BARISAN DAN DERET Drs. CARNOTO, M.Pd. NIP. 19640121 199010 1 001 Pola Barisan Bilangan Beberapa urutan bilangan yang sering kita pergunakan mempunyai pola tertentu. Pola ini Sering digunakan untuk menentukan urutan atau letak bilangan dari sekumpulan bilangan yang telah ditentukan, misalnya bilangan ganjil ke tiga dari sekumpulan bilangan ganjil: 1, 3, 5, 7,... adalah 5. Contoh: Fungsi f yang ditentukan oleh: f(n) = 2n + 1 dengan domain f bilangan asli, berarti: f(1) = 3, f(2) = 5, f(3) = 7, dst Secara umum suatu barisan adalah sebuah fungsi yang domainnya berupa bilangan asli, Range f(n) sering dinotasikan dengan Un dan dituis sebagai berikut: Un = 2n + 1. Dengan n anggota bilangan asli. U1 = suku pertama (a), U2 = suku ke dua, U3 = suku ke tiga, dst. Hingga Un = suku ke n. Hal ini berarti barisan dapat ditulis sebagai beikut: U1, U2, U3,...., Un Lihat kemabali Un = 2n + 1. n = 1 Un = 3 n = 2 Un = 5 n = 3 Un = 7, dst Jadi barisannya adalah 3, 5, 7,...., 2n + 1. Soal Latihan a) Un = 3n 2 f) Un = n 3-2 b) Un = g) Un = (n 1)(n)(n + 1) c) Un = h) Un = 3.2 n - 1 d) Un = i) Un = n 2 n + 2 e) Un = Aljabar Rendah, Universitas Wiralodra Indramayu 1
Pola Bilangan Tingkat Pertama Pada tahap pertama, selisih antar suku yang berdampingan masing masing bernilai sama, suku ke-n nya dalam bentuk linear, yaitu Un = an + b dengan pola pola sbb: 1) Pola barisan bilangan asli. Un = n 2) Pola barisan bilangan cacah. Un = n 1 3) Pola barisan bilangan ganjil positif. Un = 2n 1 4) Pola barisan bilangan genap positif. Un = 2n 5) Pola barisan bilangan kelipatan 3 6) Pola barisan bilangan kelipatan 4 dst. Pola barisan yang demikian disebut barisan aritmetika Latihan soal Carilah formula suku ke n dan bedanya dari barisan berikut: a) 1, 7, 13,.... f) a, a + b, a + 2b, a + 3b,... b) 2, 5 ½, 9, 12 ½,.... g) a 3b, a b, a + b,.... c) -26, -24, -22,..... h) x 2, 4x, 7x + 2,...... d) 14, 8, 2,.... i) y, x, 2x y,.... e) (x y ), x, (x + y),... j) 2x y, 2x, 2x + y,.... Pola Bilangan Tingkat kedua Pola bilangan tingkat kedua ini akan dijumpai jika proses aljabar di tingkat pertama tidak diperoleh selisih hasil yang sama tetapi pada proses aljabar di tingkat kedua ditemukan hasil selisih yang sama. Suku ke-n nya dalam bentuk fungsi kuadrat, yaitu Un = an 2 + bn + c dengan pola pola sbb: 1) Pola barisan bilangan segitiga. 1, 3, 6, 10,...., Un =...? 2) Pola barisan bilangan Persegi (bujur sangkar) 1, 4, 9, 16,...., Un =? 3) Pola barisan bilangan persegi panjang 2, 6, 12, 20, 30,...., Un =? Soal latihan Carilah formula suku ke n dari barisan bilangan berikut: 1) 3, 8, 15, 24,..... 3) 0, 1, 4, 9,..... 2) 0, 2, 6, 12,...... 4) 3, 9, 19, 33,.... 5) a 2x, a + 4x, a + 14x, a + 28x,.... 6) a, a + 4b, a + 10b, a + 18b,.... Aljabar Rendah, Universitas Wiralodra Indramayu 2
BARISAN DAN DERET ARITMATIKA Suatu barisan U1, U2, U3,, Un disebut barisan aritmatika jika selisih antara dua suku yang berurutan selalu tetap, selisih tersebut dinamakan beda dan dilambangkan b, jadi b = U2 - U1 = Un - Un-1 Apabila a menyatakan suku pertama, n menyatakan banyaknya suku, dan b menyatakan beda, maka: a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b),..., [a + (n 1)b] 1. Suku ke n barisan aritmatika adalah u n = a + (n 1)b 2. Hubungan antar suku pada barisan aritmatika adalah U n = U n p + Pb Dengan p bilangan bulat 3. Jumlah n suku pertama pada deret aritmatika adalah S n = n (a + U 2 n) Atau S n = n [2a + (n 1)b] 2 4. Hubungan antara Un dan Sn adalah U n = S n S n 1 5. Apabila di antara dua buah suku yang berurutan disisipkan k buah bilangan sehingga membentuk barisan aritmatika yang baru, maka: a. Beda yang baru (b ) adalah: b = b k+1 b. Banyaknya suku baru (n ) adalah: n = n + (n 1)k c. Jumlah n suku pertama sesudah sisipan adalah S n = n 2 (a + U n ) SOAL DAN PEMBAHASAN 1. Tentukan unsur unsur yang dinyatakan pada barisan aritmatika dibawah ini! a. a = 3, b = 7, U101 = b. a = 9, U15 = 135, b = c. b = 17, U21 = 336, a = a. a = 3, b = 7 Un = a + ( n 1 )b U101 = 3 + (101 1 )7 = 3 + 700 = 703 Aljabar Rendah, Universitas Wiralodra Indramayu 3
b. a = 9, U15 = 135 U15 = a + ( n 1 )b 135 = 9 + ( 15 1 )b 135 = 9 + 14b 135-9 = 14b 126 = 14b b = 9 c. b = 17, U = 336 21 U = a + ( n 1 )b 21 336 = a+ ( 21 1 )17 336= a + 20. 17 336 = a + 340 336 340 = a a = - 4 2. Hitunglah jumlah semua bilangan kelipatan 3 di antara 100 dan 200. Jumlah bilangan kelipatan 3 di antara 100 dan 200 ialah 102 + 105 + 108 +..+ 198 Sehingga, a = 102, b = 3, dan Un = 198 a + ( n- 1 )b = 198 102 + ( n- 1 )( 3 ) = 198 102 + 3n 3 = 198 3n = 99 n = 33 Jadi, Sn = n/2 [a + Un] S33 = 33/2 [102 + 198] = 33. 150 = 4950 3. Antara dua suku yang berurutan pada barisan 3, 18, 33, di sisipkan 4 buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmatika yang baru. Jumlah 7 suku pertama dari barisan yang terbentuk adalah Barisan 3, 18, 33,.. mempunyai beda b = 15 Beda dari barisan yang telah disisipkan 4 buah bilangan (k = 4) adalah b = b (k + 1) = 15 (4 + 1) = 15 5 = 3 Sehingga barisan yang baru adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, Jadi, S7 = 7/2 [a + U7] = 7/2 [3 + 21] = 7. 12 = 84 Aljabar Rendah, Universitas Wiralodra Indramayu 4
4. Jika U10 = 31 dan b = 3, maka U75 dan U3 sama dengan U10 = 31 dan b = 3 U75 = U75 65 + 65b = U10 + 65. 3 = 31 + 195 = 226 U3 = U3-(-7) + (-7)b = U10 7b = 31 21 = 10 5. Tentukan banyaknya suku dalam barisan aritmatika 1, 5, 9, 13,, 41. a = 1, b = 4, dan Un = 41 a + ( n- 1 )b = 41 1 + ( n 1) 4 = 41 (n 1)4 = 40 n 1 = 10 n = 11 Soal Latihan 1. Tiga bilangan membentuk DA, Jumlahnya 18 dan hasil kalinya 192, Tentukan ketiga bilangan tersebut 2. Lima bilangan positif membentuk sebuah DA. Jumlahnya 30, dan hasil kalinya 3840. Tentukan bilangan-biangan itu. 3. Dalam sebuah DA, U1 = 5 dan b = 3 degn n = 12, diantara tiap dua suku yang berurutan disisipkan x bilangan sehingga terjadi lagi sebuah DA, tentukan nilai x yang bulat sehingga jmlah deret yang baru itu lebih besar dari 1000 4. Hitunglah n agar jumlah DA: 1 + 13 + 25 +..... Mendekati 4000. 5. Pada sebuah DA, Sn = n 2 + 2n, tentukan Un 6. Pada sebuah DA, Un = 4n + 5, tentukan Sn 7. Hitunglah jumlah semua bilangan bulat yang habis dibagi 4 antara 300 dan 700 Aljabar Rendah, Universitas Wiralodra Indramayu 5
BARISAN DAN DERET GEOMETRI Suatu barisan disebut barisan geometri jika perbandingan antara dua suku yang berurutan selalu tetap, perbandingan antara dua suku yang berurutan itu disebut rasio dan dilambangkan dengan r, jadi r = U 2 U 1 = U 3 U 2 = = U n U n 1 Apabila a menyatakan suku pertama, n menyatakan banyaknya suku dan r menyatakan rasio, maka BG adalah sbb a, ar, ar 2, ar 3,..., ar n-1. sehingga: 1. Suku ke n barisan geometri adalah U n = ar n 1 2. Hubungan antar suku pada barisan geometri adalah U n = U p. r n p, dengan p bilangan bulat 3. Jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah dan 4. Hubungan antara Un dan Sn adalah 5. Apabila di antara dua buah suku yang berurutan disisipkan k buah bilangan sehingga membentuk barisan geometri yang baru, maka: a. Rasio yang baru (r ) adalah b. Banyaknya suku baru (n ) adalah c. Jumlah n suku pertama sesudah sisipan adalah dan 6. Pada deret geometri, untuk n, maka deret tersebut dikatakan deret geometri tah hingga. Deret geometri tak hingga tersebut akan konvergen (mempunyai limit jumlah) jika - 1 < r < 1, dan jumlahnya adalah Jika r < -1 atau r > 1, maka deret tersebut dikatakan divergen (tidak mempunyai limit jumlah) Aljabar Rendah, Universitas Wiralodra Indramayu 6
SOAL DAN PEMBAHASAN 1. diberikan (x - 8), (x 4), (x + 8) ialah tiga suku berurutan dalam suatu barisan geometri. Tentukan nilai x. Rasio : (x 4)² = x² - 64 x² - 8x + 16 = x² - 64 8x = 80 x = 10 2. Suatu tali dibagi menjadi enam bagian dengan panjang yang membentuk barisan geometri. Jika yang paling pendek 3 cm dan yang paling panjang 96 cm, maka panjang tali semula sama dengan Misalkan keenam potongan tali itu adalah Maka bagian yang paling pendek adalah a = 3 cm dan bagian yang paling panjang adalah Karena maka Jadi, 3. Di antara bilangan 16 dan ½ disisipkan sebanyak 4 buah bilangan, sehingga terbentuk barisan geometri. Rasio dari barisan yang terbentuk adalah Rasio dari bilangan 16 dan ½; Barisan geometri yang telah disisipkan 4 bilangan adalah: 16,,,,, ½ Diperoleh a = 16 dan k = 4 Jadi rasio dari barisan yang telah disisipkan 4 buah bilangan adalah Aljabar Rendah, Universitas Wiralodra Indramayu 7
4. Tentukan jumlah n suku dari deret 5 + 55 + 555 + 5.555 + Perhatikan 9 = 10 1, 99 = 100 1, 999 = 1.000 1 sehingga persamaan tersebut menjadi Perhatikan nilai (10 + 100 + 1000 + ) merupakan deret geometri dengan rasio r =10. (10 + 100 + 1000 + ) = Adapun untuk (1 + 1 + 1 ) = n. 1 = n Jadi: Sn Sn 5. Rasio suatu deret geometri tak berhingga adalah.suku pertama deret itu merupakan hasil kali skalar vektor Dan. Jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah... Rasio: Jadi, Jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 4. Aljabar Rendah, Universitas Wiralodra Indramayu 8