TUGAS KELOMPOK 5 GEOMETRI TALI BUSUR, GARIS SINGGUNG, DAN RUAS SECANT Oleh: AL HUSAINI 17205004 HANIF JAFRI 17205014 RAMZIL HUDA ZARISTA 17205034 SARI RAHMA CHANDRA 17205038 Dosen Pembimbing: Dr.YERIZON, M.Si PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM PASCA SARJANA UNIVERSITAS NEGERI PADANG 2018 0
TALI BUSUR, GARIS SINGGUNG, DAN RUAS SECANT INDIKATOR PADA BAB INI Tali busur yang berjarak sama Garis singgung dan Lingkaran Segitiga dan lingkaran sebangun Hubungan garis singgung dan ruas secant Keliling dan panjang busur A. TALI BUSUR BERJARAK SAMA Di sebuah lingkaran, dua buah tali busur memiliki dua kemungkinan yaitu panjang yang sama atau berbeda. Pada bagian ini kita akan menggambarkan hubungan antara : perbandingan panjang 2 tali busur dan jarak tali busur ini dari pusat lingkaran. Pada Gambar 13.1, digambarkan tegak lurus ke tali busur. Panjang mewakili jarak tali busur dari pusat (titik O) lingkaran. Jika jari-jari lingkaran O adalah 5 satuan dan panjang adalah 8 satuan, berapakah panjang? Jika sebuah garis melalui pusat lingkaran dan tegak lurus terhadap tali busur, maka membagi tali busur (Teorema 12.4). Oleh karena itu, = 4. Jika kita sekarang menggambar jari-jari, 3-4-5 membentuk segitiga siku-siku, di mana = 3. (Lihat Gambar 13.2.) Misalkan kita gambar tali busur lain di lingkaran O, misalkan, yang juga memiliki panjang 8. Berapa jarak dari pusat lingkaran? (Lihat Gambar 13.3.) Menggunakan analisis yang sama, ditemukan bahwa tali busur 1
juga memiliki panjang 3 satuan dari pusat lingkaran. Apakah sifat tali busur dan memiliki kesamaan? Apa kesimpulannya? Jawaban dinyatakan dalam Teorema 13.1. Teorema 13.1 Kekongruenan Tali busur dan Jarak dari Pusat. Tali busur dikatakan kongruen apabila memiliki jarak yang sama (equidistant) dari pusat lingkaran dan pada lingkaran yang sama(lingkaran yang kongruen). BUKTI Diketahui: pada lingkaran O,., Buktikan: OC = OD. Rencana: gambarkan dan. Buktikan Langkah-langkah: 1. (Hy) dengan Hy-Leg: 2. AC = XD (kaki) karena dan, dan setengah dari (AB = XY) adalah sama dengan (AC dan XD). 3. dengan CPCTC sehingga diperoleh OC = OD. Pernyataan Alasan 1.. 1. Diketahui. 2.. 2. Diketahui 3. siku-siku. 3. Garis tegak lurus berpotongan membentuk sudut siku-siku; 4.. (Leg) 4. ½ dari panjang tali busur yang 5.. komgruen adalah kongruen 5. Sifat refleksif. 6. (Hy) 6. Jari-jari lingkaran. 7. 8.. 7. Postulat Hy-Leg 8. CPCTC. 9. OC = OD. 9. Garis yang kongruen mempunyai 2
Narasi: Menggunakan teorema Hy-Leg panjang yang sama, karena, maka perhatikan Karena, dan, maka menurut teorema Hy-Leg, Karena, maka, sehingga (terbukti) Contoh 13.1 Diketahui: Pada lingkaran P, Buktikan: membagi. SOLUSI Bukti: Pernyataan Alasan 1. dan. 1. Diketahui. 2. dan adalah 2. Garis tegak lurus berpotongan segitiga siku-siku. membentuk sudut siku-siku; segitiga yang 3. (Hy) memuat sudut siku-siku adalah segitiga siku-siku. 3. Sifat refleksif dari kekongruenan 4.. 4. Diketahui. 5. 5. Pada lingkaran, busur yang kongruen memiliki tali busur kongruen. 6. PB = PC. 6. Pada lingkaran, tali busur yang kongruen 7.. (Leg) memiliki jarak yang sama dari pusat lingkaran. 7. Ruas garis yang mempunyai panjang 8.. yang sama adalah kongruen. 8. Hy-Leg. 9.. 9. CPCTC. 10. membagi. 10. Jika sebuah garis membagi sebuah sudut 3
menjadi dua buah sudut yang kongruen, maka garis tersebut dinamakan garis bagi (dalam hal ini: Garis ) Narasi: menggunakan teorema Hy-Leg dan teorema tali busur kongruen Karena maka menurut teorema karena tali busur kongruen Karena, maka Perhatikan Karena (sifat refeksif) maka menurut teorema karena Hy-Leg Karena diperoleh maka terbukti PA membagi Teorema 13.2 EQUDISTANT of CHORDS(tali busur yang berjarak Sama) Pada lingkaran yang sama (lingkaran kongruen), tali busur yang berjarak sama dari pusat dari lingkaran adalah kongruen. CONTOH 13.2 Diketahui: Lingkaran O, dengan,,. Buktikan: SOLUSI Bukti: Pernyataan 1. dan. 2.. 3.. Alasan 1. Diketahui. 2. Diketahui. 3. Jika dua buah sudut dari suatu segitiga adalah kongruen, maka sisi dihadapan sudut tersebut mempunyai panjang yang sama. 4
4.. 5. Narasi: 4. Pada lingkaran yang sama, tali busur yang berjarak sama dari pusat lingkaran adalah kongruen. 5. Pada lingkaran yang sama, tali busur yang kongruen memotong busur yang kongruen. Perhatikan Karena maka menurut Teorema Alas Sudut Karena, dan maka menurut teorema kekongruenan tali busur dan jarak dari pusat Karena maka menurut teorema tali busur yang berjarak sama sehingga (terbukti). B. GARIS SINGGUNG DAN LINGKARAN 1. Garis Singgung Garis singgung adalah garis yang titik akhirnya merupakan titik singgung dan titik pusat pada garis singgung. Garis singgung yang digambar pada sebuah lingkaran jumlahnya tak terbatas. Jika dua segmen singgung digambar dari titik luar yang sama ke lingkaran, maka garis singgung akan memiliki panjang yang sama. Teorema 13.3 Garis singgung kongruen Jika dua garis singgung digambar ke suatu lingkaran dari titik luar yang sama, maka kedua garis singgung tersebut adalah kongruen. BUKTI Diketahui: dan garis singgung dengan lingkaran O di titik A dan B Buktikan:. Langkah- Langkah: 1) Gambar dan jari-jari dan. sudut OAP dan OBP adalah sudut siku-siku. 2) Buktikan dengan Hy-Leg: 5
(Hy), (Leg) 3) Dengan CPCTC,. Dalam bukti Teorema 13.3, perhatikan karena, dua garis singgung. Pernyataan 1. dan garis singgung 2. siku-siku 3. (Leg) 4. (Hy) 5. 6. Narasi:. Dengan kata lain, membagi sudut yang dibentuk oleh Alasan 1. Diketahui 2. Jari-jari tegak lurus dengan garis singgung membentuk sudut siku-siku 3. Jari-jari lingkaran 4. Sifat refleksif kekongruenan 5. Postulat Hy-Leg 6. CPCTC (Dari buah segitiga yang kongruen, maka didapatkan bagianbagian yang bersesuaian) Karena dan garis singgung maka Perhatikan Karena adalah jari jari lingkaran maka (Leg) Karena (sifat refleksif) maka menurut teorema Hy-Leg Karena maka menurut CPCTC (Terbukti) CONTOH 13.3 Tentukanlah nilai x. 6
SOLUSI a. b. CONTOH 13.4 Menemukan nilai-nilai x dan y. SOLUSI dan. Oleh karena itu,. 2. Garis Singgung Persekutuan dan Lingkaran Singgung Garis yang sama mungkin bersinggungan dengan lebih dari satu lingkaran (garis singgung persekutuan), dan lingkaran mungkin saling berpotongan di tepat satu titik (lingkaran singgung). Untuk menggambarkan situasi ini, beberapa terminologi harus diperkenalkan. Pada Gambar 13.4, segmen terhubung dengan pusat lingkaran A dan B dan disebut garis pusat dari dua lingkaran. Gambar 13.5 menggambarkan bahwa garis 7
mungkin bersinggungan dengan dua lingkaran yang berbeda. Sebuah garis yang memiliki sifat ini disebut garis singgung persekutuan. Garis j, k, l, dan m merupakan garis singgung persekutuan. Pada Gambar 13.6 dua lingkaran yang berbeda menunjukkan bahwa bersinggungan dengan garis yang sama pada titik yang sama. Lingkaran ini dikenal sebagai lingkaran singgung. Lingkaran A dan B yang bersinggungan dengan garis di titik P. Lingkaran A dan C yang bersinggungan dengan garis m di titik Q..Sebuah garis singgung persekutuan dapat berupa garis singgung persekutuan dalam (Internal Common Tangent) atau garis singgung persekutuan luar (External common Tangent), seperti yang ditunjukkan pada Gambar 13.7. Pada Gambar 13.7a, garis l dan m adalah garis singgung persekutuan dalam karena setiap garis singgung kedua lingkaran dan masing-masing memotong garis pusat dari dua lingkaran. Pada Gambar 13.7b, garis j dan k adalah garis singgung persekutuan luar karena setiap garis singgung kedua lingkaran dan masing-masing tidak memotong garis pusat kedua lingkaran itu. Lingkaran Singgung mungkin bersinggungan di dalam atau di luar satu sama lain, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 13.8. Pada Gambar 13.8a, lingkaran A dan B yang bersinggungan didalam karena kedua lingkaran berada pada sisi yang sama dari garis singgung persekutuannya. Pada Gambar 13.8b, lingkaran P dan Q bersinggungan 8
di luar karena kedua lingkaran berada pada sisi yang berlawanan dari garis singgung persekutuannya. CONTOH 13.5 Tentukan jumlah garis singgung persekutuan yang digambar untuk masingmasing situasi berikut: a. Lingkaran A dan lingkaran B berpotongan di dua titik yang berbeda. b. Lingkaran A dan lingkaran B adalah lingkaran bersinggungan diluar. SOLUSI CONTOH 13.6 Buktikan bahwa garis singgung persekutuan dalam yang digambarkan pada dua lingkaran yang tidak berpotongan adalah kongruen. 9
SOLUSI Gambar dua lingkaran yang tidak berpotongan dengan garis singgung persekutuan dalam seperti yang di atas. Misalkan P adalah titik potong kedua garis singgung. Bukti: Diketahui: Lingkaran R dan S tidak berpotongan, garis singgung persekutuan dalam dan berpotongan di titik P. Buktikan:. Terapkan Teorema 13.3 PA=PB + PC = PD PA + PC = PB + PD Karena AC = PA + PC dan BD = PB + PD, terbukti bahwa. C. SEGITIGA SEBANGUN DAN LINGKARAN Jika dua segitiga berimpit dengan lingkaran, maka beberapa sudut mungkin memiliki busur yang sama atau busur kongruen. pengamatan ini dapat menyebabkan sepasang sudut kongruen yang dapat digunakan untuk membantu membuktikan bahwa segitiga ini sama (sebangun). CONTOH 13.7 Diketahui: bersinggungan dengan lingkaran O di B, adalah diameter, B adalah titik tengah. Buktikan:. Dalam merencanakan bukti, perhatikan pada gambar terlampir bahwa: 10
sudut ACB dan ABE adalah kongruen karena membentuk sudut siku-siku. sudut CAB dan EAB adalah kongruen karena sudut keliling menghadap busur yang kongruen ( ). dengan AA Teorema kesebangunan. Bukti: Pernyataan Alasan 1. B titik tengah. 1. Diketahui. 2.. 2. Sebuah titik tengah busur membagi busur menjadi dua busur kongruen. 3.. (Angle) 3. Sudut keliling dari lingkaran menghadap busur 4. sudut siku-siku. kongruen adalah kongruen. 4. Sudut keliling dari setengah lingkaran adalah 5. sudut siku-siku. sudut siku-siku. 5. Sudut yang dibentuk oleh jari-jari yang 6.. (Angle) digambar ke titik singgung adalah sudut sikusiku. 6. Semua sudut siku-siku adalah kongruen. 7. 7. Teorema AA kesebangunan. Sifat-sifat segitiga sebangun dapat digunakan untuk membangun hubungan istimewa antara segmen yang dibentuk oleh dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran. Teorema 13. 4 Hasil kali dari panjang segmen tali busur yang berpotongan 11
Jika dua tali busur berpotongan di dalam lingkaran, maka hasil kali dari panjang segmen tali busur satu sama dengan hasil kali dari panjang segmen tali busur lainnya. Pada gambar disamping, GARIS BESAR BUKTI Diketahui: Tali busur dan berpotongan di dalam lingkaran O pada titik E. Buktikan:. Rencana: Gambar dan. Tunjukkan. Langkah-langkah: sebangun dengan karena: (sudut bertolak belakang) (sudut keliling menghadap busur yang sama) sehingga AE EB = CE ED Pernyataan 1. (sudut) 2. (sudut) 3. 4. 5. AE EB = CE ED Alasan 1. Sudut bertolak belakang memiliki sudut yang kongruen 2. sudut keliling menghadap busur yang sama ( ) adalah kongruen 3. Teorema AA kesebangunan 4. Perbandingan panjang yang bersesuaian Narasi: 12
CONTOH 13.8 Tentukan nilai x! SOLUSI a. AE EB=CE ED b. c. Jika, maka. atau atau Jika maka. Atau, mungkin sama dengan 5, dalam hal ini EB=8. CONTOH 13.9 Sebuah diameter membagi talibusur lingkaran menjadi dua segmen yang panjang adalah 7 dan 9. Jika panjang segmen yang lebih pendek dari diameter adalah 3, tentukan panjang dari jari-jari lingkaran. SOLUSI 13
Misalkan. Karena diameter, panjang jari-jari lingkaran adalah atau 12. D. HUBUNGAN GARIS SINGGUNG DAN RUAS SECANT. Pada Gambar 13.9, disebut ruas(garis) secant. Titik akhir yang merupakan titik di luar lingkaran (titik P) dan titik pada lingkaran yang paling jauh dari titik P yang ruas secant-nya memotong lingkaran (titik B). Lingkaran membagi ruas secant menjadi dua ruas garis: ruas secant internal (tali busur ) dan ruas secant eksternal ( ). Ketika dua ruas secant digambar ke lingkaran dari titik luar yang sama, maka ada hubungan khusus diantara; panjang ruas secant dan panjang ruas garis eksternal. TEOREMA 13.5 Hasil kali ruas secant ruas secant 14
Jika dua ruas garis secant digambarkan ke lingkaran dari titik luar yang sama, maka hasil kali dari panjang dari satu ruas secant dan ruas garis eksternal adalah sama dengan hasil kali dari panjang ruas secant yang lain dan ruas garis eksternalnya. Pada gambar terlampir, GARIS BESAR PEMBUKTIAN Diketahui: ruas secant and digambar ke lingkaran O. Buktikan: PB PA = PD PC. Langkah-langkah: Gambarkan dan. PB PA = PD PC, sehingga. Oleh karena itu, Tunjukkan PBC ~ PDA. karena dan Pernyataan 1. (sudut) 2. (sudut) 3. 4. 5. PB PA = PD PC Alasan 1. Sifat refleksi 2. sudut keliling menghadap busur yang sama ( ) adalah kongruen 3. Teorema AA kesebangunan 4. Perbandingan panjang yang bersesuaian 5. Dengan melakukan perkalian silang terhadap perbandingan itu diperoleh hal 15
disamping. Narasi: dan merupakan tali busur yang kongruen, karena tali busur kongruen, maka kongruen. Sehingga (Sifat refleksi). Karena sudut keliling yang menghadap busur yang sama dan adalah kongruen. Maka (Menurut teorema AA kesebangunan). Sehingga menurut teorema hasil kasil ruas secant maka terbukti PB PA = PD PC. CONTOH 13.10 Tentukan nilai x SOLUSI a. PA PB=PC PD b. NE NW=NT NA, Ketika garis singgung dan ruas secant digambar ke lingkaran dari titik luar yang sama, hubungan analog dengan hasil Teorema 13.5. Gambar 13.10a menggambarkan bahwa, ketika garis secant diputar searah jarum jam, 16
maka akan bersinggungan dengan lingkaran seperti pada Gambar 13.10b. Analisis ini menunjukkan bahwa kita mengganti panjang ruas secant dengan panjang garis singgung dan juga mengganti ukuran garis eksternal dari garis secant dengan panjang garis singgung. TEOREMA 13.6 Hasil kali garis singgung dengan ruas secant Jika garis singgung dan ruas secant digambar ke lingkaran dari titik luar yang sama, maka kuadrat garis singgung sama dengan hasil kali panjang dari ruas secant dan ruas garis eksternalnya. Pada gambar terlampir, GARIS BESAR PEMBUKTIAN Diketahui: garis singgung pada lingkaran O di A dan adalah ruas secant. Buktikan: Langkah-langkah: Gambarkan dan. 17
, sehingga. Karena itu,. karena: (Catatan: Kedua sudut diukur dengan ) Pernyataan Alasan 1. (sudut) 1. Sifat refleksi 2. 2. Ukuran suatu sudut keliling adalah setengah 3. dari ukuran busur lingkaran di depannya. 3. Ukuran sudut yang dibentuk oleh garis singgung dan tali busur adalah setengah dari 4. (sudut) ukuran busur yang terletak di hadapan sudut. 4. Memiliki besar sudut yng sama 5. 6. 5. Teorema AA kesebangunan 6. Perbandingan panjang yang bersesuaian 7. Narasi:, dan merupakan tali busur, (Sifat refleksi). Karena sudut keliling setengah dari ukuran busur lingkaran di depannya, maka dan. Sehingga diperoleh. Menurut teorema AA kesebangunan maka. Sehingga menurut teorema hasil kali garis singgung dengan ruas garis maka terbukti. 18
CONTOH 13.11 Cari nilai x SOLUSI a. b. c. Tolak atau atau karena bernilai negatif. E. KELILING DAN PANJANG BUSUR Jarak sekitar polygon disebut keliling polygon. Keliling lingkaran diberi nama special yaitu, circumference Definisi Circumference (keliling lingkaran) Keliling dari lingkaran adalah jarak disekitar lingkaran, dinyatakan dalam satuan pengukuran linear (misalnya, inci, cm, kaki). 19
Jika roda yang berguling di sepanjang permukaan datar, seperti pada Gambar 13.11, sehingga permukaannya adalah garis singgung dengan titik yang sama pada lingkaran, maka jarak roda perjalanan sepanjang permukaan memiliki nilai numeric yang sama sebagai keliling lingkaran. Semakin panjang diameter lingkaran, semakin besar keliling lingkaran. Menariknya, bagaimanapun, jika keliling lingkaran dibagi dengan panjang diameternya, maka nilai yang diperoleh akan sama dari ukuran lingkaran: Tiga titik yang mengikuti angka desimal menunjukkan bahwa nilai ini adalah angka desimal yang tidak pernah berakhir. Nilai konstan ini disebut sebagai pi dan dilambangkan dengan huruf Yunani π. Oleh karena itu bisa ditulis di mana π adalah 3.14 kira-kira sama atau kurang lebih sama dengan pecahan. TEOREMA 13.7 Keliling lingkaran Keliling lingkaran adalah sama dengan hasilkali dari π dan panjang diameter: K = πd. Ketika bekerja dengan π konstan, diketahui bahwa: dan, di mana simbol dibaca sebagai "sekitar sama dengan. " 20
Karena panjang diameter adalah secara numerik sama dengan dua kali panjang jari-jari, dapat ditulis Dalam menulis formula yang mencakup angka, itu adalah praktek umum untuk menempatkan digit (2 dalam kasus ini) sebelum simbol apapun. Oleh karena itu kita menulis Pendekatan yang digunakan untuk π (3.14 atau ) Biasanya ditentukan dalam pernyataan masalah. Sering, Anda akan diminta untuk tidak mengganti sebuah pendekatan untuk π, dan bukan untuk mengungkapkan jawaban dalam hal π, seperti digambarkan dalam Contoh 13.12, bagian c. CONTOH 13.12 Tentukan keliling lingkaran jika: a. Diameter = 10 (Gunakan π = 3.14.) b. Jari-jari = 14 (Gunakan π =.) c. Diameter = 29 (tetapkan jawaban dengan π.) d. Jari-jari = 21 (jawaban Putaran ke seperseratus terdekat.) SOLUSI a. b. c. d. Gunakan nilai pi yang disimpan kalkulator dengan menekan tombol pi dan mengalikan dengan 2 kali nilai yang diberikan dari r: Daerah, keseratus terdekat, adalah diperoleh 131.95. CONTOH 13.13 21
Persegi panjang ABCD memiliki lebar 5 dan panjang 12 dan berada dalam lingkaran O. Cari keliling lingkaran. SOLUSI Karena adalah sudut siku-siku, diagonal harus bertepatan dengan diameter lingkaran. adalah 5-12-13 tepat segitiga siku-siku dimana diagonal BD = 13. Oleh karena itu, Keliling mewakili jarak sekitar seluruh lingkaran. Perhatian selanjutnya adalah bagaimana menentukan panjang (dalam satuan linear) dari busur lingkaran. Karena lingkaran berisi, keliling lingkaran mewakili panjang busur dari lingkaran (Gambar 13.12). Rasio panjang busur untuk keliling harus sama dengan rasio ukuran derajat busur untuk 360 : Jika dianggap lingkaran yang akan dibuat dari tali, maka panjang busur AB sesuai dengan jumlah panjang tali dari A ke B, peregangan itu, dan kemudian menggunakan penggaris untuk mengukur panjang. 22
TEOREMA 13.8 Perbandingan panjang busur CONTOH 13.14 Dalam lingkaran mempunyai jari-jari 10, tentukan panjang busur yang besar ukuran sudutnya adalah 72. (Jawaban dalam π.) SOLUSI CONTOH 13.15 Dalam lingkaran 40 busur memiliki panjang 8π. Tentukan jari-jari lingkaran. SOLUSI CONTOH 13.16 Segitiga siku-siku ABC berada dalam lingkaran O sehingga adalah diameter dan memiliki panjang 27. Jika, tentukan panjang, dinyatakan dalam π. 23
SOLUSI Untuk mencari besar sudut dari, gambar dan tentukan ukuran sudut AOC. Karena. Fakta bahwa jumlah sudut segitiga adalah 180 berarti bahwa. Karena pusat sudut dan busur yang dipotongnya memiliki ukuran yang sama,. 24
DAFTAR PUSTAKA Lawrence S. Leff. 2009. Barron s E-Z Geometry. Hauppauge : New York. 25