Vektor Vektor memiliki besaran dan arah. Beberapa besaran fisika yang dinyatakan dengan vektor seperti : perpindahan, kecepatan dan percepatan. Skalar hanya memiliki besaran saja, contoh : temperatur, tekanan, energi, massa dan waktu.
Susunan Koordinat Ruang-n a. Ruang dimensi satu (R 1 ) R O P E A Titik O mewakili bilangan nol ditulis O(0), titik E mewakili bilangan 1 ditulis E(1). P(2/5) artinya P mewakili bilangan 2/5 dan P diletakkan ke arah E (arah positip) sehingga OP = 2/5 satuan.
b. Ruang dimensi dua (R 2 ) Setiap pasangan bilangan riel (koordinat titik) dapat diwakili oleh sebuah titik pada suatu bidang rata, yang membentuk susunan koordinat di dalam ruang dimensi dua, ditulis R 2.
c. Ruang dimensi tiga (R 3 )
d. Ruang dimensi n (R n ) Secara umum untuk R n adalah pengembangan lebih lanjut dari R 3 dengan n adalah bilangan bulat positip, maka suatu titik di dalam R n dinyatakan sebagai n-urutan bilangan riel. Contoh : Titik X (x 1, x 2,.x n )
Geometri dan Aljabar Vektor Vektor dalam Bidang (R 2 ) Bidang Kartesian : x, y Definisi : garis yang memiliki arah, yang menyatakan perpindahan satu titik (A) ke titik yang lain (B). Y A B x Notasi : AB Titik A : titik awal atau ekor Titik B : titik akhir atau kepala
Kumpulan titik-titik dalam bidang merupakan kumpulan vektor yang berpangkal pada titik awal di titik asal O. Pada umumnya untuk menyatakan vektor dengan menggunakan koordinat. Contoh : titik A=(3,2), maka penulisan vektor a = OA =(3,2) B A vektor b = OB =(-1,3) vektor c = OC =(2,-1) O C
Penjumlahan vektor s a b
Mengikuti hukum : Komutatif : a b b a
Assosiatif : ( a b) c a ( b c)
Vektor b adalah vektor yang memiliki besaran yang sama dengan vektor b tetapi berlawanan arah, bila dijumlahkan akan menghasilkan : ( b) ( b) 0
Komponen vektor merupakan proyeksi vektor pada sumbu sistem koordinat Komponen vektor : aax a cos dan ay asin disebut komponen skalar atau komponen
Penjumlahan vektor dengan komponen s a b s, setiap komponen sama dengan komponen a b s a b x x x s a b y y y s a b z z z
Besar vektor : a 2 2 a ax ay dan tan Khusus untuk penjumlahan 2 vektor ( ), besar vektor dapat dicari dengan rumus : s a dan b a a x y 2 2 s a b 2 ab cos Dalam perhitungan vektor dibutuhkan rumus trigonometri : Dalil cosinus : 2 2 2 a b c bc 2 2 2 b a c ac 2 cos 2 cos c β a Dalil sinus : 2 2 2 c a b ab 2 cos a b c sin sin sin α b γ
Vektor satuan: Koordinat Kartesius Vektor satuan pada arah positif sumbu x, y dan z diberi tanda : iˆ, ˆj dan kˆ
Kita dapat tulis vektor a dan b sebagai berikut : a a iˆ a ˆj x y b b iˆ b ˆj x y disebut komponen vektor
Perkalian vektor : Perkalian vektor dengan skalar : Jika vektor a dikalikan dengan skalar s akan menghasilkan vektor baru dengan besar nilai absolute s dengan arah a jika s positif, dan berlawanan arah jika s negatif. Vektor a dibagi dengan s berarti kita mengkalikan dengan 1/s. a Perkalian vektor dengan vektor : Menghasilkan skalar : Scalar Product Dikenal sebagai : Dot product
Perkalian titik dan perkalian silang antar vektor satuan dalam koordinat kartesius : i. i = j. j = k. k = 1 i. j = j. k = I. k = 0 i x i = j x j = k x k = 0 i x j = k ; j x i = - k i x k = - j ; k x i = j k x j = - i ; j x k = i
Dituliskan secara komponen bagian sebagai berikut : a. b ( a cos )( b) ( a)( bcos ) Scalar product berlaku hukum komutatif a. b b. a Jika ditulis dalam vektor satuan, maka perkalian scalar : a. b ( a iˆ a ˆj a kˆ).( b iˆ b ˆj b kˆ) x y z x y z Diperoleh hasil akhir sebagai berikut : a. b a b a b a b x x y y z z
Menghasilkan vektor : a x b c Dengan besar c adalah : c absin Besaran a x b ditulis a x b 0 jika a// b dan maksimum jika a b
Arah dari vektor ctegak lurus bidang yang berisi vektor a dan b dikenal sebagai hukum tangan kanan. b x a ( a x b)
Penulisan dalam vektor satuan : a x b ( a iˆ a ˆj a kˆ) x ( b iˆ b ˆj b kˆ) Hasil akhir : x y z x y z a iˆ x b iˆ a b ( iˆ x iˆ ) 0 x x x x a iˆ x b ˆj a b ( iˆ x ˆj ) a b kˆ x y x y x y a x b ( a b b a ) iˆ ( a b b a ) ˆj ( a b b a ) kˆ y z y z z x z x x y x y
Cara mudah untuk perkalian silang dengan mengunakan metode determinan i j k a x b = a a a x y z b b b x y y
Cara lain : reduksi matrix 3x3 2x2
Vektor dalam ruang (R 3 ) Penjumlahan vektor dengan komponen vektor satuan
Contoh : Diketahui ujung vektor A terletak pada titik (2,2,2), vektor B pada titik (1,2,3) dan masing-masing berpangkal di titik (0,0,0) pada ruang kartesius 3 dimensi di bawah ini :
Jawab : Vektor a dan b diuraikan pada sumbu x, y dan z
Perkalian titik (dot product)
Jika v = (v 1, v 2, v 3 ) dan w = (w 1, w 2, w 3 ) adalah 2 vektor tak nol. Dan θ adalah sudut antara v dan w, maka hukum cosinus menghasilkan :
Perkalian silang (cross product) Definisi : Jika v = (v 1, v 2, v 3 ) dan w = (w 1, w 2, w 3 ) adalah 2 vektor di R 3 maka hasil kali silangnya adalah : v x w = (v 2 w 3 v 3 w 2, v 3 w 1 v 1 w 3, v 1 w 2 v 2 w 1 ) Atau dalam notasi matrik
Contoh : Carilah u x v dengan u = (1, 2, -2) dan v = (3, 0, 1) Jawab : 1 2-2 3 0 1 2-2 1-2 1 2 u x v,, 0 1 3 1 3 0 2, 7, 6
Vektor di ruang dimensi n (R n )
Contoh soal : 1 Dua buah vektor bertitik tangkap sama saling mengapit dengan sudut. Jika besar vektor dua kali vektor dan a b a b, hitung! Jawab : a dan b b 3 2 2 a b a b ab 2 2 a b a b ab 2 cos 2 cos a 2 2 2 2 a b ab a b ab 2 cos 3 2 cos 16 b cos 10 b 2 2 0 51,32
2 Dua buah vektor yang besarnya 8 dan 15 satuan saling mengapit dengan sudut 45. Hitung besar resultannya dan sudut antara resultan dengan vektor pertama. Jawab : 2 2 0 v r v v 2 v v cos 45 2 r r Sudut antara resultan dengan vektor pertama dapat dicari dengan 2 cara : dalil cosinus atau dalil sinus Dalil Cosinus : 1 2 1 2 458,7 21,4 satuan v v r 2 v r cos 2 2 2 2 1 1 297, 7 342, 4 cos =29,6 0 45 0 v 1 r r v 2 Dalil Sinus : v2 r 0 sin sin 135 15(0, 707) sin =29,7 21,4 0 v 1 v 2 r 135 0 v 1
3 Diketahui 3 buah vektor a 1 iˆ 3 ˆj 4 kˆ b 1 iˆ 2 ˆj 2 kˆ Hitung besar vektor dan sudut antara vektor ini dengan sumbu z jika r 2a b c. Hitung juga sudut antara vektor a dan b! Jawab : 2 2 2 r ( 2) iˆ ( 7) ˆj (13) kˆ r ( 2) ( 7) (13) 14,9 satuan Sudut antara r dengan sumbu z : men dot kan dengan vektor satuan arah sumbu z. ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Sudut antara r a dan b ab. 1.( 1) ( 3).( 2) 4.(2) c 3 iˆ 1 ˆj 3 kˆ r. k ( 2) i. k ( 7) j. k (13) k. k 13 r k cos 13 cos = =29.3 14.9 diperoleh dengan men dot kan keduanya. 13 cos 13 cos = =31,8 26 9 ab 0 0
4.Suatu vektor a dalam bidang xy mempunyai besar 5 satuan 0 dan arahnya 252 terhadap sumbu x positif. Vektor b mempunyai besar 4 satuan dan arahnya searah sumbu y. Hitung besar perkalian titik dan perkalian silang kedua vektor tersebut. Jawab : Sudut terkecil antara kedua vektor tersebut adalah: 252 90 162 0 0 0 Sehingga diperoleh : a b ab 0. cos (5)(4) cos162 19 satuan a b ab 0 x sin (5)(4) sin162 6,18 satuan
Soal Latihan :