4. Metode Simpleks Maks/min : h.m Perhatikan model matematika berikut ini. simpleksnya yaitu. dapat dibuat tabel Cb VDB Q M M Penilai an Z Keterangan: = variabel ke-j (termasuk variabel slack dan surplus).. = variabel buatan ke-k. = koefisien fungsi tujuan pada variabel ke-j. M = koefisien fungsi tujuan pada variabel buatan. koefisien fungsi tujuan pada variabel yang masuk program (masuk basis). = koefisien variabel ke-j dari persamaan ke-i. = kuantitas (nilai ruas kanan, batasan sumber daya). Z = nilai fungsi tujuan.. ( ). Catatan: variabel yang masuk program/basis adalah variabel yang dapat membentuk matriks identitas. Modul Pendalaman Materi Program Linear, PPG Dalam Jabatan hal 1
Langkah-langkah menyelesaikan masalah program linear dengan metode simpleks adalah sebagai berikut. a. Buat model matematika (jika masalah dalam bentuk masalah kontekstual). b. Tambahkan variabel slack atau variabel surplus pada setiap pertidaksamaan fungsi kendala. Jika pertidaksamaannya maka tambahkan variabel slack agar menjadi persamaan. Jika pertidaksamaannya maka kurangkan variabel surplus agar menjadi persamaan. Variabel slack dan variabel surplus merupakan variabel nonnegatif yang dimunculkan di ruas kiri pertidaksamaan agar menjadi persamaan. c. Diperoleh model matematika baru. d. Susun model matematika baru tsb ke dalam tabel simpleks (sebagai program awal). e. Pilih kolom kunci yaitu kolom yang mempunyai nilai terendah ( { }). f. Pilih baris kunci yaitu yang bernilai terendah dengan dan k adalah kolom kuncinya ( { }) dan k adalah kolom kuncinya. g. Tentukan elemen kuncinya yaitu perpotongan kolom kunci dengan baris kunci, disimbolkan elemen kunci, r = baris kunci, k = kolom kunci h. Lakukan transformasi baris kunci dengan cara membagi elemen pada baris kunci dengan elemen kunci. i. Lakukan transformasi baris-baris yang lain yaitu baris baru = baris lama bilangan pada kolom kunci yang bersesuaian dengan baris lama (baris yang akanm ditransformasikan) dikalikan nilai baru baris kunci. ( ) j. Buat tabel simpleks baru berdasarkan langkah e s.d i. Modul Pendalaman Materi Program Linear, PPG Dalam Jabatan hal 2
k. Bila tabel baru/perbaikan belum optimal buat tabel baru dengan langkah e s.d i. l. Lakukan terus-menerus tahap e s.d. i sehingga menemukan m. Program optimal. Mari kita pelajari metode simpleks untuk masalah maksimum. Perhatikan contoh 11 berikut ini. Contoh 11. Maks h.m Selesaikan dengan metode simpleks. Jawab: a. Tambahkan variabel slack pada masing-masing pertidaksamaan sehingga diperoleh,, dan. b. Model matematika baru Maks h.m Perhatikan model matematika. Buatlah matrik yang elemennya merupakan koefisien fungsi kendala. dapat ditentukan dari c. Program Awal cb VDB Q 5 4 3 0 0 0 Penilaian X y Z 0 5 2 (EK) 3 1 1 0 0 (BK) Modul Pendalaman Materi Program Linear, PPG Dalam Jabatan hal 3
0 11 4 1 3 0 1 0 0 8 3 4 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0-5 -4-3 0 0 0 Ket: KK= kolom kunci, BK= baris kunci, EK= elemen kunci d. Transformasi Baris Kunci (B1) e. Transformasi Baris lain (B2 dan B3) dan f. Tabel simpleks Elemen kunci pada tabel simpleks langkah 3 ada di baris 1 dan kolom sehingga variabel masuk program menggantikan Cb VDB Q 5 4 3 0 0 0 Penilaian X y Z 5 x 1 0 0 5 0 1 0-5 1(EK) -2 1 0 1(BK) 0 0 0 1 1 5 0 0 0 0 0 Modul Pendalaman Materi Program Linear, PPG Dalam Jabatan hal 4
g. Lakukan langkah d-e dan diperoleh tabel optimal. Cb VDB Q 5 4 3 0 0 0 Penilaian X y Z 5 x 2 1 4 0 0 3 z 1 0-5 1-2 1 0 0 0 0 2 0 1 13 5 5 3 0 0 1 0 0 h. sehingga program optimal. dengan nilai optimalnya 13. Muncul pertanyaan, bagaimana penerapan metode simpleks untuk masalah minimum. Perhatikan contoh 12 berikut ini. Contoh 12. Min h.m Selesaikan dengan metode simpleks. Jawab: a. Ubah masalah minimum menjadi maksimum dengan mendefinisikan. Fungsi tujuan Maks b. Kurangkan variabel surplus, pada masing-masing pertidaksamaan sehingga diperoleh dan c. Model matematika menjadi Maks h.m Modul Pendalaman Materi Program Linear, PPG Dalam Jabatan hal 5
matriks koefisien fungsi kendalanya ( ) belum memuat. Perlu ditambahkan dua variabel buatan, di tulis dan didapatkan. Koefisien variabel buatan fungsi tujuan adalah dengan bilangan yang sangat besar sekali sehingga bilangan yang sangat kecil sekali. Model matematika menjadi Maks h.m: d. Program awal Q -6-3 0 0 Penilaian Cb VDB X y - 16 2 4(EK) -1 0 1 0 (BK) - 24 4 3 0-1 0 1 -M -M 0 0 e. Transformasi baris kunci (B2) f. Transformasi baris lain (B1) menjadi Modul Pendalaman Materi Program Linear, PPG Dalam Jabatan hal 6
g. Tabel simpleks Q -6-3 0 0 Penilaian Cb VDB -3 4 1 0 0 8-12 (EK) 0-1 1 (BK) -3 M -M 0 M 0 Modul Pendalaman Materi Program Linear, PPG Dalam Jabatan hal 7
h. Lakukan transformasi baris kunci dan baris lain sehingga dihasilkan tabel simpleks berikut. Q -6-3 0 0 Penilaian Cb VDB -3 0 1-6 1 0 16(BK) -6-3 (E K) 0 0 i. Lakukan transformasi baris kunci dan baris lain sehingga dihasilkan tabel optimal berikut. Q -6-3 0 0 Penilaian Cb VDB X y -3 Y 8 1 0 0 0 16 0 1-1 -24-4 -3 0 1 0-1 2 0 0 1 M M-1 sehingga program optimal. Penyelesaian optimalnya dengan Nilai minimun Penyelesaian optimalnya. Sama dengan kasus program linear menggunakan metode grafik, maka kita dapat menentukan kasus program linear menggunakan metode simpleks. Modul Pendalaman Materi Program Linear, PPG Dalam Jabatan hal 8
Kasus pertama penyelesaian tidak tunggal. Kita menggunakan contoh 6, tabel optimal adalah sebagai berikut. 18 6 0 0 Penilaian Cb VDB Q 18 40 1 0 120 0 120 0 (EK) 1 90(BK) 720 18 6 6 0 0 0 6 0 sehingga program optimal. Nilai maksimal untuk dan. Kita tulis PO I =. Kasus ini merupakan kasus penyelesaian tidak tunggal. Perhatikan variabel yang tidak masuk basis (diluar basis) yaitu y dan. Pada variabel di luas basis yang adalah y maka pilih kolom ke-2 sebagai kolom kunci. Lalu cari baris kunci, elemen kunci dan lakukan transfomasi baris untuk menghasilkan tabel simpleks. Q 18 6 0 0 Penilaian Cb VDB 18 10 1 0 6 90 0 1 720 18 6 6 0 0 0 6 0 PO II nya. Nilai Maksimal. Kita dapat mencari penyelesaian optimal lainnya dengan memanfaatkan kedua penyelesaian optimal di atas dengan rumus, dengan Penyelesaian ketiga = Penyelesaian keempat = dst Modul Pendalaman Materi Program Linear, PPG Dalam Jabatan hal 9
Kasus kedua, adalah ketidaklayakan. Cirinya adalah pada tabel optimal masalah program linear ( ), masih ada variabel buatan dalam Variabel dalam Basis (VDB). Coba kerjakan contoh 7 dengan metode simpleks. Kasus ketiga adalah kelebihan pembatas. Perhatikan model matematika pada contoh 13 berikut ini. Contoh 13. Min h.m: Program awalnya Cb VDB Q -3 2 0 0 Penilaian 0 4 1 2(EK) 1 0 2 (BK) 0 25 5 1 0 1 25 0 0 0 0 3-2 0 0 Tabel optimalnya adalah Cb VDB Q -3 2 0 0 Penilaian x y 2 Y 2 1 0 0 23 0 1 4 1 2 1 0 4 0 1 0 Modul Pendalaman Materi Program Linear, PPG Dalam Jabatan hal 10
Program optimal dengan nilai minimum -4 dan PO. Terlihat bahwa variabel pada tabel program awal berada di baris 2 dan pada tabel optimal juga berada di baris 2. Ini menunjukkan kasus kelebihan pembatas. Ini menunjukkan ada tidaknya pertidaksamaan tidak mempengaruhi DPF.Mari kita cek menggunakan metode grafik. Perhatikan gambar di bawah ini. Berdasarkan gambar terlihat bahwa ada tidaknya pertidaksamaan tidak mempengaruhi DPF. Kasus keempat adalah penyelesaian tidak terbatas. Perhatikan contoh 9. Program awalnya adalah Cb VDB Q 1 1 0 0 Penilaian 0 2-1 1 1 0 0 2 2 1 2(EK) 0-1 1 1(BK) 0 M 0 M 0 Tabel simpleks 2 cb VDB Q 1 1 0 0 Penilaian 0 1 0 1 Modul Pendalaman Materi Program Linear, PPG Dalam Jabatan hal 11
1 1 (EK) 1 0 2 (BK) 1 1 0 0 0 Tabel simpleks 3 Cb VDB Q 1 1 0 0 Penilaian 0 4 0 3 1-1 1 1 2 1 2 0-1 1 2 1 2 0-1 1 0 1 0-1 Perhatikan. bukan variabel dalam basis. Kita tidak dapat mencari baris kunci karena elemen di kolom kunci semua bernilai negatif sehingga tidak dapat membagi Q. Proses berhenti sampai disini. Kasusnya adalah penyelesaian tidak terbatas (Z tidak terbatas). Secara umum, Apabila dalam suatu tabel simpleks dengan suatu penyelesaian fisibel terdapat satu atau lebih kolom untuk variabel bukan basis (misal kolom ke-j) sehingga Z i -c j <0 dan a ij 0 (i = 1. 2,...,m), maka ada penyelesaian fisibel dengan (m+1) variabel yang tidak nol sehingga nilai Z makin besar tak terbatas. (Lihat Hadley p.93-95). Masih berkaitan dengan kasus penyelesaian tidak terbatas. Perhatikan contoh 10. Program awalnya adalah Cb VDB Q 30-10 0 0 Penilaian x y 0 10 1(EK) -1 1 0 10 (BK) 0 60 3-1 0 1 20 0 0 0 0 0 Modul Pendalaman Materi Program Linear, PPG Dalam Jabatan hal 12
-30 10 0 0 Tabel simpleks selanjutnya. cb VDB Q 30-10 0 0 Penilaian 30 10 1-1 1 0 0 30 0 2(EK) -3 1 15(BK) 300 30-30 30 0 0-20 30 0 Tabel simpleks selanjutnya. cb VDB Q 30-10 0 0 Penilaian 30 25 1 0-10 15 0 1 600 30-10 0 10 0 0 0 10 sehingga program optimal. PO nya adalah Nilai maksimal = 600. Perhatikan bahwa variabel di luar basis dan. Kita menduga bahwa kasus penyelesaian tidak tunggal. Perhatikan pula elemen di kolom, kita juga menduga penyelesaian tidak terbatas. Perhatikan kolom. Jika kita tingkatkan 1 unit, maka x akan berkurang atau meningkat, dan nilai tetap. Jika kita tingkatkan 1 unit maka y akan Modul Pendalaman Materi Program Linear, PPG Dalam Jabatan hal 13
berkurang atau meningkat dan nilai tetap. Ini merupakan kasus penyelesaian tidak terbatas (PO tidak terbatas). Mencari PO lain dengan cara:. Silahkan tentukan penyelesaian optimal lainnya. Cek apakah nilai Z tetap. Berapa banyak penyelesaian optimal lainnya yang dapat ditemukan?. Apabila pada suatu tabel optimal terdapat kolom dari variabel di luar basis dengan dan untuk, maka masalah tersebut adalah masalah yang PO nya tak terbatas tetapi nilai fungsi tujuannya terbatas. Biasa di tulis sebagai kasus penyelesaian tidak terbatas (PO tidak terbatas). Modul Pendalaman Materi Program Linear, PPG Dalam Jabatan hal 14