ANALISA SINYAL DAN SISTEM TE 430 TUJUAN: Sinyal dan Sifat-sifat Sinyal Sistem dan sifat-sifat Sisterm Analisa sinyal dalam domain Waktu Analisa sinyal dalam domain frekuensi menggunakan Tools: Transformasi Fourier Transformasi Laplace Transformasi Z SISTEM EVALUASI 1. TUGAS 0%. QUIZ 0% 3. UJIAN TENGAH SEMESTER 30% 4. UJIAN AKHIR SEMESTER 30% Referensi: Signal and System, Oppenheim Dan text book lain yang berkaitan dengan Analisa Sinyal dan Sistem
BAB I SINYAL Sinyal : kuantitas fisik yang berubah terhadap waktu, ruang atau terhadap variabel-variabel independen lainnya. Secara matematis, sinyal dijelaskan sebagai suatu fungsi dari satu atau lebih variabel bebas. Klasifikasi Sinyal 1. Sinyal Multikanal dan Sinyal multidimensi Sinyal Multikanal S k (t) dimana k=1,,3, merupakan sinyal dari sensor/sumber ke-k yang merupakan fungsi waktu, maka: merupakan vektor multikanal 3 Sinyal Multidimensi Apabila sinyal tergantung dari lebih dari 1 variabel bebas, maka sinyal tsb disebut dengan sinyal multidimensi. Sinyal Waktu Kontinyu dan Sinyal Waktu Diskrit Sinyal Waktu kontinyu merupakan argument real fungsi real x(t) dimana t dapat bernilai real sembarang x(t) mungkin bernilai 0 untuk range nilai t tertentu yang diberikan Sinyal Waktu Diskrit merupakan fungsi dari argument yang hanya bernilai pada bagian diskrit dari waktu x[n] dimana n {...-3,-,-1,0,1,,3...} 4 Nilai x bisa real ataupun complex
3. Sinyal Periodik dan tidak Periodik Sinyal x(t) periodik dengan perioda t (t>0) jika dan hanya jika x(t+t) = x(t) untuk setiap t Jika tidak ada nilai T yang memenuhi persamaan di atas sinyal dikatakan tidak periodik. Contoh: x(n) = Asin πf 0 n f = 0 Sinyal di atas akan periodik apabila f 0 bernilai rasional, ini berarti: dimana k dan N adalah integer Energi sinyal periodik x(n) dalam satu perioda, 0 < n < T-1, finite apabila x(n) bernilai finite dalam perioda tersebut. Daya rata-rata dari sinyal periodik adalah finite dan nilainya sama dengan daya rata-rata pada satu perioda. Jadi power dari sinyal periodik dengan perioda T dan mempunyai nilai finite adalah: 1 1 P = N x( n) N 5 n= 0 k N 4. Sinyal Bernilai Kontinyu dan Sinyal Bernilai Diskrit Sinyal bernilai kontinyu: sinyal yang mempunyai seluruh harga yang mungkin pada range yang finite maupun infinite. Sinyal bernilai diskrit: Sinyal yang hanya mempunyai harga pada range finite. 6 TKE-505-BAB I
5. Sinyal simetris (genap) dan tidak simetris (ganjil) Suatu sinyal berharga real x(t) disebut simetris (genap) jika: x(-t) = x(t) sedangkan suatu sinyal disebut tidak simetris (ganjil) apabila: x(-t) = -x(t) Jika x(t) adalah ganjil, maka x(0)=0 7 x e x o 1 ( t) = t 1 ( t) = x( t) x( t) [ x( t) + x( )] [ ] x( t) = x ( t) x ( t) e + o 15
6. Sinyal Deterministik dan Sinyal Acak Sinyal Deterministik - Sinyal dapat dimodelkan secara matematis - Dapat diprediksi nilainya Sinyal Acak - Sinyal yang tidak dapat dimodelkan secara matematis - Nilainya tidak dapat diprediksi Beberapa bentuk Sinyal A Sinyal Sinusoida Waktu Kontinyu x a ( t) = Acos( Ωt + θ ),- <t< (1.1) (1.) - <t< (1.3) x a ( t) = Acos(π Ft + θ ) dimana: 8 Ω = πf - A= Amplituda, frekuensi (rad/s), phasa (rad) - F (cycles/s) Hertz A Tp=1/F t Sifat-sifat sinyal sinusoida analog: 1. Untuk setiap nilai tertentu frekuensi F, x a (t) periodik. Dapat dilihat dari: x a (t-t p ) = x a (t) dimana T p =1/F adalah perioda sinyal sinus.. Sinyal waktu kontinyu yang mempunyai frekuensi berbeda adalah berbeda satu sama lain. 3. Peningkatan frekuensi F akan meningkatkan rate osilasi sinyal. Hubungan yang dapat dijelaskan pada sinyal sinusoida menggunakan sinyal exponensial compleks adalah: j( Ωt +θ ) xa ( t) = Ae (1.4) Euler identity ± φ e j = cosφ ± j sinφ (1.5) Frekuensi : - kuantitas secara fisik bernilai positif. - Jumlah cycle per unit waktu pada sinyal periodik Frekuensi berharga negatif hanya untuk penyelesaian matematis. 9
Substitusi persamaan 1.4 dan 1.5 pers. 1.1 j( Ωt + θ ) j( Ωt + θ ) x a ( t) = Acos( Ωt + θ ) = e + e (1.6) 10 A Dapat dilihat dari persamaan 6 bahwa sinyal sinus dapat diperoleh dengan cara menjumlahkan dua buah sinyal eksponensial complex-conjugate dengan amplituda yang sama Phasor. B Sinyal Sinusoida Waktu Diskrit x a ( n) = Acos( ω n + θ ) Dimana: A = amplituda n = jumlah sample ω = πf x a ( n) = Acos(π fn + θ ) A, - <t< (1.7) ω = frekuensi (rad/sample) θ = phasa (rad), - <t< (1.8) Sifat-sifat: 1. Sinyal Sinusoida waktu diskrit hanya periodik pada frekuensi f bernilai rasional. Perioda N (N>0), x(n+n) = x(n) untuk setiap n (1.9). Nilai terkecil dari N disebut dengan perioda dasar. Untuk sinusoid dengan frekuensi f o akan periodik apabila: Im A/ A/ Ωt+θ Ωt+θ Re Deret unit sample dinotasikan sebagai δ(t)/δ(n) dan didefinisikan sebagai: 1, δ (n) untuk n =0 0, untuk n 0.1.5 Dengan kata lain bahwa deret unit sample adalah sinyal dimana bernilai 0 untuk setiap n selain n=0 dimana nilainya adalah 1. Sinyal ini kadang disebut dengan sinyal impulse yang ada pada waktu kontinyu. 3 Sinyal Unit Step dinotasikan sebagai u(t) atau u(n) dan didefinisikan sebagai: 1, untuk ( n) 0, untuk n 0 u.1.6 n < 0 11
4. Sinyal Unit Ramp u r n, ( n) 0, untuk untuk n 0 n < 0 5. Sinyal Exponential x( n) = a n untuk setiap n 1 apabila a bernilai kompleks maka a re dimana r dan θ adalah parameter, selanjutnya x(n) menjadi: jθn n x( n) = re = r (cos θn + j sin θn) jθ 13
SISTEM Sistem adalah suatu alat atau algoritma yang beroperasi pada pada sinyal waktu kontinyu/diskrit (input), menurut beberapa aturan yang dibuat, untuk menghasilkan sinyal waktu kontinyu/diskrit dengan bentuk lain (output atau respons) sistem tersebut. Secara umum dinyatakan: [ x( )] y( t) T t dimana T adalah simbol trasformasi. Deskripsi Sistem Input-Output Menggunakan ekspresi matematis yang menjelaskan hubungan antara sinyal input dan output ( input-output relationship). Detail struktur di dalam sistem diabaikan. Cara untuk mengetahui sistem itu hanya dengan memberikan input dan melihat outputnya. 16 [ x( )] y( n) T n Klasifikasi Sistem 1. Sistem Statik VS Sistem Dinamik Suatu sistem waktu diskrit dikatakan static (memoryless) jika output pada tiap n hanya tergantung pada sample input pada waktu yang sama. Suatu sistem waktu diskrit dikatakan dinamik (mempunyai memory) apabila output sistem waktu n ditentukan oleh sample input pada interval dari n-n sampai dengan N. 17 Contoh: Sistem Statik y(n) = ax(n) y(n) = nx(n) + bx 3 (n) Sistem Dinamik y(n) = x(n) + 3x(n-1)
y( n) = n x( n k ) k = 0 Secara umum dua buah sistem ini didefinisikan sebagai: [ x( n n] y ( n) = T ), Sistem tidak berubah terhadap waktu (time-invariant) VS Sistem berubah terhadap waktu (time-variant) Teorema: Suatu sistem T adalah time invariant atau shift invariant jika dan hanya jika berlaku T{ x( t τ )} = y( t τ ) T{ x( n k )} = y( n k ) Untuk setiap sinyal input x(n)/x(t) dan setiap pergeseran waktu τ atau k. 18 Untuk menentukan apakah suatu sistem time invariant diperlukan suatu test: 1. Beri masukan x(t)/x(n) tertentu ke sistem yang akan diuji sehingga menghasilkan output y(t)/y(n).. Selanjutnya beri masukan x(t)/x(n) tersebut tetapi dengan delay k, dan hitung kembali outputnya. 3. Apabila y(n,k) = y(n-k) untuk seluruh harga k yang mungkin, maka sistem tersebut adalah time invariant. Jika output, walaupun untuk satu nilai k, maka sistem tersebut adalah time variant. 19
3. Sistem Linier VS Nonlinier Sistem linier yaitu sistem yang secara umum memenuhi prinsip superposisi. Teorema: Suatu sistem dikatakan linier jika dan hanya jika berlaku: [ a x n) + a x ( n) ] = a T[ x ( n)] a T[ x ( )] T + 1 1( 1 1 n (..6) untuk setiap nilai x 1 (n) dan x (n) sembarang dan a 1 dan a sembarang. 0 1
Representasi grafis prinsip Superposisi. T linier jika dan hanya jika y(n) = y (n) 4. Sistem Stabil dan tidak Stabil Teorema: Sistem sembarang disebut BIBO stabil jika dan hanya jika setiap input yang terbatas menghasilkan output yang terbatas pula. (..7) x ( n) M < y ( n) M < x 5. Sistem Kausal dan tidak Kausal Sistem disebut kausal apabila outputnya hanya tergantung dari nilai input sekarang dan atau sebelumnya Catatan: setiap sistem memoryless adalah kausal, tapi tidak berlaku sebaliknya. y Interkoneksi Sistem Suatu sistem dapat diinterkoneksikan menjadi suatu sistem yang lebih besar. Ada dua cara untuk mengkoneksikan, yaitu cascade (seri) dan parallel, yang direpresentasikan seperti gambar di bawah ini. 3