Metode Numerik untuk Sistem Persmn Linier Sistem persmn liner (SPL) dengn n peubh dinytkn sebgi: x + 2 x 2 + + n x n = b x + 2 x 2 + + n x n = b = n x + n2 x 2 + + nn x n = b n Dengn menggunkn perklin mtriks, persmn di ts dpt ditulis sebgi persmn mtriks dengn Ax = b A = [ ij ] dlh mtriks berukurn n n x = [x j ] dlh mtriks berukurn n b = [b i ] dlh mtriks berukurn n (vektor kolom) yitu: n Solusi SPL tersebut dlh himpunn nili x, x 2,, x n yng memenuhi n buh persmn. Solusi SPL dpt dicri dengn metode lngsung dn metode tk lngsung (itertif). Yng termsuk dlm metode lngsung dlh eliminsi Guss, Guss-Jordn, invers mtriks dn dekomposisi LU. Metode-metode telh dipeljri dlm Aljbr Linier Elementer. Metode tk lngsung dintrny dlh itersi Jcobi dn itersi Guss-Seidel, yng kn dipeljri pd bhsn ini. 2 2 22 n2 n 2n nn x b x2 b2 xn bn Pd metode tk lngsung tu itertif diperlukn syrt cukup gr itersiny konvergen, yitu bhw sistem dominn secr digonl, tu n ii > ij, i =,2,.. n j i j
) Metode Itersi Jcobi Itersi Jcobi menggunkn rumusn rekursif untuk menghitung nili pendektn solusi persmn. Proses itersi dilkukn smpi dicpi sutu nili yng konvergen dengn tolernsi yng diberikn. Teknik itertif jrng digunkn untuk menyelesikn SPL berukurn kecil kren metode-metode lngsung seperti metode eliminsi Guss lebih efisien dri pd metode itertif. Akn tetpi, untuk SPL berukurn besr dengn persentse elemen nol pd mtriks koefisien besr, teknik itertif hsil lebih teliti, wktu komputsi lebih cept, dn penggunn memory yng lebih sedikit jik dibnding dengn metode eliminsi Guss. Liht persmn berikut : x + 2 x 2 + 3 x 3 = b 2 x + 22 x 2 + 23 x 3 = b 2 3 x + 32 x 2 + 33 x 3 = b 3 Persmn tersebut dpt dinytkn dlm bentuk : x = (b 2 x 2 3 x 3 ) = F (x,x 2,x 3 ) x 2 = 22 (b 2 2 x 23 x 3 ) = F 2 (x,x 2,x 3 ) x 3 = 33 (b 3 3 x 32 x 2 ) = F 3 (x,x 2,x 3 ) Dengn syrt, 22, 33 0 Apbil ditetpkn nili wl x, x 2, x 3 sebgi x () = x 2 () = x 3 () = Pendektn kedu dengn nili x (0) = x, x 2 (0) = x 2, x 3 (0) = x 3 (b 2 x 2 (0) 3 x 3 (0) ) = F (x (0), x 2 (0), x 3 (0) ) 22 (b 2 2 x (0) 23 x 3 (0) ) = F 2 (x (0), x 2 (0), x 3 (0) ) 33 (b 3 3 x (0) 32 x 2 (0) ) = F 3 (x (0), x 2 (0), x 3 (0) ) x () = x ; x 2 () = x 2 ; x 3 () = x 3 2
mendptkn koreksi perhitungn dri itersi x (2) = x 2 (2) = x 3 (2) = (b 2 x 2 () 3 x 3 () ) = F (x (), x 2 (), x 3 () ) 22 (b 2 2 x () 23 x 3 () ) = F 2 (x (), x 2 (), x 3 () ) 33 (b 3 3 x () 32 x 2 () ) = F 3 (x (), x 2 (), x 3 () ) Secr umum, pbil kn dicri vribel n-persmn dengn proses itersi, mk prosedur yng telh diurikn dpt digunkn. Untuk itersi ke-i, perhitungn secr umum dinytkn sebgi : x (k+) = x 2 (k+) = x 3 (k+) = (b 2 x 2 (k) 3 x 3 (k) n x n (k) 22 (b 2 2 x (k) 23 x 3 (k) 2n x n (k) nn (b n n x (k) n2 x 2 (k) nn x n (k) Penetpn nili vribel menurut proses ini disebut Itersi Jcobi Dengn nili wl sembrng, d kemungkinn konvergensi tercpi secr lmbt, sehingg perlu ditetpkn syrt terjdiny konvergensi dlm perhitungn itersi, yitu : Mksimum ( ii j i ij ) < (i =, 2,, n) Algoritm penyelesin persmn simultn dengn Itersi Jcobi : Msukkn nili mtriks [A] dn [B] yng membentuk persmn simultn liner, sert tolernsi perhitungn. Inisisi nili x (0). Hitung hrg x () dengn rumusn Itersi Jcobi. Periks hsil perhitungn, jik telh memenuhi tolernsi yng diberikn, cetk. Nili x () sebgi hsil khir perhitungn dn hentikn progrm, jik tidk, lnjutkn ke lngkh selnjutny. Gntikn nili x (0) dengn x (), dn ulngi lngkh (c). 3
Contoh sol Pndng sistem persmn x y + z = 7, x y + z = 2, 2x + y + z = Persmn tersebut dpt dituliskn dlm bentuk : Proses Itersi Jcobiny sebgi berikut : 7 + y z x = 2 + x + z y = + 2x y z = x k+ = 7 + y k z k y k+ = 2 + x k + z k z k+ = + 2x k y k Liht bhw jik kit memuli dengn (x 0, y 0, z 0 ) = (, 2, 2) mk itersi dlm persmn di ts nmpkny konvergen ke selesin (2,, 3). Substitusikn x 0 =, y 0 = 2, z 0 = 2 ke rus knn tip persmn tdi untuk memperoleh nili-nili bru x = 7 + 2 2 y = 2 + + 2 z = + 2 2 =,7 = 3,37 = 3,00 Titik bru P = (,7; 3,37; 3,00) lebih dekt ke (2,,3) dri pd P 0. Itersi dengn memki persmn tdi, membngun brisn titik {P k } yng konvergen ke solusi (2,,3). Tbel Itersi Jcobi yng konvergen untuk sistem liner tersebut:
k x k y k z k 0 2 2,7 3,37 3 2,37 3,7 3,02 3,962 3,92 2,962,99062 3,97662 3,99062 3,9932 3,000937 6,99937 3,9977 2,99937 7,99963 3,999209 3,99970273 3,999229 3,000036 9,99997266 3,99993 2,99997266 0,999966 3,9999670 3,9999976 3,9999930 3,000003 2,99999022 3,9999960 2,99999022 3,99999906 3,9999976 3,99999969 3,99999973 3,00000009,999999926 3,9999992 2,999999926 6,9999999 3,9999999 3 7,9999999 3,99999999 3,000000002,999999997 3,99999999 2,999999997 9,999999999 3,99999999 3 20 2 3 2) Metode Itersi Guss-Seidel Perbedn itersi Guss-Seidel dibndingkn itersi Jcobi dlh nili x i yng telh dihsilkn dri itersi sebelumny lngsung disubstitusikn untuk mencri x i+. Mislkn dimiliki sitem persmn linier dengn tig vrible yitu x, x 2 dn x 3. Mk lelrn itersi Guss-Seidel untuk SPL tersebut diberikn sebgi berikut : Lelrn pertm :
x () = b 2 x 2 (0) 3 x 3 (0) x 2 () = b 2 2 x () 23 x 3 (0) 22 x 3 () = b n 3 x () 32 x 2 () nn Jdi hsil yng telh diperoleh lngsung digunkn pd perhitungn berikutny. Contoh Pd contoh SPL dits, dengn menggunkn itersi Guss-Seidel diperoleh x = 7 + 2 2 =,7 2 + (,7) + 2 y = = 3,7 + 2(,7) 3,7 z = = 2,9 Hsil itersi selengkpny diperlihtkn pd tbel berikut : k x k y k z k 0 2 2.700000 3.700000 2.900000 2.900000 3.96700 2.96200 3.99620 3.996093 2.999033.999266 3.9997 2.999039.9999270 3.9999390 2.999930 6.999990 3.999992 2.999997 7.99999 3.9999990 2.9999997.999999 3.9999999 3.0000000 9 2.0000000.0000000 3.0000000 Dpt diliht bhw smpi itersi ke-9 hsil sudh konvergen ke hsil yng dihrpkn. 6