I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang dan Perumusan Masalah Penelusuran tentang fenomena belalang merupakan bahasan yang baik untuk dipelajari karena belalang dikenal suka berkelompok dan berpindah. Dalam kelompok, gerakan internal individu-individu tidak sepenuhnya dipahami. Ketika berpindah terjadi pertukaran tempat yang kontinu di antara belalang yang berada di tanah dan belalang yang terbang. Beberapa model perilaku kelompok belalang disusun oleh Edelstein-Keshet et al. (1998) dengan tujuan memahami bagaimana kepaduan kelompok dapat dipertahankan dalam populasi yang besar (diatas 10 9 individu) pada jarak yang jauh (di atas ribuan mil) dan dalam periode waktu yang lama (di atas satu minggu). Untuk merefleksikan hal tersebut, Edelstein-Keshet L (1988) menggunakan variasi spasial (ruang) dasar. Variasi spasial dasar tersebut membahas tentang pengaruh gerakan, sebaran, dan kekompakan kelompok. Pada umumnya, beberapa populasi tersebar dengan tidak memperhatikan variasi lingkungan, kepadatan populasi dan gerakan dari belalang. Pada tingkat populasi yang besar (kelompok), hal tersebut mempengaruhi kekompakan kelompok dalam melakukan perpindahan. Beberapa populasi yang bergabung dalam kelompok mempunyai ukuran awal yang tidak sama. Dalam beberapa kasus tundaan atau periodik, dapat mempunyai ukuran awal yang sama. Ketika ukuran awalnya sama, setiap populasi bergerak menyerupai gerakan populasi yang besar seiring berjalannya waktu. Pada penelitian ini, diasumsikan bahwa ukuran sebaran masing-masing populasi sama, populasi bergerak dengan laju jarak yang konstan, dan tidak ada ukuran panjang populasi yang lebih kecil dari jarak tempuh yang ditentukan. Hal ini menyebabkan laju perubahan ukuran populasi belalang analog dengan kecepatan atau laju perubahan lokasi belalang. Setelah dilakukan pentranslasian dari peubah spasial populasi ke ukuran peubah kelompok, dilakukan penghitungan akumulasi kelompok untuk menunjukkan besar rataan dan ragamnya (Edelstein- Keshet L 1988). Gerakan populasi belalang dapat digunakan untuk merepresentasikan keseimbangan individu yang dinyatakan dengan turunan parsial. Ini dilakukan
dengan dua tahap. Pertama, pembuatan argumen sederhana dalam satu dimensi. Kedua, menunjukkan beberapa fenomena dengan memasukkan konveksi, difusi, dan tarikan karena adanya gerakan dari individu. Agar lebih sederhana, turunan persamaan difusi menggunakan hukum Ficks dengan pendekatan yang didasarkan pada model gerakan acak sehingga model direpresentasikan ke dalam Persamaan Diferensial Parsial (PDP). Kemudian dilakukan peralihan koordinat pada model ini, yaitu koordinat PDP ke dalam koordinat Persamaan Diferensial Biasa (PDB) untuk mengurangi kesulitan pencarian solusi yang kompleks. Sehingga diperoleh dua tipe solusi, yaitu solusi di sekitar titik tetap dan solusi gelombang berjalan (travelling wave). Pada dasarnya kelompok mengarah ke solusi travelling band (pulse). Beberapa model biologi banyak yang gagal untuk menghasilkan perilaku ideal kecuali dibuat asumsi-asumsi yang tidak biasa dan tidak realistis. Kegagalan ini disebabkan karena kesulitan menemukan model yang serupa dengan fenomena perpindahan dan kesulitan melakukan pendekatan kelompok untuk mengurangi masalah ini. Oleh karena itu, perlu pengkajian ulang penerapan difusi pada model dan penentuan solusi numerik agar diperoleh pendeskripsian yang lebih baik. 1. Tujuan Penelitian Berdasarkan latar belakang dan perumusan masalah di atas, maka tujuan penelitian ini adalah: 1 Mengkaji penerapan model difusi pada perpindahan belalang. Menentukan solusi numerik.
II LANDASAN TEORI.1 Persamaan Keseimbangan Edelstein-Keshet L (1988) menyatakan bahwa persamaan keseimbangan adalah dasar dalam sebaran spasial. Dideskripsikan bahwa F (, t ) kepadatan belalang pada posisi yang masuk ke dalam kelompok, adalah dan waktu t, J adalah banyaknya belalang adalah panjang perubahan kepadatan, dan adalah banyaknya belalang masuk dan keluar dari kelompok (source-sink). Berdasarkan pendeskripsian ini, persamaan keseimbangan dapat dinyatakan sebagai F (, t ) J (, t ) J (, t ) t (, t ). (.1) Bila pada persamaan (.1) diambil limit 0, maka diperoleh persamaan keseimbangan satu dimensi berikut F (, t ) J (, t ) = t (, t ). (.) Tanda min pada J (, t ) menyatakan bahwa rumus beda hingga dalam persamaan (.1) mempunyai tanda yang berlawanan dengan tanda pada definisi turunannya.. Konveksi Menurut Edelstein-Keshet L (1988), gerakan belalang dalam kelompok dipengaruhi oleh kecepatan angin dan kepadatan kelompok. Jika w adalah kecepatan angin, maka banyaknya belalang yang masuk ke dalam kelompok adalah J Fw, (.3) Jika persamaan (.3) disubstitusikan ke persamaan (.), maka diperoleh persamaan perpindahan (transport) satu dimensi sebagai berikut: F (, t ) t F (, t ) w (, t ). (.4)
4 Kokasih PB (006) menuliskan persamaan konveksi difusi penyebaran F yang disebabkan oleh koefisien difusi (D) bergantung pada konveksi karena bergeraknya populasi dengan kecepatan (U), sebagai berikut: F D F U F. t (.5).3 Matematika Difusi Difusi adalah fenomena dari populasi yang menyebar secara keseluruhan menurut gerakan acak tiap individu. (Okubo A 1980).4 Hukum Ficks Menurut hukum Ficks, jumlah perpindahan populasi di posisi dalam satu unit area terhadap satu unit waktu, yakni fluks J (, t ) kepadatan populasi. Selanjutnya, didefinisikan bahwa adalah proporsi gradien J (, t ) D F, dengan F adalah kepadatan populasi dan D adalah laju penyebaran atau koefisien difusi. Tanda negatif menunjukkan bahwa difusi terjadi dari kepadatan tinggi menuju kepadatan rendah. Penggunaan hukum Ficks ada dalam persamaan difusi berikut: F ( J (, t ) / ) F D t (Okubo A 1980). (.6).5 Persamaan Difusi Kelompok Belalang Model matematika untuk sebaran spasial populasi dari belalang seperti pola kepadatan kelompok tidak dapat didasarkan pada gerakan acak sederhana. Dalam hal ini harus dimasukkan mekanisme pergerakan populasi belalang yang melawan aksi difusi. Jadi fluks populasi melalui bidang yang tegak lurus dengan sumbu yang berisi dua komponen, yakni acak dan tak acak. Jika proses difusi diasumsikan sebagai komponen acak dan proses adveksi sebagai komponen tak acak, maka fluks dapat di formulasikan F D sebagai
5 proses difusi dan uf sebagai proses adveksi. Dalam hal ini, D menyatakan koefisien difusi dan u menyatakan kecepatan rata-rata individu yang melewati bidang. Pergerakan acak populasi terjadi dari kepadatan tinggi ke kepadatan rendah, sedangkan pergerakan tak acak terjadi dalam arah kecepatan rata-rata. Secara umum D dan u mempengaruhi kekompakan kelompok. Hal ini tergantung pada kepadatan populasi. Total fluks dapat dituliskan J us D F. (.7) (Okubo A 1980).6 Pola Penyebaran Belalang Individu dalam populasi ada yang keluar masuk dalam kelompok ketika kelompok tersebut bergerak. Adanya individu yang keluar masuk dalam kelompok membentuk suatu pola sebaran tertentu. Dengan mengacu pada hukum Ficks tentang perbedaan kedifusian dan ragam dari dua populasi, Okubo A (1980) menyatakan bentuk pola penyebaran tiap populasi sebagai berikut: A l1 ep[ ( / a) ], a ep[ ( / ) ], b (.8) B l b (.9) dalam hal ini, b a..7 Tarikan (Attraction) dan Tolakan (Repulsion) Dalam persamaan (.8) dan (.9), simbol l menyatakan tarikan dan l 1 menyatakan tolakan. Bentuk keseimbangan akibat adanya dua sumber (tarikan dan tolakan) yang berlawanan arah diberikan Okubo A (1980) sebagai berikut: L l l, (.10) 1.8 Gelombang Berjalan (GB) GB merupakan solusi Persamaan Diferensial Parsial (PDP) dengan pola gelombang tetap dan kecepatan konstan. Mengenai GB, Edelstein-Keshet L
(1988) menyatakan bahwa f (, t ) disebut GB jika fungsi tersebut 6 mempertahankan bentuk gelombang pada laju konstan c ketika gelombang bergerak ke kanan. Pengamat bergerak dengan kecepatan sama dan searah dengan gerakan gelombang sehingga terlihat bentuk gelombang yang tidak berubah. Hubungan antara fungsi gelombang yang bergerak ke kanan f (, t ) dengan fungsi pengamat yang bergerak F ( z ) adalah: F ( z ) f (, t ), dengan syarat z ct, (.11) F ( z ) adalah fungsi dari peubah tunggal, yaitu jarak sepanjang gelombang dari beberapa titik tetap yang dipilih menuju z 0. Dengan aturan rantai diferensiasi, persamaan (.11) dapat diubah ke dalam bentuk berikut: F F z F z z F F z F c t z t z,. (.1) Sehingga diperoleh bentuk Persamaan Diferensial Biasa (PDB) dari suatu sistem PDP, yang dapat diketahui eksistensi dan sifat yang dimiliki solusi GB..8.1 Persamaan Fisher Mengenai eksistensi dan sifat yang dimiliki solusi GB, Edelstein-Keshet L (1988) mengutip Fisher (1937) mengamati gerakan acak dari populasi individu pada suatu daerah tertentu. Ia memisalkan F sebagai proporsi populasi individu yang bergerak acak, S 1 F sebagai proporsi populasi individu pada saat awal, sebagai koefisien konstan proporsi populasi, dan D sebagai koefisien difusi. Laju perubahan F bentuk persamaan berikut: pada suatu lokasi tertentu dapat dinyatakan ke dalam F t F D F 1 F. (.13) Persamaan (.13) untuk mendeskripsikan populasi yang berhubungan dengan masalah logistik dan penyebaran acak. Persamaan (.13) mempunyai solusi yang variatif bergantung pada syarat batas yang diberikan. Dengan
7 peralihan koordinat z ct dan perubahan bentuk persamaan menjadi PDB, maka solusi GB dapat dicari dengan lebih mudah. Pada penelitian ini, diasumsikan bahwa domain gelombang berada pada daerah yang tak terbatas. Gelombang penyebaran individu dalam kelompok yang dideskripsikan pada persamaan (.13) diharapkan sesuai realitas biologis. Untuk menemukan solusi sistem PDP berdimensi kecil dapat digunakan analisis bidang fase..8. Penondimensionalan Dalam suatu sistem PDP, bentuk peubah-peubah ada yang berdimensi tak sama. Oleh karena itu, peubah-peubah tersebut perlu diekspresikan sama agar solusi mudah diperoleh. Menurut Edelstein-Keshet L (1988), pengekspresian peubah dapat dilakukan dengan cara berikut: Kuantitas ukuran = Skalar pengali Unit yang berdimensi.8.3 Proses Pelinearan Untuk menentukan solusi tertutup steady state (solusi yang didekati oleh pelinearan) dari sistem PDP, Edelstein-Keshet L. (1988) memisalkan PDB sebagai berikut: dx dy F ( X, Y ), G ( X, Y ), (.14) (.15) di mana F dan G adalah fungsi tak linear. Diasumsikan bahwa X dan Y adalah solusi steady state, yang memenuhi memenuhi F ( X, Y ) G ( X, Y ) 0. (.16) Solusi tertutup steady state yang sering disebut gangguan (pertubation) X ( t ) X ( t ), (.17) Y ( t ) Y y ( t ). (.18)
8 Setelah disubtitusi ke persamaan (.14) dan (.15), diperoleh d ( X ) F ( X, Y y ), d ( Y y ) G ( X, Y y ). (.19) (.0) Sisi kiri diperluas dan dibentuk turunannya oleh definisi dx 0 dan dy 0. Sisi kanan diperluas oleh F dan G dalam deret Taylor pada titik ( X, Y ). Sehingga diperoleh d dy F ( X, Y ) F ( X, Y ) F ( X, Y ) y y y bentuk orde,,, dan yang lain, G ( X, Y ) G ( X, Y ) G ( X, Y ) y y y bentuk orde,,, dan yang lain, y y (.1) (.) di mana F ( X, Y ) adalah F yang dievaluasi pada ( X, Y ). Untuk F, G, G, dievaluasi dengan cara yang sama. y y Oleh definisi F ( X, Y ) G ( X, Y ) 0 diperoleh d dy a a y, 11 1 a a y, 1 (.3) (.4) dalam bentuk matriks A a a F F 11 1 a a G G 1 y ( X, Y ) y. (.5) Bentuk ini adalah bentuk matriks Jacobian dari sistem persamaan (.14) dan (.15). Untuk menentukan kestabilannya dengan cara melihat solusi persamaan (.3) dan (.4).
.8.4 Orbit Ketika suatu sistem PDP berdimensi kecil, maka solusi sistem tersebut dapat dicari dengan menggunakan pendekatan analisis bidang fase. Pendekatan analisis bidang fase merupakan teknik untuk mencari solusi dari sistem PDB yang luas cakupan solusinya. Oleh karena itu, untuk mempermudah mencari solusi dari sistem tersebut perlu dilakukan pembatasan pada GB yang diberikan. Batas gelombang ini merupakan batas trayektori untuk sistem persamaan pada ruang fase yang berdimensi tinggi. Edelstein-Keshet L (1988) menyatakan bahwa orbit trayektori heteroklinik merupakan cerminan batas gelombang yang menghubungkan dua titik tetap. B atas trayektori yang lain adalah: i Orbit homoklinik (trayektori yang meninggalkan sebuah titik sadel ketika tak stabil dan kembali ke titik sadel ketika stabil) akan menghasilkan gelombang asimtotik yang mendekati nilai z. ii Suatu cycle atau orbit periodik yang mencerminkan osilasi penyebaran melimpah pada ruang..9 Momen Sebaran Belalang berikut: Dougherty RD (1990) mendefinisikan nilai awal momen sebaran sebagai i Untuk beberapa bilangan bulat tak negatif k, peubah acak X adalah: 9 maka nilai awal momen dari ' k k E X. (.6) ii Jika X kontinu, maka ' k k k E X f / d. (.7) iii Jika ' 0 1, dengan jumlah keseluruhan peluang adalah satu dan E X ' 1, maka nilai awal momen kedua adalah: ' E X f / d. (.8)
10 Edelstein-Keshet et al. (1998), menuliskan hal tersebut ke dalam bentuk berikut ini: i i F ( t ) F (, t ) d, (.9) i 1 ii V ( t ) X F (, t ) d, N dalam hal ini, F merupakan ukuran sebaran. V (.30) adalah ragam, N adalah jumlah total individu dan X adalah pusat massa (kepadatan tertinggi) kelompok..10 Konvolusi Fungsi Menurut Riley et al. (006), selain dipengaruhi penyebaran populasi, laju kepadatan populasi juga dipengaruhi kecepatan kelompok. Kecepatan kelompok ini merupakan sebaran yang diamati, yakni dengan memisalkan F ( ') sebagai fungsi yang akan diukur, K ( y ) sebagai fungsi resolusi yang digunakan sebagai alat ukur, dan v ( ) hasil penghitungan sebaran yang diamati. Fungsi resolusi tidak memberikan nilai keluaran yang benar, maka dimungkinkan bahwa nilai keluaran y 0 akan diganti oleh nilai di antara y dan y dy dan dinyatakan dengan K ( y ) dy. Simbol ',, dan y adalah peubah berukuran sama (panjang atau sudut), tetapi mempunyai perbedaan peran. Diasumsikan bahwa F ( ') d ' bergerak menuju ke interval dz, yaitu ke K ( ') d, karena adanya resolusi '. Kombinasi yang mungkin ada adalah bahwa interval d ' akan meningkat dalam interval d, yaitu menuju K ( ') F ( ') d '. Penambahan kontribusi dari semua nilai ' mengarah ke dalam range menuju d, sehingga diperoleh bentuk bentuk v ( ) K ( ') F ( ') d '. (.31) Bentuk ini disebut konvolusi dari fungsi F dan K, yang sering ditulis dalam v K * F. (.3) Menurut Borrelli RL & Coleman CS (1998), bentuk perkalian konvolusi dapat digunakan untuk menemukan respon pada sistem dinamik untuk kecepatan yang terjadi secara mendadak pada amplitudo yang luas dan durasi yang pendek.
11.11 Fungsi Kernel Dalam penelitian ini, untuk fungsi resolusi menggunakan bentuk kernel ganjil karena adanya trayektori homoklinik. Edelstein-Keshet et al. (1998) memberikan definisi fungsi resolusi dalam konvolusi dengan bentuk kernel ganjil sebagai berikut: A B K a b a b ep[ ( / ) ] ep[ ( / ) ], (.33) dalam hal ini, A adalah repulsion (tolakan), B adalah attraction (tarikan), a adalah jarak tolakan dan b adalah jarak tarikan. Dalam pembahasan selanjutnya kernel ganjil dalam penelitian ini disebut kernel saja.