 = 3 dan c31 = 6(tetap) 6 3 = 3 Kolom-2 - - Kolom-3 c31 = 4dan c32 = 4 (tetap) 4 4 = 0 Kolom-4 c24 = 1 dan c25 = 4(tetap) 4 1 = 3 Kolom-5 0 0 38

Selisih terbesar (=4) terjadi pada baris ke-1. Biaya terkecil pada baris ke-1 adalah c15 = 0. Pada sel ini dimasukan barang-barang sebanyak-banyaknya, yaitu 95 unit. Jadi x15 = 95. Dengan pengisian ini maka Toko-5 atau toko semu sudah terpenuhi permintaannya sehingga sel pada kolom-5 tidak diikutkan pada iterasi berikutnya. Proses perhitungan selisih 2 sel yang biayanya terkecil dilanjutkan tetapi dengan menghilangkan kolom ke-5 dari perhitungan sehingga kemudian didapat : Baris/Kolom 2 Sel dengan Biaya Terkecil Selisih Baris-1 C13 = 4 dan c14 = 5 5 4 = 1 Baris-2 c24 = 1 dan c21 = 3 3 1 = 2 Baris-3 c31 = 6 dan c34 = 4 6 4 = 2 Kolom-1 c21 = 3 dan c31 = 6(tetap) 6 3 = 3 Kolom-2 - - Kolom-3 c31 = 4dan c32 = 4 (tetap) 4 4 = 0 Kolom-4 c24 = 1 dan c25 = 4(tetap) 4 1 = 3 Kolom-5 - - 39

Selisih terbesar (=4) terjadi pada kolom ke-4,biaya terkecil pada kolom ke-4 adalah c24 = 1. Pada sel ini dimasukan barang-barang sebanyak-banyaknya, yaitu 120 unit. Jadi x24 = 120. Dengan pengisian ini maka cabang B sudah terpenuhi permintaannya sehingga sel pada baris ke-2 tidak diikutkan pada iterasi berikutnya. Proses perhitungan selisih 2 sel yang biayanya terkecil dilanjutkan tetapi dengan menghilangkan baris ke-2 dari perhitungan sehingga kemudian didapat : Baris/Kolom 2 Sel dengan Biaya Selisih Terkecil Baris-1 C13 = 4 dan c14 = 5 (tetap) 5 4 = 1 Baris-2 - - Baris-3 c31 = 6 dan c34 = 4 (tetap) 6 4 = 2 Kolom-1 C11 = 18 dan c31 = 6 18 6 = 12 Kolom-2 - - Kolom-3 c31 = 4 dan c33 = M M 4 = M-4* Kolom-4 C14 = 5 dan c25 5 4 = 1 = 4 Kolom-5 - - 40

Selisih terbesar (=M-4) terjadi pada kolom ke-3,biaya terkecil pada kolom ke-3 adalah c13 = 4. Pada sel ini dimasukan barang-barang sebanyak-banyaknya, yaitu 125 unit. Jadi x13 = 125.. Dengan pengisian ini maka Toko 3 sudah terpenuhi permintaannya sehingga sel pada kolom-3 tidak diikutkan pada iterasi berikutnya. Proses perhitungan selisih 2 sel yang biayanya terkecil dilanjutkan tetapi dengan menghilangkan kolom ke-3 dari perhitungan sehingga kemudian didapat : Baris/Kolom 2 Sel dengan Biaya Selisih Terkecil Baris-1 C11 = 18 dan c14 =5 18 5 = 13 Baris-2 - - Baris-3 c31 = 6 dan c34 = 4 (tetap) 6 4 = 2 Kolom-1 C11 = 18 dan c31 = 6 18 6 = 12 Kolom-2 - - Kolom-3 - - Kolom-4 C14 = 5 dan c25 = 4 5 4 = 1 Kolom-5 - - 41

Selisih terbesar (=13) terjadi pada baris ke-1,biaya terkecil pada baris ke-1 adalah c14 = 5. Pada sel ini dimasukan barang-barang sebanyak-banyaknya, yaitu 80 unit. Jadi x14 = 80. Karena pada baris ke-1 hanya kurang pengisian di x11 maka x11 diisi dengan 360 - (125 + 80 + 95) = 60 Dengan pengisian ini maka Toko 4 dan cabang A sudah terpenuhi permintaannya sehingga sel pada kolom ke-4 dan baris ke -1 tidak diikutkan pada iterasi berikutnya. Karena sekarang sisanya tinggal pada x31 maka x31 diisi dengan 220 60 =160 Sehingga tabel penyelesaian awal dengan Metode Pendekatan Vogel tampak terlihat dibawah ini 42

- Selanjutnya adalah pengecekan optimalitas dengan menggunakan metode stepping stone Menguji sel sel yang masih kosong, apakah masih bisa memiliki nilai negatif atau tidak, artinya masih bisa menurunkan biaya transportasi atau tidak. Sel yang diuji adalah : Sel x12, x21, x22, x23, x25, x33, x34 dan x35. Pengujian dilakukan pada setiap sel kosong tersebut dengan menggunakan metode Stepping Stone. Pada metode ini, pengujian dilakukan mulai dari sel kosong tersebut, selanjutnya bergerak (boleh searah jarum jam dan boleh berlawanan) secara lurus/tidak boleh diagonal, ke arah sel yang telah terisi dengan alokasi, begitu seterusnya sampai kembali ke sel kosong tersebut. Setiap pergerakan ini akan mengurangi dan menambah secara bergantian biaya pada sel kosong tersebut. Perhatikan tanda panah dan tanda (+)/(-) nya. 43

Pengujian Sel = M 18 + 6 2 = M 14 Sel = 3 18 + 5-1 = -11 Sel = 9 2 + 6 18 + 5 1 = -1 Sel = 4 4 + 5 1 = 4 Sel = 0 0 + 5 1 = 4 Sel = M 4 + 18 6 = M+8 Sel = 4 5 + 18 6 = 11 Sel = 0 0 + 18 6 = 12 Merubah alokasi pengiriman ke sel pergerakan, yang pengujian sebelumnya memiliki 44

Dari pergerakan dan tanda +/- yang ada, perhatikan sel yang bertanda minus saja, yakni sel dan sel. Dari kedua sel bertanda pergerakan minus ini, pilih sel yang alokasi pengiriman sebelumnya memiliki alokasi paling kecil. Dan ternyata sel, dengan alokasi sebelumnya 60, dan ini lebih kecil dari alokasi sel yang 120. Selanjutnya angka 60 di sel tersebut digunakan untuk mengurangi atau menambah alokasi yang ada selama pengujian (sesuai tanda pada pergerakan pengujian). Dengan demikian dapat dihasilkan tabel transportasi sebagai berikut : Sel menjadi 0 karena 60 60 = 0 45

Sel menjadi 140 karena 80 + 60 = 140 Sel menjadi 60 karena 120 60 = 60 Sel menjadi 60 karena 0 + 60 = 60 Pengujian : Sel =18 5 + 1 3 = 11 Sel = M 2 + 6 2 + 1 5 = M 3 Sel = 9 2 + 6 3 = 10 Sel = 4 4 + 5 1 = 4 Sel = 0 0 + 5 1 = 4 Sel = M 4 +5 1 + 3 6 = M 3 Sel = 4 1 + 3 6 = 0 Sel = 0 0 + 5 1 + 3 6 = 1 Dari hasil pengujian yang kedua, ternyata semua sel sudah tidak ada yang bernilai negatif, atau dengan kata lain semua sel sudah tidak dapat memberikan penurunan biaya lagi, sehingga dengan demikian dapat dikatakan kasus telah optimal, dengan total biaya minimumnya : 4(125) + 5(140) + 3(60) +1(60) + 6(160) + 2(240) = 2880 3.3 Penalti Terhadap Permintaan yang Tidak Terpenuhi Merupakan tabel optimal masalah yang tidak seimbang. Pada penyelesaian optimal itu terjadi kekurangan permintaan atau kelebihan persediaan. Akan tetapi kekurangan permintaan tidak berpengaruh terhadap biaya transportasi karena tidak ada denda akibat barang yang diminta tidak terpenuhi. Apabila tidak terpenuhi permintaan berkaitan dengan suatu denda yang besarnya sebanding dengan jumlah barang yang tidak dikirim, maka denda yang dikenakan dapat dinyatakan sebagai biaya pengiriman. Dengan demikian seolah olah ada biaya pengiriman (yang sebenernya denda) bagi barang yang tidak dikirim. Contoh Selesaikan masalah transportasi yang terdiri dari 3 sumber dan 3 tujuan yang tampak pada tabel dibawah ini jika kerugian per unit barang akibat tidak dipenuhinya permintaan tujuan 1, 2, dan 3 masing-masing adalah 5, 3, dan 2! 5 1 7 10 6 4 6 80 3 2 5 15 75 20 50 46

Penyelesaian : Jumlah persediaan = 10 + 80 + 15 = 105, sedangkan jumlah permintaan adalah sebesar = 75 + 20 +50 = 145. Maka ditmbahkan sumber semu (sumber-4) yang memiliki 145 105 = 40 unit barang. Tujuan 1 2 3 5 1 7 1 10 6 4 6 Sumber 2 80 3 2 5 3 15 5 3 2 4* 40 75 20 50 Pada penyelesaian optimalnya, sel semu (baris-4) yang merupakan variabel basis menunjukkan adanya barang yang tidak terkirim. Karena ada kerugian akibat tidak terkirimnya barang maka kerugian tersebut dinyatakan dalam biaya pengiriman. Jadi,, 2. Langkah berikutnya adalah penyelesaian masalah transportasi tersebut dengan cara yang sudah dibahas pada subbab sebelumnya. Misalkan digunakan metode biaya terendah untuk membuat penyelesaian fisibel awal., sehingga berturut-turut diisikan sel, (dipilih sebarang antara atau ), 47

Metode MODI Langkah-langkah: Tabel awal yang digunakan adalah tabel metode biaya terendah ke tujuan 1 tujuan 2 tujuan 3 Persediaan dari sumber 1 5 1 7 10 10 sumber2 6 4 6 80 70 10 sumber 3 3 2 5 15 5 10 sumber 4 5 3 2 40 40 Perubahan Alokasi 1 a) Buat variabel Ri dan Kj untuk masing-masing baris dan kolom. b) Hitung sel yang berisi (nilai tiap kolom dan tiap baris) dengan rumus: Ri + Kj = cij Nilai baris 1 = R1 = 0 Mencari nilai kolom 1 : R1 + K1 = c11 0 + K1 = 5, nilai kolom 1 = 5 Mencari nilai kolom dan baris yang lain : R1 + K2 = c12 ; 0 + K2 = 1 ; K2 = 1 48

R3 + K2 = c32 ; R3 + 1 = 2 ; R3 = 1 R3 + K1 = c31 ; 1 + K1 = 3 ; K1 = 2 R2 + K1 = c21 ; R2 + 2 = 6 ; R2 = 4 R2 + K3 = c23 ; 4 + K3 = 6 ; K3 = 2 R4 + K3 = c43 ; R4 + 2 = 2 ; R4 = 0 Nilai nilai ini kemudian diletakkan pada baris/kolom yang bersangkutan, seperti terlihat pada tabel berikut : ke tujuan 1 tujuan 2 tujuan 3 Persediaan dari K1 = 2 K2 = 1 K3 = 2 10 sumber 1 R1 = 0 sumber2 R2 = 4 sumber 3 R3 = 1 sumber 4 R4 = 0 5 1 7 10 6 4 6 70 10 3 2 5 5 10 5 3 c) Menghitung index perbaikan setiap sel yang kosong dengan rumus: Index perbaikan = cij - Ri Kj Sel cij - Ri Kj Indeks Perbaikan 1 1 5 0 2 3 1 3 7 0 2 5 2 2 4 4 1-1 3 3 5 1 2 2 4 1 5 0 2 3 4 2 1 0 1 2 40 2 80 15 40 d) Memilih titik tolak perubahan Sel yang merupakan titik tolak perubahan adalah sel 2 2. e) Memperbaiki alokasi Buat jalur tertutup. Berilah tanda positif pada 2 2. Pilih 1 sel terdekat yang isi dan sebaris (2 1), 1 sel yang isi terdekat dan sekolom (3 2), berilah tanda negatif pada dua sel terebut. Kemudian pilih satu sel yang sebaris atau sekolom dengan dua sel bertanda negatif tadi (3 1 ) dan beri tanda positif. Selanjutnya pindahkan isi dari sel bertanda negatif ke yang bertanda positif sebanyak isi terkecil dari sel yang bertanda negatif yaitu 10. Jadi, 2 49