PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KABUPATEN TAHUN 08 PROVINSI SULAWESI SELATAN 0. Pada suatu data terdapat 5 bilangan bulat positif. Bilangan terbesar pada data tersebut adalah 55. Median dari data adalah 30. Rata-rata terbesar yang mungkin dari data tersebut adalah. A. 40 B. 4 C. 45 D. 50 Jawab: B Rata-rata terbesar diperoleh jika jumlah semua bilangan pada data mencapai jumlah maksimal. Karena banyaknya bilangan adalah ganjil, maka jumlah terbesar dicapai apabila semua bilangan di atas median adalah nilai tertinggi dan bilangan yang tersisa sama dengan median, sehingga rata-rata terbesar yang mungkin adalah: 3 30 + 55 X = = 050 5 5 = 4 0. Rata-rata usia sepasang suami istri pada saat mereka menikah adalah 5 tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat anak pertama mereka lahir adalah 8 tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat anak kedua lahir adalah 5 tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat anak ketiga dan keempat lahir (kembar) adalah tahun. Jika saat ini rata-rata usia enam orang ini adalah 6 tahun, maka usia anak pertama adalah tahun. A. 7 B. 8 C. 9 D. 0 Misalkan anak pertama lahir x tahun setelah menikah, maka: (5 + x) = 8 3 5 + x = 7 x = Hal ini berarti bahwa rata-rata umur orang tua mereka setelah kelahiran anak pertama adalah 5 + = 7 tahun. Misalkan anak kedua lahir y tahun setelah anak pertama lahir, maka: (7 + y) + y = 5 4 54 + 3y = 60 3y = 6 y = Dengan demikian, rata-rata umur orang tua mereka setelah kelahiran anak kedua adalah 9 tahun dan usia anak pertama tahun. Misalkan anak ketiga dan keempat lahir z tahun setelah anak kedua lahir, maka: (9 + z) + ( + z) + z = 6 60 + 4z = 6 5 + z = 3 6 z = 3 Hal ini berarti bahwa rata-rata umur orang tua mereka setelah kelahiran anak ketiga dan keempat adalah 3 tahun, usia anak pertama 5 tahun dan usia anak kedua 3 tahun. Misalkan saat ini t tahun setelah anak ketiga dan keempat lahir, maka rata-rata usia orang tua mereka (3 + t), anak pertama (5 + t), anak kedua (3 + t) dan anak ketiga dan keempat masing-masing tahun, sehingga: (3 + t) + (5 + t) + (3 + t) + t = 6 6 7 + 6t = 6 6 + t = 6 t = 4 Jadi, usia anak pertama sekarang adalah 5 + 4 = 9 tahun. Dibahas oleh Najamuddin dan Tim MGMP Matematika SMP Kota Makassar
03. Pada sebuah laci terdapat beberapa kaos kaki berwarna putih dan berwarna hitam. Jika dua kaos kaki diambil secara acak, maka peluang terpilihnya kedua kaos kaki berwarna putih adalah. Jika banyak kaos kaki berwarna hitam adalah genap, maka paling sedikit kaos kaki berwarna putih adalah. A. B. 5 C. 8 D. Jawab: B Misalkan m adalah banyak kaos akaki berwarna putih dan k adalah banyak kaos kaki berwarna hitam. Jika peluang terambilnya dua kaos kaki berwarna putih =, maka: C m C m+k = m!! (m )! (m + k)!! (m + k )! = m(m ) (m + k)(m + k ) = m(m ) = (m + k)(m + k ) m m = m + (4k )m + (4k k) m (4k + )m (4k k) = 0 m = (4k + ) ± (4k + ) + 4(4k k) m = (4k + ) ± 3k + Nilai terkecil m diperoleh dari nilai k terkecil sedemikian sehingga m bilangan asli. Untuk nilai k = atau diperoleh nilai m yang irrasional. Untuk nilai k = 3 diperoleh: ( + ) ± 3 9 + m = 3 ± 89 = = 3±7 = 5 atau (tidak memenuhi) Dengan demikian paling sedikit kaos berwarna putih adalah 5. 04. Salah satu contoh situasi untuk system persamaan x + y = 6000 dan 3x + y = 6000 adalah. A. Dua orang siswa membeli pensil dan penghapus seharga Rp6.000,00. Salah seorang siswa tersebut membeli pensil dan tiga penghapus seharga Rp.6.000,00. Berapakah harga masingmasing sebuah pensil dan penghapus? B. Dua orang siswa membeli pensil dan tiga buah penghapus seharga Rp6.000,00. Selain itu, dia juga membeli dua buah pensil dan sebuah penghapus untuk adiknya seharga Rp6.000,00. Berapakah harga masing-masing pensil dan penghapus? C. Seorang siswa akan membeli dua buah pensil dan tiga buah penghapus. Siswa tersebut memiliki uang Rp.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pensil dan penghapus? D. Seorang siswa membeli sebuah pensil dan tiga penghapus seharga Rp6.000,00. Selain itu, dia juga membeli dua buah pensil dan sebuah penghapus untuk adiknya seharga Rp6.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pensil dan penghapus? Dibahas oleh Najamuddin dan Tim MGMP Matematika SMP Kota Makassar
Jawab: D Cukup jelas. Alternatif A, tidak jelas jumlah pensil dan penghapus seharga Rp6.000,00 Alternatif B, tidak jelas jumlah pensil yang dibeli pada kalimat pertama Alternatif C, tidak jelas harga dua pensil dan tiga penghapus Alternatif D, Misalkan x adalah harga sebuah penghapus dan y adalah harga sebuah pensil, maka persamaan yang terbentuk adalah y + 3x = 6000 dan y + x = 6000. Kedua persamaan ini equivalen dengan system persamaan x + y = 6000 dan 3x + y = 6000. 05. Semua bilangan real x yang memenuhi pertidaksamaan x + 3 4 x 5 5 adalah. A. 5 x 4 B. x 6 atau x 4 C. 5 x 6 atau x 4 D. 0 x 6 atau x 4 x + 3 4 x 5 5 x 4 x 5 (x ) (4 x 5), x 5 x 4x + 4 6(x 5), x 5 x 0x + 84 0, x 5 (x 6)(x 4) 0, x 5 x 6 atau x 4, dan x 5 06. Grafik fungsi kuadrat y = a(x ) + a, dengan a 0, tidak berpotongan dengan grafik fungsi kuadrat y = ( a )x + a +, jika. A. < a < 0 atau 0 < a < B. < a < 0 atau 0 < a < C. < a < atau < a < D. < a < atau a > Jawab: A a(x ) + a = ( a )x + a + a(x x + ) + a = ( a )x + a + ax ax + a = ( a )x + a + (a + a )x ax = 0 Agar kedua grafik tidak berpotongan, maka nilai Diskriminan harus lebih kecil nol (D < 0) D = (a) 4 (a + a )( ) < 0, a 0 4a + 4a + 4a 4 < 0 a + a + a < 0 a + a < 0 (a )(a + ) < 0, a 0 < a <, a 0 5 6 4 5 x 6, x 4 < a < 0 atau 0 < a < Dibahas oleh Najamuddin dan Tim MGMP Matematika SMP Kota Makassar 3
07. Nilai sudut x dan y pada gambar berikut adalah. 35 o y 6 o x A. x = 74 o ; y = 04 o B. x = 37 o ; y = 04 o C. x = 74 o ; y = 4 o D. x = 37 o ; y = 06 o Jawab: D 35 o y x 6 o x Berdasarkan gambar; 6 + x = 35 x = 74 x = 37 o x + y = 80 y = 80 x y = 80 74 y = 06 o 08. Diketahui tabel distribusi nilai kelas A dan kelas B sebagai berikut. Kelas A Kelas B Nilai Frekuensi Nilai Frekuensi 65 4 65 6 70 3 70 4 75 6 75 6 80 7 80 3 85 6 85 7 90 5 90 6 95 4 95 00 00 Pernyataan berikut ini yang benar adalah. A. Median nilai ulangan sama untuk kelas A dan kelas B B. Mean nilai ulangan sama untuk kelas A dan kelas B C. Modus nilai ulangan sama untuk kelas A dan kelas B D. Jawaban A, B, dan C salah. Dibahas oleh Najamuddin dan Tim MGMP Matematika SMP Kota Makassar 4
Jawab: A Kelas A Kelas B Nilai(x) Frekuensi (f) f.kom xf Nilai(x) Frekuensi (f) f.kom xf 65 4 4 60 65 6 6 390 70 3 7 0 70 4 0 80 75 6 3 450 75 6 6 450 80 7 0 560 80 3 9 40 85 6 6 50 85 7 6 595 90 5 3 450 90 6 3 540 95 4 35 380 95 34 90 00 36 00 00 36 00 Jumlah 36 90 Jumlah 36 885 Median Letak median pada datum ke (36 + ), antara datum ke-8 dan ke-9 Median untuk kelas A = 80 dan median untuk kelas B = 80 Mean Mean untuk kelas A = 90 36 = 8, dan mean untuk kelas B = 885 36 = 80,4 Modus Modus untuk kelas A = 80 dan modus untuk kelas B = 85 09. Misalkan U n dan S n masing-masing menyatakan suku ke-n dan jumlah n suku pertama suatu barisan. Jika S n = n n, maka U n U 4 + U 6 =. 6 A. B. 3 3 C. D. 3 Jawab: B U n = S n S n U = S S, U 4 = S 4 S 3, dan U 6 = S 6 S 5 U = = 4 = 6 3 U 4 = 4 4 4 3 3 3 = 6 6 8 = 0 U 6 = 6 6 6 5 5 5 = 30 64 0 3 = 5 3 0 3 = 5 3 Jadi U U 4 + U 6 = 6 0 + 3 ( 5) = 3 3 Dibahas oleh Najamuddin dan Tim MGMP Matematika SMP Kota Makassar 5
0. Jika n + + =, hasil kali semua nilai n yang mungkin adalah. n 6 n 3 6 A. 8 B. C. 8 D. 0 n n 6 + n + 3 = 6 3 n n 6 = 3 6 = 8 n = 3n n 3n 8 = 0 Dengan menggunakan rumus hasil kali akar-akar persamaan kuadrat diperoleh hasil kali kedua akar-akarnya adalah 8 Jadi, hasil kali semua nilai n yang mungkin adalah 8. Menjelang tahun baru, harga sebuah kacamata dipotong (didiskon) dua kali seperti dinyatakan pada tanda di samping. Seorang pembeli membayar sebesar Rp68.750,00 untuk kacamata tersebut. Berapa harga kacamata tersebut sebelum dipotong harganya? A. Rp6.500,00 B. Rp8.50,00 C. Rp375.000,00 D. Rp4.675,00 Diskon 50% + 0% berarti Diskon 50% dari harga awal + 0% dari harga setelah diskon pertama. Hal ini berarti bahwa total diskon = 50% + 0% x 50 = 55% Dengan demikian, harga kacamata adalah 45% dari harga sebenarnya. Jadi, harga kacamata sebelum dipotong adalah 00 68.750 = Rp375.000,00 45. Diketahui x, y, dan z adalah tiga bilangan bulat positif. Tiga bilangan terurut (x, y, z) yang memenuhi (3x + y) z = 56 ada sebanyak. A. 6 B. 90 C. 9 D. 8 Jawab: A Diskon 50% + 0% Kemungkinan I; (3x + y) z = 56 = 6, diperoleh nilai z = dan 3x + y = 6. Adapun tiga bilangan terurut (x, y, z) yang memenuhi adalah (,3,); (,0,); (3,7,); (4,4,); dan (5,,); sebanyak 5 pasangan terurut. Kemungkinan II; (3x + y) z = 56 = 4 4, diperoleh nilai z = dan 3x + y = 4. Adapun tiga bilangan terurut (x, y, z) yang memenuhi adalah (,,); sebanyak pasangan terurut. Kemungkinan III; (3x + y) z = 56 = 8, diperoleh nilai z = 4 dan 3x + y =. Pada persamaan ini diperoleh nilai x atau y yang negative. Jadi tiga bilangan terurut (x, y, z) yang memenuhi (3x + y) z = 56 sebanyak 6 pasang. Dibahas oleh Najamuddin dan Tim MGMP Matematika SMP Kota Makassar 6
3. Diketahui sisi-sisi trapezium adalah 5 cm, 7 cm, 7 cm, dan 3 cm. Pernyataan di bawah yang salah adalah. A. Tinggi trapezium = 33 cm B. Tinggi trapezium = 6 cm C. Luas trapezium = 0 6 cm D. Luas trapezium = 9 33 cm Kemungkinan I 5 cm Kemungkinan II 7 cm 7 cm 7 cm t 7 cm t t 5 cm 4 cm 3 cm 6 x 3 cm x Pada gambar I diperoleh: Tinggi trapezium, t = 7 4 = 49 6 = 33 t = 33 Luas trapezium, L = (5+3) 33 = 9 33 cm. Pada gambar II diperoleh: Tinggi trapezium, t = 7 (6 x) dan t = 5 x 7 (6 x) = 5 x 49 (36 x + x ) = 5 x x = 5 3 x = Tinggi trapezium, t = 7 5 = 4 t = 6 Luas trapezium, L = (7+3) 6 = 0 6 cm. 4. Bilangan prima p dan q masing-masing dua digit. Hasil penjumlahan p dan q merupakan bilangan dua digit yang digitnya sama. Jika bilangan tiga digit r merupakan perkalian p dan q, maka dua nilai r yang mungkin adalah. A. dan 43 B. 69 dan 689 C. 403 dan 989 D. 48 dan Perhatikan nilai r yang memenuhi pada table berikut. Pilihan r = p q p q p + q Keterangan A Memenuhi 43 3 4 Tidak Memenuhi B 69 3 3 6 Tidak Memenuhi 689 3 53 66 Memenuhi C 403 3 3 44 Memenuhi 989 3 43 66 Memenuhi D 48 4 Tidak Memenuhi Memenuhi Berdasarkan table di atas bilangan r yang memenuhi keduanya adalah C. 403 dan 989 Dibahas oleh Najamuddin dan Tim MGMP Matematika SMP Kota Makassar 7
5. Jika x dan y adalah bilangan bulat positif dengan y >, sehingga x y = 3 8 5 30, maka nilai x y yang mungkin adalah. A. 84375 B. 84369 C. 84363 D. 84357 Jawab: B x y = 3 8 5 30 = (3 3 ) 6 (5 5 ) 6 = (7) 6 (35) 6 = (7 35) 6 = (84.375) 6 Dengan demikian, nilai x = 84.375 dan y = 6. Sehingga x y = 84.375 6 = 84.369 6. Sebuah wadah memuat 5 bola merah dan 3 bola putih. Seseorang mengambil bola-bola tersebut sebanyak 3 kali, masing-masing dua bola setiap pengambilan tanpa pengembalian. Peluang bahwa pada setiap pengambilan, bola yang terambil berbeda warna adalah. A. B. C. 448 7 80 56 D. 7 Jawab: D Peluang terambilnya dua bola berbeda warna pada pengambilan pertama = 5 3 C 8 Peluang terambilnya dua bola berbeda warna pada pengambilan kedua = 4 C 6 Peluang terambilnya dua bola berbeda warna pada pengambilan ketiga = 3 C4 Peluang terambilnya masing-masing dua bola berbeda warna dalam tiga kali pengambilan tanpa pengembalian = 5 3 C8 4 C6 3 C4 = 5 8 3 = 8 7 6 5 4 3 7 7. Perhatikan gambar berikut. y A (0, ) B (4, 4) x Persamaan garis hasil transformasi rotasi R(O, 80 o )dilanjutkan dengan pencerminan y = x terhadap garis AB adalah. A. y = x + 4 B. y = x 4 C. y = x + 4 D. y = x 4 Dibahas oleh Najamuddin dan Tim MGMP Matematika SMP Kota Makassar 8
Jawab: B Bayangan A(0,) dan B(4,4) oleh rotasi R(O, 80 o )dilanjutkan dengan pencerminan y = x adalah: A(0,) R(O,80o ) B(4,4) R(O,80o ) A (0, ) y= x A"(,0) B ( 4, 4) y= x B"(4,4) Persamaan garis yang melalui A" dan B" adalah Persamaan garis hasil transformasi rotasi R(O, 80 o )dilanjutkan dengan pencerminan y = x terhadap garis AB Gradien garis yang melalui A" dan B" adalah m = 4 0 4 = Persamaan garis yang melalui A"(,0) dengan gradien adalah y 0 = (x ) y = x 4 8. Diketahui F = {9,0,,,3,,49,50} dan G adalah himpunan bilangan yang anggotaanggotanya dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan tiga atau lebih bilangan-bilangan asli berurutan. Anggota F G sebanyak. A. 4 B. 6 C. 9 D. 36 F = {9,0,,,3,,49,50} n(f) = 4 Bilangan yang tidak dapat ditulis dalam jumlah 3 atau lebih bilangan asli berurutan adalah bilangan prima atau yang dapat dinyatakan dalam bentuk n, sehingga: F G = {,3, 6, 7,9, 3, 9, 3, 3, 37, 4,43,47} n(f G) = 3 n(f G) = n(f) n(f G) = 4 3 = 9 9. Kubus ABCD PQRS memiliki sisi-sisi yang panjangnya 4 cm. Jika titik T terletak pada perpanjangan garis CR sehingga RT = CR, maka luas daerah TBD adalah cm. A. 8 B. 4 C. 3 D. 64 Jawab: B T Perhatikan gambar! S 4 R AB = BC = 4 AC = 4 MC = cm. MT = MC + CT = ( ) + 8 P Q 4 = 8 + 64 = 7 MT = 6 cm D C Luas daerah TBD = BD MT A M B = 4 6 = 4cm. Dibahas oleh Najamuddin dan Tim MGMP Matematika SMP Kota Makassar 9
0. Diketahui ABC adalah segitiga siku-siku di C dengan AB = 6 cm, CB = 4 cm. Di dalam ABC terdapat lingkaran dalam. Luas daerah maksimum lingkaran dalam yang dapat dibuat dalam segitiga tersebut adalah cm. A. 36π B. 5π C. 6π D. 9π Lingkaran dengan luas maksimum di dalam segitiga adalah lingkaran yang menyinggung seluruh sisi-sisi segitiga tersebut. B Dengan tigaan Pythagoras diperoleh AC = 0 cm. 4 6 C r A Luas segitiga ABC = 0 4 = 0 cm Keliling segitiga ABC = 0 + 4 + 6 = 60 cm Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga adalah: Luas Segitiga 0 r = = Keliling segitiga 30 = 4cm Luas lingkaran dalam segitiga ABC = π 4 = 6π cm. rafik berikut menunjukkan persentase peserta berdasarkan jenis kelamin pada suatu ujian masuk sekolah tinggi dari tahun 03 sampai 07. Sedangkan table dibawahnya menunjukkan jumlah peserta ujian dan jumlah lulusan, serta komposisi lulusan berdasarkan jenis kelamin. 80 60 40 0 60 64 50 50 40 36 55 45 70 30 0 03 04 05 06 07 Laki-laki Perempuan Tahun Jumlah Peserta Ujian Jumlah Lulusan Persentase lulusan laki-laki Persentase lulusan perempuan 03 400 800 60 40 04 800 660 50 50 05 000 500 45 55 06 500 400 48 5 07 00 800 64 36 Dibahas oleh Najamuddin dan Tim MGMP Matematika SMP Kota Makassar 0
Total peserta perempuan yang tidak lulus ujian selama lima tahun adalah orang A. 454 B. 476 C. 494 D. 536 Jawab: A Perhatikan tabel kelulusan peserta perempuan berikut: Tahun Jumlah Peserta Ujian Persentase peserta perempuan Jumlah peserta perempuan Jumlah Lulusan Persentase lulusan perempuan Jumlah lulusan perempuan Peserta perempuan tidak lulus 03 400 40 560 800 40 30 40 04 800 50 400 660 50 330 70 05 000 36 360 500 55 75 85 06 500 45 5 400 5 08 7 07 00 30 330 800 36 88 4 Jumlah peserta perempuan tidak lulus 454. Diketahui x 4 y 5 z < 0 dan xz < 0. Pernyataan berikut yang benar adalah. A. xyz < 0, jika yz > 0 B. yz x < 0, jika xy < 0 C. xy < 0, jika yz > 0 D. xy > 0, jika yz > 0 Diketahui x 4 y 5 z < 0 dan xz < 0. Karena x 4 y 5 z < 0 maka y 5 < 0 y < 0. Akibatnya, xyz > 0 dan yz > 0 untuk sebarangx, y, dan z sehingga pilihan A dan B salah. x Jika yz > 0 dan y < 0 maka z < 0. Karena xz < 0, maka x > 0, sehingga xy < 0 3. Diberikan bilangan asli dua digit. Peluang bahwa bilangan tersebut memiliki digit penyusun prima dan bersisa 5 jika dibagi 7 adalah. A. B. C. 45 30 8 D. 4 Jawab: A Banyak bilangan asli dua digit adalah 90. Bilangan asli dua digit yang penyusunnya bilangan prima adalah, 3, 5, 7, 3, 33, 35, 37, 5, 53, 55, 57, 7, 73, 75, dan 77. Diantara bilangan-bilangan tersebut, bilangan yang bersisa 5 jika dibagi 7 (habis dibagi 7 jika ditambahkan ) adalah 33 dan 75. Dengan demikian, peluang bahwa bilangan tersebut memiliki digit penyusun prima dan bersisa 5 jika dibagi 7 adalah 90 = 45 Dibahas oleh Najamuddin dan Tim MGMP Matematika SMP Kota Makassar
4. Diketahui grafik fungsi bernilai real f dan seperti pada gambar berikut. Y Y f X X g Jumlah semua nilai x yang memenuhi f(x) g(x) = adalah. A. 3 B. C. 0 D. Jawab: B Untuk x 0 f(x) = x dan g(x) = x, sehingga f(x) g(x) = x ( x) = x = x = x = Untuk x < 0 f(x) = x dan g(x) = x +, sehingga f(x) g(x) = x (x + ) = x 4 = x = 3 x = 3 Jadi, jumlah semua nilai x yang memenuhi f(x) g(x) = adalah + 3 = 5. Diberikan ABC. Jika AC = AB = cm dan BC = 3cm, maka luas ABC adalah cm. A. B. C. D. 4 3 4 3 Perhatikan gambar! A t = ( 3) t = 3 4 = 4 t t = Luas segitiga ABC = 3 = 3 cm 4 B 3 3 C Dibahas oleh Najamuddin dan Tim MGMP Matematika SMP Kota Makassar