Mekanika Kuantum dalam Koordinat Bola dan Atom Hidrogen

Mekanika Kuantum dalam Koordinat Bola dan Atom Hidrogen David J. Griffiths diterjemahkan dari Introduction to Quantum Mechanics Edisi 2) physics.translation@gmail.com Persamaan Schrödinger dalam Koordinat Bola Bentuk umum persamaan Schrödinger untuk tiga dimensi dapat diperoleh secara langsung dengan mudah. Persamaan Schrödinger berbunyi i Ψ t operator Hamiltonan H dapat diperoleh dari dengan mengikuti aturan yang sama: atau lebih singkatnya Sehingga = HΨ; ) 2 mv2 + V = p 2 2m x + p 2 y + p 2 ) z + V p x i x, p y i y, p z i z, 2) p. 3) i dimana i Ψ t = 2 2m 2 Ψ + V Ψ, 4) 2 2 x 2 + 2 y 2 + 2 z 2 5)

adalah Laplacian dalam sistem koordinat kartesian. Sekarang, energi potensial V dan fungsi gelombang Ψ adalah fungsi r = x, y, z) dan t. Peluang untuk menemukan partikel di dalam elemen volume d 3 r = dx dy dz adalah Ψr, t) 2 d 3 r, dan normalisasinya menjadi Ψ 2 d 3 r =, 6) dimana integralnya diambil untuk selurung ruang. Jika potensialnya bebas tak-gayut) waktu, maka keadaan-keadaan stasionernya adalah Ψ n r, t) = ψ n r)e ient /, 7) dimana fungsi gelombang spasial ψ n memenuhi persamaan Schrödinger takgayut waktu: 2 2m 2 ψ + V ψ = Eψ. 8) Penyelesaian umum untuk persamaan Schrödinger gayut waktu adalah Ψr, t) = c n ψ n r)e ient/, 9) dengan c n adalah tetapan yang dapat diperoleh dari keadaan awal fungsi gelombang, Ψr, 0). Jika potensialnya membolehkan keadaan-keadaan kontinyu, maka penjumlahan pada 9 berubah menjadi integral.) Gambar : Sistem koordinat bola. 2

. Pemisahan Variabel Biasanya, potensial hanya berupa fungsi jarak dari titik asal origin). Pada kasus tersebut digunakan koordinat bola, r, θ, φ) lihat Gambar ). Di dalam koordinat bola, Laplacian memiliki bentuk 2 = r 2 r r 2 r ) + r 2 sin θ θ sin θ θ ) + ) 2 r 2 sin 2 θ φ 2. 0) Sehingga, persamaan Schrödinger dalam koordinat bola menjadi [ 2 2m r 2 r 2 ψ ) + r r r 2 sin θ ψ ) 2 )] ψ + sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 + V ψ = Eψ. ) Kita mulai mencari dengan bentuk penyelesaian yang dapat dipisahkan menjadi perkalian dari: ψr, θ, φ) = Rr)Y θ, φ). 2) Mensubstitusikan ke Persamaan, maka kita dapatkan [ 2 Y 2m r 2 r 2 R ) + R r r r 2 sin θ Y ) + sin θ θ θ R r 2 sin 2 θ 2 )] Y φ 2 + V RY = ERY. Membaginya dengan RY dan mengalikannya dengan 2mr 2 / 2 : { d r 2 dr ) } 2mr2 R dr dr 2 [V r) E] + { sin θ Y ) + 2 } Y Y sin θ θ θ sin 2 θ φ 2 = 0. Suku-suku yang ada pada kurung kurawal pertama hanya bergantung pada r, sedangkan sisanya hanya bergantung pada θ dan φ, sehingga keduanya harus sama dengan suatu bilangan. Untuk alasan yang akan muncul kemudian, saya akan menuliskan tetapan pemisahan ini dalam bentuk ll + ): d r 2 dr ) 2mr2 Y R dr { sin θ θ dr sin θ Y θ 2 [V r) E] = ll + ); 3) ) + 2 } Y sin 2 θ φ 2 = ll + ). 4) 3

.2 Persamaan Anguler Persamaan 4 menentukan kebergantungan ψ pada θ dan φ; dengan mengalikan kedua ruas dengan Y sin 2 θ, maka ia menjadi: sin θ sin θ Y ) + 2 Y θ θ φ 2 = ll + ) sin2 θ Y. 5) Mungkin Anda bisa mengenali persamaan ini ia adalah penyelesaian untuk persamaan Laplace dalam elektrodinamika klasik. Seperti biasanya, kita mencoba pemisahan variabel: Y θ, φ) = Θθ), Φφ). 6) Dengan mensubstitusikan pemisahan variabel ini dan membaginya dengan ΘΦ, kita dapatkan: { [ sin θ d sin θ dθ )] } + ll + ) sin 2 θ + d 2 Φ Θ dθ dθ Φ dφ 2 = 0. Suku pertama hanya fungsi θ dan suku kedua hanya fungsi φ, jadi keduanya harus sama dengan suatu bilangan. Kali ini saya akan menggunakan tetapan pemisahan m 2 : Θ [ sin θ d sin θ dθ )] + ll + ) sin 2 θ = m 2 7) dθ dθ Persamaan φ mudah untuk diselesaikan: d 2 Φ Φ dφ 2 = m2 8) d 2 Φ dφ 2 = m2 Φ Φφ) = e imφ. 9) [Sebenarnya ada dua penyelesaian: expimφ) dan exp imφ), tetapi kita akan menyertakan penyelesaian kedua dengan cara membolehkan m-nya bernilai negatif. Kemudian, dimungkinkan juga ada suatu tetapan di depan penyelesaian ini, tetapi tetapan ini akan kita masukkan ke Θ. Secara tidak sengaja, dalam elektrodinamika kita menuliskan fungsi azimut Φ) dalam bentuk sinus dan kosinus, daripada bentuk eksponensial, hal ini karena potensial listrik harus bernilai riil. Di dalam mekanika kuantum tidak ada batasan semacam ini dan bentuk eksponensial lebih mudah untuk dikerjakan.] Sekarang, ketika φ berputar sejauh 2π, kita kembali ke titik yang sama di ruang tersebut Lihat Gambar ), sehingga kita mensyaratkan bahwa Φφ + 2π) = Φφ). 20) 4

Dengan kata lain, exp[imφ + 2π)] = expimφ), atau exp2πim) =. Maka dari sini m harus berupa bilangan bulat: Persamaan θ, sin θ d dθ m = 0, ±, ±2,. 2) sin θ dθ ) + [ ll + ) sin 2 θ m 2] Θ = 0. 22) dθ tidak begitu sederhana. Penyelesaiannya adalah dimana P m l Θθ) = AP m l cos θ), 23) adalah fungsi Legendre sekawan, didefinisikan dengan ) d m Pl m x) x 2 ) m /2 P l x). 24) dx dan P l x) adalah polinomial Legendre ke-l, yang didefinisikan menggunakan rumus Rodrigues: Sebagai contoh, P l x) 2 l l! ) d l x 2 ) l. 25) dx P 0 x) =, P x) = d 2 dx x2 ) = x, P 2 x) = ) d 2 x 2 ) 2 = 4 2 dx 2 3x2 ), dan seterusnya. Beberapa polinomial Legendre yang pertama diberikan pada Tabel. Seperti yang diisyaratkan oleh namanya, P l x) merupakan polinomial x berderajat l), dan bersifat fungsi genap atau ganjil bergantung terhadap paritas l. Tetapi, secara umum P m x) bukanlah polinomial jika m ganjil ia memiliki faktor x 2 : P 0 2 x) = 2 3x2 ), P 2 x) = x 2 ) /2 d dx l [ ] 2 3x2 ) = 3x x 2. ) d 2 [ ] P2 2 = x 2 ) dx 2 3x2 ) = 3 x 2 ), 5

Tabel : Beberapa polinomial Legendre yang pertama, P l x). P 0 = P = x P 2 = 2 3x2 ) P 3 = 2 5x3 3x) P 4 = 8 35x4 30x 2 + 3) P 5 = 8 63x5 70x 3 + 5x) dll. Di sisi lain, apa yang kita perlukan adalah Pl m cos θ), dan cos 2 θ = sin θ, sehingga Pl m cos θ) selalu berupa polinomial cos θ, dikalikan dengan jika m bernilai ganjil sin θ. Beberapa fungsi Legendre cos θ sekawan diberikan pada Tabel 2) Perhatikan bahwa l harus bilangan bulat bukan ganjil agar rumus Rodrigues menjadi masuk akal; selain itu, jika m > l, maka Persamaan 24 mengatakan Pl m = 0. Maka, untuk sebarang l, ada 2l + ) nilai m yang mungkin: l = 0,, 2, ; m = l, l +,,, 0,,, l, l. 26) Tapi tunggu! Persamaan 22 adalah persamaan diferensial orde dua: Ia harus mempunyai dua penyelesaian yang saling bebas linier, untuk sebarang nilai l dan m. Dimana penyelesaian yang lainnya? Jawab: Tentu saja ada, sebagai penyelesaian matematis bagi persamaan ini, tetapi ia tidak dapat diterima secara fisis karena nilainya menjadi tak-berhingga saat θ = 0 dan/atau θ = π. Tabel 2: Beberapa fungsi Legendre sekawan, Pl m cos θ). P0 0 = P = sin θ P 2 0 = 2 3 cos2 θ ) 3 3 = 5 sin θ cos2 θ) P 0 = cos θ P 3 2 = 5 sin2 θ cos θ P2 2 = 3 sin2 θ P2 = 3 sin θ cos θ P3 2 = 3 2 sin θ5 cos2 θ ) 3 0 = 2 5 cos3 θ 3 cos θ) 6

Sekarang elemen volum dalam koordinat bola adalah d 3 r = r 2 sin θdr dθ dφ, 27) sehingga keadaan normalisasinya Persamaan 6) menjadi ψ 2 r 2 sin θdr dθ dφ = R 2 r 2 dr Y 2 sin θ dθ dφ =. Lebih memudahkan jika kita menormalisasi R dan Y secara terpisah: 0 R 2 r 2 dr = dan 2π π 0 0 Y 2 sin θ dθ dφ =. 28) Fungsi gelombang anguler yang ternormalisasi disebut sebagai harmonik bola spherical harmonics): Yl m θ, φ) = ɛ 2l + ) l m )! 4π l + m )! eimφ Pl m cos θ). 29) dimana ɛ = ) m untuk m 0 dan ɛ = untuk m 0. Seperti yang akan kita buktikan nanti, penyelesaian-penyelesaian ini secara otomatis bersifat ortogonal, sehingga 2π π 0 0 [Yl m θ, φ)] [Yl m θ, φ)] sin θ dθ dφ = δ ll δ mm. 30) Pada Tabel 3, saya menuliskan beberapa harmonik bola yang pertama. Untuk alasan historis, l disebut bilangan kuantum azimut, dan m bilangan kuantum magnetik. Tabel 3: Beberapa harmonik bola yang pertama, Yl m θ, φ). Y0 0 = ) /2 4π Y 2 ±2 = ) 5 /2 32π sin 2 θe ±2iφ Y 0 = ) 3 /2 4π cos θ Y 0 3 = ) 7 /2 6π 5 cos 3 θ 3 cos θ) Y ± = ) 3 /2 sin θe ±iφ Y 3 ± = ) 2 /2 sin θ5 cos 2 θ )e ±iφ Y 0 2 = 5 6π 8π Y ± 2 = 5 8π 64π ) /2 3 cos 2 θ ) Y 3 ±2 = ) 5 /2 32π sin 2 θ cos θe ±2iφ ) /2 sin θ cos θe ±iφ Y 3 ±3 = ) 35 /2 64π sin 3 θe ±3iφ 7

.3 Persamaan Radial Perhatikan bahwa bagian anguler dari fungsi gelombang, Y θ, φ), selalu sama untuk semua potensial yang bentuknya simetri bola. Bentuk sebenarnya dari potensial, V r), hanya mempengaruhi bagian radial dari fungsi gelombang, Rr), yang ditentukan oleh Persamaan 3: d r 2 dr ) 2mr2 dr dr 2 [V r) E]R = ll + )R. 3) persamaan ini menjadi sederhana jika kita ganti variabelnya: Misalkan ur) rrr), 32) sehingga R = u/r, dr dr = [ r 2 r )] du, dr d r 2 dr ) = r d2 u dr dr dr 2, dan sehingga 2 d 2 u [V 2m dr 2 + + 2 2m ] ll + ) r 2 u = Eu. 33) Ini disebut persamaan radial; persamaan ini identik bentuknya dengan persamaan Schrödinger berdimensi satu, kecuali bahwa potensial efektif nya, V ef = V + 2 ll + ) 2m r 2, 34) memiliki suku tambahan yang disebut suku sentrifugal, 2 /2m)[ll + )/r 2 ]. Potensial ini memiliki kecenderungan untuk melemparkan partikel keluar menjauhi titik asal), sama seperti gaya-pseudo) sentrifugal dalam mekanika klasik. Sementara itu, keadaan normalisasinya Persamaan 28) menjadi 0 u 2 dr =. 35) Itulah yang bisa kita capai sejauh ini sampai diketahui bentuk spesifik potensialnya, V r). 8

Gambar 2: Atom hidrogen. 2 Atom Hidrogen Atom hidrogen tersusun atas proton yang berat dan dapat dianggap takbergerak kita akan menggunakannnya sebagai titik asal), bermuatan e, dengan sebuah elektron yang jauh lebih ringan bermuatan e) yang mengorbit di sekitarnya, terikat oleh gaya tarikan muatan yang saling berlawanan Lihat Gambar 2). Dari hukum Coulomb, energi potensial dalam satuan SI) adalah dan persamaan radialnya Persamaan 33) berbunyi 2 d 2 u [ 2m dr 2 + e2 4πɛ 0 r + 2 2m V r) = e2 4πɛ 0 r, 36) ] ll + ) r 2 u = Eu. 37) Permasalahan kita adalah menyelesaikan persamaan ini sebagai ur), dan menentukan energi-energi yang diperbolehkan, E. Atom hidrogen adalah contoh kasus yang sangat penting dan saya tidak akan memberikan pada Anda penyelesaiannya saja kita akan menyelesaikannya secara mendetail, melalui metode yang kita gunakan pada penyelesaian analitik osilator harmonik. Secara tidak sengaja, potensial Coulomb Persamaan 37) membolehkan keadaan kontinyu untuk E > 0), dapat digunakan untuk menjelaskan hamburan elektron-proton, maupun keadaan terikat yang diskrit, tetapi kita akan membatasi perhatian kita pada hal yang terakhir disebutkan. 9

2. Fungsi Gelombang Radial Tugas pertama kita adalah merapikan notasi yang digunakan. Misalkan 2mE κ. 38) Untuk keadaan terikat, E bernilai negatif, sehingga κ adalah bilangan riil.) Membagi Persamaan 37 dengan E, kita dapatkan d 2 ] u [ κ 2 dr 2 = me2 ll + ) 2πɛ 0 2 + κ κr κr) 2 u. Persamaan ini mengisyaratkan kita untuk memperkenalkan ρ κr, dan ρ 0 me2 2πɛ 0 2 κ, 39) sehingga d 2 [ u dρ 2 = ρ ] 0 ll + ) + ρ ρ 2 u. 40) Berikutnya kita menguji bentuk asimtotik penyelesaiannya. Saat ρ, maka suku yang konstan yang ada di dalam kurung menjadi lebih dominan, sehingga kira-kira) Penyelesaian umumnya adalah d 2 u dρ 2 = u. uρ) = Ae ρ + Be ρ, 4) tetapi e ρ nilainya menuju tak berhingga saat ρ, sehingga B = 0. Terbukti, uρ) Ae ρ, 42) untuk ρ besar. Di sisi lain, saat ρ 0 suku sentrifugalnya menjadi lebih dominan; maka kira-kira: d 2 u ll + ) = dρ2 ρ 2 u. 0

Penyelesaian umumnya adalah uρ) = Cρ l+ + Dρ l. tetapi ρ l menuju tak-berhingga saat ρ 0), jadi D = 0. Sehingga uρ) Cρ l+, 43) untuk ρ kecil. Langkah berikutnya adalah menguliti perilaku asimtotik, dengan memperkenalkan fungsi baru vρ): uρ) = ρ l+ e ρ vρ). 44) dengan harapan bahwa vρ) akan menjadi lebih sederhana daripada uρ). Isyarat yang pertama tidak begitu melegakan [ du dρ = ρl e ρ l + ρ)v + ρ dv ], dρ dan d 2 u dρ 2 = ρl e ρ {[ 2l 2 + ρ + ] ll + ) v + 2l + ρ) dv } ρ dρ + v ρd2 dρ 2. dinyatakan dalam vρ), maka persamaan radial Persamaan 40) berbunyi ρ d2 v + 2l + ρ)dv dρ2 dρ + [ρ 0 2l + )] v = 0. 45) Akhirnya, kita mengasumsikan penyelesaiannya, vρ), dapat diungkapkan dalam bentuk deret pangkat dari ρ: vρ) = c j ρ j. 46) j=0 Satu-satunya yang menjadi masalah kita adalah menentukan koefisien - koefisiennya c 0, c, c 2, ). Dengan menurunkan suku demi suku: dv dρ = jc j ρ j = j=0 j + )c j+ ρ j. j=0

[Pada penjumlahan yang kedua, saya mengubah indeks boneka : j j+. Jika hal ini menyulitkan Anda, tuliskan beberapa suku pertama secara eksplisit, dan periksalah. Anda mungkin tahu bahwa penjumlahannya seharusnya dimulai dari j =, tetapi faktor j + ) membuang suku tersebut, sehingga kita bisa memulainya dari nol.] Menurunkan sekali lagi, d 2 v dρ 2 = jj + )c j+ ρ j. j=0 Memasukkan kedua turunan ini ke Persamaan 45, maka kita dapatkan jj + )c j+ ρ j + 2l + ) j + )c j+ ρ j j=0 j=0 j=0 2 jc j ρ j + [ρ 0 2l + )] c j ρ j = 0 Dengan menyamakan koefisien dari pangkat yang sama diperoleh jj + )c j+ + 2l + )j + )c j+ 2jc j + [ρ 2l + )] c j = 0, j=0 atau c j+ = { } 2j + l + ) ρ0 c j. 47) j + )j + 2l + 2) Rumus rekursi ini menentukan koefisien-koefisien tersebut, dan sehingga fungsi vρ): Kita mulai dengan c 0 ini berarti menjadikan semuanya konstan), dan Persamaan 47 memberikan c ; masukkan kembali, kita dapatkan c 2, dan seterusnya. Sekarang mari kita lihat bagaimana bentuk koefisiennya untuk nilai j yang besar hal ini berkaitan dengan nilai ρ yang besar, dimana pangkat yang lebih tinggi lebih mendominasi). Di daerah ini rumus rekursinya berbunyi c j+ = 2j jj + ) c j = 2 j + c j. Untuk sementara, kita misalkan rumus ini sifatnya eksak. Maka c j = 2j j! c 0. 48) 2

jadi vρ) = c 0 j=0 2 j j! ρj = c 0 e 2ρ, dan sehingga uρ) = c 0 ρ l+ e ρ, 49) yang nilainya menjadi tak-berhingga saat ρ-nya besar. Bentuk eksponensial positif jelas adalah perilaku asimtotik yang tidak kita inginkan, di Persamaan 4. Hanya ada satu jalan keluar dari dilema semacam ini: Deretnya harus dihilangkan. Harus ada bilangan bulat maksimum, j maks, sedemikian rupa sehingga c jmaks +) = 0, 50) dan suku yang diatasnya secara otomatis koefisiennya hilang). Persamaan 47) Terbukti 2j maks + l + ) ρ 0 = 0. Dengan mendefinisikan n j maks + l + 5) kemudian disebut bilangan kuantum utama), kita dapatkan Tetapi ρ 0 menentukan E Persamaan 38 dan 39): ρ 0 = 2n. 52) E = 2 κ 2 2m = me2 8π 2 ɛ 2 0 2 ρ 2, 53) 0 jadi energi yang diperbolehkan adalah [ ) m e 2 2 ] E n = 2 2 4πɛ 0 n 2 = E, n =, 2, 3,. 54) n2 Ini adalah rumus Bohr yang sangat terkenal hasil yang paling penting di mekanika kuantum. Bohr mendapatkannya pada 93 menggunakan campuran antara fisika klasik yang tidak dapat diaplikasikan dengan teori kuantum awal yang primitif persamaan Schrödinger baru muncul pada 924). 3

Dengan menggabungkan Persamaan 39 dan 52, maka dapat kita ketahui bahwa ) me 2 κ = 4πɛ 0 2 n = an, 55) dimana a 4πɛ 0 2 me 2 = 0, 529 0 0 m 56) adalah yang disebut sebagai jari-jari Bohr. Kemudian dari Persamaan 39 lagi) dapat diketahui bahwa ρ = r an. 57) Fungsi gelombang spasial untuk atom hidrogen ditandai dengan tiga bilangan kuantum n, l, dan m): dimana kembali Persamaan 32 dan 44) ψ nlm r, θ, φ) = R nl r)y m l θ, φ), 58) R nl r) = r ρl+ e ρ vρ), 59) dan vρ) merupakan polinomial ρ berderajat j maks = n l, yang koefisiennya ditentukan oleh rumus rekursi c j+ = 2j + l + n) j + )j + 2l + 2) c j. 60) Keadaan dasar yaitu kedaan dengan energi paling rendah) adalah kasus dimana n =, dengan memasukkan nila-nilai tetapan fisis yang diperbolehkan, maka kita dapatkan: E = [ m 2 2 e 2 4πɛ 0 ) 2 ] = 3, 6 ev. 6) Terbukti bahwa energi ikat atom hidrogen jumlah energi yang Anda butuhkan untuk melepaskan elektron yang berada pada keadaan dasar untuk mengionisasi atom tersebut) adalah 3,6 ev. Persamaan 5 memaksa l = 0, sehingga m = 0 lihat Persamaan 26), jadi ψ 00 r, θ, φ) = R 0 r)y 0 0 θ, φ). 62) 4

Rumus rekursi memotong polinomialnya setelah suku pertama Persamaan 60 dengan j = 0 memberikan c = 0), jadi vρ) bernilai konstan c 0 ), dan R 0 r) = c 0 a e r/a. 63) Dengan menormalisasinya, sesuai dengan Persamaan 28: 0 R 0 2 r 2 dr = c 0 2 a 2 0 e 2r/a r 2 dr = c 0 2 a 4 =, jadi c 0 = 2 a. Sementara, Y 0 0 = / 4π, maka keadaan dasar atom hidrogen adalah Jika n = 2, energinya adalah ψ 00 r, θ, φ) = πa 2 e r/a. 64) E 2 = 3, 6 ev 4 = 3, 4 ev, 65) ini adalah keadaan tereksitasi pertama atau sering disebut, keadaan pertama saja. Karena kita bisa mendapatkan energi yang sama dengan l = 0 untuk kasus m = 0) maupun dengan l = dengan m =, 0, atau +); terbukti bahwa empat keadaan yang berbeda memiliki energi yang sama. Jika l = 0, maka rumus rekursi Persamaan 60) memberikan c = c 0 menggunakan j = 0), dan c 2 = 0 menggunakan j = ), jadi vρ) = c 0 ρ), sehingga R 20 r) = c 0 2a r ) e r/2a. 66) 2a [Perhatikan bahwa koefisien ekspansi {c j } benar-benar berbeda untuk bilangan kuantum n dan l yang berbeda.] Jika l = rumus rekursi menghapus suku-suku deretnya setelah satu suku, sehingga vρ) menjadi hanya berupa tetapan, maka kita dapatkan R 2 r) = c 0 4a 2 re r/2a. 67) Pada tiap kasus di atas, tetapan c 0 dapat diperoleh melalui normalisasi.) Untuk sebarang n, nilai l yang mungkin sesuai dengan Persamaan 5) adalah l = 0,, 2,, n, 68) 5

Tabel 4: Beberapa polinomial Laguerre, L q x), yang pertama L 0 = L = x + L 2 = x 2 4x + 2 L 3 = x 2 + 9x 2 8x + 6 L 4 = x 4 6x 3 + 72x 2 96x + 24 L 5 = x 5 + 25x 4 200x 3 + 600x 2 600x + 20 L 6 = x 6 36x 5 + 450x 4 2400x 3 + 5400x 2 4320x + 720 dan untuk setiap l ada 2l + ) nilai m yang mungkin Persamaan 26), jadi total kemerosotan degenerasi) tingkat energi E n adalah n dn) = 2l + ) = n 2. 69) l=0 Polinomial vρ) didefinisikan menggunakan rumus rekursi, Persamaan 60) adalah fungsi yang sangat dikenal matematikawan, terlepas dari proses normalisasi, polinomial ini dapat dituliskan sebagai dimana vρ) = L 2l+ n l 2ρ), 70) ) L p d p q p x) )p L q x) 7) dx adalah polinomial Laguerre sekawan, dan ) d q L q x) e x e x x q) 72) dx adalah polinomial Laguerre ke-q. Beberapa polinomial Laguerre yang pertama dituliskan pada Tabel 4, sedangkan beberapa polinomial Laguerre sekawannya diberikan pada Tabel 5. Kemudian beberapa fungsi gelombang radial yang pertama diberikan pada Tabel 6, dan digambarkan pada Gambar 3.) Fungsi gelombang atom hidrogen yang ternormalisasi adalah ψ nlm = ) 2 3 n l )! na 2n[n + l)!] 3 e r/na ) 2r l [ ] L 2l+ na n l 2r/na) Yl m θ, φ). 73) 6

Tabel 5: Beberapa polinomial Laguerre sekawan, L p q p x) L 0 0 = L2 0 = 2 L 0 = x + L2 = 6x + 8 L 0 2 = x2 4x + 2 L 2 2 = 2x2 96x + 44 L 0 = L3 0 = 6 L = 2x + 4 L3 = 24x + 96 L 2 = 3x2 8x + 8 L 3 2 = 60x2 600x + 200 Persamaan ini tidak kelihatan cantik, tetapi jangan protes persamaan inimerupakan salah satu dari beberapa sistem realistis yang dapat diselesaikan dalam bentuk eksak. Perhatian bahwa meskipun fungsi gelombang bergantung pada ketiga bilangan kuantum, namun energinya Persamaan 54) hanya ditentukan oleh n saja. Hal ini merupakan keanehan dari potensial Coulomb; pada potensial sumur bola, Anda ingat bahwa energinya juga berhantung pada l. Fungsi gelombang untuk atom hidrogen bersifat saling ortogonal: ψnlm ψ n l m r2 sin θdr dθ dφ = δ nn δ ll δ mm. 74) Sifat ini diperoleh dari ortogonalitas harmonik bola Persamaan 30) dan untuk n n ) dari fakta bahwa mereka adalah swafungsi eigenfunction) dari H dengan swanilai eigenvalue) yang berbeda. Menggambarkan fungsi gelombang atom hidrogen tidaklah mudah. Para kimiawan lebih suka untuk menggambarkan kerapatan, dimana kecerahan awan berbanding lurus dengan ψ 2 Gambar 4). Gambaran yang lebih kuantitatif tetapi mungkin lebih sulit untuk dibaca) adalah permukaan dengan rapat peluang yang konstan permukaan untuk nilai ψ 2 konstan, Gambar 5) 2.2 Spektrum Hidrogen Pada prinsipnya, jika Anda meletakkan atom hidrogen pada keadaan stasioner ψ nlm, maka ia harus berada pada keadaan itu selamanya. Namun, jika Anda sedikit mengusiknya dengan tumbukan dengan atom lain, atau dengan menyinarinya dengan cahaya), maka elektron akan mengalami transisi ke keadaan stasioner lainnya baik dengan menyerap energi, dan kemudian 7

Tabel 6: beberapa fungsi gelombang radial, R nl r), yang pertama untuk atom Hidrogen. R 0 = 2a 3/2 exp r/a) R 20 = 2 a 3/2 2 a) exp r/2a) R 2 = 24 a 3/2 r a exp r/2a) r R 30 = 2 27 a 3/2 2 3 R 3 = 8 r a + 2 27 r r a) 2 ) exp r/3a) 27 6 a 3/2 r 6 a) a) exp r/3a) R 32 = 3 8 30 a 3/2 r 2 a) exp r/3a) R 40 = 4 a 3/2 3 4 5 R 4 = 6 3 a 3/2 4 R 42 = 64 5 a 3/2 r ) 2 a r a + 8 92 r a + r 80 a r 2 ) r 3 a) exp r/4a) ) ) 2 r ) a exp r/4a) a) r a) 2 exp r/4a) R 43 = 768 35 a 3/2 r a) 3 exp r/4a) bergerak ke keadaan energi yang lebih tinggi, atau dengan melepaskan energi biasanya berupa radiasi elektromagnetik) dan bergerak turun ke keadaan yang lebih rendah. Pada kenyataannya gangguan semacam ini selalu hadir. Transisi atau terkadanag disebut lompatan kuantum ) secara konstan terus terjadi, dan hasilnya adalah hidrogen yang selalu melepaskan cahaya foton), yang energinya berkaitan dengan selisih energi antara keadaan awal dan keadaan akhir: ) E γ = E i E f = 3, 6 ev n 2 i n 2. 75) f Sekarang, menurut rumus Planck, energi foton berbanding lurus dengan frekuensinya: E γ = hν. 76) 8

Sementara itu, panjang gelombanya diberikan oleh λ = c/ν, jadi ) λ = R n 2 i n 2, 77) f dimana R m ) e 2 2 4π 3 =, 097 0 7 m 78) 4πɛ 0 yang dikenal sebagai tetapan Rydberg. Persamaan 77 adalah rumus Rydberg untuk spektrum hidrogen, rumus ini ditemukan secara empiris pada abad kesembilanbelas dan merupakan capaian terbesar dari teori Bohr adalah kemampuannya untuk cocok dengan hasil ini dan untuk menghitung R sebagai tetapan alam yang fundamental. Transisi ke keadaan dasar n f = ) berada pada daerah ultraviolet, yang dikenal oleh para spektroskopis sebagai deret Lyman. Transisi ke keadaan tereksitasi pertama n f = 2) jatuh di daerah cahaya tampak dan membentuk deret Balmer. Transisi ke n f = 3 deret Paschen) berada pada daerah inframerah; dan seterusnya Gambar 6). Pada suhu kamar, sebagian besar atom hidrogen berada pada keadaan dasar, untuk mendapatkan spektrum emisi Anda harus mengumpulkan atom-atom hidrogen yang berada pada keadaan tereksitasi, biasanya hal ini dilakukan dengan melewatkan lucutan listrik di dalam gas hidrogen.) 9

Gambar 3: Grafik beberapa fungsi gelombang radial, R nl r), hidrogen yang pertama. 20

Gambar 4: Plot kerapatan untuk fungsi gelombang hidrogen n, l, m). Bayangkan setiap plot diputar terhadap sumbu z vertikal). 2

Gambar 5: Permukaan ψ 2 yang konstan untuk beberapa fungsi gelombang hidrogen yang pertama. 22

Gambar 6: Tingkat-tingkat energi dan spektrum atom hidrogen. 23