Jl. Ry Wngun Kel. Sindngsri Kot Bogor Telp. 5-8, emil: prohumsi@smkwikrm.net, website : www.smkwikrm.net BAB : MATRIKS PENGERTIAN Mtriks didefinisikn sebgi susunn bilngn yng ditur menurut bris dn kolom dlm sustu susunn berbentuk persegi tu persegi pnjng. (untuk penjelsn lebih lnjut buk kembli mteri mtriks kels X) Susunn bilngn itu diletkkn di dlm kurung bis ( ) tu kurung siku [ ]. Untuk menmkn mtriks, disepkti menggunkn huruf kpitl. Ordo tu ukurn mtriks menytkn bnykny bris dn kolom sutu mtriks dn dinotsikn dengn m n (m bris dn n kolom). - - A= B= C= - - - Ukurn mtriks x x x Jumlh bris Jumlh kolom OPERASI PADA MATRIKS. PENJUMLAHAN MATRIKS Penjumlhn mtriks hny dpt dilkukn terhdp mtriks-mtriks yng mempunyi ukurn (orde) yng sm. 5 A= B= C= mk + + + + A+B = + = = 5 5 A+C = + 5 A+C tidk terdefinisi (tidk dpt dicri hsilny) kren mtriks A dn B mempunyi ukurn yng tidk sm. Mteri Pengyn Mtemtik Kels XII
Jl. Ry Wngun Kel. Sindngsri Kot Bogor Telp. 5-8, emil: prohumsi@smkwikrm.net, website : www.smkwikrm.net. PENGURANGAN MATRIKS Sm seperti pd penjumlhn mtriks, pengurngn mtriks hny dpt dilkukn pd mtriks-mtriks yng mempunyi ukurn/ordo yng sm. Jik ukurnny berlinn mk mtriks hsil tidk terdefinisikn. 5 A= B= mk 5 - - - 5- A-B = - = =. PERKALIAN MATRIKS Perklin mtriks sklr Jik k dlh sutu bilngn sklr dn A=( ij ) mk mtriks ka=(k ij ) yitu sutu mtriks ka yng diperoleh dengn menglikn semu elemen mtriks A dengn k. Menglikn mtriks dengn sklr dpt dituliskn di depn tu dibelkng mtriks. Mislny [C]=k[A]=[A]k dn (c ij ) = (k ij ) - 5 A= mk A= * * * * *- *5 Pd perklin sklr berlku hukum distributif dimn k(a+b)=ka+kb. - A= B= dengn k=, mk K(A+B) = (A+B) = A+B - 5 (A+B) = + = = 6 6 - A+B = + = 6 6 Mteri Pengyn Mtemtik Kels XII
Jl. Ry Wngun Kel. Sindngsri Kot Bogor Telp. 5-8, emil: prohumsi@smkwikrm.net, website : www.smkwikrm.net Perklin Mtriks dengn Mtriks Beberp hl yng perlu diperhtikn :. Perklin mtriks dengn mtriks umumny tidk komuttif.. Mtriks A dpt dikli dengn Mtriks B ( AxB ) jik memenuhi syrt perklin bnykny kolom pd mtriks A sm dengn jumlh bnykny bris pd mtriks B. ) A= dn B= mk A x B= * = = ) A= dn B= mk (*) + (*) + (*) (*) + (*) + (*) A x B = = (*) + (*) + (*) 5 Beberp Hukum Perklin Mtriks :. Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC. Hukum Assositif, A*(B*C) = (A*B)*C. Tidk Komuttif, A*B B*A. Jik A*B =, mk beberp kemungkinn (i) A= dn B= (ii) A= tu B= (iii) A dn B 5. Bil A*B = A*C, belum tentu B = C TRANSPOSE MATRIKS Trnspose mtriks dlh menukr bris menjdi kolom, menukr kolom menjdi bris. Jik sebuh mtriks A kn diubh menjdi mtriks trnspose mk notsiny menjdi A T A = diubh menjdi A T = B = diubh menjdi B T = Mteri Pengyn Mtemtik Kels XII
SOAL LATIHAN YAYASAN PRAWITAMA Jl. Ry Wngun Kel. Sindngsri Kot Bogor Telp. 5-8, emil: prohumsi@smkwikrm.net, website : www.smkwikrm.net. Dikethui mtriks P= - 9 7 5-7 5 -. Berpkh ukurn mtriks P? b. Tentukn mn yng merupkn bris, bris, bris kolom, kolom 5 bris c. Tentukn P, P, P, P 5, P 5. Jik dikethui mtriks berikut ini : A = B = C = - D = E = - 6 - Tentukn (jik d) :. A x B c. A x D b. A x C d. B x C - e. B x D f. C x D g. D x E h. E x C. Crilh AB dn BA jik. A= B= - 5 b. A= B=. Dikethui - - A= B= 7 - - - 6 - - Tentukn. A, B, A-B, B-A b. (A-B)(B-A) 5. Crilh A T jik A - 7 5 -. b. c. d. - - - 7 5 6 Mteri Pengyn Mtemtik Kels XII
Jl. Ry Wngun Kel. Sindngsri Kot Bogor Telp. 5-8, emil: prohumsi@smkwikrm.net, website : www.smkwikrm.net DETERMINAN MATRIKS Syrt mencri determinn dlh mtriks hrus memiliki ordo yng sm tu mtriks hrus persegi.. Determinn mtriks ordo x Mtriks berordo x yng terdiri stu bris dn stu kolom. Mislkn mtriks berordo x disebut mtriks A dengn elemen ij, mk determinn dri mtriks A dlh elemen itu sendiri. A = (9) mk det A = 9 b. Determinn mtriks ordo x Mtriks berordo yng terdiri ts du bris dn du kolom. Mislkn A dlh mtriks persegi ordo dengn bentuk A = Determinn mtriks A di definisikn sebgi selisih ntr perklin elemen-elemen pd digonl utm dengn perklin elemen-elemen pd digonl sekunder. Determinn dri mtriks A dinotsikn dengn det A tu A. Nili dri determinn sutu mtriks berup bilngn rel. Berdsrkn defi nisi determinn sutu mtriks, And bis mencri nili determinn dri mtriks A, yitu: det A = A = A = c b d = d b c = d bc c b d, mk det A = A = =.. = 6 = - c. Determinn mtriks ordo x Pd bgin ini, And kn mempeljri determinn mriks berordo. Mislkn A mtriks persegi berordo dengn bentuk Mteri Pengyn Mtemtik Kels XII
A = YAYASAN PRAWITAMA Jl. Ry Wngun Kel. Sindngsri Kot Bogor Telp. 5-8, emil: prohumsi@smkwikrm.net, website : www.smkwikrm.net Untuk mencri determinn dri mtriks persegi berordo, kn digunkn sutu metode yng dinmkn metode Srrus. Adpun lngkh-lngkh yng hrus di lkukn untuk mencri determinn mtriks berordo dengn metode Srrus dlh sebgi berikut:. Slin kembli kolom pertm dn kolom kedu mtriks A di sebelh knn tnd determinn.. Hitunglh jumlh hsil kli elemen-elemen pd digonl utm dn digonl lin yng sejjr dengn digonl utm (liht gmbr). Nytkn jumlh hsil kli tersebut dengn Du Du =. Hitunglh jumlh hsil kli elemen-elemen pd digonl sekunder dn digonl lin yng sejjr dengn digonl sekunder (lihr gmbr). Nytkn jumlh hsil hrg tersebut dengn Ds. Ds =. Sesui dengn defi nisi determinn mtriks mk determinn dri mtriks A dlh selisih ntr Du dn Ds yitu Du Ds. det A = =( )-( ) Mteri Pengyn Mtemtik Kels XII
Jl. Ry Wngun Kel. Sindngsri Kot Bogor Telp. 5-8, emil: prohumsi@smkwikrm.net, website : www.smkwikrm.net. Dikethui mtriks A = Jwb :. Tentukn nili determinn mtriks A. det A = = [( ( )) + ( ) + ( )] [( ) + ( ( )) + ( )] = ( + + ) ( + 8) = Jdi, nili determinn mtriks A dlh. INVERS MATRIKS Definisi Invers Mtriks Mislkn A dn B dlh du mtriks yng berordo dn memenuhi persmn AB = BA = I (I dlh mtriks identits) mk mtriks A dlh mtriks invers dri mtriks B tu mtriks B dlh mtriks invers dri mtriks A. perhtiknlh perklin mtriks-mtriks berikut. Mislkn A = 5 AB = 5 5 6 5 = 5 6 dn B = 5 Mteri Pengyn Mtemtik Kels XII
= = I YAYASAN PRAWITAMA Jl. Ry Wngun Kel. Sindngsri Kot Bogor Telp. 5-8, emil: prohumsi@smkwikrm.net, website : www.smkwikrm.net Perklin AB menghsilkn I (mtriks identits berordo ) 7 Mislkn P = PQ= 7 7 dn Q = 7 8 = 8 7 = = I 7 Perklin PQ menghsilkn I. Berdsrkn perklin-perklin tersebut, d hl yng hrus And ingt, yitu perklin mtriks A dn mtriks B menghsilkn mtriks identits (AB = I ) Ini menunjukkn mtriks B merupkn mtriks invers dri mtriks A, yitu B = A tu bis jug diktkn bhw mtriks A merupkn invers dri mtriks B, yitu A = B. Begitu pul untuk perklin mtriks P dn mtriks Q berlku hl serup. Dikethui mtriks A = mtriks B merupkn invers dri mtriks A? Jwb : dn B = tentukn Apkh Mtriks B merupkn invers dri mtriks A jik memenuhi persmn AB = I AB = Mteri Pengyn Mtemtik Kels XII
Jl. Ry Wngun Kel. Sindngsri Kot Bogor Telp. 5-8, emil: prohumsi@smkwikrm.net, website : www.smkwikrm.net = = = I Oleh kren AB = I mk mtriks B merupkn invers dri mtriks A. Penurunn Rumus Invers Mtriks Ordo Rumus Invers Mtriks Berordo Syrt sebuh mtriks memiliki invers dlh determinn ny tidk sm dengn nol. Mislkn A = A - = c d det A c b d invers dri A dlh A -, yitu b, dengn det A Tentukn invers dri mtriks D = Jwb : det D = D - = 7 det A 7 6 6 6 = 9 7 = 9 7 9 6 9 9 7 6 = () ( 7)( 6) = = 9 Mteri Pengyn Mtemtik Kels XII
Jl. Ry Wngun Kel. Sindngsri Kot Bogor Telp. 5-8, emil: prohumsi@smkwikrm.net, website : www.smkwikrm.net = 9 7 9 Invers Mtriks dengn Metode Minor Kofktor Untuk mencri invers sebuh mtriks A digunkn rumus : Adjoin A - = det A Adjoin mtriks A diperoleh dri mtriks kofktor yng ditrnsposkn. Syrt sebuh mtriks memiliki invers dlh determinn ny tidk sm dengn nol. Definisi : Jik A dlh mtriks kudrt, mk minor ij dinytkn oleh M ij dlh submtriks A yng didpt dengn jln menghilngkn bris ke-i dn kolom ke - j. Kofktor ij dinytkn oleh C ij didefinisikn sebgi: C ij = (-) I + j.m ij. Contoh Sol : Dikethui sebuh mtriks A berordo x : A =, tentukn A - (A invers) dri mtriks A. Jwb : Invers mtriks A diperoleh dengn rumus : A - = Lngkh pertm cri nili determinn mtriks A det A = Adjoin det A = [( ( )) + ( ) + ( )] [( ) + ( ( )) + ( )] = ( + + ) ( + 8) = Mteri Pengyn Mtemtik Kels XII
Jl. Ry Wngun Kel. Sindngsri Kot Bogor Telp. 5-8, emil: prohumsi@smkwikrm.net, website : www.smkwikrm.net Jdi, nili determinn mtriks A dlh. Syrt sebuh mtriks memiliki invers dlh determinn ny tidk sm dengn nol. Kren det A = mk mtriks A memiliki invers lnjutkn ke lngkh kedu. Lngkh kedu cri minor dri mtriks A M = M = M = M = M = M = M = M = M = (M dlh menghilngkn bris ke dn kolom ke ) dn hitung det M = x(-) (x) = - (M dlh menghilngkn bris ke dn kolom ke ) dn hitung det M = x(-) (x) = - = -5 (M dlh menghilngkn bris ke dn kolom ke ) dn hitung det M = x (x) = - (M dlh menghilngkn bris ke dn kolom ke ) dn hitung det M = x(-) (x) = - (M dlh menghilngkn bris ke dn kolom ke ) Mteri Pengyn Mtemtik Kels XII
M = M = M = M = M = M = M = M = M = YAYASAN PRAWITAMA Jl. Ry Wngun Kel. Sindngsri Kot Bogor Telp. 5-8, emil: prohumsi@smkwikrm.net, website : www.smkwikrm.net dn hitung det M = (-)x(-) (x) = = (M dlh menghilngkn bris ke dn kolom ke ) dn hitung det M = (-)x (x) = - (M dlh menghilngkn bris ke dn kolom ke ) dn hitung det M = x (x) = = (M dlh menghilngkn bris ke dn kolom ke ) dn hitung det M = (-)x(-) (x) = 9 = 5 (M dlh menghilngkn bris ke dn kolom ke ) dn hitung det M = (-)x (x) = - 8 = - Lngkh ketig lnjutkn mencri kofktor mtriks A Kofktor mtriks A diperoleh dengn cr : C ij = (-) I + j.m ij M = - mk C = (-) + (-) = - M = -5 mk C = (-) + (-5) = 5 M = - mk C = (-) + (-) = - M = - mk C = (-) + (-) = Mteri Pengyn Mtemtik Kels XII
Jl. Ry Wngun Kel. Sindngsri Kot Bogor Telp. 5-8, emil: prohumsi@smkwikrm.net, website : www.smkwikrm.net M = mk C = (-) + () = - M = - mk C = (-) + (-) = M = mk C = (-) + () = M = 5 mk C = (-) + (5) = -5 M = - mk C = (-) + (-) = - Sehingg diperoleh mtriks kofktor C = 5 5 Lngkh keempt cri djoin mtriks A dengn membentuk mtriks C menjdi C T ( C Trnspos) C = 5 5 menjdi C T = 5 Lngkh kelim tentukn invers mtriks A A - = A - = Adjoin det A 5 5 5 A - = 5 5 Invers dri mtriks A = 5 5 Mteri Pengyn Mtemtik Kels XII
Ltihn Sol : YAYASAN PRAWITAMA Jl. Ry Wngun Kel. Sindngsri Kot Bogor Telp. 5-8, emil: prohumsi@smkwikrm.net, website : www.smkwikrm.net. Dikethui mtriks - A, x y B, dn 7 C. Apbil B A y = C t, dn C t = trnspose mtriks C, mk nili x.y =.. b. 5 c. d. 5 e. Sol Ujin Nsionl thun 7. Dikethui mtriks A, 5 x - B, dn - C, A t dlh y -5 5 trnspose dri A. Jik A t. B = C mk nili x + y =.. b. c. d. 5 e. 7 Sol Ujin Nsionl thun 6. Mtriks X berordo ( x ) yng memenuhi X dlh.. - 6-5 5 b. 5-6 5 c. - 6-5 5 d. - - e. - - -8 Sol Ujin Nsionl thun 5 kurikulum. Dikethui mtriks A, - B, dn P (x). Jik mtriiks A x P = 5 B, mk mtriks P dlh.. -8-8 b. -8-7 Mteri Pengyn Mtemtik Kels XII
Jl. Ry Wngun Kel. Sindngsri Kot Bogor Telp. 5-8, emil: prohumsi@smkwikrm.net, website : www.smkwikrm.net c. - 8 8 - d. - 8 7 - e. 5 6 Sol Ujin Nsionl thun 5 5. Dikethui hsil kli mtriks b 6. Nili + b + c + d = c d 9 7.. 6 b. 7 c. 8 d. 9 e. Sol Ujin Nsionl thun 6. Dikethui mtriks -9 A, 5p - 5 B - p B = C, nili p =.. b. ½ c. ½ d. e. Sol Ujin Nsionl thun, dn C - - 8 6p, Jik mtriks A 7. Dikethui mtriks A, 6 B dn A = xa + yb. Nili xy = - - - -.. b. c. ½ d. ½ e. Sol Ujin Nsionl thun y x 5 8. Dikethi mtriks A, B = dn C = 5 6 y 8 5x B C =, mk nili x + xy + y dlh. x. 8 9. Jik A + Mteri Pengyn Mtemtik Kels XII
Jl. Ry Wngun Kel. Sindngsri Kot Bogor Telp. 5-8, emil: prohumsi@smkwikrm.net, website : www.smkwikrm.net b. c. 8 d. e. 9. Dikethui persmn.. 7 b. 5 c. d. e. 7 b. NIli + b + c + d = c d 5 5.Dikethui mtriks P dn Q. Jik P dlh invers mtriks P dn Q dlh invers mtriks Q, mk determinn mtriks P.Q dlh.. b. c. d. e..dikethui persmn mtriks nili x dn y dlh. : b. : c. : d. : e. :.Dikethui mtrik M =. Perbndingn 7 dn N = 5, hsil dri M x N dlh... 8 Mteri Pengyn Mtemtik Kels XII
Jl. Ry Wngun Kel. Sindngsri Kot Bogor Telp. 5-8, emil: prohumsi@smkwikrm.net, website : www.smkwikrm.net 5 A. 6 5 B. 6 C. D. 5 6 6 E. 6 Sol Ujin Nsionl thun TI. Invers dri mtriks P = dlh... A. B. C. D. E. Sol Ujin Nsionl thun TI. Dikethui mtriks M = 7 dn N = 5, hsildri M x N dlh... 8 5 A. 6 Mteri Pengyn Mtemtik Kels XII
Jl. Ry Wngun Kel. Sindngsri Kot Bogor Telp. 5-8, emil: prohumsi@smkwikrm.net, website : www.smkwikrm.net 5 B. 6 C. D. 5 6 6 E. 6 Sol Ujin Nsionl thun TI 5.Invers dri mtriks D = 5 A. 5 B. 5 C. 5 D. 5 E. dlh... 5 Sol Ujin Nsionl thun TI Mteri Pengyn Mtemtik Kels XII