PERTEMUAN 10 METODE PENDEKATAN VOGEL / VOGEL S APPROXIMATION METHOD (VAM)

Transkripsi

1 PERTEMUAN 10 METODE PENDEKATAN VOGEL / VOGEL S APPROXIMATION METHOD (VAM) Metode Pendekatan Vogel diperkenalkan oleh WR. Vogel tahun Prinsip dari metode ini adalah memilih harga-harga ongkos terkecil tiap-tiap baris kemudian menghitung selisih antara ongkos terkecil tersebut dengan ongkos terkecil berikutnya. Dalam hal ini yang selisihnya nol tidak diperhatikan. Hal yang sama diperlakukan terhadap kolom. Bilanganbilangan selisih tersebut dikenal dengan bilangan Vogel. Langkah-langkah pengerjaannya adalah sebagai berikut : 1. Hitung penalty untuk tiap baris dan kolom dengan jalan mengurangkan elemen ongkos terkecil dari yang kedua terkecil. 2. Selidiki kolom/baris dengan penalty terbesar. Alokasikan sebanyak mungkin pada variabel dengan ongkos terkecil, sesuaikan supply dan demand, kemudian tandai kolom/baris yang sudah terpenuhi. Kalau ada 2 buah baris/kolom yang terpenuhi secara simultan, pilih salah untuk ditandai, sehingga supply/demand pada baris/kolom yang tidak terpilih variabelnya adalah nol. Setiap baris/kolom dengan demand/supply sama dengan nol, tidak akan terbawa lagi dalam penghitungan penalty berikutnya. 3. a. Bila tinggal 1 baris/kolom yang belum ditandai, STOP. b. Bila tinggal 1 kolom/baris dengan supply/demand positif yang belum ditandai, tentukan variabel basis pada baris/kolom dengan cara ongkos terkecil. c. Bila semua baris dan kolom yang belum ditandai mempunyai supply dan demand sama dengan nol, tentukan variabel-variabel basis yang berharga nol dengan cara ongkos terkecil. Kemudian STOP. d. Jika 3a, b dan c tidak terjadi, hitung kembali penalty untuk baris/kolom yang belum ditandai. Kembali ke langkah 2. Contoh 4: Diketahui Tabel Transprotasi sebagai berikut: T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 a i X 11 X 12 X 13 X 14 X X 21 X 22 X 23 X 24 X x 2 1 X 31 X 32 X 33 X 34 X 35 X 41 X 42 X 43 X 44 X b j Tabel 1 Tentukan Ongkos Awalnya dengan Metode Pendekatan Vogel! Hal. 1 dari 11

2 Jawab: Langkah-langkah pengisian variabel basisnya adalah sebagai berikut : a) Tentukan penalty baris dan penalty kolom dengan cara mengurangkan ongkos terkecil pada setiap baris dan atau setiap kolom dengan ongkos terkecil berikutnya pada setiap baris dan atau setiap kolom. Misalkan pada baris ke-1 ongkos yang terkecil adalah 1 dan yang terkecil selanjutnya adalah 2, maka selisihnya adalah 1, sehingga penalty baris ke-1 adalah 1. Sedangkan pada kolom ke-1 ongkos terkecilnya adalah 2 dan ongkos terkecil selanjutnya adalah 3 maka selisihnya adalah 1 maka penalty pada kolom ke-1 adalah 1, demikian juga untuk kolom dan baris yang lainnya, sehingga diperoleh penalty baris dan penalty kolom seperti dalam table berikut:: T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 a i b j Tabel b) Pilih penalty baris atau penalty kolom yang terbesar yaitu 3 yang terletak pada kolom ke-5, maka penentuan variable basisnya dimulai dari kolom ke-5 dengan metode ongkos terkecil. Ongkos terkecil yang terdapat pada kolom ke-5 adalah 1 yang berada pada baris ke-3 dan ke-4, maka dapat dipilih nilai variable basisnya dengan: Max{Min{a 3, b 5 },Min{a 4, b 5 }} = Max[Min{,}, Min{80,}] =Max{,} =. Berarti variabel basis dapat dimasukkan pada baris ke-3 kolom ke-5 (X 35 ) atau baris ke-4 kolom ke-5 (X 45 ) (dapat dipilih salah satu), Misalkan dipilih baris ke-4 kolom ke-5 (X 45 ) jadi : X 45 = sehingga kolom ke-5 ( T 5 ) terpenuhi (kolom-5 ditandai). Sehingga diperoleh tabel sebagai berikut : Hal. 2 dari 11

3 T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 a i b j x Tabel Bagaimana jika yang dipilih sebagai variable basis adalah X 35? c) Hitung lagi penalty baris/kolom berikutnya tanpa melibatkan ongkos-ongkos yang terletak pada kolom ke-5, sehingga akan diperoleh hasil seperti pada tabel-4. d) Pilih penalty baris/kolom terbesar berikutnya yaitu pada kolom ke-2 dan ke-4 yaitu 2. (pilih salah satu) dipilih kolom ke-2 dimana ongkos terkecil yang terdapat pada kolom ke-2 adalah terdapat pada baris ke-1 yaitu 1, maka : X 12 = Min{a 1, b 2 }= Min{75, } =. Maka X 12 = (T 2 terpenuhi, kolom ke-2 ditandai), sehingga tabelnya menjadi T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 a i b j x Tabel Bagaimana jika yang dipilih sebagai penalty terbesarnya yang terletak pada kolom-4? Hal. 3 dari 11

4 e) Hitung lagi penalty selanjutnya tanpa melibatkan ongkos yang terletak pada kolom ke-5 dan ke-2. Sehingga diperoleh tabel berikut: T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 a i x b j Tabel f) Penalty terbesar selanjutnya terdapat pada kolom ke-4 yaitu 2 dan ongkos terkecil yang terdapat pada kolom ke-4 ada di baris ke-2, ke-3 dan ke-4 maka dapat ditentukan letak variable basisnya dengan cara memilih: Max[Min{a 2, b 4 }, Min{a 3, b 4 }, Min{a 4, b 4 -X 45 }] = Max[Min{30, 75}, Min{, 75}, Min{, 75}] =Max[30,,] = yaitu kemungkinan nilai variable basis yang terletak pada baris ke-3 kolom ke-4, sehingga : X 34 = ( Habis maka baris ke-3 ditandai), Sehingga diperoleh tabel sebagai berikut: T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 a i b j Tabel x g) Hitung lagi penalty tanpa melibatkan ongkos yang terletak pada kolom ke-2, ke-5 dan baris ke-3. Hal. 4 dari 11

5 T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 a i b j Tabel x h) Penalty terbesar masih terdapat pada kolom ke-4 yaitu 2, maka letak variable basisnya dapat dipilih dengan : Max[Min{a 2, b 4 -X 34 }, Min{a 4 -X 45,b 4 -X 34 }] = Max [ Min{30, 10}, Min{, 10}] = Max[10, 10] = 10 (variable basisnya dapat berada pada baris ke-2 atau baris ke-4, pilih salah satu), jika dipilih yang berada pada baris ke-2, maka X 24 = 10 (maka T 4 terpenuhi, kolom-4 ditandai) hitung penalty lagi tanpa kolom ke-2, ke-3, ke-4 dan baris ke-3. T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 a i 10 b j x 1 x x Tabel x x i) Penalty terbesar terdapat pada baris ke-4 yaitu 3 dan ongkos terkecil pada baris ke-4 adalah 1 yang berada di kolom ke-3 maka : X 44 = Min{a 4 - X 45,b 3 } = Min{80-, 45} = Hal. 5 dari 11

6 ( habis, baris-4 ditandai). Hitung penaltynya lagi tanpa kolom ke-2, ke-4, ke-5, baris ke-3, dan ke-4. T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 a i 10 b j Tabel-9 1 x 1 x x 1 x 0 x x x x x x j) Penalti terbesar selanjutnya adalah 1 yang terletak pada kolom ke-1 dan baris-1 (pilih salah satu), dipilih kolom ke-1 dimana ongkos terkecil terdapat di baris ke-2 yaitu 2, maka : X 21 = Min{a 2 X 24, b 1 } = Min{30-10,50} = 20 ( habis, maka baris-2 ditandai). T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 a i b j Tabel-10 1 x 1 x x 1 x 0 x x 3 x 2 x x x x x x x x x k) Dilanjutkan ke baris ke-1 dimana ongkos terkecil yang tersisa terdapat di kolom ke-3 sehingga : X 13 = Min{a 1 - X 12,b 3 - X 43 } = Min{75-,45-) = 5 (T 3 terpenuhi, kolom-3 ditandai). Dan yang terakhir yang belum terpenuhi adalah baris ke-1 dan kolom ke-1 sehingga X 11 = a 1 - X 12 - X 13 atau b 1 - X 22 = 30. Sehingga tabelnya menjadi: Hal. 6 dari 11

7 T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 a i b j Tabel-11 1 x 1 x x 1 x 0 x x 3 x 2 x x Biaya awalnya adalah : x x x x x x x Z = C 11 X 11 + C 12 X 12 + C 13 X 13 + C 21 X 21 + C 24 X 24 + C 34 X 34 + C 43 X 43 +C 45 X 45 = = = 410. Hal. 7 dari 11

8 MENENTUKAN JAWAB OPTIMAL Untuk mencari Jawab Optimal terdapat 2 metode yang dapat digunakan, yaitu : 1. Metode Batu Loncatan (Stepping Stone). 2. Metode Faktor Pengali (Multiplier) / Metode MODI (Modified Distribution) 1. Metode Batu Loncatan / Stepping Stones Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut : 1. Apakah jumlah variabel basis sama dengan n+m-1? Jika kurang dari m+n-1 maka akan terjadi kemerosotan (degeneracy). STOP. Tetapi jika sama maka dapat dihitung Z ij -C ij untuk sel-sel yang bukan basis, dengan cara sebagai berikut : a. Dibuat loop tertutup bagi setiap variabel non basis dimana loop tersebut berawal dan berakhir pada variabel non basis, dan setiap titik sudut loop tersebut harus merupakan titik-titik yang ditempati oleh variabel-variabel basis dalam tabel transportasi. b. Dihitung Z ij C ij = jumlahan para C ij pada loop dengan koefisien (+1) dan ( 1) bergantian dengan koefisien variabel non basis ( 1). 2. Menentukan variabel yang masuk menjadi basis (entering variable) dengan cara memilih nilai Z ij C ij yang terbesar atau Max{ Z ij C ij }. (X st masuk menjadi basis bila dan hanya bila Z st C st = Max{Z ij C ij }). 3. Menentukan variabel yang keluar dari basis, caranya : a. Dibuat loop yang memuat X st. b. Diadakan pengamatan para C ij dalam loop yang mempunyai koefisien (+1). c. Variabel X ab yang keluar basis bila dan hanya bila X ab minimum dari langkah Menentukan harga variabel basis (yang berada di dalam loop yang baru/penyesuaian untuk variabel basis yang baru). X st = X ab = X pq Sedangkan untuk variabel-variabel basis yang lain yang juga berada dalam loop. X ab(baru) = X ab + X pq (untuk a+b = ganjil) X ab(baru) = X ab X pq (untuk a+b = genap) 5. Untuk variabel-variabel basis yang lain di luar loop harganya tetap. Hitung kembali nilai Z ij C ij untuk variable non basis seperti pada langkah Diperoleh tabel optimal jika semua Z ij C ij Jika masih ada nilai Z ij C ij > 0, maka dapat ditentukan kembali Entering Variable dan Leaving Variable seperti pada langkah yang ke-2. Hal. 8 dari 11

9 Catatan: Untuk dapat menyelesaiakan persoalan Transportasi ada beberapa hal yang harus diperhatikan, yaitu harus dapat mengidentifikasi : 1. Jumlah sumber (n). 2. Jumlah tujuan (n). 3. Jumlah variable yang ada (m x n). 4. Jumlah fungsi kendala yang ada (m + n). 5. Syarat dalam menentukan Jawab Optimal adalah jumlah variable basis (m + n 1). 6. Perbedaan antara variable basis dan variable non basis. 7. Membuat loop. 8. Perbedaan nilai X ij dengan C ij. Contoh Soal: Diketahui table Transportasi sebagai berikut: T 1 T 2 T 3 a i X 11 X 12 X X 21 X 22 X X 31 X 32 X b j Tentukan : a). Ongkos Awal dengan Metode Ongkos Baris Terkecil! b). Jawab Optimal dengan Metode Batu Loncatan! Jawab: a). Ongkos Awal dengan Metode Ongkos Baris Terkecil : T 1 T 2 T 3 a i x x x 160 x 160 b j Z awal = = Hal. 9 dari 11

10 b). Jawab Optimal dengan Metode Batu Loncatan : 1). Evaluasi dari variable non basis dengan menghitung nilai dari Z ij C ij. Z 12 C 12 = C 11 C 21 + C 22 C 12 = = 50 Z 13 C 13 = C 11 C 21 + C 32 C 13 = = 50 Z 31 C 31 = C 21 C 22 + C 32 C 31 = = 0 Z 33 C 33 = C 23 C 22 + C 32 C 33 = = 200 2). Karena masih ada nilai dari Z ij C ij yang positif (Z ij C ij > 0) maka table belum Optimal. 3). Menentukan Variabel yang masuk menjadi basis dengan memilih nilai Max { Z ij C ij } = 50 yaitu nilai dari Z 12 C 12, maka X 12 masuk menjadi basis. 4). Menentukan Variabel yang keluar dari basis dengan cara : *) Buat loop yang melalui variable yang baru masuk menjadi basis (X 12 ) : X 11 X 21 + X 22 X 12 *) Variabel yang keluar basis adalah : Min {X 11, X 22 } = Min {120, 50} = 50, yang merupakan nilai dari X 22, maka X 22 keluar basis. *). Penyesuaian nilai variable dalam basis: X 11 = = 70 X 21 = = 80 X 22 = keluar dari basis X 12 = 50 (masuk jadi basis). Sehingga tabelnya berubah seperti berikut ini: T 1 T 2 T 3 a i x x x 160 x 160 b j Total Ongkosnya adalah : Z 1 = = atau Karena nilai Z 12 C 12 = 50, maka akan setiap melakukan distribusi produk di sel (1, 2) akan terjadi penurunan ongkos sebesar 50 satuan, sehingga apabila nilai dari X 12 = 50, maka akan terjadi penurunan ongkos sebesar 50 x 50 = Jadi Z 1 = Z Awal (50 x 50) = = ). Evaluasi dari variable non basis dengan menghitung nilai dari Z ij C ij. Z 13 C 13 = C 11 C 21 + C 32 C 12 = = 50 Hal. 10 dari 11

11 Z 22 C 22 = C 12 C 11 + C 21 C 22 = = 50 Z 31 C 31 = C 11 C 12 + C 32 C 31 = = 50 Z 33 C 33 = C 32 C 12 + C 11 C 21 + C 23 C 33 = = 150 6). Karena masih ada nilai dari Z ij C ij yang positif (Z ij C ij > 0) maka table belum Optimal. 7). Menentukan Variabel yang masuk menjadi basis dengan memilih nilai Max { Z ij C ij } = 50 yaitu nilai dari Z 31 C 31, maka X 31 masuk menjadi basis. 8). Menentukan Variabel yang keluar dari basis dengan cara : *) Buat loop yang melalui variable yang baru masuk menjadi basis (X 31 ) : X 11 X 12 + X 32 X 31 *) Variabel yang keluar basis adalah : Min {X 11, X 32 } = Min {70, 160} = 70, yang merupakan nilai dari X 11, maka X 11 keluar basis. *). Penyesuaian nilai variable dalam basis: X 11 = keluar dari basis X 12 = = 80 X 32 = = 90 X 31 = 70 (masuk jadi basis). Sehingga tabelnya berubah seperti berikut ini: T 1 T 2 T 3 a i x 120 x x x 160 b j Total Ongkosnya adalah : Z 2 = = atau Z 2 = Z 1 (50 x 70) = = ). Evaluasi dari variable non basis dengan menghitung nilai dari Z ij C ij. Z 11 C 11 = C 31 C 32 + C 12 C 11 = = 50 Z 13 C 13 = C 12 C 32 + C 31 C 21 + C 23 C 13 = = 100 Z 22 C 22 = C 21 C 31 + C 32 C 22 = = 0 Z 33 C 33 = C 31 C 21 + C 23 C 33 = = ). Karena semua nilai dari Z ij C ij 0, maka table sudah Optimal (Minimum) dengan Z Optimal = Hal. 11 dari 11