TRANSPORTATION PROBLEM. D0104 Riset Operasi I Kuliah XXIII - XXV

Transkripsi

1 TRANSPORTATION PROBLEM D4 Riset Operasi I Kuliah XXIII - XXV

2 Pendahuluan Transportation Problem merupakan aplikasi dari programa linier untuk menentukan bagaimana mendistribusikan bahan, produk dari suatu lokasi ke lokasi-lokasi yang lain dengan biaya yang minimum. Metoda penyelesaian transportation problem dapat digunakan dua cara, yaitu : Menggunakan metoda simpleks. Menggunakan metoda yang khusus untuk transportation problem

3 Contoh Transportation Problem ASAL TUJUAN

4 Transportation Model Ada m sumber dan n tujuan, a i jumlah unit yang tersedia pada tiap sumber dan akan dikirim tujuan. b j merupakan permintaan dari tiap tujuan. c ij merupakan biaya transportasi per unit yang dikirim. Model Matematik untuk transportasi sbb : Obyektif Pembatas x n j1 m i1 x x ij ij m n i1 j1 a ; i i bj; c ij x ij 1,2,..., m j 1,2,..., n x ij

5 Kesetimbangan Model Transportasi n j1 b j n m j1 i1 x i1 j1 Pernyataan ini berarti bahwa jumlah yang disuplai dari sumber harus sama dengan jumlah permintaan pada tujuan. Pada kenyataannya bahwa jumlah yang disuplai tidak sama dengan permintaannya, dapat lebih besar atau lebih kecil. Kondisi disebut tidak setimbang. Kondisi tidak setimbang harus dibuat setimbang dengan menambahkan sumber atau tujuan yang bersifat dummy ij Jika suplai demand, tambahkan tujuan dummy untuk menerima sejumlah ai - bj. Jika demand suplai, tambahkan sumber dummy untuk mensuplai sejumlah bj - ai. m n x ij m i1 a i

6 Teknik Transportasi (Lanjutan) Cara Penyelesaian : T U J U A N Dengan Tabulasi Jumlah dari i ke j S U M 2 B E R 3 a1 a2 a3 a4 b 1 b 2 b 3 Biaya dari i ke j K a p a s i t a s

7 Teknik Transportasi (Metoda Penyelesaian) Mendapatkan Solusi Awal Northwest Corner (NWCR) Least Cost Vogel Approximation (VAM) Mendapatkan Solusi Optimal (Akhir) Stepping Stone Multiplier (UV Method)

8 Mendapatkan Solusi Awal Ada Tiga Cara yang dapat digunakan yang tujuannya adalah untuk memperoleh variabel basis (dalam metoda simplex membentuk matrix satuan). Variabel-variabel basis ini merupakan solusi awal untuk mendapat solusi akhir yang kondisinya feasibel dan optimal. Pada penyelesaian awal ini bisa saja kondisi sudah feasibel dan optimal, tapi untuk menyatakan hal tersebut harus diuji terlebih dulu.

9 Mendapatkan Solusi Awal Menggunakan Northwest Corner Metoda Northwest Corner (NWCR) merupakan metoda yang pengisian sel pada tabel penyelesaian masalah transportasi dimulai dari pojok kiri atas. Kemudian dilanjutkan pada sel sebelah kanan atau bawah bergantung pada kapasitas yang tersedia. Pengisian sel berakhir pada sel pojok kanan bawah. Sel-sel yang terisi merupakan variabel basis yang jumlahnya adalah : m + n 1 (m = jumlah lokasi sumber, n = jumlah lokasi tujuan).

10 Contoh: Pengisian Dengan NWCR Sebuah perusahaan mempunyai tiga lokasi pabrik yaitu : A, B, C. untuk membuat produknya. Produk yang dibuat ini akan didistribusikan ke empat lokasi pasar, yaitu : P1, P2, P3, P4. Kapasitas dari masing-masing pabriknya dan permintaan dari masing-masing pasar terlihat pada tabel.1 dan biaya angkut per-unit produk ada pada tabel.2 Pabrik Kapasitas Pasar Permintaan A P1 B P2 125 C P3 P4 Untuk penyelesaiannya dibuat tabel transportasi sbb : Dari P a b r i k Ke P a s a r P1 P2 P3 P4 A 5 2 B 5 5 C 25 5

11 Contoh: Pengisian Dengan NWCR P1 P2 P3 P4 A 5 2 B 5 5 C Total Biaya Distribusi = * + * + * 5 + * + 25 * 5 + * = 32

12 Contoh: Pengisian Dengan Least-Cost A B C P1 P2 P3 P Total Biaya Distribusi = * * * 5 + * * = 28 25

13 Contoh: Pengisian Dengan VAM P1 P2 P3 P4 Penalti : A 5 2 B 5 5 C Penalti :

14 Contoh: Pengisian Dengan VAM P1 P2 P3 P4 A 5 2 B 5 5 C Total Biaya Distribusi = * 5 + * + * 5 + * 5 + * = 2

15 Mendapatkan Solusi Akhir 1. Berawal dari hasil untuk medapatkan solusi awal yang diperoleh menggunakan NWCR, LC, dan VAM dapat ditetapkan variabel-variabel yang termasuk basis. 2. Jumlah variabel basis yang dapat digunakan untuk melanjutkan ketahapan mencari solusi akhir adalah m + n 1 3. Bila jumlah variabel basisnya kurang dari m + n 1, harus ditambahkan variabel basis dengan meletakan nilai pada variabel non basis dengan nilai biaya paling kecil. Lihat Contoh 4. Setelah jumlah variabel basis sesuai dengan syarat, maka dapat dilanjutkan dengan menggunakan salah satu metoda (Stepping Stone atau Multiplier). Solusi Akhir

16 Contoh hasil solusi awal yang jumlah Variabel basisnya kurang dari m + n - 1 P1 P2 P3 P4 A 5 2 B 5 5 C Pada tabel diatas ada 5 variabel basis, sehingga kurang satu dari m + n 1, oleh karena itu perlu ditambahkan 1 variabel dengan meletakan nilai di kotak yang mempunyai cost paling kecil

17 Mendapatkan Solusi Akhir (Metoda Stepping Stone) Dengan menggunakan contoh hasil dari mencari solusi awal dengan metoda NWCR, ditetapkan 6 variabel basis (ditandai dengan lingkaran warana hijau). Langkah berikut mencari nilai untuk variabel non basis (kotak yang belum terisi) dengan cara sebagai berikut : 1. Menetapkan nilai Var.Non Basis dengan menggunakan suatu loop, yang mulai dari kotak var.non basis menuju ke kotak-kotak var. basis dan kembali lagi ke kotak tersebut. Contoh: Kotak Var. Non Basis (A,P3) mempunyai loop sbb : (A,P3) (B,P3) (B,P2) (A,P2) (A,P3)

18 Mendapatkan Solusi Akhir (Metoda Stepping Stone) 3. Nilai yang dituliskan pada kotak tersebut dihitung dari nilai-nilai cost dari kotak yang dilalui loop dengan memperhatikan tanda dari tiap kotak. 4. Pada contoh, loop dimulai kotak (A,P4) diberi tanda +, kemudian kotak berikut tandanya -, dan seterusnya sampai kembali ke kotak awal. 5. Contoh : tandanya (A,P3) (B,P3) (B,P2) (A,P2) (A,P3)

19 Mendapatkan Solusi Akhir (Metoda Stepping Stone) P1 P2 P3 P4 A 5 2 B 5 5 C Nilai Variabel non-basis untuk (A,P3) adalah : = -. Penetapan nilai variabel non basis lainnya mengikuti langkah-langkah 1 sampai 5

20 Mendapatkan Solusi Akhir (Metoda Stepping Stone) P1 P2 P3 P4 A B C (A,P4) = (A,P4)(C,P4) (C,P3) (B,P3) (B,P2) (A,P2) (A,P4) = = - Dan seterusnya untuk variabel non basis lain. Dari tabel diatas kotak (A,P3) dipilih karena paling negatif untuk pengalokasian baru

21 Mendapatkan Solusi Akhir (Metoda Stepping Stone) P1 P2 P3 P4 A B C Jumlah produk yang akan di alokasikan ke kotak (A,P3) berasal dari kotakkotak yang dilalui loop dengan tanda -.(Pilih nilai terkecil dari kotak-kotak bertanda -) (A,P3)(+) (B,P3)(-) (B,P2)(+) (A,P2)(-) Komposisi alokasi yang baru ada pada pada tabel berikut.

22 Mendapatkan Solusi Akhir (Metoda Stepping Stone) A P1 P2 P3 P4 5 2 Total Biaya = 2 B C Langkah berikutnya adalah mengisi kembali kotak-kotak variabel non basis seperti pada langkah-langkah sebelumnya, sampai tidak ada variabel non basis yang bernilai negatif. (Berarti kondisi feasibel dan optimal)

23 Mendapatkan Solusi Akhir (Metoda Stepping Stone) Hasil optimalnya adalah A P1 P2 P3 P Total Biaya 2 B 5 5 C Kondisi Feasibel dan Optimal

24 Solusi Akhir Dengan Metoda Multiplier (UV) 1. Metoda Multiplier atau UV merupakan salah satu metoda untuk mendapatkan solusi akhir yang feasible dan optimal dari permasalahan transportasi. 2. Metoda ini dapat digunakan bila variabel basis sudah ditetapkan (menggunakan metoda NWCR, Least Cost atau VAM). 3. Apabila variabel basis telah ditetapkan, kemudian ditentukan nilai Ui untuk baris dan Vj untuk kolom. i = 1 m dan j = 1 n 4. Tetapkan terlebih dulu salah satu nilai Ui atau Vj sebesar

25 Solusi Akhir Dengan Metoda Multiplier (UV) 5. Nilai Ui dan Vj lainnya ditetapkan berdasarkan rumus berikut : Ui + Vj = Cij Cij = merupakan nilai cost dari kotak variabel basis 6. Setelah semua nilai Ui dan Vj diperoleh, kemudian menetapkan nilai untuk variabel non basis berdasarkan rumus : Cij Ui Vj Cij = merupakan nilai cost pada dari kotak variabel non basis 7. Bila nilai pada kotak variabel non basis ada yang negatif berarti kondisi belum optimal, kemudian pilih nilai variabel non basis yang paling negatif.

26 Solusi Akhir Dengan Metoda Multiplier (UV) 8. Berawal dari kotak variabel non basis, buat suatu loop tertutup. Loop dapat searah jarum jam atau berlawanan. 9. Tetapkan tanda + atau bergantian sesuai dengan kotak yang dilalui loop. Berawal pada kotak variabel non basis dengan tanda +.. Kotak yang bertanda + berarti sejumlah unit ditambahkan pada kotak tersebut. Besarnya unit yang ditambahkan adalah sama dengan nilai terkecil pada kotak yang mempunyai tanda negatif. 11. Kotak variabel basis yang tidak dilalui loop, nilainya tetap. 12. Ulangi langkah 4 sampai 11, bila masih terdapat nilai variabel non basis yang masih negatif

27 Solusi Akhir Dengan Metoda Multipler (UV) Iterasi I V1= V2= V3= 2 V4= P1 P2 P3 P4 U1= A U2= - B 5 5 U3= - C Loop : (A,P3) (B,P3) (B,P2) (A,P2) (A,P3)

28 Iterasi II V1= V2= V3= 5 V4= U1= A P1 P2 P3 P Total Biaya 2 U2= 5 B U3= C Kondisi Feasibel, belum Optimal Loop : (B,P4) (C,P4) (C,P3) (B,P3) (B,P4)

29 Iterasi III V1= V2= V3= 5 V4= U1= A P1 P2 P3 P Total Biaya 22 U2= - B U3= C Kondisi Feasibel, belum Optimal Loop : (C,P2) (B,P2) (B,P4) (C,P4) (C,P2)

30 Iterasi IV V1= V2= V3= 5 V4= U1= A P1 P2 P3 P Total Biaya 2 U2= -5 B 5 5 U3= C Kondisi Feasibel dan Optimal