Metode Simpleks Dengan Tabel Tabel simpleks bentuk umum
Pendahuluan Bentuk program linier yang ada bukan hanya bentuk standar. Bentuk program linier yang mungkin dapat berupa: Fungsi tujuan diminimalkan fungsi tujuan di maksimalkan Fungsi kendala dengan bentuk atau = Variable dapat bernilai negatif Konstanta RHS dapat bernilai negatif Pada pembahasan ini akan dibahas: Bagaimana menyelesaikan program linier bentuk umum dengan menggunakan metode simpleks
Fungsi tujuan diminimalkan Ada dua cara untuk menyelesaikan fungsi tujuan yang diminimalkan: Fungsi tujuan yang diminimalkan tersebut dikalikan dengan -, dan akan menghasilkan fungsi tujuan yang dimaksimalkan. Z 5 Sebagai contoh: Dikonversi menjadi: min 7 ( ) Z maks Cara yang kedua adalah fungsi tujuan tetap dalam bentuk minimal, tetapi aturan dalam proses manipulasi metode simpleks diubah, seperti: Uji optimalisasi, keadaan optimal dicapai jika semua nilai dibaris fungsi tujuan tidak ada yang positif. Pemilihan entering basic variable, pilihlah koefisien yang paling positif di baris fungsi tujuan. 3 5 7 3
Fungsi kendala dalam bentuk persamaan () Misalkan sebuah program linier dengan bentuk: Z maks 5 3 0 4 Fungsi kendala dalam bentuk persamaan
Fungsi kendala dalam bentuk persamaan () Dengan bentuk program linier di atas, maka titik origin (0,0) tidak lagi berada di dalam feasible region Fungsi kendala ketiga hanya dipengaruhi oleh dan Pemberian nilai-nilai dan tersebut sulit dilakukan untuk memenuhi bentuk persamaan
Fungsi kendala dalam bentuk persamaan (3) Jika terdapat fungsi kendala dalam bentuk persamaan, maka perlu ditambahkan variable non-negative yang disebut dengan artificial variable. Jadi, program linier yang telah dikonversi menjadi: Z maks 5 0 Dengan a merupakan artificial variable s s 3 a 4
Fungsi kendala dalam bentuk persamaan (4) Artificial variable tidak sama dengan slack variable. Jika a merupakan slack variable, maka kita dapat menggunakan titik origin (,,s,s,a )=(0,0,,3,4) sebagai feasible cornerpoint awal iterasi. Tetapi harus diperhatikan, bahwa nilai a tidak boleh nonzero (harus NOL) supaya fungsi kendala ketiga dalam keadaan benar. Dengan demikian, metode simpleks akan memaksa semua artificial variable untuk bernilai NOL.
Fase pertama metode simpleks () Penyelesaian program linier bentuk umum akan terdapat dua fungsi tujuan, Fungsi tujuan fase pertama untuk menentukan feasible cornerpoint solution sebagai awal proses iterasi dan Fungsi tujuan program linier itu sendiri Fase pertama bertujuan meminimalkan nilai-nilai artificial variable yang ada pada program linier, dalam hal ini a. Jika semua nilai artificial variable dapat diubah menjadi NOL, maka feasible cornerpoint solution untuk memulai iterasi didapatkan. Kemudian iterasi metode simpleks dijalankan berawal dari feasible conerpoint terebut.
Fungsi tujuan fase pertama () Fungsi tujuan fase pertama adalah untuk meminimalkan jumlah dari semua artificial variable yang ada. Secara umum dapat dituliskan sebagai: W a a a... min Karena bentuk fungsi tujuan di atas adalah minimalisasi, maka dilakukan konversi dengan cara mengalikan - ke fungsi tujuan tersebut, maka diperoleh: W maks a a a3... 3 0
Fungsi tujuan fase pertama () Dalam membuat tabel simpleks, fungsi tujuan fase kedua (fungsi tujuan program linier) juga diikutsertakan, Fungsi tujuan fase pertama digunakan selama fase pertama, tetapi juga meng-update nilai-nilai fungsi tujuan fase kedua pada saat yang bersamaan. Setelah fase pertama selesai, fungsi tujuan fase pertama tersebut diabaikan (tidak digunakan lagi), Semua artificial variable tidak digunakan lagi. Catatan: fungsi tujuan fase pertama belum dalam bentuk proper table, hal ini disebabkan artificial variable akan muncul dua kali, yaitu: Sekali pada fungsi kendala, dan sekali pada fungis tujuan Artificial variable harus muncul sekali, yaitu pada baris fungsi kendala
Teble simpleks bentuk umum () Table di atas merupakan tabel dari model program linier sebagai berikut: Z maks 5 3 0 4
Teble simpleks bentuk umum () Tabel di atas memiliki dua buah fungsi tujuan: Fungsi tujuanw untuk fase pertama, yang bertujuan untuk meminimalkan jumlah dari seluruh artificial variable yang ada (dalam kasus ini hanya ada a ). Fungsi tujuan Z untuk fase kedua, merupakan fungsi tujuan dari program linier yang dibahas. Dengan memperhatikan kolom a, dapat disimpulan bahwa tabel belum dalam bentuk proper table. Koefisien a pada fungsi tujuan fase pertama, W, perlu dieliminasi. Eliminasi dilakukan dengan mengurangi baris fungsi tujuanw dengan baris yang terdapa artificial variable a.
Teble simpleks bentuk umum (3) Tabel simpleks setalah dilakukan eliminasi terhadap fungsi tujuanw adalah sebagai berikut: Selama fase pertama ini, fungsi tujuan yang digunakan adalah fungsi tujuanw. Dalam meng-update table, fungsi tujuan fase kedua, Z, juga diupdate
Iterasi fase pertama () Dengan memperhatikan kolom dan pada fungsi tujuan W, diperoleh dan yang memiliki koefisien yang sama (- ) untuk menjadi entering basic variable. Entering basic variable dipilih secara acak, misal yang dipiliha adalah. Perhitungan table ditunjukkan pada table berikut ini, dengan s sebagai leaving basic variable.
Iterasi fase pertama () Setelah entering basic variable dan leaving basic variable ditentukan, maka table di-update dan menghasilkan table berikut ini: Dari table diatas, jumlah dari fungsi tujuan fase pertama, W, telah berkurang menjadi -. Fase pertama belum selesai, karena masih terdapa koefisien yang negatif pada baris fungsi tujuanw. Catatan: fungsi tujuan fase kedua, Z, juga telah di-update bersamaan dengan prosess update fungsi tujuanw.
Iterasi fase pertama (3) Dari table di atas diperoleh: Entering basic variable Leaving basic variable a Table di-update dan diperoleh hasil sebagai berikut: Dari table di atas dapat dilihat bahwa fungsi tujuanw telah bernilai NOL dan tidak ada koefisien variable yang negaif. Fase pertama telah selesai, dan sekarang berada di feasible cornerpoint solution untuk memulai fase kedua
Iterasi fase kedua () Sekarang, fungsi tujuan fase pertama, W, dikeluarkan dari table simpleks demikian juga dengan semua artificial variable. Fungsi tujuan fase kedua, Z, yang telah diikutsertakan dalam perhitungan, di-update dan telah berada dalam bentuk proper table, dan siap untuk diiterasi. Dan karena masih terdapat koefisien yang negatif pada baris fungsi tujuan, maka keadaan belum optimal dan iterasi harus dilanjutkan.
Iterasi fase kedua () Table di atas adalah hasil update dari tabel sebelumnya Pada baris fungsi tujuan sudah tidak terdapat koefisien variable yang negatif dengan demikian iterasi telah selesai dan keadaan optimal tercapai: Di titik (,,s,s ) = (,,0,) Dengan nilai Z sebesar 50
Ilustrasi
Program linier yang infeasible Program linier yang infeasible dapat dengan mudah dikenali dengan cara: Jika fase pertama metode simpleks telah selesai, dengan hasil tidak ada nilai koefiesien variable yang negatif, tetapi nilaiw masih positif, maka: Tidak semua fungsi kendala (dengan artificial variable) telah dieliminasi. Hal ini berarti bahwa program linier bersifat infeasibel (tidak memiliki himpunan penyelesaian)
Fungsi kendala dengan bentuk lebih dari atau sama dengan ( ) Fungsi kendala dengan bentuk lebih dari atau sama dengan ( ) merupakan bentuk yang tidak boleh pada program linier bentuk standar. Untuk konversi bentuk pertidaksamaan ini perlu ditambahan dengan sebuah surplus variable yang berisfat sama seperti slack variable, Tetapi surplus variable diletakkan di bagian RHS persamaan. Contoh: 3 + 5 0 3 + 5 s = 0 Surplus variable tidak dapat digunakan sebagai basic variable karena bernilai -, sedangkan yang dibutuhkan adalah variable dengan koefisien +. Dari contoh di atas, sekarang pertidaksamaan telah diubah menjadi bentuk persamaan, dengan demikian perlakuan yang sama untuk bentuk persamaan berlaku: Tambahkan artificial variable dan jalankan prosedur iterasi fase pertama
RHS bernilai negatif Penyelesaian untuk masalah ini adalah kalikan dengan - dan hasilnya dikenakan aturan untuk bentuk-bentuk,, atau =
Berapa banyak variable? Reformulasi penyelesaian program linier dengan menggunakan metode simpleks akan menambah jumlah variable. Misalkan sebuah program linier memiliki: n buah variable asal l buah fungsi kendala dengan bentuk g buah fungsi kendala dengan bentuk Dan e fungsi kendala dengan bentuk persamaan (=) Maka jumlah variable setelah proses reformulasi program linier adalah: n buah variable asal l buah slack variable g buah surplus variable g + e buah artificial variable Catatan: seluruh g + e buah artificial variable akan dieliminasi selama proses fase pertama metode simpleks.