PROBABILITAS (PELUANG) PENGERTIAN PROBABILITAS Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar dan menggunakan kata probabilitas (peluang). Kata ini mengisyaratkan bahwa kita berhadapan dengan sesuatu yang tidak pasti (uncertainty). Misalnya: (1) mungkin nanti dalam ujian Statistika kita akan mendapat nilai A; (2) mungkin nanti hari akan hujan. Peluang biasa diberi simbol P, dan dinyatakan dalam angka positif, dengan minimum 0 dan maksimum 1. Sedangkan simbol untuk kemungkinan tidak terjadinya, biasanya dinyatakan dengan, yaitu = 1- P.
Pengertian Peluang Kalau P = 0: Berarti peristiwa itu tidak mungkin terjadi, atau mustahil. Misalnya: timbulnya matahari di malam hari adalah mustahil, maka mempunyai peluang sama dengan 0. Kalau P = 1: Berarti peristiwa itu pasti terjadi, tidak mungkin tidak terjadi. Misalnya: peluang darah mengalir di dalam badan orang yang masih hidup adalah 1. Dalam kehidupan sehari-hari peristiwa-peristiwa yang kita jumpai mempunyai peluang antara 0 dan 1 (jarang yang tepat 0 atau tepat 1).
PROBABILITAS (PELUANG) PENGERTIAN PROBABILITAS Dalam kehidupan sehari-hari kita sering mendengar dan menggunakan kata probabilitas (peluang). Kata ini mengisyaratkan bahwa kita berhadapan dengan sesuatu yang tidak pasti (uncertainty). Misalnya: (1) mungkin nanti dalam ujian statistik kita akan mendapat nilai A; (2) mungkin nanti hari akan hujan. Peluang biasa diberi simbol P, dan dinyatakan dalam angka positif, dengan minimum 0 dan maksimum1. Sedangkan simbol untuk kemungkinan tidak terjadinya, biasanya dinyatakan dengan, yaitu = 1- P.
Definisi Klasik (Classical Definition of Probability) Apabila dalam sebuah ruang sampel yang berisi N buah titik sampel yang equally likely dan mutually exclusive terdapat a buah titik sampel yang menyokong suatu peristiwa A, maka peluang terjadinya peristiwa A didefinisikan sebagai: P(A) = a/n Contoh 1: Sebuah mata uang logam (coin) yang mempunyai dua permukaan (A dan B) dilemparkan ke atas satu kali, maka probabilitas munculnya permukaan A atau permukaan B di atas: P(A) = ½ = 0,5 dan P(B) = ½ = 0,5.
Contoh 2: Sebuah dadu yang mempunyai 6 permukaan yang sama, dilemparkan satu kali, maka probabilitas munculnya satu permukaan di atas: P(1) = 1/6; P(2) = 1/6 Contoh 3: Dalam suatu permainan kita memilih sebuah kartu dari sebanyak 52 kartu bridge yang ada, maka probabilitas akan terpilih: a. Satu kartu berwarna hitam: P(H) = 26/52 = 0,5 b. Satu kartu King: P(K) = 4/52
Definisi Empirik atau Statistik (Empirical /Statistical Definition of Probability) Probabilitas ditentukan berdasarkan observasi, ditentukan berdasarkan pengalaman atau peristiwa-peristiwa yang telah terjadi Apabila dari N buah rentetan peristiwa terdapat t buah peristiwa A, maka peluang terjadinya peristiwa A didefinisikan sebagai: P(A) = Lim N ~ Contoh 1: t/n Berdasarkan pengalaman puluhan tahun lamanya di bidang kedokteran, dari 100 orang yang terkena penyakit kanker paru-paru, 99 orang meninggal. Pada suatu saat Tuan A terkena penyakit ini. Pertanyaan: Berapa peluang dia akan meninggal karena penyakit tersebut? P(A) = 99/100 = 0,99
Definisi Subyektif (Subjective Definition of Probability) Probailitas ditentukan berdasarkan perasaan atau kira-kira peneliti. Jadi cara ini dipengaruhi oleh pribadi seseorang sehingga bersifat subyektif
Hukum-hukum Peluang (The Law of Probability) 1. Suatu peristiwa A yang pasti terjadi dan memenuhi: P(A) = 1 2. Suatu peristiwa A yang tidak mungkin terjadi dan memenuhi : P(A) = 0 3. Akibat dari hukum 1 dan 2 maka untuk setiap peistiwa A yang sembarang, akan memenuhi keadaan: 0 P(A) 1 4. Apabila A merupakan komplemen dari peristiwa A, maka berlaku: P(A) = 1 - P(A) atau P(A) + P(A) = 1 5. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa, maka berlaku: 6.... P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A dan B)
Hukum-hukum Peluang (The Law of Probability) 6. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa yang mutually exclusive, maka berlaku: P(A U B) = P(A) + P(B) 7. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa conditional, maka berlaku: P(A dan B) = P(A) * P(B/A) 8. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa yang independen, maka berlaku: P(A dan B) = P(A) * P(B)
Hukum-hukum Peluang (The Law of Probability) 6. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa yang mutually exclusive, maka berlaku: P(A U B) = P(A) + P(B) 7. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa conditional, maka berlaku: P(A dan B) = P(A) * P(B/A) 8. Apabila A dan B merupakan dua buah peristiwa yang independen, maka berlaku: P(A dan B) = P(A) * P(B)
MATHEMATICAL EXPECTATION (HARAPAN MATEMATIK) Apabila P merupakan probabilitas dari seseorang untuk memperoleh suatu jumlah Q, maka harapan matematik dari orang tersebut adalah PQ (Q dapat berupa jumlah barang maupun uang). Apabila suatu gejala deskrit yang diambil secara random diberi simbul X dengan harga-harga X1, X2, Xn dan probabilitas untuk mendapatkan harga-harga tersebut P(X1), P(X2) P(Xn) maka harapan matematik dari X dinyatakan dengan rumus: E(X i ) = X1. P(X1) + X2. P(X2) +. + Xn. P(Xn) = X. P(X).
Contoh: Apabila hujan terus-menerus, seorang penjual payung akan untung Rp. 80.000,00 seharinya, tetapi apabila cuaca baik dia akan rugi Rp. 20.000,00 seharinya. Berapa harapan matematiknya apabila probabilitas hari akan hujan adalah 0,4. Jawab: X1 = Rp. 80.000,00 dengan P(X1) = 0,4 X2 = Rp. 20.000,00 dengan P(X2) = 1 0,4 = 0,6 E(A) = P(X1). X1 P(X2). X2 = 0,4(80.000) 0,6(20.000) = 32.000 12.000 = Rp. 20.000,00
Contoh: Seorang pengusaha bakso akan membuka cabangnya di salah satu kampus UB atau UMM. Ia telah memperhitungkan dengan teliti dengan dibukanya cabang di UB akan menghasilkan Rp. 8.000.000,00 tiap tahun dengan kemungkinan 0,70, jika usahanya gagal ia akan menderita rugi tiap tahun Rp. 3.500.000,00. Kemungkinan berhasil apabila ia membuka cabangnya di UMM adalah 60% dengan mendapatkan laba tiap tahun Rp. 9.000.000,00 bila gagal akan menderita rugi Rp. 3.000.000,00 tiap tahun. Di mana sebaiknya ia harus membuka cabang?
DISTRIBUSI PROBABILITAS Distribusi Peluang Diskrit Distribusi Binomial Distribusi Hipergeometrik Distribusi Geometri Distribusi Poisson Distribusi Peluang Kontinu Distribusi Normal
Ciri-ciri Distribusi Binomial Tiap percobaan memiliki dua hasil saja yakni: Sukses atau Gagal. Probabilitas sukses pada tiaptiap-tiap percobaan haruslah sama dan dinyatakan dengan p. Setiap percobaan harus bersifat independent (bebas) Jumlah percobaan yang merupakan komponen eksperimen binomial harus tertentu.
RUMUS P(x,n) = n x n -x P (1 - P) X N! N x x P X x p 1 p... x! N x! x = 0, 1, 2,..., N 0<p<1
Keterangan Rumus n = Banyaknya peristiwa p = Besarnya peluang terjadinya sukses! = faktori rial n! = n(n-1)( 1)(n-2)...(3)(2)(1) 0! = 1 1! = 1 Misal : 3! = 3x2x1 = 6
Contoh 1 Dari 8 pria dan 7 wanita dipilih 4 pengurus yang terdiri dari 2 pria dan 2 wanita. Banyak cara pemilihan pengurus adalah... A. 582 B. 588 C. 625 D. 720 E. 784 2 Dari 8 pria dan 7 wanita dipilih 4 pengurus yang terdiri dari 2 pria saja atau 2 wanita Saja. Banyak cara pemilihan pengurus adalah... A. 49 B. 56 C. 63 D. 70 E. 77
P= 8 ; 2 8 2 8! 2!(6!) 8.7.6! 2.6! 52/2 28 7 7! 7.6.5! w= 7 ;2 42/2 21 2 2!(5! ) 2.5!
Contoh 1. 2. Pada pelemparan dadu 6 kali pelemparan, tentukan peluang ada 4 kali mata dadu yang terbaca. Pada mesin foto copy selalu diperoleh 50 lembar yang cacat pada setiap memfotocopy sebanyak 500 lembar, jika kita memfotocopy sebanyak 3 lembar, berapakah peluang kita memperoleh 2 lembar yg cacat. 1 p 6 5 q 6 1 p ( A) 6 4 2 5 6 150.. 1.5 6.5.4!. 4 6. 6 6 4.3.2! 46.656
50 p 500 450 q 500 1 10 9 10 1 10 2 1 9.. 10 27 1.9 3.2!.. 3 2. 1! 1000 10 3 2
Contoh: Sebuah pengiriman 8 mikrokomputer yang serupa ke suatu jaringan eceran berisi 3 yang cacat. Bila suatu sekolah melakukan suatu pembelian acak 2 dari mikrokomputer ini, Carilah distribusi probabilitas untuk jumlah yang cacat. Carilah distribusi kumulatif untuk jumlah yang cacat.
Jawab (1): Ambil X sebagai variabel random yang didefinisikan sebagai banyaknya mikrokomputer yang cacat yang mungkin akan dibeli oleh sekolah tersebut tersebut.. Maka dapat dituliskan : X = banyaknya mikrokomputer cacat yang mungkin akan dibeli oleh sekolah = 0, 1, 2 Sehingga dapat dihitung : 3 5 0 2 10 f (0) P( X 0) 28 8 2 3 5 1 1 15 f (1) P( X 1) 28 8 2 Rumus distribusi probabilitas adalah x f(x) 0 10/28 3 5 2 0 3 f ( 2) P ( X 2) 28 8 2 3 5. x 2 P( X x) f ( x) 8 2 x, untuk x 0,1, 2 Jadi, distribusi probabilitas dari X adalah 1 15/28 2 3/28 24
Jawab (2): Distribusi kumulatif F(x) adalah : F(0) = f(0) = 10/28 F(1) = f(0) + f(1) = 10/28 + 15/28 = 25/28 F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 10/28 + 15/28 + 3/28 =1 Sehingga : 1, untuk x < 0 F(x) = 10/28, untuk 0 x < 1 25/28, untuk 1 x < 2 1, untuk x 2 25
Contoh Dua buah mata uang dilempar satu kali Hitunglah: a. Probabilitas tidak diperolehnya permukaan B b. Probabilitas memperoleh satu permukaan B c. Probabilitas memperoleh duapermukaan B
Dik : n = 2; X = 0, 1, 2 a. Probabilitas tidak mendapat permukaan B 2 0 2 2 x 0,5 x 0,5 x 1 x 0,25 P(0;2) = 0 0!(2! ) = 0,25 b. Probabilitas satu permukaan B P(1;2) = 2 1 1 2 = 0,50 1 x 0,5 x 0,5 1!(1! ) x 0,50 x 0,50
c. Probabilitas mendapat 2 permukaan B 2 2 0 2 2 2!(0! ) P(2;2) = x 0,5 x 0,5 x 1x 0,25 x 1 = 0,25
Contoh Kalau 3 buah mata uang dilemparkan satu kali. Hitunglah Probabilitas memperoleh: a. Tidak ada permukaan B b. 1 permukaan B c. 2 permukaan B d. 3 permukaan B e. Paling sedikit 1 permukaan B f. Paling banyak 2 permukaan B
3 3! x 0,5 2 x 0,5 0 x 1 x 0,25 0! (3! ) 0 Dik: n = 3; X = 0, 1, 2, 3 3 3! 0 3 x 0,5 x 0,5 x 1 x 0,125 a. P(0;3) = 0 0!(3!) = 0,125 b. P(1;3) = 3 3! 1 2 x 0,5 x 0,5 x 0,5 x 0,25 1! (2! ) 1 = 0,375
3 3! 3! x 0,5 12 xx 0,5 0,520 xx 0,5 1 x 0,25 x 0,25 1! 0!(2! (3!)) 10 c. P(2 P(2;3) = 3 x 0,5 2 x 0,5 1 3! x 0,5 x 0,25 2 2! (1! ) = 0,375 d. P( P(3 3;3) 3 3! 3 0 x 0,5 x 0,5 x 0,125 x1 = 3 3!(0!) = 0,125
3 1 2 2 0 0 x 0,5 1 x 0,5 3! x 0,5 1 x 0,25 x 0,25 1!(2! 0!(3! ) e.p( P(x 1) = P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) = 1 - P(x=0) = 1-0,125 = 0, 875 f. P(x 2) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) = 0,125 + 0,375 + 0,375 = 0,875
Pengertian Distribusi peristiwa yang jarang terjadi (distribution of rare events) adalah distribusi kemungkinan teoritis dengan variasi random discrete. Distribusi ini dianggap sebagai pendekatan pada distribusi binomial apabila n (banyaknya percobaan) adalah besar, sedangkan P (Probabilitas sukses) sangat kecil.
RUMUS P(X)= P(X) = x μ.e x! -u = n. p X = variabel random discrete 0,1,2,3.. X! = X. (X 1). (X 2).. 2. 1 e = bilangan irrational yang besarnya 2,71828 0! = 1
Contoh Misalkan sebuah mobil diiklankan di surat kabar untuk dijual. Surat kabar yang memuat iklan tersebut kita misalkan mempunyai 100.000 pembaca. Jika kemungkinan seorang akan membalas iklan tersebut 0,00002. Ditanyakan : a. Berapa orangkah diharapkan akan membalas iklan tersebut? b. Berapa kemungkinannya bahwa yang membalas iklan tersebut hanya seorang? c. Berapa kemungkinannya tidak ada yang membalas?
jawaban Dik: n = 100.000,p = 0,00002 a. μ= n. p = 100.000. 0,00002 = 2 Rata-rata ada 2 orang yang membalas iklan tersebut.
2 (0,13534) 1 2 1 e 1! -2 = 2 (0,13534) 1 b. P(x=1)= = 0,27068 c. P(x=0)= 2 0 e 0! -2 1(0,13534) 1 = =0,13534
Contoh2 Apabila probabilitas bahwa seorang akan mati terkena penyakit TBC adalah 0,001. Dari 2.000 orang penderita penyakit tersebut berapa probabilitas : Tiga orang akan mati Yang mati tidak lebih dari satu orang Lebih dari dua orang mati
Dik: n = = a. 0,27068 0,4060 b. 2.000, p = 0,001 2.000 x 0,001 = 2 (2) 3 e -2 P(x= P( x=3)= 3)= 3! = 8. (0,13534) 3. 2.1 P(x 1) P(x 1) = P(0) + P(1) = P(x=0) = P(x=1) = (2) 0 e -2 0! (2)1 e -2 1! = 0,13534 = 0,27068 = 0,4060 = 0,18045
c. P(X > 2) = 1 - P(0) P(x=2) = (2) 2 e -2 2! = P(1) P(2) 0,27068 Jadi P(X > 2) = 1 (0,13534 + 0,27068 + 0,27068) = 1 0,67670 = 0,3233
Mean dan Standard Deviasi Poisson = n. P = n.p