BAB II LANDASAN TEORI A. Matriks 1. Pengertian Matriks Definisi II. A. 1 Matriks didefinisikan sebagai susunan segi empat siku- siku dari bilangan- bilangan yang diatur dalam baris dan kolom (Anton, 1987:22). Bilangan- bilangan yang terdapat dalam matriks disebut elemen matriks. Elemen- elemen mendatar membentuk baris dan elemen- elemen vertikal membentuk kolom. Banyaknya baris dan kolom suatu matriks menyatakan ukuran matriks tersebut. Apabila dalam suatu matriks terdapat m baris dan n kolom maka ukuran matriks tersebut adalah. Notasi indeks rangkap digunakan untuk menyatakan elemen suatu matriks. Simbol menyatakan elemen yang muncul pada baris ke- dan kolom ke-, dimana 1 dan 1. Simbol dinamakan indeks baris sedangkan simbol dinamakan indeks kolom. Contoh II. A. 1 : 11 12 1 21 22 2 1 1 5 15
2. Operasi pada Matriks a. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Definisi II. A. 2 Jika dan adalah matriks- matriks berukuran sama, maka jumlah adalah matriks yaitu matriks yang diperoleh dari hasil penjumlahan elemen- elemen dengan elemen- elemen yang seletak, dan selisih adalah matriks yaitu matriks yang diperoleh dengan mengurangkan elemen- elemen dengan elemen- elemen yang seletak (Anton, 1987:23). Matriks- matriks berukuran berbeda tidak bisa ditambahkan atau dikurangkan. Dalam notasi matriks, apabila dan mempunyai ukuran yang sama maka dimana. b. Perkalian Matriks dengan Skalar Definisi II. A. 3 Jika adalah sebarang matriks dan c adalah skalar, maka hasil kali skalar dengan matriks adalah matriks yaitu matriks yang diperoleh dengan mengalikan skalar pada setiap elemen (Anton, 1987:24). Dalam notasi matriks, apabila maka dimana =. 16
c. Perkalian Matriks dengan Matriks Definisi II.A.4 : Jika adalah sebuah matriks berukuran dan adalah sebuah matriks berukuran, maka hasil kali dan adalah matriks berukuran yang elemen- elemennya didefinisikan sebagai berikut : untuk mencari elemen baris ke- dan kolom ke- dari matriks caranya adalah dengan memilih baris ke- dari matriks dan kolom ke- dari matriks. Kalikanlah elemen- elemen yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut bersama- sama dan kemudian tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan (Anton, 1987:25). Dalam notasi matriks, apabila dan, maka, dimana 1 1,, dan 1,, d. Perpangkatan Matriks Definisi II. A. 5 Jika adalah suatu matriks persegi orde maka pangkat dari didefinisikan sebagai berikut : 2, 3 2, 1, dan 0 didefinisikan, dengan adalah matriks identitas orde.(anton, 1987:36). Contoh II.A.5 : Jika 2 1 1 2 maka hitunglah 2 dan 3. 17
Penyelesaian : 1 2 2 1 maka, 2. 1 2 2 1 1 2 2 1 5 4 4 5 dan 3 2 5 4 4 5 1 2 2 1 13 14 14 13 3. Macam- Macam Matriks a. Matriks Persegi Definisi II. A. 6 Matriks persegi adalah suatu matriks dimana banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Disebut juga matriks persegi berordo atau (Supranto, 1971:17). Contoh II. A. 6 : Matriks 1 2 adalah matriks persegi berordo 2. 4 4 Pada matriks persegi elemen- elemen yang terletak pada garis penghubung 11 dengan dinamakan diagonal utama. 18
b. Matriks Identitas Definisi II. A. 7 Matriks identitas adalah suatu matriks persegi dimana elemen- elemen pada diagonal utamanya 1 dan 0 pada tempat- tempat lain di luar diagonal utama. Matriks tersebut dinyatakan dengan simbol (Supranto, 1971:18). Contoh II. A. 7 : 1 0 0 0 1 0 0 0 1 c. Matriks Diagonal Definisi II. A. 8 Matriks diagonal adalah suatu matriks persegi dimana semua elemen di luar diagonal utamanya mempunyai nilai nol dan paling tidak satu elemen pada diagonal utamanya tidak sama dengan nol. Biasanya diberi simbol (Supranto, 1971:18). Contoh II. A. 8 : 1 0 0 0 2 0 0 0 5 d. Matriks Transpose Definisi II. A. 9 Jika berukuran maka transpose dari adalah matriks berukuran dengan (Supranto, 1971:21). 19
Contoh II.A.9 ; Jika 1 4 6 1 2 2 3 8 maka 4 3 6 8 e. Matriks Simetris Definisi II.A.11 Jika adalah matriks persegi dan berlaku yaitu maka disebut matriks simetris (Supranto, 1971:20). Contoh II.A.11 : 2 3 2 2 3 2 3 1 5, kemudian 3 1 5 karena maka 2 5 4 2 5 4 disebut matriks simetris. B. Determinan Matriks, Invers Matriks dan Rank Matriks 1. Determinan Matriks Definisi II. B. 1 Jika matriks persegi, maka minor elemen dinyatakan oleh dan didefinisikan menjadi determinan suatu matriks yang tetap setelah baris ke i dan kolom ke j dihilangkan dari. Bilangan 1 dinyatakan oleh dan dinamakan kofaktor elemen (Anton, 1987:101). Contoh II.B.1 : 3 1 4 2 5 6 1 4 8 20
minor elemen 11 dan 11 yaitu kofaktor elemen 11 adalah 11 yaitu 3 1 4 11 2 5 6 5 6 16 4 8 1 4 8 11 1 1 1. 11 1 2.16 16 Definisi II. B. 2 Determinan matriks persegi yang berukuran dapat dihitung dengan mengalikan elemen- elemen dalam suatu baris atau kolom dengan kofaktor- kofaktornya dan menambahkan hasil kali yang dihasilkan, maka det 1 1 2 2, untuk 1 (ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke j) dan det 1 1 2 2, untuk 1 (ekspansi kofaktor sepanjang baris ke i), dengan adalah elemen matriks baris dan kolom, adalah kofaktor dari elemen. Jika terdapat matriks berordo 3 x 3, yaitu : Dengan menggunakan definisi determinan ditunjukan bahwa det 11 22 33 12 23 31 13 21 32 31 22 13 32 23 11 33 21 12 = 11 22 33 32 23 21 13 32 33 12 31 12 23 22 13 21
Pernyataan yang ada dalam tanda kurung di atas tidak lain berturut- turut adalah 11, 21, 31 sehingga det 11 11 21 21 31 31. Persamaan ini memperlihatkan bahwa determinan dapat dihitung dengan mengalikan elemen- elemen dalam kolom pertama dengan kofaktorkofaktornya dan menambahkan hasil kalinya. Metode ini dinamakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama (Anton, 1987:102). Contoh II.B.2 : 1 2 3 Tentukan determinan dari 3 1 4 : 2 6 7 Penyelesaian : 1 2 3 3 1 4 2 6 7 det 11 11 21 21 31 31 11 1 1 1 11 1 1 4 6 7 1. 17 17 21 1 2 1 21 1 2 3 6 7 1. 4 4 22
31 1 3 1 31 1 2 3 1 4 1. 5 5 maka, det 11 11 21 21 31 31 1 17 3.4 2.5 5 2. Invers Matriks Definisi II. B. 3 Jika adalah suatu matriks persegi dengan n baris dan n kolom serta adalah matriks identitas berukuran maka terdapat matriks persegi 1 sehingga berlaku, maka 1 disebut invers matriks (Supranto, 1971:147). Teorema II. B. 1 Jika adalah matriks nonsingular det 0, maka 1 1 det dengan adalah transpose dari kofaktor matriks (Supranto, 1971:153). Contoh II.B.3 : Jika 2 3 3 5 maka 1 adalah : 23
Penyelesaian : 2 3 3 5 1 1 det det 10 9 1 4 1 3 2 1 1 1 5 3 3 2 5 3 3 2 3. Rank Matriks Definisi II. B. 4 Jika matriks paling sedikit terdapat satu minor determinan yang tidak sama dengan nol dan ternyata terdiri dari r baris, akan tetapi untuk minor yang determinannya sama dengan nol apabila minor matriksnya terdiri dari 1 baris, maka matriks dikatakan mempunyai rank sebesar (Supranto, 1971:125). Biasanya diberi simbol. Untuk mempermudah di dalam mencari nilai rank suatu matriks, dapat menggunakan transformasi elementer yang menunjukkan kepada baris dan kolom dari matriks yang bersangkutan. Besarnya nilai rank suatu matriks dapat dilihat secara langsung dengan cara melihat determinan yang tidak sama dengan nol dari minor matriks dengan jumlah baris dan kolom tertentu. Jumlah baris (kolom) itulah yang menunjukkan besarnya nilai rank atau 24
banyaknya baris yang masih mengandung elemen tidak sama dengan nol setelah transformasi elementer baik terhadap baris maupun kolom. Contoh II.B.4 : 1 2 3 Jika 2 3 4 maka adalah : 3 5 7 Penyelesaian : 1 2 3 2 3 4, 2 3 kemudian 3 5 7 1 2 3 1 0 1 2 2 maka nilai adalah 2. 0 1 2 C. Nilai Eigen, Vektor Eigen dan Persamaan Karakteristik Definisi II.C.1 Jika matriks maka vektor tak nol di dalam dinamakan vektor eigen dari jika adalah kelipatan skalar dari x yaitu λx untuk suatu skalar. Skalar λ dinamakan nilai eigen dari dan dinamakan vektor eigen yang bersesuaian dengan λ (Anton, 1987:355). Contoh : Vektor 1 0 adalah vektor eigen dari 3 yang bersesuaian dengan 2 8 1 nilai eigen λ = 3 karena, 3 0 8 1 1 2 3 3. 6 25
Untuk mencari nilai eigen matriks yang berukuran maka dituliskan kembali λ x sebagai λ Ix atau secara ekuivalen λi x 0. Dan persamaan ini akan mempunyai pemecahan tak nol jika dan hanya jika λi x 0. Ini dinamakan persamaan karakteristik, skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai eigen dari. Bila diperluas, maka λi adalah polinom λ yang dinamakan polinom karakteristik dari. Jika adalah matriks, maka polinom karakteristik harus memenuhi n dan koefisien λ adalah 1. Jadi, polinom karakteristik dari matriks mempunyai bentuk λi λ λ. Contoh II.C.1 : Diketahui matriks 10 9, tentukan nilai eigen matriks. 4 2 Penyelesaian : det λi 0 10 9 λ 1 0 0 4 2 0 1 10 9 λ 0 0 4 2 0 λ 10 λ 9 0 4 2 λ 10 λ 2 λ 36 0 λ 2 8λ 16 0 Jadi persamaan karakteristik dari adalah λ 2 8λ 16 0 26
Penyelesaian persamaan di atas adalah λ 4. Selanjutnya disebut nilai- nilai eigen dari. D. Ruang Eigen Suatu Matriks dan Basisnya Definisi II.D.1 Vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ adalah vektor tak nol dalam ruang penyelesaian dari λi A 0. Selanjutnya ruang pemecahan ini dikatakan sebagai ruang eigen dari yang bersesuaian dengan λ (Anton, 1987:280). Contoh II.D.1 : 3 2 0 Carilah vektor eigen matriks berikut 2 3 0 0 0 5 Penyelesaian : λx λi A x 0 det λi A 0 λ 3 2 0 2 λ 3 0 0 0 0 λ 5 λ 3 λ 2 8λ 15 2 2λ 10 0 0 λ 3 3λ 2 8λ 2 24λ 15λ 45 4λ 20 0 λ 3 11λ 2 35λ 25 0 (λ 1 λ 5 λ 5 0 27
Persamaan karakteristik dari A adalah λ 1 λ 5 2 0 sehingga nilai- nilai eigen dari A adalah λ 1 dan λ 5. Jadi diperoleh dua ruang eigen dari A. adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan λ jika dan hanya jika x adalah ruang penyelesaian dari (λi A x 0, yaitu : λ 3 2 0 1 0 2 λ 3 0 2 0 0 0 λ 5 3 0 Jika λ 5 maka menjadi 1 2 2 0 0 2 2 0 2 0 0 0 0 3 0 2 2 0 2 2 0 2 1 0 0 0 1 2 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 2 2 1 2 Diambil 1 maka 2 dan 3 Jadi vektor- vektor yang bersesuaian dengan λ 5 adalah vektor- vektor tak nol yang berbentuk : 0 1 0 0 1 0 0 0 1 28
1 0 Karena 1 dan 0 adalah vektor- vektor bebas linear, maka vektor- vektor 0 1 tersebut akan membentuk basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan λ 5. Banyaknya vektor dalam basis disebut dimensi. Kemudian λ 1 caranya sama seperti mencari vektor eigen pada λ 5. E. Kekonvergenan Barisan Definisi II. E. 1 Suatu barisan di dalam ruang metrics, dikatakan konvergen jika terdapat suatu titik dengan sifat sebagai berikut: Untuk setiap å 0 terdapat suatu bilangan bulat positif sedemikianrupa sehingga untuk semua berlaku, å (Soemantri, 1988:12). Dalam hal ini juga dikatakan bahwa barisan konvergen ke atau adalah limit barisan dan dapat dituliskan: atau lim Contoh II.E.1: 1. Dikatahui 0, dilengkapi metrik usual yaitu,. Buktikan apakah 1 konvergen ke 0! Bukti: Akan diselidiki apakah untuk setiap å 0 terdapat suatu bilangan bulat positif sedemikianrupa sehingga untuk semua berlaku, å 29
Analisis: konvergen ke 0 jika lim lim 1 0 1 0 1 1 (karena untuk setiap bilagan bulat positif) untuk 1 1 sehingga berakibat 1 1 untuk setiap å 0 agar å dapat diambil: 1 å atau å. Jadi, untuk setiap å 0 ada bilangan bilangan bulat positif å sehingga maka berlaku, å. Terbukti 1 konvergen ke 0. F. Bilangan Kompleks dan Transpose Konjugat Bilangan kompleks C adalah produk Cartesian bilangan real yaitu, 1 Konjugat kompleks dari suatu bilangan kompleks adalah (Anton, 1987:388-394). Kemudian matriks kompleks adalah matriks yang elemen- elemennya bilangan kompleks. Contoh E. 1: 3 7 0 2 4, 3 7 2 0 3 7 0 4 2 4 3 7 2 0 4 30
G. Matriks Hermitian Matriks disebut matriks Hermitian jika. diartikan sebagai transpose konjugat kompleks (Anton, 1987:428). Dari kesamaan di atas, dua buah matriks dikatakan sama jika ordo dari kedua matriks tersebut sama. Kemudian matriks Hermitian merupakan analog dari matriks simetris real. Jika adalah matriks persegi dan berlaku yaitu maka disebut matriks simetris. Jadi dapat disimpulkan bahwa matriks Hermitian selalu persegi. Contoh F. 1: 3 2 3 Diberikan 2 0 1. Apakah Hermitian? 3 1 0 Penyelesaian: 3 2 3 2 0 1 3 1 0 3 2 3 2 0 1 3 1 0 3 2 3 2 0 1 3 1 0 H. Aproksimasi Rasional Chebyshev Pendekatan Chebyshev adalah pendekatan untuk meminimalis kesalahan terbesar pada daerah asal (domain). Pendekatan (aproksimasi) rasional Chebyshev pada 0, pertama kali diteliti oleh Varga pada tahun 1961. Jika 31
adalah rasio dari dua fungsi polinomial dengan variabel dengan pangkat maka dapat dituliskan (dimana dan adalah fungsi polinomial dari dengan pangkat ). Dengan kata lain, fungsi dapat dinyatakan sebagai rasio dari dua fungsi polinomial yaitu Kesalahan pada aproksimasi rasional Chebyshev dibatasi oleh : 0 ô 10 0, untuk 1,2,3,,14 yang disebut dengan uniform (keseragaman) rasional Chebyshev. I. Matriks Eksponensial Bentuk umum dari Deret Maclaurin adalah : 0 0!! Jadi Deret Maclaurin untuk adalah : 0 0 0 0 0 1! Sehingga dapat dituliskan Deret Maclaurin dari : 1 2 3 2! 3!! Jadi, fungsi konvergen untuk setiap nilai. 32
Definisi II.G.1 : Jika adalah, maka matriks eksponensial dari dinotasikan dengan atau exp matriks yang merupakan matriks dengan deret pangkat yang didefinisikan ; 2 2!!! dengan adalah matriks identitas berukuran. Sesuai dengan Deret Maclaurin maka deret tersebut konvergen untuk setiap nilai sehingga matriks eksponensial dari selalu terdefinisi. 33