Istirto Jurusn Tknik Sipil dn Lingkungn FT UGM http://istirto.stff.ugm.c.id mil: istirto@ugm.c.id KONVKSI DIFUSI PRMANN SATU DIMNSI Diskritissi Prsmn Konvksi Difusi Prmnn Stu Dimnsi dngn Mtod Volum Hingg Istirto JTSL FT UGM Prsmn Trnspor Konvktif-Difusif Bntuk umum prsmn trnpor konvktif-difusif sutu bsrn sklr dlh: t ( V ( Γ R ( Dlm prsmn di ts V dlh vktor kcptn lirn Γ dlh kofisin difusi dn R dlh sourc. Alirn hrus pul mmnuhi hukum konsrvsi mss (kkontinun mss. Prsmn konsrvsi mss lirn dlh sbgi brikut: V (2 Untuk ksus trnspor dlm bidng stu dimnsi dn prmnn prsmn trnspor konvktif-difusif dn prsmn konsrvsi mss di ts dpt dituliskn sbgi brikut: du d x d d x Γ d R (3 d x ( du d x Apliksi prsmn konvksi-difusi prmnn stu dimnsi dipprkn mllui contoh ksus di bh ini. Contoh ksus di sini mirip dngn contoh ksus pd trnspor difusi prmnn stu dimnsi (liht tulisn mngni prsmn difusi bb yng mndhului bb ini. Sutu slurn (flum tmpng sgi mpt diliri ir dngn kcptn konstn.3 m/s. Pnjng slurn m lbr slurn.4 m dn kdlmn ir.2 m. Air di ujung kiri slurn dibri tmprtur 3 C dn di ujung knn slurn dibri tmprtur 25 C. Kduny diprthnkn konstn. Kofisin difusi 5 m 2 /s. Tmprtur di spnjng slurn brvrisi dn dpt dihitung dngn mmki Prs. 3. Lngkh hitungn mngikuti mtod finit volum. Sm dngn contoh ksus difusi prmnn stu dimnsi coding dn hitungn dilkukn dngn bntun sprdsht. Pr mhsis psrt kulih dimint mngrjkn sndiri dngn mngcu pd lngkh-lngkh yng dijbrkn pd ppn tulis dn tyngn yng ditunjukkn di rung kulih. Mhsis tidk disrnkn untuk hny mmbc pnjbrn lngkh hitungn dn mng-copy fil sprdsht. (4
Lngkh : Pmbutn grid (diskritissi domin modl Istirto Jurusn Tknik Sipil dn Lingkungn FT UGM http://istirto.stff.ugm.c.id mil: istirto@ugm.c.id Sm sprti pd contoh ksus difusi prmnn stu dimnsi domin modl dlm hl ini slurn dibgi mnjdi sjumlh volum kontrol (control volum diskrit tu sring pul disbut dngn cll. Volum kontrol di dkt bts domin modl diltkkn sdmikin hingg sisi volum kontrol brimpit dngn bts domin. Titik hitung (nod dlh titik tngh volum kontrol. Dlm ksus difusi di dlm slurn ini domin modl dibgi mnjdi volum kontrol brukurn srgm pnjng m gr hitungn mnjdi sdrhn. Gmbr. Diskritissi domin modl mnjdi sjumlh volum kontrol. Lngkh 2: Diskritissi prsmn difusi Intgrsi prsmn difrnsil konvksi-difusi Prs. 3 untuk sbuh volum kontrol dlh: cv du d x d ϑ d d x Γ d ( d ϑ cv Rd ϑ (5 d x cv Dngn mmki torm divrgnsi Guss intgrl volum suku konvksi dn difusi di sisi kiri pd prsmn di ts dpt diubh mnjdi intgrl lusn trtutup yng mnylimuti volum kontrol: u n ds Γ d S n ds S Rd ϑ (6 d x cv Dlm prsmn trsbut S dlh vktor lus yng rhny tgk lurus k rh lur dri slimut volum kontrol. Untuk volum kontrol stu dimnsi (Gmbr 2 prsmn di ts dpt diubh mnjdi: ( u S u S ( ( Γ S d. -. d x ( Γ S d - d x / RΔϑ (7 / Dlm prsmn di ts S dlh lus tmpng sisi volum kontrol Δ ϑ dlh volum volum-kontrol dn R dlh sourc rt-rt di dlm volum kontrol. Titik hitung sutu volum kontrol diidntifiksikn dngn simbol P yng mmiliki volum kontrol ttngg di sisi kiri (st dn sisi knn (st. Sisi volum kontrol di kiri dlh dn di knn dlh. Dngn cr yng sm intgrsi prsmn kontinuits Prs. 4 untuk sbuh volum kontrol stu dimnsi dlh: ( S ( u S u ( 2
Istirto Jurusn Tknik Sipil dn Lingkungn FT UGM http://istirto.stff.ugm.c.id mil: istirto@ugm.c.id Gmbr 2. Volum kontrol stu dimnsi. Untuk pnydrhnn pnulisn diknlkn vribl F dn D. F dlh fluks (mss konvktif dn D dlh konduktivits difusi mnmbus sisi volum kontrol: F u S dn Γ S D (9 Δ x Dngn mmki vribl F trsbut mk suku-suku konvktif pdrs. 7 dpt dituliskn sbgi brikut: ( u S ( u S F F ( Dngn mmki dfinisi vribl D srt mmki cr bd tngh (cntrl diffrnc untuk mnghitung grdin di sisi volum kontrol mk suku-suku difusi pdrs. 7 dpt dituliskn sbgi brikut: Γ S d ( d x Γ S d ( d x Γ S Δx P Γ S Δx P ( D ( ( D ( ( Dngn mmki Prs. dn srt mmki cr linrissi untuk mnghitung suku sourc sprti yng dilkukn pd contoh ksus difusi prmnn stu dimnsi mk bntuk diskrit prsmn trnspor konvktif-difusif Prs. 7 dlh: F F D ( D ( dn bntuk diskrit prsmn kontinuits Prs. dlh: R u R p (2 F F (3 Dri Prs. 2 dn 3 tmpk du hl yng prlu mndptkn prhtin yitu nilinili F dn di sisi volum kontrol. Untuk st ini dinggp bh kcptn lirn di sisi volum kontrol dikthui (pd knytnny kcptn mrupkn vribl unknon shingg F dpt dihitung. Nili vribl di sisi volum kontrol prlu ditntukn dngn pndktn brdsrkn nili vribl di volum kontrol. Untuk kprlun ini diknl brbgi skm pndktn ntr lin: bd tngh (cntrl diffrncing upind diffrncing hybrid diffrncing por l srt QUICK. 3
Cntrl Diffrncing Schm Nili kofisin difusi di sisi-sisi volum kontrol dn dihitung dngn intrpolsi linr dri nili-nili yng d di du titik hitung volum kontrol di kiri dn knnny (Gmbr 3: Istirto Jurusn Tknik Sipil dn Lingkungn FT UGM http://istirto.stff.ugm.c.id mil: istirto@ugm.c.id Δx P Δx Δx Δx P Apbil ukurn volum kontrol srgm mk: dn Δx Δx P Δx P Δx (4 2 ( dn 2 ( (5 Gmbr 3. Cntrl diffrncing schm. Substitusi Prs. 5 k Prs. 2 mnghsilkn prsmn brikut ini: F ( 2 F ( 2 ( D ( D ( R u R p (6 yng dngn pnglompokn kofisin mnghsilkn prsmn brikut ini: F 2 D F 2 D F 2 D R P. -. F 2 D R u (7 Dngn sdikit mnipulsi mtmtis prsmn trsbut dpt pul dituliskn sbgi brikut: F 2 D F 2 D F 2 D F F R P. -. F 2 D R u Apbil kofisin-kofisin suku dn dinmi dn mk prsmn di ts dpt dituliskn sbgi brikut: R u ( 4
Kofisin-kofisin dlm prsmn trsbut dlh: F 2 D F 2 D dn F F Istirto Jurusn Tknik Sipil dn Lingkungn FT UGM http://istirto.stff.ugm.c.id mil: istirto@ugm.c.id Prs. mrupkn prsmn diskrit di stip volum kontrol. Untuk volum kontrol (liht Gmbr kn diprolh prsmn. Nili vribl di stip volum kontrol ( mrupkn fungsi nili-nili di 2 volum kontrol ttngg ( dn. Volum kontrol yng brd di kdu ujung slurn yitu volum kontrol dn hny mmiliki stu ttngg sdngkn slh stu sisi brimpit dngn bts domin modl. Di bts domin nili dikthui. Nili ini diknl sbgi syrt bts (boundry condition. Di bh ini dipprkn pnyusunn kspuluh prsmn trsbut. Volum kontrol 2 s.d. 9 Dngn volum kontrol srgm Δx m lus sisi volum kontrol srgm S.4.2. m 2 kofisin difusi srgm Γ 5 m 2 /s kcptn srgm u.3 m/s mk: F D F u S.3..24 m D Γ S Δx 5 3..4 m dn kofisin-kofisin pd prsmn diskrit konvksi-difusi dlh: F 2 D.24 2.4.42 F 2 D.24 2.4.3 F F.3.42.24.24. s 3 s Prlu dictt bh dlm ksus ini tidk d sourc shingg R u dn R P. Volum kontrol Sisi kiri volum kontrol ini brimpit dngn bts domin. Di sblh knn (timur volum kontrol ini brttngg dngn volum kontrol 2. Kofisin dihitung sprti hitungn pd volum kontrol 2 s.d. 9. Di sblh kiri (brt tidk d volum kontrol ttngg shingg kofisin tidk d. Kofisin dn suku sourc dihitung dngn cr brbd dri cr hitungn sourc di volum kontrol 2 s.d. 9. Prsmn diskrit trnspor konvktif difusif di volum kontrol dlh (liht Gmbr 4: Gmbr 4. Volum kontrol di bts kiri domin modl. 5
( F 2 ( F [ D ( 2D ( ] P P P Istirto Jurusn Tknik Sipil dn Lingkungn FT UGM http://istirto.stff.ugm.c.id mil: istirto@ugm.c.id Pd contoh ksus ini tidk d sourc shingg suku di sblh knn tnd prsmn dlh nol. Dngn pnglompokn kofisin prsmn di ts dpt dituliskn sbgi brikut: F 2 D 2D ( F 2 D ( F 2D tu dpt pul dituliskn sbgi brikut: ( F 2 D F 2D - - F 2 D ( F 2D Dlm hl ini A 3 C. F 2 D.24 2.4.3 R p 2D 2.4. F.3.24..22 R ( F 2 D (.24 2.4 3 24. 72 u Volum kontrol Prlkun untuk volum kontrol ini mirip dngn volum kontrol hny sj sisi yng brimpit dngn bts domin modl dlh sisi knn. Gmbr 5. Volum kontrol di bts knn domin modl. Prsmn diskrit trnspor konvktif difusif di volum kontrol dlh sbgi brikut (liht Gmbr 5: ( F F 2 ( [ 2D ( D ( ] P P P Dngn pnglompokn kofisin prsmn di ts dpt diubh mnjdi:.( F ( F D 2D D 2-2 2 ( F D 6
tu F 2 D F 2 D F 2D. -. ( F 2D Istirto Jurusn Tknik Sipil dn Lingkungn FT UGM http://istirto.stff.ugm.c.id mil: istirto@ugm.c.id Dlm hl ini B 25 C. F 2 D.24 2.4.42 R p 2D 2.4. F.42.24.. R u ( F 2 D (.24 2.4 25 9. 4 Lngkh 3: Pnylsin prsmn (sistm prsmn linr Sprti hlny dlm ksus trnspor difusif kspuluh prsmn yng diprolh dri pnjbrn prsmn diskrit trnspor konvktif-difusif di stip volum kontrol pd lngkh k-2 mrupkn stu sistm prsmn linr. Sistm prsmn ini dpt dituliskn dlm bntuk prklin mtriks sbgi brikut: A Φ R (9 A dlh mtriks bujur sngkr brdimnsi yng lmnny dlh kofisin dn Φ dlh vktor kolom yng lmnny dlh vribl dn R dlh vktor kolom yng lmnny dlh konstnt/nili sourc. A ( 2 3 4 5 6 7 9 Φ ( -. R u R u2 R u3 R u4 R u5 R u6 R u7 R u R u9 R u R -. Substitusi nili-nili kofisin yng tlh diprolh pd lngkh ktig k dlm mtriks di ts mnghsilkn mtriks sbgi brikut: 7
-. 9.4 24.72..42.3..42.3..42.3..42.3..42.3..42.3..42.3..42.3..42.3.22 9 7 6 5 4 3 2
Unknons mtrix Φ dpt dihitung dngn mnglikn invrsi mtriks A (A dngn mtriks di sisi kiri dn knn Prs. 9: A R (2 Istirto Jurusn Tknik Sipil dn Lingkungn FT UGM http://istirto.stff.ugm.c.id mil: istirto@ugm.c.id Hitungn dpt dilkukn dngn mudh dngn bntun progrm pliksi sprdsht MSxcl.. Mislkn lmn-lmn mtriks A dituliskn dlm sl Q25:Z34 dn lmn mtriks R dlm sl AC25:AC34. 2. Vktor kolom Φ dihitung dngn fungsi yng tlh disdikn dlm MSxcl dn disimpn dlm sl AC37:AC46 dngn lngkh sbgi brikut: pilih sl AC37:AC46 tuliskn fungsi untuk mnghitung prklin du mtriks MMULT(MINVRS(Q25:Z34AC25:AC34 tkn tombol CNTRLSHIFTNTR brsm-sm sl AC37:AC46 brisi Φ sprti di bh ini: 29.76 29.433 29.9 2.523 2.5 27.626 27.32 26.54 25.954 25.3324 Profil tmprtur ir di spnjng flum yng diprolh dri hitungn numris dngn mtod cntrl diffrncing schm disjikn pd Gmbr 6. 9
3 3 Istirto Jurusn Tknik Sipil dn Lingkungn FT UGM http://istirto.stff.ugm.c.id mil: istirto@ugm.c.id Tmprtur[ C] 29 2 27 26 25 24 2 3 4 5 6 7 9 Gmbr 6. Profil tmprtur ir di flum yng diprolh dri pnylsin numris prsmn konvksi-difusi dngn mnggunkn cr cntrl diffrncing schm. Upind Diffrncing Schm Jrk[m] Cntrl diffrncing schm mmiliki klmhn dlm hl ktidk-mmpunny mliht rh lirn. Nili di sisi timur mislny sllu mrupkn fungsi (dipngruhi olh nili di titik hitung P dn. Apbil trnspor konvktif dominn (kcptn lirn bsr nili shrusny lbih bnyk dipngruhi olh nili pbil rh lirn positif (dri P k dn olh nili pbil rh lirn ngtif (dri k P. Klmhn ini tidk dijumpi pd upind diffrncing schm. Pd skm ini nili di sisi-sisi volum kontrol dlh sm dngn nili di volum kontrol hulu (tmpt sl lirn. Gmbr 7 mnunjukkn scr skmtis prinsip upind diffrncing schm.
Istirto Jurusn Tknik Sipil dn Lingkungn FT UGM http://istirto.stff.ugm.c.id mil: istirto@ugm.c.id Gmbr 7. Upind diffrncing schm: ( rh lirn positif dn (b rh lirn ngtif. Dngn upind diffrncing schm nili dn dittpkn dngn cr sbgi brikut: P P jik jik jik jik F F F F > < > < Substitusi Prs. 2 dn 2b di ts k Prs. 2 mnghsilkn: mx ( F ϕ P mx ( F ϕ mx ( F ϕ mx ( F ϕ P D ( ϕ ϕ P D ( ϕ P ϕ R u R p ϕ P (2 (2b Dngn mnglompokkn kofisin prsmn di ts dpt dituliskn sbgi brikut: mx F ( D ( D mx F mx ( F D mx ( F D R p R u (22
Prhtikn kofisin trnspor konvktif untuk pd prsmn di ts: mx( F dpt dituliskn dlm bntuk mx ( F F mx( F dpt dituliskn dlm bntuk mx ( F F dn shinggrs. 22 dpt diubh cr pnulisnny mnjdi sprti Prs. : Istirto Jurusn Tknik Sipil dn Lingkungn FT UGM http://istirto.stff.ugm.c.id mil: istirto@ugm.c.id R u (23 Dlm prsmn di ts kofisin-kofisin dn dlh: ( F D ( F D mx mx F F Prs. 23 mrupkn bntuk diskrit prsmn trnspor konvktif-difusif prmnn stu dimnsi. Apliksi prsmn trsbut pd contoh ksus trnspor tmprtur ir pd lirn di dlm flum dijbrkn pd prgrf-prgrf di bh ini. Volum kontrol 2 s.d. 9 Fluks konvktif dn konduktivits difusi tlh dihitung pd sub-bb yng mmbhs cntrl diffrncing schm yitu: F D F u S.3..24 m D Γ S Δx 5 3..4 m Kofisin-kofisin pd prsmn diskrit konvksi-difusi dlh: ( F D mx(.24.4. 424 mx ( F D mx(.24.4. 4 mx F F.424.4.24.24.24 s 3 s Prlu dictt bh dlm ksus ini tidk d sourc shingg R u dn R P. Volum kontrol Pd volum kontrol yng sisi kiriny brimpit dngn bts domin prsmn diskrit trnspor konvktif-difusif dlh sbgi brikut: mx ( F mx ( F F D ( 2D ( Dngn pnglompokn kofisin prsmn di ts dpt diubh mnjdi: mx ( F D 2D mx F ( D F 2D tu dpt pul dituliskn sbgi brikut: 2
mx ( F D F 2D mx F ( D F 2D Istirto Jurusn Tknik Sipil dn Lingkungn FT UGM http://istirto.stff.ugm.c.id mil: istirto@ugm.c.id dlm hl ini A 3 C shingg: ( F D mx(.24.4. 4 mx R p 2D 2.4. F.4.24..224 R u ( F 2D (.24 2.4 3 24.72 Volum kontrol Pd volum kontrol yng sisi knnny brimpit dngn bts domin prsmn diskrit trnspor konvktif-difusif dlh sbgi brikut: F mx ( F mx ( F P 2D ( D ( Dngn pnglompokn kofisin prsmn di ts dpt diubh mnjdi: ( D mx F mx ( F D 2D F 2D tu dpt pul dituliskn sbgi brikut: ( D mx F mx ( F D F 2D F 2D dlm hl ini B 25 C shingg: ( F D mx(.24.4.24.4. 424 mx R p 2D 2.4. F.424.24..2 R u ( F 2D (.24 2.4 25 9.4 Kspuluh prsmn yng disusun dlm bntuk prsmn mtriks sprti disjikn pd hlmn brikut. 3
.224.4.424.24.4.424.24.4.424.24.4.424.24.4.424.24.4.424.24.4.424.24.4.424.24.4.424.2 2 3 4 5 6 7 9 -. / 24.72 9.4 -. / Pnylsin prsmn trsbut dngn mtod mtriks invrsi yng dihitung dngn bntun MSxcl mnghsilkn vktor kolom Φ sbgi brikut: 29. 29.429 29.94 2.572 2.6 27.673 27.964 26.5444 25.9592 25.339 4
Hybrid Diffrncing Schm Istirto Jurusn Tknik Sipil dn Lingkungn FT UGM http://istirto.stff.ugm.c.id mil: istirto@ugm.c.id Hybrid diffrncing schm diprknlkn olh Splding (972. Skm ini pd dsrny mnggbungkn skm cntrl diffrnc dn upind diffrnc. Dlm skm ini cntrl dn upind diffrncing schm dipki slh stu tu brsm-sm brdsrkn nili Angkclt P yng didfinisikn di sisi volum kontrol sbgi brikut: di sisi knn: di sisi kiri: P P F u S (24 D Γ S Δx P F u S (24b D Γ S Δx P Dlm skm hybrid diffrncing fluks di sisi volum kontrol dihitung dngn cntrl diffrncing pbil Angkclt brnili ntr 2 s.d. 2 dn dihitung dngn upind diffrncing dn difusi dibikn pbil Angkclt lbih bsr dripd 2 tu lbih kcil dripd 2. Dngn skm hybrid diffrncing fluks di sisi knn dlh sbgi brikut: ( D ( Q F 2 F 2 D ( F 2 D ( F 2 D ( F 2 D ( F. -. jik 2 < P < 2 Q F jik 2 (dlm hl ini F > Q F jik 2 (dlm hl ini F < Prhtikn bh syrt 2 < P < 2 dpt dituliskn dlm bntuk lin sbgi brikut: F 2 < < 2 D shingg jik tu D < F < D tu F D < F < F D 2 F D > F 2 mk kofisin untuk dlh F D syrt ini tidk dipnuhi yitu jik jik F > tu F jik F <. 2 2 2 dn jik F > 2 F D mk kofisin untuk dlh Kofisin dpt dituliskn dlm bntuk ringks sbgi brikut: F mx F D 2 ( dn kofisin dlm bntuk ringks dlh: 5
F Dngn cr yng sm fluks di sisi kiri dlh: Istirto Jurusn Tknik Sipil dn Lingkungn FT UGM http://istirto.stff.ugm.c.id mil: istirto@ugm.c.id Q F ( 2 D ( F 2 D ( F 2 D ( F 2 D ( F 2 D ( F. -. jik 2 < P < 2 Q F jik 2 (dlm hl ini F > Q F jik 2 (dlm hl ini F < Prhtikn bh syrt 2 < P < 2 dpt dituliskn dlm bntuk lin sbgi brikut: F 2 < < 2 D shingg jik tu D < < F D 2 tu F D < F < F D 2 2 F D > F mk kofisin untuk dlh 2 F D dn 2 jik syrt ini tidk dipnuhi yitu jik dlh F jik F > tu jik F <. F > 2 F D mk kofisin untuk Kofisin dpt dituliskn dlm bntuk ringks sbgi brikut: F mx F D 2 ( dn kofisin dlm bntuk ringks dlh: P F Dngn dmikin bntuk diskrit prsmn konvksi difusi di sbuh volum kontrol dpt dituliskn sbgi brikut: R u (25 Dlm prsmn di ts kofisin-kofisin dn dlh: F mx F D 2 ( F mx F D 2 ( F F 6
Prs. 25 mrupkn bntuk diskrit prsmn trnspor konvktif-difusif prmnn stu dimnsi. Apliksi prsmn trsbut pd contoh ksus trnspor tmprtur ir pd lirn di dlm flum dijbrkn pd prgrf-prgrf di bh ini. Volum kontrol 2 s.d. 9 Istirto Jurusn Tknik Sipil dn Lingkungn FT UGM http://istirto.stff.ugm.c.id mil: istirto@ugm.c.id Fluks konvktif dn konduktivits difusi tlh dihitung pd sub-bb yng mmbhs cntrl diffrncing schm yitu: F D F u S.3..24 m D Γ S Δx 5 3..4 m Kofisin-kofisin pd prsmn diskrit konvksi-difusi dlh: - F mx F D ( mx 2 mx F - F D 2 s 3 s ( mx [.24 (.24 2.4 ]. 42 [.24 (.24 2.4 ]. 3 F F.42.3.24.24. Prlu dictt bh dlm ksus ini tidk d sourc shingg R u dn R P. Volum kontrol Pd volum kontrol yng sisi kiriny brimpit dngn bts domin prsmn diskrit trnspor konvktif-difusif dlh sbgi brikut: / F 2D ( mx F F 2 D 3 -. - (. F 4 2 5 mx F F 2 D -. - (. Dngn mmindhkn suku-suku yng niliny dikthui k sisi knn tnd ksmn mk: ( mx F F 2 D / - - mx ( F F 2 D 3 - - F 2D 4 2 5 ( F 2D Dlm hl ini A 3 C shingg: mx F - F D 2 ( mx [.24 (.24 2.4 ]. 3 7
R p 2D 2.4. F.3.24..22 R u ( F 2D (.24 2.4 3 24.72 Istirto Jurusn Tknik Sipil dn Lingkungn FT UGM http://istirto.stff.ugm.c.id mil: istirto@ugm.c.id Volum kontrol Pd volum kontrol yng sisi knnny brimpit dngn bts domin prsmn diskrit trnspor konvktif-difusif dlh sbgi brikut: / F 2D ( mx F F 2 D 3 -. - (. F 4 2 5 mx F F 2 D -. - (. Dngn mmindhkn suku-suku yng niliny dikthui k sisi knn tnd ksmn mk:. F mx F 2 D 2 / ( F 2D 3 4 mx F F 2 D ( ( F 2D Dlm hl ini B 25 C shingg: - F mx F D ( mx 2 R p 2D 2.4. F.42.24.. R u ( F 2D (.24 2.4 25 9.4 [.24 (.24 2.4 ]. 42 Kspuluh prsmn yng diprolh dri hitungn di ts dlh sm dngn spuluh prsmn yng diprolh pd hitungn dngn skm cntrl diffrncing. Dngn dmikin distribusi tmprtur ir di spnjng flum jug sm dngn distribusi tmprtur yng diprolh pd hitungn dngn skm cntrl diffrncing yitu: 29.76 29.433 29.9 2.523 2.5 27.626 27.32 26.54 25.954 25.3324
Por-l Schm Istirto Jurusn Tknik Sipil dn Lingkungn FT UGM http://istirto.stff.ugm.c.id mil: istirto@ugm.c.id Por-l schm diknlkn olh Ptnkr (9. Hsil hitungn dngn skm ini lbih kurt dripd hsil hitungn dngn skm hibrid. Dlm skm por-l fluks di sisi volum kontrol dihitung dngn sutu prsmn polinomil pbil Angk Pclt brnili ntr s.d.. Apbil Angkclt lbih dripd fluks dihitung dngn skm upind diffrncing dn difusi dibikn. Dngn skm por-l fluks di sisi knn volum kontrol dlh sbgi brikut: ( Q F β P jik < P < β.p 5 P dlm hl ini ( Q F jik (dlm hl ini F > Q F jik (dlm hl ini F < Fluks di sisi kiri volum kontrol dlh: ( Q F β β jik < P <.P 5 P dlm hl ini ( Q F jik (dlm hl ini F > Q F jik (dlm hl ini F < Dngn dmikin bntuk diskrit prsmn konvksi-difusi di sbuh volum kontrol dpt dituliskn sbgi brikut: R u (26 Dlm prsmn di ts kofisin-kofisin dn dlh: mx mx 5 ( 5 (.P ( F D mx (.P ( F D mx ( F F Apliksi por-l schm pd contoh ksus konvksi-difusi prmnn stu dimnsi dipprkn pd prgrf-prgrf di bh ini. Volum kontrol 2 s.d. 9 Fluks konvktif dn konduktivits difusi tlh dihitung pd sub-bb yng mmbhs cntrl diffrncing schm. Kdu nili trsbut dn nili Angkclt dlh: F D F u S.3..24 m D Γ S Δx 5 3..4 m s 3 s 9
P P F D.24.4.6 Istirto Jurusn Tknik Sipil dn Lingkungn FT UGM http://istirto.stff.ugm.c.id mil: istirto@ugm.c.id Kofisin-kofisin pd prsmn diskrit konvksi-difusi dlh: mx.42 ( 5 ( 5 ( F D mx (.P (.24.4 mx (..6 mx.24.4 mx.4.3 (.6 5 ( F D mx (.P (.24.4 mx (..6 mx (.6 5 5 ( 5 ( F F.42.3.24.24.2 Volum kontrol Pd volum kontrol yng sisi kiriny brimpit dngn bts domin prsmn diskrit trnspor konvktif-difusif dlh sbgi brikut: { ( F } F 2D mx. P ( 5 ( ( P -. Dngn mmindhkn suku-suku yng niliny dikthui k sisi knn tnd ksmn mk: ( ( F 2D mx (. P 5 - ( F 2D mx (. P 5 - Dlm hl ini A 3 C shingg: mx.4.3 ( 5 ( 5 ( F D mx (.P (.24.4 mx (..6 mx (.6 5 2
Istirto Jurusn Tknik Sipil dn Lingkungn FT UGM http://istirto.stff.ugm.c.id mil: istirto@ugm.c.id R p 2D mx. P ( 5 2.4 (.6 5.7763 2.4 mx..6 F.3.24.7763.4 ( R u F 2D mx (. P 5 - (.24 2.4 mx (..6 5-3 { } 3.24 2.4 (.6 5 24.6 Volum kontrol ( 5 Pd volum kontrol yng sisi knnny brimpit dngn bts domin prsmn diskrit trnspor konvktif-difusif dlh sbgi brikut: F 2D mx. P ( 5 (( -. { F } Dngn mmindhkn suku-suku yng niliny dikthui k sisi knn tnd ksmn mk: ( F 2D mx. P F 2D mx. P Dlm hl ini B 25 C shingg: mx.42 ( 5 ( 5 ( 5 ( 5 ( F D mx (.P (.24.4 mx (..6 mx.24.4 (.6 5 (-. (-. 2
Istirto Jurusn Tknik Sipil dn Lingkungn FT UGM http://istirto.stff.ugm.c.id mil: istirto@ugm.c.id R p 2D mx. P ( 5 2.4 (.6 5.7763 2.4 mx..6 F.42.24.7763.644 ( R u F 2D mx (. P 5 - (.24 2.4 mx..6 ( 5 { } 25.24 2.4 (.6 5.72-25 ( 5 Dri hitungn kofisin di ts diprolh spuluh prsmn linr. Distribusi tmprtur ir di spnjng flum diprolh dngn mnylsikn kspuluh prsmn linr trsbut scr simultn yitu: 29.27 29.4266 29.66 2.53 2.9 27.62 27.69 26.5535 25.965 25.349 QUICK Schm QUICK dlh singktn Qudrtic Upstrm Intrpoltion for Convctiv Kintics. Skm ini diknlkn prtm kli olh Lonrd (979. Skm ini mrupkn skm brtingkt (brordr du tu kudrtik. Dngn skm yng lbih tinggi dihrpkn kslhn diskritissi yng dikibtkn olh dny difusi numris (prihl difusi numris ini dibhs pd tulisn yng mmbhs diskritissi du dimnsi kn brkurng. Skm QUICK mmprhtikn lbih bnyk volum kontrol ttngg dibndingkn dngn skm-skm yng tlh dibhs pd mpt sub-bb sblum sub-bb ini. Nili vribl di tig volum kontrol sisi hulu (prinsip upind diffrncing dipki untuk mntpkn nili vribl pd sutu sisi volum kontrol. Nili di sisi volum kontrol (P diprolh dngn mmki kurv kudrtik yng mlti tig titik hitung yitu du titik hitung di ttngg trdkt ( dn srt stu titik hitung di sisi hulu (liht Gmbr. 22
Istirto Jurusn Tknik Sipil dn Lingkungn FT UGM http://istirto.stff.ugm.c.id mil: istirto@ugm.c.id Apbil kcptn positif u > dn u > nili dittpkn dngn mmki fungsi kudrtik yng mlti nili-nili di titik hitung dn P sdngkn nili dittpkn brdsrkn fungsi kudrtik yng mllui nili-nili di titik hitung P dn. Apbil kcptn ngtif u < dn u < nili dittpkn dngn mmki fungsi kudrtik yng mlti nili-nili di titik hitung P dn sdngkn nili dittpkn brdsrkn fungsi kudrtik yng mllui nili-nili di titik hitung P dn. Gmbr. QUICK diffrncing schm: ( rh lirn positif dn (b rh lirn ngtif. Apbil ukurn volum kontrol srgm mk nili di sisi volum kontrol di ntr titik-titik hitung i dn i srt titik hitung hulu i 2 mmnuhi prsmn brikut: sisi 6 i 3 i i2 (27 Nili dlh: 6 3 jik u > (F > (2 P 3 P 6 jik u < (F < (2b Nili dlh: 6 3 jik u > (F > (29 P P 3 6 jik u < (F < (29 23
Dngn dmikin bntuk diskrit prsmn konvksi-difusi di sbuh volum kontrol dpt dituliskn sbgi brikut: R u (3 Istirto Jurusn Tknik Sipil dn Lingkungn FT UGM http://istirto.stff.ugm.c.id mil: istirto@ugm.c.id Dlm prsmn di ts kofisin-kofisin dn dlh: α F 6 α F 3 α 3 α F 6 α ( α F ( F α F D ( F ( α F D F F jik F α > ( jik F < jik F α > ( jik F < Apliksi skm QUICK pd contoh ksus konvksi-difusi prmnn stu dimnsi dipprkn pd prgrf-prgrf brikut ini. Volum kontrol 2 s.d. 9 Fluks konvktif dn konduktivits difusi tlh dihitung pd sub-bb yng mmbhs cntrl diffrncing schm. Kdu nili trsbut dlh: F D F u S.3..24 m D Γ S Δx 5 3..4 m Krn F > dn F > mk α dn α. Kofisin-kofisin pd prsmn diskrit konvksi-difusi dlh: α F.24.3 ( F α F D 6 α F 3 α { 6.24 }{ 3 (.24}{.24 }.4.42 ( F ( α F D s 3 s { } 3 α F 6 α { 3.24 }{ 6 (.24} { (.24}.4.39 ( α F (.24 { } F F.3.42.39.24.24.9 24
Prlu dictt bh dlm ksus ini tidk d sourc shingg R u dn R p. Volum kontrol Istirto Jurusn Tknik Sipil dn Lingkungn FT UGM http://istirto.stff.ugm.c.id mil: istirto@ugm.c.id Sisi kiri volum kontrol ini brimpit dngn bts domin. Di sblh knn (timur volum kontrol ini brttngg dngn volum kontrol 2 dn 3 ( dn. Kofisin dihitung sprti hitungn pd volum kontrol 2 s.d. 9. Di sblh kiri (brt tidk d volum kontrol ttngg shingg kofisin tidk d. Kofisin dn suku sourc dihitung dngn cr brbd dri cr hitungn sourc di volum kontrol 2 s.d. 9. Pd volum kontrol nili ϕ di sisi brt tlh dikthui yitu ϕ ϕ A sdngkn nili ϕ di sisi timur ϕ dihitung dngn Prs. 2. Krn ϕ tidk d mk nili ini dittpkn di volum kontrol yng mrupkn hsil pncrminn volum kontrol. Nili ϕ dittpkn dngn cr kstrpolsi (liht Gmbr 9. 2 A Substitusi nili ϕ di ts k Prs. 2 mmbrikn prsmn yng diprlukn untuk mndptkn ϕ : 6 3 6 3 ( 2 A 7 3 2 A ϕ ϕ A A Gmbr 9. kstrpolsi nili ϕ k volum kontrol di lur bts kiri domin modl. Mmprhtikn prsmn ϕ di ts mk nili grdin di bts brt volum kontrol (titik hitung A pun hrus dihitung dngn cr yng konsistn dngn prsmn ini. Fluks difusif mllui sisi brt dngn cr ini dlh: ϕ P P Γ D A ( x A 3 9 A Dngn dmikin prsmn diskrit konvksi-difusi di volum kontro dlh: 25
( F A A F 7 { } D 3 2 A ( D A ( 3 9 A ( Istirto Jurusn Tknik Sipil dn Lingkungn FT UGM http://istirto.stff.ugm.c.id mil: istirto@ugm.c.id Pngturn kofisin pd prsmn di ts dn dngn mnipulsi mtmtis mnghsilkn: {( 3 F D 3 D A F F ( 2 F F A 3 D A } ( 3 F D 3 D A 2 ( F F A 3 D A A yng dpt dituliskn dlm bntuk bku prsmn diskrit konvksi-difusi Prs. 3: R u Dlm hl ini A 3 C F F A.24 m 3 /s D D A.4 m 3 /s dn kofisin-kofisin pd prsmn trsbut dlh: 3 F D 3 D A 3.24.4 3.4.5243 R p 2 F F A 3 D A 2.24.24 3.4.967 F F.5243.24.24.967.62 R u ( 2 F F A 3 D A A ( 2.24.24 3.4 3 32.9 Volum kontrol 2 Mmprhtikn prsmn yng dipki untuk mnghitung nili ϕ di sisi timur volum kontrol mk prsmn yng sm hrus dipki untuk mnghitung nili ϕ di sisi brt volum kontrol 2 dlm mnghitung fluks konvktif. Olh krn itu prsmn diskrit konvksi-difusi di volum kontrol 2 yng smul tlh dihitung brsm-sm dngn volum kontrol 3 s.d. 9 prlu diubh mnjdi: 26
( F 7 ( F 6 { } 3 3 2 A { D ( D ( } Istirto Jurusn Tknik Sipil dn Lingkungn FT UGM http://istirto.stff.ugm.c.id mil: istirto@ugm.c.id Dngn pngturn kofisin mk prsmn di ts dpt dituliskn sbgi brikut: ( F 7 F D {( F 7 F D ( 3 F D ( F F ( 2 F } 3 ( F D 2 F A yng dpt dituliskn dlm bntuk bku prsmn diskrit konvksi-difusi Prs. 3: R u Kofisin-kofisin pd prsmn trsbut dlh: F 7 F D.24 7.24.4.424 3 F D 3.24.4.39 R p 2 F 2.24.6 F F.424.39.24.24.6.9 R u 2 F A 2.24 3. Volum kontrol Pd volum kontrol yng sisi knnny brimpit dngn bts domin dn tmprtur di tmpt itu dikthui yitu ϕ ϕ B 25 C. Fluks difusif ϕ di bts brt volum kontrol dinytkn dngn prsmn brikut: 27
Γ D B ( x B 3 B 9 Istirto Jurusn Tknik Sipil dn Lingkungn FT UGM http://istirto.stff.ugm.c.id mil: istirto@ugm.c.id Dngn dmikin prsmn diskrit konvksi-difusi di volum kontro dlh: F B B F 6 3 { ( } D B 3 B 9 ( D ( ( Dngn mmindhkn suku-suku yng niliny dikthui k sisi knn tnd ksmn mk: ( F ( 6 F 3 D B D {( ( 6 F 3 D B D F F ( F B 3 D B } ( F B 3 D B B F yng dpt dituliskn dlm bntuk bku prsmn diskrit konvksi-difusi Prs. 3: R u Dlm hl ini B 25 C shingg: F.24.3 6 F 3 D B D 6.24.4.4 3.553 R p F B 3 D B.24.4.427 3 F F.3.553.24.24.427.59 R u ( F B 3 D B B (.24 3.4 25 26.667 Dri prsmn diskrit trnspor konvktif-difusif di spuluh volum kontrol diprolh spuluh prsmn yng dpt dituliskn dlm bntuk mtriks di bh ini. 2
Istirto Jurusn Tknik Sipil dn Lingkungn FT UGM http://istirto.stff.ugm.c.id mil: istirto@ugm.c.id A ( 2 3 4 5 6 7 9 Φ ( -. R u R u2 R u3 R u4 R u5 R u6 R u7 R u R u9 R u Dngn mnuliskn nili stip kofisin prsmn mk diprolh mtriks sbgi brikut: R -. 29
.62.5243.424.9.39.3.42.9.39.3.42.9.39.3.42.9.39.3.42.9.39.3.42.9.39.3.42.9.39.3.42.9.39.3.553.59 A 2 3 4 5 6 7 9 Φ -. / 32.9. 26.667 -. / R 3
Pnylsin prsmn trsbut dngn mtod mtriks invrsi yng dihitung dngn bntun MSxcl mnghsilkn vktor kolom Φ sbgi brikut: 29.47 29.427 29.56 2.577 2.4 27.622 27.99 26.5436 25.9539 25.3276 Prbndingn Hsil Hitungn dngn Brbgi Skmnylsin Tbl di bh ini mnyjikn tmprtur di spnjng flum yng diprolh dri pnylsin numris prsmn trnspor konvktif-difusif dngn brbgi skm pnylsin mtod volum hingg. Tmpk bh klim skm mmbrikn hsil yng hmpir tidk brbd. Tbl. Tmprtur ir di spnjng flum yng dihitung dngn brbgi jnis skm pnylsin mtod volum hingg dlm stun C. Nod Skm pnylsin mtod volum hingg Cntrl Upind Hybrid Por L QUICK ϕ A 3 3 3 3 3 ϕ 29.76 29. 29.76 29.27 29.47 ϕ 2 29.433 29.429 29.433 29.4266 29.427 ϕ 3 29.9 29.94 29.9 29.66 29.56 ϕ 4 2.523 2.572 2.523 2.53 2.577 ϕ 5 2.5 2.6 2.5 2.9 2.4 ϕ 6 27.626 27.673 27.626 27.62 27.622 ϕ 7 27.32 27.964 27.32 27.69 27.99 ϕ 26.54 26.5444 26.54 26.5535 26.5436 ϕ 9 25.954 25.9592 25.954 25.965 25.9539 ϕ 25.3324 25.339 25.3324 25.349 25.3276 ϕ B 25 25 25 25 25 Rfrnsi Frzigr J. H. nd Pric M. 997 Computtionl Mthods for Fluid Dynmics Springr-Vrlg Brlin Grmny. Istirto I. 2 Flo Around A Cylindr In A Scourd chnnl Bd Doctorl Dissrttion PFL Sitzrlnd. Vrstg H. K. nd Mllskr. 995 An Introduction to Computtionl Fluid Dynmics Th Finit Volum Mthod Longmn Group ssx nglnd. 3