BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Penulisan makalah ini merupakan pemaparan mengenai definisi garis sejajar, jarak dan jumlah sudut. Dengan materi yang diambil dari sumber tertentu. Pembahasan ini terkhusus pada masalah garis sejajar, jarak dan jumlah sudut dalam segitiga dan poligon. Lebih khusus lagi membahas tentang pasangan sudut yang terbentuk dari dua garis sejajar yang dipotong oleh suatu transversal, dan mengenai jarak antara dua bentuk geometrik, serta jumlah ukuran sudut-sudut suatu segitiga dan poligon. Makalah ini ditulis mempunyai tujuan yaitu untuk mempermudah seseorang dalam mempelajari dan memahami materi garis sejajar, jarak dan jumlah sudut. Harapan penulis, pembaca dapat memahami materi yang telah dipaparkan oleh penulis. B. RUMUSAN MASALAH 1. Apa yang dimaksud dengan garis sejajar? 2. Apa yang dimaksud dengan jarak? 3. Bagaimana jumlah ukuran sudut-sudut suatu segitiga? 4. Bagaimana jumlah ukuran sudut-sudut suatu segitiga? 5. Apa teorema kekongruenan yang baru? C. TUJUAN 1. Untuk mengetahui pengertian garis sejajar. 2. Untuk mengetahui pengertian jarak. 3. Untuk mengetahui ukuran sudut-sudut suatu segitiga. 4. Untuk mengetahui ukuran sudut-sudut suatu polygon. 5. Untuk mengetahui teorema baru kekongruenan. 1
BAB II MATERI A. GARIS SEJAJAR Garis-garis sejajar adalah garis-garis lurus yang terletak pada bidang yang sama dan tidak berpotongan sejauh apapun garis-garis tersebut diperpanjang. Simbol untuk garis-garis sejajar adalah ; jadi AB CD dibaca garis AB A C sejajar dengan garis CD. B D Transversal (garis melintang) dari dua atau lebih garis adalah suatu garis yang memotong garis-garis tersebut. Jadi EF AB dan CD. adalah transversal dari Sudut-dalam (sudut interior) yang terbentuk oleh dua garis yang dipotong oleh suatu transversal adalah sudut di antara kedua garis tersebut, sedangkan sudut-luar (sudut eksterior) adalah sudut yang berada di luar garis-garis tersebut. Jadi, dari kedelapan sudut yang terbentuk oleh AB dan CD yang dipotong oleh EF dalam gambar diatas, sudut-dalamnya adalah 1, 2, 3, dan 4; dan sudut-luarnya adalah 5, 6, 7, 8. 2
Pasangan Sudut yang Terbentuk oleh Dua Garis yang Dipotong oleh Suatu Transversal Sudut-sudut yang bersesuaian dari dua garis yang dipotong oleh suatu transversal adalah sudut-sudut pada sisi yang sama dari transversal tersebut dan pada sisi yang sama dari garis-garis tersebut. Jadi 1, dan 2 dalam gambar dibawah ini adalah sudut-sudut yang bersesuaian dari AB dan CD yang dipotong oleh transversal EF. Ketika dua garis sejajar dipotong oleh suatu transversal, sisi-sisi dari dua sudut yang bersesuaian membentuk huruf kapital F dengan posisi yang berbeda-beda, seperti berikut : Sudut-dalam berseberangan (alternate interior angles) dari dua garis yang dipotong oleh suatu transversal adalah sudut-sudut tidak berdampingan di antara kedua garis tersebut dan pada sisi-sisi yang berseberangan pada transversal tersebut. Jadi, 1 dan 2 pada gambar di bawah ini adalah sudut-dalam berseberangan dari AB dan CD yang dipotong oleh EF. 3
Ketika garis-garis sejajar dipotong oleh suatu transversal, sisi-sisi dari dua sudut-dalam berseberangan membentuk huruf kapital Z atau N dengan posisi yang berbeda-beda, seperti berikut : Ketika garis sejajar dipotong oleh suatu transversal, sudut-dalam pada sisi transversal yang sama dapat dengan mudah ditentukan letaknya dengan menandai huruf kapital U yang terbentuk oleh sisi-sisinya. Prinsip Garis Sejajar Prinsip 1 : Melalui satu titik tertentu yang tidak berada pada satu garis tertentu, dapat dibuat satu dan hanya satu garis yang sejajar dengan garis tertentu tersebut. (Postulat Garis Sejajar) Prinsip 2 : Dua garis disebut sejajar jika sepasang sudut yang bersesuaian kongruen. Prinsip 3 : Dua garis disebut sejajar jika sepasang sudut-dalam berseberangan kongruen. Prinsip 4 : Dua garis disebut sejajar jika sepasang sudut-dalam pada sisi transversal yang sama adalah sudut-sudut suplementer. 4
Prinsip 5 : Sejumlah garis disebut sejajar jika garis-garis tersebut tegak lurus terhadap satu garis yang sama. (Garis-garis yang tegak lurus terhadap satu garis yang sama disebut sejajar). Prinsip 6 : Sejumlah garis disebut sejajar jika garis-garis tersebut sejajar terhadap satu garis yang sama. (Garis-garis yang sejajar terhadap satu garis yang sama disebut sejajar). Prinsip 7 : Jika dua garis sejajar, setiap pasangan sudut-sudut yang bersesuaian kongruen. (Sudut-sudut yang bersesuaian pada garis-garis sejajar kongruen). Prinsip 8 : Jika dua garis sejajar, setiap pasangan sudut-dalam berseberangan kongruen. (Sudut-dalam berseberangan pada garis-garis sejajar kongruen). Prinsip 9 : Jika dua garis sejajar, setiap pasangan sudut-dalam pada sisi transversal yang sama adalah sudut suplementer. Prinsip 10 : Jika sejumlah garis sejajar, suatu garis yang tegak lurus terhadap salah satu di antara garis-garis sejajar tersebut tegak lurus juga terhadap garis-garis yang lainnya. Prinsip 11 : Jika sejumlah garis sejajar, suatu garis yang sejajar dengan salah satu diantara garis-garis sejajar tersebut sejajar juga dengan garis-garis lainnya. Prinsip 12 : Jika sisi-sisi dari dua sudut masing-masing sejajar satu sama lain, sudut-sudut tersebut bersifat kongruen atau suplementer. B. JARAK Jarak Antara Dua Bentuk Geometrik Jarak antara dua bentuk geometrik adalah ruas garis lurus yang merupakan ruas garis terpendek di antara bentuk-bentuk tersebut. 5
1. Jarak di antara dua titik, seperti P dan Q pada gambar (a), adalah ruas garis PQ yang terletak di antaranya. 2. Jarak antara suatu titik dan suatu garis, seperti P dan AB pada gambar (b), adalah ruas garis PQ, garis tegak lurus dari titik menuju garis. 3. Jarak antara dua garis sejajar, seperti AB dan CD pada gambar (c), adalah ruas garis PQ, garis tegak lurus di antara kedua garis sejajar tersebut. 4. Jarak antara suatu titik dan suatu lingkaran, seperti P dan lingkaran pada gambar (d), adalah ruas garis PQ, bagian dari OP di antara titik dan lingkaran. 5. Jarak antara dua lingkaran konsentrik, misalnya dua lingkaran yang berpusat di O, adalah ruas garis PQ, bagian dari lingkaran yang berjari-jari lebih besar yang terletak di antara kedua lingkaran tersebut, seperti yang ditunjuk gambar (e). Prinsip Jarak Prinsip 1 : Jika suatu titik terletak pada garis-berat (atau garis-bagi tegak lurus) suatu ruas garis, maka titik ini berjarak sama dari ujung-ujung ruas garis tersebut. 6
Prinsip 2 : Prinsip 3 : Prinsip 4 : Prinsip 5 : Prinsip 6 : Prinsip 7 : Jika suatu titik berjarak sama dari ujung-ujung suatu ruas garis, maka titik ini terletak pada garis-berat ruas garis tersebut. (Prinsip 2 adalah kebalikan dari Prinsip 1) Jika suatu titik terletak pada garis-bagi suatu sudut, maka titik ini berjarak sama dari sisi-sisi sudut tersebut. Jika suatu titik berjarak sama dari sisi-sisi suatu sudut, maka titik ini terletak pada garis-bagi sudut tersebut. (Prinsip 4 adalah kebalikan dari Prinsip 3) Dua titik yang masing-masing berjarak samadari ujungujung suatu ruas garisakan menentukan garis-berat ruas garis tersebut. (Garis yang menyatukan titik sudut-titik sudut dari dua segitiga sama kaki yang mempunyai dasar yang sama merupakan garis-berat dasar segitiga tersebut) Garis-berat pada sisi-sisi suatu segitiga bertemu di satu titik yang berjarak sama dari verteks-verteks segitiga tersebut. Garis-bagi pada sudut-sudut suatu segitiga bertemu di satu titik yang berjarak sama dari sisi-sisi segitiga tersebut. C. JUMLAH SUDUT i. Jumlah Ukuran Sudut-Sudut Suatu Segitiga Semua sudut segitiga bisa dipotong, seperti pada gambar (a), dan kemudian ditempelkan menjadi satu, seperti ditunjukkan pada gambar (b). ketiga sudut tersebut akan membentuk sudut lurus. 7
Kita dapat membuktikan bahwa jumlah ukuran sudut-sudut suatu segitigaadalah 180 dengan menggambar suatu garis melalui salah satu titik sudut segitiga tersebut yang sejajar dengan sisi di hadapan titik sudut tersebut. Pada gambar di atas, MN melalui B dan sejajar dengan AC. digambar Perhatikan bahwa ukuran sudut lurus pada B sama dengan jumlah ukuran sudut-sudut ABC ; yaitu, a + b + c = 180. Setiap pasangan sudut kongruen merupakan pasangan sudut-dalam berseberangan pada ragis-garis sejajar. Sudut-Dalam dan Sudut-Luar pada Poligon Sudut-luar pada poligon terbentuk ketika salah satu sisinya diperpanjang melalui suatu titik sudut. Jika setiap sisi poligon diperpanjang, seperti ditunjukan pada gambar (a), sudut-luar akan terbentuk pada setiap verteks. Setiap sudut-luar ini merupakan suplemen dari sudut-dalam berdampingan. Jadi, dalam setiap kasus pentagon ABCDE, akan terdapat lima sudut-luar, masing-masing satu pada setiap titik sudut. Perhatikan bahwa setiap sudut-luar merupakan suplemen dari sudut-dalam berdampingan. Sebagai contoh m a + m a = 180. Prinsip Jumlah Ukuran Sudut Prinsip 1 : Jumlah ukuran sudut-sudut suatu segitiga sama dengan ukuran sudut lurus. 8
Prinsip 2 : Jika dua sudut suatu segitiga masing-masing kongruen dengan dua sudut segitiga yang lain, sudutsudut yang tersisa juga kongruen. Prinsip 3 : Jumlah semua sudut-dalam suatu segiempat sama dengan 360. Prinsip 4 : Ukuran setiap sudut-luar suatu segitiga sama dengan jumlah ukuran dua sudut-dalamnya yang tidak berdampingan. Prinsip 5 : Jumlah ukuran sudut-luar suatu segitiga adalah 360. Prinsip 6 : Ukuran setiap sudut suatu segitiga sama sisi adalah 60. Prinsip 7 : Sudut-sudut lancip suatu segitiga siku-siku bersifat komplementer. Prinsip 8 : Ukuran setiap sudut lancip suatu segitiga siku-siku sama kaki adalah 45. Prinsip 9 : Suatu segitiga tidak bisa mempunyai lebih dari satu sudut siku-siku. Prinsip 10 : Suatu segitiga tidak bisa mempunyai lebih dari satu sudut tumpul. Prinsip 11 : Dua sudut bersifat kongruen atau suplementer jika sisi-sisinya masing-masing saling tegak lurus satu sama lain. ii. Jumlah Ukuran Sudut-Sudut Suatu Poligon Poligon adalah bentuk datar tertutup yang dibatasi oleh ruas garis-ruas garis lurus sebagai sisi-sisinya. Suatu n-gon adalah poligon dengan n sisi. Jadi, poligon dengan 20 sisi adalah 20-gon. Nama-nama poligon menurut jumlah sisinya Jumlah sisi Poligon Jumlah sisi Poligon 9
3 Segitiga 8 Oktagon 4 Segiempat 9 Nonagon 5 Pentagon 10 Dekagon 6 Heksagon 12 Dodecagon 7 Heptagon N n-gon Poligon beraturan adalah poligon sama sisi dan sama sudut. Jadi, pentagon beraturan adalah pentagon yang memiliki 5 sudut yang kongruen dan 5 sisi kongruen (gambar a). Bujursangkar adalah poligon beraturan bersisi 4 (gambar b). Jumlah Ukuran Sudut-Dalam suatu Poligon Dengan menggambar diagonal-diagonal dari sembarang titik sudut menuju ke setiap titik sudut yang lain, seperti pada gambar di bawah ini, poligon bersisi 7 dapat dibagi menjadi 5 segitiga. Perhatikan bahwa setiap segitiga mempunyai satu sisi poligon tersebut, kecuali segitiga pertama dan segitiga terakhir yang memiliki dua sisi polygon. 10
Secara umum proses ini akan membagi poligon bersisi n menjadi n 2 segitiga; yang berarti, banyaknya segitiga yang terbentuk selalu dua kurangnya dari banyaknya sisi poligon. Jumlah ukuran sudut-dalam suatu poligon sama dengan jumlah sudut-dalam segitiga. Dengan demikian : Jumlah ukuran sudut-dalam suatu poligon bersisi n adalah (n 2)180. Jumlah Ukuran Sudut-Luar suatu Poligon Sudut-luar poligon dapat dibuat bersama-sama, sehingga sudut-sudut tersebut mempunyai titik sudut yang sama. Untuk membuatnya, gambarlah garis-garis yang sejajar dengan sisi-sisi poligon dari satu titik, seperti pada gambar di bawah ini. Jika hal ini dilakukan, dapat kita lihat bahwa tidak peduli berapapun sisinya, jumlah ukuran sudut-luar sama dengan 360. Dengan demikian : Jumlah ukuran sudut-luar suatu poligon bersisi n adalah 360. Prinsip Poligon Sudut Untuk sembarang poligon Prinsip 1 : Jika S adalah jumlah ukuran sudut-dalam suatu poligon bersisi n, maka : 11
S = (n 2) sudut lurus = (n 2)180 0 Prinsip 2 : Jumlah ukuran sudut-luar semua poligon adalah 360 0. Untuk poligon beraturan Prinsip 3 : Jika poligon beraturan bersisi n (gambar a) mempunyai sudut-dalam berukuran i dan sudut-luar berukuran e (dalam derajat), maka : i = 180(n 2) n e = 360 n dan i + e = 180 Jadi, untuk poligon beraturan bersisi 20 : i = 180(20 2) 20 e = 360 20 = 18 = 162 i + e = 162 + 18 = 180 DUA TEOREMA KEKONGRUENAN YANG BARU Tiga metode untuk membuktikan segitiga-segitiga kongruen telah dijelaskan sebelumnya. Metode-metode tersebut adalah : 1. ss.sd.ss ss.sd.ss 2. sd.ss.sd sd.ss.sd 3. ss.ss.ss ss.ss.ss (ket : ss = sisi, sd = sudut) Dua metode tambahan untuk membuktikan bahwa segitiga-segitiga adalah kongruen yaitu : 4. ss.sd.sd ss.sd.sd 5. hip. kaki hip. kaki (ket : hip = hipotenusa atau sisi miring) 12
Dua Prinsip Kekongruenan yang Baru Prinsip 1 : (ss.sd.sd ss.sd.sd) Jika dau sudut dan satu sisi yang berhadapan dengan salah satu sudut tersebut pada suatu segitiga adalah kongruen dengan bagian-bagian yang bersesuaian pada segitiga yang lain, segitiga-segitiga tersebut adalah kongruen. Prinsip 2 : (hip. kaki hip. kaki) Jika hipotenusa atau sisi miring dan satu kaki pada suatu segitiga adalah kongruen dengan bagian-bagian yang bersesuaian pada segitiga yang lain, segitiga-segitiga tersebut adalah kongruen. Contoh soal : (a) Buktikan bahwa jika ukuran satu sudut suatu segitiga sama dengan jumlah ukuran dua sudut yang lainnya, maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku. (b) Buktikan bahwa jika sudut-sudut yang berhadapan dari suatu segiempat adalah kongruen, maka sisi-sisinya yang berhadapan adalah sejajar. Penyelesaian : (a) Diketahui : ABC, m C = m A + m B Untuk pembuktian : ABC adalah segitiga siku-siku Rencana : Buktikan m C = 90 Bukti Aljabar : Misalkan : a = besarnya derajat pada A b = besarnya derajat pada B 13
Maka, a + b = besar derajat pada C a + b + (a + b) = 180 (Prinsip 1) 2a + 2b = 180 a + b = 90 Karena m C adalah 90 0, ABC adalah siku-siku. (b) Diketahui : Segiempat ABCD, A C, B D Untuk pembuktian : AB CD, BC AD Rencana : Buktikan pada sisi yang sama dengan transversal adalah suplementer Bukti Aljabar : Misalkan : a = besarnya derajat pada A dan C b = besarnya derajat pada B dan D Karena A dan B adalah suplementer, maka BC AD Karena A dan D adalah suplementer, maka AB CD 14
BAB III PENUTUP A. KESIMPULAN Berdasarkan uraian materi di atas penulis menyimpulkan : 1. Garis sejajar adalah garis-garis lurus yang terletak pada bidang yang sama dan tidak berpotongan sejauh apapun garis-garis tersebut diperpanjang. 2. Jarak adalah ruas garis lurus yang merupakan ruas garis terpendek di antara bentuk-bentuk tersebut. 3. Jumlah sudut dalam suatu segitiga besarnya adalah 180 0. Jumlah sudut dalam suatu segiempat adalah 360 0. B. SARAN Berdasarkan uraian di atas, penulis memberikan saran atau rekomendasi untuk menyempurnakan penulisan makalah ini yaitu : 1. Perlu adanya penelitian lebih lanjut untuk menyempurnakan hasil penulisan makalah ini guna menjawab beberapa pertanyaan atau permasalahan yang muncul ketika penulisan makalah ini berlangsung. 2. Untuk lebih memahami materi garis sejajar, jarak dan jumlah sudut harus lebih banyak berlatih mengerjakan soal sejenis. C. DAFTAR PUSTAKA Barnett Rich. 2005. Geometri. Jakarta : Erlangga. 15