ANOVA By Desi Rahmatina, S.Pd,M.Sc
Pengertian Anova Asumsi Dasar dalam Anova Macam-macam Anova Uji signifikansi Anova
Pengertian Anova Analisis statistik yang dapat memberikan informasi tentang perbedaan antar kelompok dengan kelompok lain (lebih dari dua kelompok).
Asumsi Dasar dalam Anova 1. Sampel diambil dari distribusi normal, sehingga sampel juga berdistribusi normal.. Masing-masing kelompok mempunyai variabel yang sama. 3. Sampel di ambil secara acak.
Macam-macam Anova 1. Anova Satu Arah (One Way Anova). Anova Dua Arah (Two Way Anova)
1. Anova Satu Arah (One Way Anova) Perbandingan mean beberapa kelompok dengan satu variabel. Contoh : Perbedaan produktivitas kerja dengan menggunakan metode A, B dan C.
Rumus F Varians antar kelompok Varians dalam kelompok atau MSB MSW MSB = Mean Square Between (Mean Kuadrat Antar Kelompok) MSW = Mean Square Within (Mean Kuadrat Dalam Kelompok)
Table1.One Way Anova Source of Variation Degrees of Freedom (db) Sum of Squares Mean Square Value of the test statistic (F Value ) Between k - 1 SSB MSB Within N - k SSW MSW Total N-1 SST x = The score (nilai ) k = The number of different samples ( banyak kelompok) n i = The size of sample i( ukuran sampel ke i) F MSB MSW T i = The sum of the values in sample i ( Jumlah nilai dalam sampel ke i) N = The number of the values in all samples ( jumlah nilai pada semua sampel) SST = SSB +SSW
k N SSW MSW k SSB MSB SSW SSB SST n X n X n X n X X SSW N X n X X X SSB maka n N X n X n X n X n X SSB k k III III II II I I t t III II I k t k k III III II II I I 1...,... n n Jika... II 1
Contoh 1 Metode A Metode B Metode C 48 55 84 73 85 68 51 70 95 65 69 74 87 90 67 Tentukanlah nilai uji statistik F
Penyelesaian Kelompok I Kelompok II Kelompok III Jumlah x 1 x 1 x x x 3 x 3 x x 48 304 55 305 84 7056 73 539 85 75 68 464 51 601 70 4900 95 905 65 45 69 4761 74 5476 87 7569 90 8100 67 4489 34 08 369 8011 388 30670 1081 80709 T 1 = 34 T = 369 T 3 = 388 n 1= 5 n 1= 5 n 1= 5 N = 15
197,7333 1 37,8000 3 15 37,8000 16,0667 43,1333 1 3 43,1333 37,8000 78336, 80709 5 (388) 5 (369) 5 (34) 80709 43,1333. 77904,0667 78336, 15 1081 5 (388) 5 (369) 5 (34) MSW MSB SSW SSB
Sumber Variasi Antar Kelompok Dalam Kelompok Derajad kebebasan (db) Jumlah Kuadrat Mean Kuadrat 43,1333 16,0667 1 37,8000 197,7333 Nilai F 1,09 Total 14 804,9333
Pengujian Anova Satu Arah Untuk menguji hipotesis nol dan hipotesis alternatif. Hipotesis Nol (H 0 ) menyatakan bahwa rata-rata skor semua kelompok sama atau tidak ada perbedaan yang signifikan antara rata-rata pada populasi. Hipotesis Alternatif (H 1 ) menyatakan bahwa ratarata skor paling sedikit satu kelompok berbeda dengan kelompok lain atau terdapat perbedaan yang signifikan antara rata-rata rata-rata pada populasi. Catt. Uji Anova satu arah selalu memakai uji pihak kanan.
Langkah-langkah uji signifikansi. 1.Tetapkan Hipotesis H 0 dan H 1 H :... H H H 0 1 0 1 I II III (rata rata skorsemua kelompoksama) k : Tidak semua kelompok mempunyai rata rata yang sama. Atau, :Tidak terdapat perbedaan rata - rata yang signifikan antara kelompok sampel : Terdapat perbedaan rata - rata yang signifikan antara kelompok sampel. Tetapkan 3. Tentukan db untuk pembilang = k -1. db untuk penyebut = N k. 4. Tentukan F table F tabel F :( k1, nk ).
5.Tentukan F hitung dengan menggunakan rumus F MSB MSW 6. Buat kesimpulan dengan membandingka antara F table dengan F hitung Daerah terima Ho Daerah tolak Ho 0 F tabel Kesimpulan : Jika Fhitung < Ftabel, maka H0 diterima, sebaliknya Ho ditolak.
Contoh Berdasarkan contoh sebelumnya (Data skor 15 karyawan), Ujilah, apakah kita dapat menolak hipotesisi nol yang menyatakan bahwa rata-rata skor 15 orang tersebut sama? Gunakan 5%
Solusi Langkah 1 H : H 0 1 1 3 (rata rata skor ketiga kelompok sama ) : Tidak semua kelompok mempunyai rata rata yang sama. Langkah 5% 0,05 Langkah 3 db untuk pembilang = k -1=3-1 = db untuk penyebut = n k = 15 3 = 1. F tabel Langkah 4 F hitung = 1,09 F : ( k1, nk) F0,05:(,1) 3,89
Langkah 5. Daerah Terima H 0 Daerah terima Ho Daerah Tolak H 0 1,09 3,89 F tabel F hitung karena F hitung < F tabel, maka H 0 diterima. Kesimpulan : Rata-rata skor ketiga kelompok adalah sama atau tidak ada perbedaan secara signifikan antara rata-rata skor ketiga kelompok tersebut, sehingga ketiga metode mengajar tersebut tidak memberikan perbedaan rata-rata skor mahasiswa.
Exercises See Chapter 13.Prem S. Mann
Review Tabel di bawah ini menunjukkan pendapatan hasil penjualan komputer dalam 0 hari, toko komputer hanya membuka toko setiap hari Kamis, Jumat, Sabtu dan Minggu. Pemilik toko telah mengkalkulasikan rata-rata hasil penjualannya pada tabel di bawah ini dan jumlah kuadrat seluruh sampel dengan x.890.000. t Hari Rata-rata Pendapatan($) Ukuran Sampel Kamis 95 5 Jumat 380 5 Sabtu 405 5 Minggu 345 5 Ujilah pada tingkat signifikan 1% dapatkah disimpulkan bahwa rata-rata penjualan sama pada keempat hari tersebut?
Jawaban Soal review. Sumber Variasi Antar Kelompok Dalam Kelompok Total Derajad kebebasan (db) Jumlah Kuadrat 3 34.093,7 5 16 31.765 19.851,56 Mean Kuadrat F hitung Ftabel 11.364,59 0,57 5,9 Kesimpulan: Karena F hitung < F tabel, 0,57 < 5,9, maka Ho diterima Sehingga di simpulkan bahwa tidak terdapat perbedaan yang signifikan rata-rata hasil penjualan komputer keempat hari tersebut.
UJI BERGANDA Jika ternyata keputusan menolak H 0 (Terdapat perbedaan rata-rata yang signifikan antar kelompok), dan karena jumlah kelompok sampel lebih dari dua maka pertanyaan timbul kelompok mana saja yang menunjukkan perbedaan? Untuk menjawab pertanyaan tersebut perlu dilakukan analisis lanjutan yaitu uji rata-rata berganda. Pada kesempatan ini uji rata-rata berganda yang akan dibahas adalah dengan menggunakan metode TUKEY.
Langkah-langkah metode Tukey adalah: 1. Hitung rata-rata tiap kelompok. Hitung harga mutlak selisih setiap pasang kelompok xi x j untuk i j 3.Hitung kriteria Tukey dengan rumus T q MS n i W Dengan: q : Nilai kritis q, bisa dilihat ditabel Studentized range distribution dengan db = k dan n-k : Banyaknya kelompok k MSW : Mean Square Within n i :Ukuran sample kelompok = min(sampel i; sampel j)
4. Bandingkan _ x _ i x j dengan T. Bila disimpulkan adanya perbedaan yang signifikan antara sampel i dan sampel j. _ x _ i x j > T, maka Contoh : Metode I Metode II Metode III 1 17 31 7 5 8 9 0 3 15 30 5 3 4 Selidikilah jika terdapat perbedaan rata-rata yang signifikan antar ketiga metode diatas, tentukanlah metode mana saja yang saling berbeda? 0,05
Penyelesaian: Source of Variation Degrees of Freedom (db) Sum of Squares Mean Square Between 130 65 Within 1 168 14 Total 14 98 F Value F table F 4,64 3, 89 Ternyata terdapat perbedaan rata rata yang signifikan antara ketiga metode di atas. Ikuti langkah-langkah Uni Tukey di dapat: Pasangan metode Selisih harga mutlak Nilai T I dan II 5 6,31 I dan III 6,31 II dan III 7* 6,31 Terbukti Metode II dan metode III berbeda secara signifikan.
OUTPUT SPSS. Dependent Variable: Produktivitas Tukey HSD Multiple Comparisons (I) metode Kerja Metode I Metode II Metode III (J) metode Kerja Metode II Metode III Metode I Metode III Metode I Metode II *. The mean difference is significant at the.05 level. Mean Difference 95% Confidence Interval (I-J) Std. Error Sig. Lower Bound Upper Bound 5,00,37,19-1,31 11,31 -,00,37,683-8,31 4,31-5,00,37,19-11,31 1,31-7,00*,37,030-13,31 -,69,00,37,683-4,31 8,31 7,00*,37,030,69 13,31
Latihan. Dari contoh soal no.3 p.10
. Anova Dua Arah (Two Way Anova) Perbandingan mean beberapa kelompok dengan dua kategori. Contoh : Harga PC berdasarkan merek dan model (tahun pembuatan) komputer. Nilai Statistik berdasarkan tingkat dan semester.
Jenis-jenis tabel perhitungan anova dua arah. 1.Klasifikasi Dua Arah dengan Satu pengamatan per sel..klasifikasi Dua Arah dengan beberapa pengamatan per sel. (Tabel dua arah dengan Interaksi)
1. Klasifikasi Dua Arah dengan Satu pengamatan per sel Row Column I II. j.. c I x I.I x I.II. x I.j. x I.c Total II x II.I x II.II. x II.j. x II.c................ i x i.i x i.ii. x ij. x ic................ r x r1 X r.ii. x rj. x rc Total xci x cii. x. cj xcc xri xrii xri xrr xt
Permasalahan pada klasifikasi dua arah dengan satu pengamatan per sel ini adalah: 1.Apakah terdapat perbedaan rata-rata yang signifikan antara variable pertama ditinjau dari segi variable kedua.. Apakah terdapat perbedaan rata-rata yang signifikan antara variable kedua ditinjau dari segi variable pertama.
Rumus F c MS MS c w F r MS MS r w MSc = Mean Square Column (Mean Kuadrat Antar Kelompok pada variabel kolom) MSr = Mean Square Row (Mean Kuadrat Antar Kelompok pada variabel Baris) MS w = Mean Square Within (Mean Kuadrat Dalam Kelompok )
Table. Two Way Anova Source of Variation Degrees of Freedom (db) Sum of Squares Mean Square Value of the test statistic (F Value ) Column c - 1 SS c MS c Row r-1 SS r MS r Within (c-1) (r-1) SS w MS w F c F r MS MS c w MS MS c w
SS SS SS T c SS r w Keterangan Tabel X c X c i X. T ii r X r i X. T ii SS T X T n c. i n r. i SS c N T SS r N N MS MS MS c r w SSc c 1 SSr r 1 SSw ( c 1)( r 1) N = Jumlah Populasi n c = jumlah sampel dalam kelompok n r =Jumlah sampel dalam baris
Contoh : Seorang karyawan ingin menyelidiki harga lima macam merek komputer untuk. Dia mengambil dari tiap-tiap merek lima buah komputer dari model empat tahun yang lalu sampai model tahun ini. Semua komputer itu kemudian di jalankan dalam keadaan yang diawasi baik-baik dan dicatat harganya. Misalkan hasil dari tes ini adalah sebagai berikut.
Tabel. Harga komputer dari lima macam merek dan lima model MODEL MEREK A B C D E Tahun ini 6 4 18 Setahun yang lalu 4 1 0 0 0 Dua tahun yang lalu 18 19 19 16 Tiga tahun yang lalu 0 15 17 13 15 Empat tahun yang lalu 14 1 11 18 1 5% 0,05 Ujilah dengan menggunakan 1. Apakah terdapat perbedaan rata-rata harga yang signifikan antara merek-merek komputer di tinjau dari segi modelnya?. Apakah terdapat perbedaan rata-rata harga yang signifikan antara model komputer di tinjau dari segi mereknyanya?
Penyelesaian: MODEL MEREK Total A B C D E Tahun ini 6 4 18 11 Setahun yang lalu 4 1 0 0 0 105 Dua tahun yang lalu 18 19 19 16 94 Tiga tahun yang lalu 0 15 17 13 15 80 Empat tahun yang lalu 14 1 11 18 1 67 Total 106 88 89 94 81 458
dlm.kel. merk merk MS MS F 3,51. 16 56,16 67,06 1 5 68,4 17,6 1 5 69,04 56,16. 8658,80) (8459,60 8390,56) (8784 8658,80 8459,60 8390,66) 1... 4 (6 68,4 8390,56 8658,80 5 458 5 67 5 80 5 94 5 105 5 11 69,04. 8390,56 8459,60 5 458 5 81 5 94 5 89 5 88 5 106 mod w r c w el merk MS MS MS SS SS SS. mod mod dlm kel el el MS MS F
F merk 17,6 3,51 4,9 F tab. merk F F 0,05, 0,05, c1:( c1)( r1) 4:16 3, 01 F 67,06 Fmod el 19,11 tab.model 0,05, r1:( c1)( r1) 3,51 F F 0,05, 4:16 3, 01
Tabel Perhitungan Anova pada contoh di atas Sumber Variasi db Jumlah Kuadrat Mean Kuadrat F hitung F tabel Merek 4 69,04 17,6 4,9 3,01 Model 4 68,4 67,06 19,11 3,01 Dalam 16 56,16 3,51 - - 1. H 0 H 1 : Tidak terdapat perbedaan rata - rata harga yang signifikan antara merek - merek komputer di tinjau dari segi modelnya. : Terdapat perbedaan rata - rata harga yang signifikan antara merek - merek komputer di tinjau dari segi modelnya. KESIMPULAN : karena Fhitung > Ftabel, 4,9 > 3,01 maka H 0 ditolak, sehingga di simpulkan bahwa kelima jenis merek komputer yang diselidiki berbeda harganya secara signifikan (berarti) jika di tinjau dari segi modelnya.
. H 0 H 1 : Tidak terdapat perbedaan rata - rata antar model komputer di tinjau : Terdapat perbedaan rata - rata model komputer di tinjau dari segi mereknya. harga harga yang signifikan dari segi mereknya. yang signifikan antar KESIMPULAN : karena Fhitung > Ftabel, 19,11 > 3,01 maka H 0 ditolak, sehingga di simpulkan bahwa kelima model komputer yang diselidiki berbeda harganya secara signifikan (berarti) jika di tinjau dari segi mereknya. Daerah Tolah Ho 3,01 19,11
EXERCISES 1.Data berikut menyatakan Lamanya (dalam menit) 4 mahasiswa menyelesaiakan tugas statistik dengan menggunakan 4 bahasa programming yang berbeda: Programmer Bahasa Programming C++ Minitab Pascal Matlab Kim 78 6 71 77 Tan 57 49 6 60 Rhonda 69 78 7 83 Kevin 71 66 59 67 Ujilah dengan menggunakan taraf signifikan 0.05 untuk menguji hipotesis bahwa: a. Apakah keempat mahasiswa tersebut menyelesaiakn tugas sama cepatnya? b. Apakah nama Programming Language tidak berpengaruh pada menyelesaikan tugas statistik?
Tugas kelompok. Pangsa pasar beberapa pusat belanja di Batam dari tahun ke tahun adalah : Tempat Belanja Tahun (dalam %) 003 004 005 Hypermarket 3 5 7 Supermarket 18 16 15 Minimarket 5 8 8 Pasar Tradisional 74 71 70 Jika jumlah kunjungan tahun 003 sebanyak 1000 orang, Tahun 004 sebanyak 000 orang dan tahun 005 sebanyak 3000 orang, Ujilah dengan menggunakan taraf signifikan 0.05, a. Apakah ada perbedaan yang signifikan kunjungan tempat belanja dilihat dari segi waktu (tahun)? b. Apakah ada perbedaan yang signifikan kunjungan dari tahun ke tahun dilihat dari segi tempat belanja?
3.Jumlah wisatawan pada musim liburan di Batam tahun 003-005 (ribuan orang) : Jenis Liburan Liburan tengah Tahun Liburan akhir tahun Di luar musim liburan Tahun 003 004 005 54 710 1848 80 349 639 156 175 76 Dari data di atas, Ujilah apakah ada perbedaan yang signifikan kunjungan wisatawan pada periode 003-004?. Gunakan taraf signifikan 0.05
Anova Dua Arah dengan Interaksi Pengukuran ulang dalam setiap waktu tertentu disebut dengan Replikasi atau Perulangan. Pengaruh dari perulangan ini disebut interaksi. Untuk Anova dua arah yang terdiri dari dua variabel akan didapatkan satu interaksi yaitu A x B(dibaca A lawan B
Kegunaan Anova dua arah dengan interaksi ini di antaranya: 1. Melihat pengaruh masing-masing variabel (Variabel I dan variabel II) terhadap nilai-nilai yang ada pada variabel tersebut.. Hasil uji interaksi ini dapat memberikan arah pengujian perbedaan rata-rata selanjutnya melalui uji Post Hoc, misalnya denga uji Tukey, Scheeffy, duncan dll. Sebagai contoh diatas, dengan menggunakan Anova interaksi ini dapat ditentukan apakah terdapat pengaruh Merek dan Model komputer terhadap harga komputer.
Tabel dua arah dengan Interaksi p.
Contoh: Terdapat 60 PC dari 3 macam model dan 5 merek. Tahun Ini Merek A B C D E 6 5 5 6 3 0 1 1 1 4 0 1 18 0 19 18 Model (tahun Pembuatan) Setahun yang Lalu 4 5 3 1 18 0 19 0 0 18 19 0 0 18 19 0 18 17 18 Dua tahun yang lalu 0 19 18 0 16 17 19 18 17 15 19 0 18 18 16 18 16 17
Selidikilah dengan menggunakan taraf signifikan 5%: a.apakah terdapat perbedaan yang signifikan antara rata-rata harga computer dalam kelompok merek? b. Apakah terdapat perbedaan yang signifikan antara rata-rata harga computer dalam kelompok model? c. Apakah terdapat Interaksi antara MEREK DAN MODEL KOMPUTER?
Penyelesaian dengan SPSS. nput data ke SPSS Data terdiri dari 60 komputer. Data terdiri dari satu variabel dependen yaitu harga. Data terdiri dari dua variabel independen yaitu merek dan model komputer.. Pengolahan data *Dari menu SPSS ilih menu Analyze ilih sub menu General Linear Model ari serangkaian pilihan tes, pilih Univariate..
* Pengisian Variabel - Pada Dependent Variabel masukkan variabel harga. - Pada Fixed Factor (s) masukkan merek dan model.
* Pada tombol Models artinya untuk menentukan jenis disain dan model interaksi.pilih Full Factorial Pada tombol Contrasrs..artinya untuk menentukan jenis analisis kontras antar variabel yang digunakan (polinomial, sederhana, deviasi, dll) Pada tombol Plots. artinya untuk membuat tampilan gambar plot untuk dua variabel. Kita dapat membuat plot rata-rata pada interaksi antara variabel merek dan harga komputer. * Pada Horizontal Axis: Masukkan variabel Merek. * Pada Separate Lines: Masukkan variabel Model. * Klik Add. * Klik Continue.
3. Output SPSS Be tween-subjects Factors MEREKPC MODELPC 1 3 4 5 006 007 008 Value Label N A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 dua tahun 0 yang lalu Setahun 0 yang lalu Tahun ini 0 Dependent Variable: HARGA Source Model MEREKPC MODELPC MEREKPC * MODELPC Error Total Tests of Between-Subjects Effects Type III Sum of Squares df Mean Square F Sig. 435,500 a 15 161,700 1065,350,000 186,333 4 46,583 30,60,000 16,100 63,050 41,40,000 13,067 8 1,633 1,073,399 68,500 45 1,5 4394,000 60 a. R Squared =,997 (Adjusted R Squared =,996)
6 Estimated Marginal Means of HARGA 4 0 MODELPC 18 dua tahun yang lalu Setahun yang lalu 16 A B C D E Tahun ini MEREKPC Dependent Variable: HARGA MEREKPC A B C D E 1. MEREKPC 95% Confidence Interval Mean Std. Error Lower Bound Upper Bound 3,50,356,533 3,967 19,583,356 18,866 0,301 19,333,356 18,616 0,051 19,917,356 19,199 0,634 17,917,356 17,199 18,634
Tabel Perhitungan Anova Dua Arah Dengan Interaksi secara manual. Source of Variation Degrees of Freedom (db) Sum of Squares Mean Square Column c - 1 SSc MSc Row r-1 SSr MSr Column x Row (c-1) (r-1) SS inter MS inter Within N r.c SSw MSw Value of the test statistic (F Value ) MS Fc MS MSr Fr MS F int er w MS MS int er w c w F F F tabel F, c, r 1; 1; N rc N rc, ( c 1)( r1); nrc Total N-1 SS t
Keterangan tabel x 1. SST xt N X X c c. j T. SSc n N ji c. j X X r r. i T 3. SSr n N ii r. i T 6. MS 7. MS 8. MS c r int er 9. MS SSc c 1 SSr r 1 w SSinter ( c 1)( r 1) SSw N r. c 4. SS inter n X c r s. i XT X c. j X r. i i n N ji n ii n 1 s. i c. i r. i 5. SS SS ( SS SS SS ) w T c r inter
c = Banyak kelompok pada variabel kolom r = Banyak kelompok pada variabel baris nr = Banyak sampel pada kelompok baris nc = Banyak sampel pada kelompok kolom ns = Banyak sampel pada masing masing sel. N = Banyak seluruh sampel.
Hasil Perhitungan secara manual. Sumber Variasi Degrees of Freedom (db) Sum of Squares Mean Square (FValue) F tabel Merek 4 186,33 46,58 30,64,575 Model 16,10 63,05 41,4 3,05 Merek x Model 8 13,07 1,63 1,07,15 Within 45 68,50 1,5 Total 59 394,00
Kesimpulan. a. Karena Fhit>Ftab,30,64 >,75, maka H0 ditolak, sehingga terbukti secara ilmiah terdapat perbedaan rata-rata yang signifikan antara merek computer dilihat dari model(tahun pembuatannya). b. Karena Fhit>Ftab,41,78>3,05, maka H0 ditolak, sehingga terbukti secara ilmiah terdapat perbedaan rata-rata yang signifikan antara model komputer(tahun pembuatannya) dilihat dari segi mereknya. c. Karena Fhit<Ftab,1,07<,15 maka H0 diterima, sehingga terbukti secara ilmiah tidak terdapat interaksi yang signifikan antara merek computer dan model(tahun pembuatannya). Sehingga dari tahun ke tahun ada kesejajaran harga komputera antara merek kelima computer yang diselidiki. Dapat dilihat grafiknya sebagai berikut.
Grafik rata-rata harga PC berdasarkan merek dan model. 6 Estimated Marginal Means of HARGA 4 0 MO DELPC 18 Tahun ini Setahun yang lalu 16 A B C D E dua tahun yang lalu MEREKPC Model Merek A B C D E Tahun Ini 5,50 1,50 1,50 1,75 18,75 Setahun yang Lalu 3,50 19,50 19,5 19,5 18,5 Dua Tahun Yang Lalu 0,75 17,75 17,5 18,75 16,75
Latihan Soal. Data mengenai nilai 4 kali Quis pada 4 mata kuliah dan 5 orang mahasiswa Mahasiswa 1 Jaringan Terapan I Pemrograman I ManKeu Statistik 88 63 51 58 73 81 87 81 79 80 7 65 77 77 9 76 79 96 85 95 8 36 80 93 56 68 67 88 80 68 6 67 67 66 74 47 91 95 77 70 3 51 89 59 8 59 9 84 73 35 60 76 49 43 5 55 49 4 64 70 6 76 4 3 53 56 99 77 84 94 95 81 83 76 5 87 95 83 76 98 96 87 80
Gunakan taraf signifikan 0,05 untuk menguji hipotesis bahwa: a.keempat mata kuliah tersebut mempunyai tingkat kesulitan yang sama. b. Kelima mahasiswa tersebut mempunyai kemampuan yang sama? c. Apakah terdapat interaksi antara mahasiswa dan mata kuliah yang di uji.