I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Pada kehidupan sehari-hari, distribusi probabilitas dapat diterapkan dalam banyak hal yang memberikan keuntungan serta manfaat dalam pengaplikasiannya. Misalnya, pada suatu perusahaan untuk menghitung kemungkinan produk cacat yang dihasilkan, mengetahui tingkat life time suatu mesin, dugaan-dugaan semacam itu dirasa perlu karena dapat membantu perusahaan dalam memperkirakan biaya produksi serta keuntungan yang diperoleh nantinya. Distribusi probabilitas merupakan suatu daftar atau kumpulan dari probabilitasprobabilitas peristiwa yang mungkin terjadi. Distribusi peluang yang demikian saling berhubungan dengan semua nilai-nilai yang mungkin terjadi dan berasal dari variabel random. Variabel random adalah variabel yang nilainya merupakan suatu bilangan yang ditentukan oleh terjadinya suatu percobaaan. Fungsi distribusi probabilitas umumnya dibedakan menjadi distribusi probabilitas diskrit dan kontinyu. Di dalam distribusi probabilitas diskrit dan kontinyu terdapat beberapa macam distribusi. Untuk lebih memahami dan mengetahui perbedaan dari kedua distribusi tersebut, maka praktikan melakukan praktikum distribusi probabilitas. Dengan melakukan praktikum diharapkan pemahaman serta pengaplikasian distribusi probabilitas diskrit maupun konitnyu dapat dipahami dan dimengerti. 1.2 Tujuan praktikum Berikut merupakan tujuan dari praktikum ini adalah sebagai berikut: 1. Mengetahui dan memahami konsep pada distribusi diskrit dan distribusi kontinyu. 2. Mengetahui dan memahami cara mengolah data distribusi diskrit dan distribusi kontinyu baik menggunakan software maupun secara manual. 3. Memahami dan menganalisis perbedaan data empiris dan data teoritis. II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Distribusi Probabilitas Distribusi probabilitas dengan parameter variabel acak X adalah daftar probabilitas dari setiap nilai variabel acak tersebut yang memungkinkan. Variabel acak adalah suatu fungsi yang mengaitkan suatu bilangan real dengan setiap unsur dalam ruang sampel. 9
Peubah acak dinyatakan dengan huruf besar, misalnya X, sedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil misalnya x. Untuk setiap variabel acak X, misalkan dengan X=1, 2, dst, distribusi tersebut sering dispesifikasikan dengan memasukkan semua nilai yang mungkin dengan nilai probabilitasnya dari nilai X sejumlah 1 sampai jumlah tertentu. (Montgomery & Runger, 2011). Binomial Hipergeometrik Multinomial Distribusi Probabilitas Diskrit Geometrik Binomial Negatif Poisson Uniform Diskrit Normal Distribusi Probabilitas Uniform Erlang Gamma Beta Distribusi Probabilitas Kontinyu Eksponensial Weibull Lognormal Distribusi t Distribusi F Chi-Square Bagan 2.1 Klasifikasi Distribusi Probabilitas 10
2.2 Distribusi Probabilitas Diskrit Distribusi probabilitas diskrit adalah suatu daftar atau distribusi dari semua nilai variabel acak diskrit dengan probabilitas terjadinya masing-masing nilai tersebut. Variabel diskrit memiliki jumlah kemungkinan nilai yang terbatas atau jumlah yang tak terhingga dari nilai-nilai yang dapat dihitung. Kata dihitung berarti bahwa mereka dapat dicacah dengan angka 1, 2, 3, dst. Sebagai contoh, jumlah pengunjung yang ada di rumah sakit setiap hari adalah contoh variabel diskrit karena dapat dihitung. (Bluman, 2012). 11
12
13
2.3 Distribusi Probabilitas Kontinyu Distribusi probabilitas kontinyu adalah distribusi probabilitas yang nilainya dapat diasumsikan berada pada interval antara dua buah angka yang termasuk dalam variabel kontinyu. Sebagai contoh apabila tinggi anak dikelas berada pada rentang 140,5 sampai 165 cm. Variabel acak kontinyu diperoleh dari data yang bisa diukur. Variabel acak kontinyu dapat diasumsikan sebagai nilai dari angka yang tak terbatas dan termasuk juga desimal dan pecahan. Contoh dari variabel acak kontinyu adalah tinggi badan, berat badan, suhu, dan waktu (Bluman, 2012). 14
15
16
17
2.4 Fungsi Massa Probabilitas Misalkan terdapat suatu pembebanan yang diletakan pada titik-titik diskrit (tertentu) di sebuah balok yang panjang dan tipis. Pembebanan tersebut dideskripsikan sebagai suatu fungsi yang menjelaskan bahwa massa (pembebanan) berada di tiap-tiap titik diskrit tersebut. Hampir sama seperti variabel acak diskrit, distribusinya dapat dideskripsikan dengan fungsi tersebut yang menjelaskan bahwa probabilitasnya berada pada tiap-tiap nilai variabel acak X yang mungkin. Montgomery (2003). Gambar 2.1 Loading at discrete points in a long thin beam Sumber : Montgomery (2003) Untuk variabel acak diskrit dengan nilai kemungkinan x1, x2,...., xn fungsi probabilitas massanya adalah 1. F(x1) 0 n 2. i=1 f(xi) = 1 3. f(xi) = P(X = xi) 2.5 Fungsi Kepadatan Probabilitas Fungsi kepadatan pada umumnya digunakan di dunia keteknikan untuk mendeskripsikan sistem fisik. Sebagai contoh, mengingat kepadatan pada suatu balok yang panjang dan tipis seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.1. Untuk setiap titik x di sepanjang balok, kepadatannya dapat dideskripsikan sebagai sebuah fungsi (gram/cm). Interval antara pembebanan yang besar berhubungan dengan nilai fungsi yang besar pula. Total pembebanan antara poin a dan b ditentukan sebagai suatu integral dari fungsi kepadatan dari a ke b. Dibawah interval pada fungsi densitas ini, dapat dengan mudah ditafsirkan sebagai jumlah dari keseluruhan pembebanan di interval tersebut. Hampir sama, Fungsi kepadatan probabilitas f(x) dapat digunakan unutk mendeskripsikan distribusi probabilitas dari variabel acak kontinyu X. Jika interval memiliki nilai dari X, probabilitasnya besar dan itu berhubungan dengan nilai 18
fungsi f(x) yang besar pula. Probabilitas X diantara a dan b ditentukan dari integral dari F(x) dari a ke b. Montgomery (2003). Gambar 2.2 Fungsi Densitas pada Balok yang Panjang dan Tipis Sumber : Montgomery (2003) Untuk variabel acak kontinyu dari X, fungsi kepadatan probabilitasnya adalah 1. F(x1) 0 2. f(x)dx = 1 b 3. P (a X b) = f(x)dx a = area dibawah f(x) untuk semua nilai a dan b 2.6 Fungsi Distribusi Kumulatif untuk Variabel Acak Diskrit Terkadang akan sangat berguna ntuk menggunakan probabilitas kumulatif dimana probabilitas tersebut dapat digunakan untuk menemukan fungsi massa probabilitas (PMF) dari suatu variabel acak. Maka dari itu menggunakan probabilitas kumulatif ini merupakan suatu metode alternatif untu mendeskripsikan distribusi probabilitas dari suatu variabel acak. (Montgomery, 2003) Fungsi probabilitas kumulatif dari variabel acak diskrit X ini dapat dinotasikan sebagai berikut F(x) = P(X x) = x1 x f(xi) (2-1) Sumber : Montgomery(2003:64) Untuk variabel acak diskrit X, F(x) memenuhi ketentuan berikut 1. F(x) = P(X x) = f(xi) x1 x 2. 0 F(x) 1 3. bila x y, kemudian F(x) F(y) 19
Gambar 2.3 Fungsi Distribusi Kumulatif untuk Variabel Acak Diskrit Sumber : Montgomery (2003) 2.7 Fungsi Distribusi Kumulatif untuk Variabel Acak Kontinyu Metode alternatif untuk mendeskripsikan suatu varuiabel acak diskrit ternyata juga dapat digunakan untuk variabel acak kontinyu. Fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak kontinyu X adalah F (x) = P( X x ) = Sumber : Montgomery (2003) f(u)du for < x <. (2-2) Menjabarkan definisi dari f (x) ke segala lini memungkinkan kita untuk mendefinisikan distribusi probabilitas kumulatif untuk semua bilangan real/nyata. (Montgomery, 2003) Gambar 2.4 Fungsi Distribusi Kumulatif untuk Variabel Acak Kontinyu Sumber: Montgomery (2003) 20
III. METODOLOGI PRAKTIKUM 3.1 Diagram Alir Praktikum Berikut merupakan diagram alir praktikum Distribusi Probabilitas; 3.2 Alat Dan Bahan Gambar 4.1 Diagram Alir Praktikum Berikut adalah alat dan bahan praktikum Distribusi Probabilitas. 21
3.2.1 Alat dan Bahan Praktikum Distribusi Diskrit Berikut adalah alat dan bahan yang digunakan dalam praktikum distribusi diskrit: 1. 50 buah bola berwarna, diantaranya 10 buah bola berwarna oranye, 10 bola bewarna biru, 10 bola berwarna hijau, 10 bola berwarna kuning dan 10 bola bewarna merah. 2. Lembar Pengamatan. 3.2.2 Alat dan Bahan Praktikum Distribusi Kontinyu Berikut adalah alat dan bahan yang digunakan dalam praktikum distribusi diskrit: 1. Stecker 2. Dua buah obeng 3. Stopwatch 4. Lembar Pengamatan 3.3 Prosedur Praktikum Distribusi Probabilitas Berikut ini merupakan prosedur yang digunakan pada praktikum distribusi probabilitas. 2.3.1 Praktikum Distribusi Probabilitas Diskrit Pada praktikum distribusi diskrit distribusi yang akan dipraktikumkan antara lain Distribusi Binomial, Geometrik, Hipergeometrik, Pascal dan Poisson. Berikut merupakan prosedur praktikum distribusi probabilitas diskrit. 1. Binomial dan Geometrik a. Persiapkan alat dan bahan. b. Terdapat 5 bola berwarna hijau, 5 bola berwarna kuning, 5 bola berwarna merah, 5 bola berwarna oranye dan 5 bola berwarna biru. Bola hijau dianggap sebagai kejadian sukses. c. Acak bola. d. Ambil satu bola secara acak. Catat di tabel pengamatan Distribusi Binomial jika yang terpilih adalah bola berwarna hijau lalu masukkan bola kembali. e. Untuk distribusi geometrik kejadian sukses jika yang terpilih bola berwarna merah. f. Lakukan pengacakan bola hingga 10 kali (1 replikasi). g. Ulangi hingga 10 kali replikasi. h. Analisis dan interprestasi. 22
2. Hipergeometrik a. Persiapkan alat dan bahan. b. Terdapat 5 bola berwarna oranye dan 20 bola selain warna orange. Dengan ketentuan bola berwarna oranye sebagai produk cacat. c. Acak bola. d. Ambil satu per satu bola tanpa pengembalian hingga terambil 5 bola (1 replikasi). e. Catat frekuensi munculnya bola berwarna orange (produk cacat) setiap 1 kali replikasi. f. Ulangi hingga 10 replikasi. g. Analisis dan interpretasi. 3. Binomial Negatif a. Persiapkan alat dan bahan. b. Terdapat 5 bola berwarna hijau, 5 bola berwarna kuning, 5 bola berwarna merah, 5 bola berwarna oranye dan 5 bola berwarna biru. c. Acak bola. d. Ambil satu bola, lalu masukkan kembali bola yang terambil. e. Lakukan hingga 1 bola berwarna biru terambil. f. Kejadian sukses apabila terambil 3 bola berwarna biru, catat jumlah pengambilan hingga terjadi sukses pertama kali dalam 1 kali replikasi pada lembar pengamatan. g. Ulangi hingga 10 kali replikasi. h. Analisis dan interpretasi. 4. Poisson a. Persiapkan alat dan bahan. b. Terdapat 25 bola berwarna dengan komposisi 5 bola berwarna kuning dan 20 bola selain warna kuning. c. Lakukan pengambilan bola dengan pengembalian sampai muncul bola berwarna kuning (kejadian sukses). d. Pengambilan dilakukan selama 30 detik dalam 1 replikasi (asumsi 1 menit dilakukan 60 kali pengambilan bola). e. Catat jumlah terambilnya bola berwarna kuning (kejadian sukses) dalam 1 kali replikasi (1 menit = 60 kali pengambilan). f. Ulangi hingga hingga 10 replikasi. 23
g. Analisis dan Interpretasi. 2.3.2 Prosedur Praktikum Distribusi Kontinyu Pada praktikum distribusi kontinyu distribusi yang akan dipraktikumkan yaitu distribusi normal.berikut merupakan prosedur praktikum distribusi probabilitas kontinyu. 1. Normal a. Persiapkan alat, bahan dan 4 orang anggota kelompok. b. Terdapat wadah yang berisi tiga stecker yang nantinya akan di assembly. c. Satu anggota kelompok berperan sebagai operator perakit yang bertugas untuk merakit komponen stecker. Satu anggota bertugas untuk melepaskan stecker yang telah dirakit agar dapat digunakan lagi untuk operator perakit. Sementara Satu anggota lainnya bertugas untuk menjalankan dan menghentikan stopwatch dan satu anggota sisanya untuk mencatat waktu yang diperlukan operator untuk melakukan sebuah replikasi. d. Operator perakit melakukan percobaan replikasi terlebih dahulu. e. Mulai melakukan replikasi dengan memulai perhitungan waktu. f. Saat satu replikasi selesai, operator perakit merakit set stecker yang lain, dan satu anggota kelompok melepaskan stecker yang telah dirakit. g. Lakukan terus hingga 35 replikasi. h. Catat hasil waktunya ke dalam tabel pengamatan. i. Analisis dan Interpretasi. 3.4 Prosedur Pengolahan Data 3.4.1. Prosedur Pengolahan Data Teoritis Pada pengolahan data secara teoritis berdasarkan data yang diperoleh, dilakukan pengolahan data untuk mengetahui nilai probabilitas dari kejadian tertentu. Pengolahan dilakukan dengan menggunakan software SPSS. 1. Binomial Berikut ini adalah langkah-langkah pengolahan data distribusi Binomial menggunakan software SPSS 20: 24
a. Buka software SPSS 20 dan klik variabel. b. Isikan x dan PDF padakolom Name. lalu isikan kolom Decimals dengan 0 (nol) pada x dan 5 (lima) pada PDF. setelah itu isikan kedua kolom Measure dengan Scale: c. Klik data view. Lalu isikan x dengan nilai (0.1.2.3.4.5). d. Pada menu bar klik transform >> compute variabel e. Pada kotak dialog compute variabel isikan target variabel dengan pdf. pada function group pilih PDF &Noncentral PDF. Dan pada Function and Special Variabels pilih Pdf.Binom. f. Pindahkan fungsi Pdf.Binom kedalam kotak Numeric Expression dengan menekan tombol panah atas. Kemudian tuliskan PDF. BINOM (?.?.? ) dengan PDF.BINOM (x.n.p) sesuai dengan studi kasus. Lalu klik Ok. 2. Geometrik Berikut ini adalah langkah-langkah pengolahan data distribusi Binomial menggunakan software SPSS 20: a. Buka software SPSS 20 dan klik variabel. b. Isikan x dan PDF padakolom Name. lalu isikan kolom Decimals dengan 0 (nol) pada x dan 5 (lima) pada PDF. setelah itu isikan kedua kolom Measure dengan Scale: c. Klik data view. Lalu isikan x dengan nilai (0.1.2.3.4.5). d. Pada menu bar klik transform >> compute variabel. e. Pada kotak dialog compute variabel isikan target variabel dengan pdf. pada function group pilih PDF &Noncentral PDF. Dan pada Function and Special Variabels pilih Pdf.Geom. f. Pindahkan fungsi Pdf.Geom kedalam kotak Numeric Expression dengan menekan tombol panah atas. Kemudian tuliskan PDF. GEOM (?.? ) dengan PDF.GEOM (x,p) sesuai dengan studi kasus. Lalu klik Ok. 3. Hipergeometrik Langkah-langkah untuk pengujian hasil probabilitas percobaan hipergeometrik adalah sebagai berikut: 25
a. Buka SPSS dan klik Variable View. b. Isikan x dan PDF pada kolom Name, lalu isikan kolom Decimals dengan 0 (nol) pada x dan 5 (lima) pada PDF. Setelah itu, isikan kedua kolom Measure dengan Scale. c. Klik Data View, lalu isikan x dengan peubah acak yang mungkin terjadi. Contohnya 0,1,2,3,4,5. d. Pada Menu Bar klik Transform>>Compute Variable. e. Pada kotak dialog Compute Variable, isikan Target Variabledengan pdf, padafunction group pilih PDF & Noncentral PDF, dan pada Functionand Special Variables pilihpdf.hyper. f. Pindahkan fungsi Pdf.Hyper kedalam kotak Numeric Expression dengan menekan tombol panah atas. Kemudian isikan PDF.HYPER (?,?,?,?) sesuai dengan studi kasus lalu klik OK. 5. Pascal Langkah-langkah yang dilakukan dalam pengolahan distribusi binomial negatif dengan menggunakan Minitab adalah: a. Buka SPSS dan klikvariable View. b. Isikan x dan PDF pada kolom Name, lalu isikan kolom Decimals dengan 0 (nol) pada x dan 5 (lima) pada PDF. Setelah itu, isikan kedua kolom Measure dengan Scale. c. Klik Data View, lalu isikan x dengan peubah acak yang mungkin terjadi. d. Pada Menu Bar klik Transform>>Compute Variable. e. Pada kotak dialog Compute Variable, isikan Target Variabledengan pdf, padafunction group pilih PDF & Noncentral PDF, dan pada Functionand Special Variables pilihpdf.negbin. f. Pindahkan fungsi Pdf.Negbin kedalam kotak Numeric Expression dengan menekan tombol panah atas. Kemudian isi PDF.NEGBIN (?,?,?) dengan PDF.NEGBIN (x, k, p). sesuai dengan studi kasus. 6. Poisson Langkah-langkah yang dilakukan dalam pengolahan data distribusi poisson adalah sebagai berikut: 26
a. Buka SPSS dan klikvariable View. b. Isikan x dan PDF pada kolom Name, lalu isikan kolom Decimals dengan 0 (nol) pada x dan 5 (lima) pada PDF. Setelah itu, isikan kedua kolom Measure dengan Scale. c. Klik Data View, lalu isikan x dengan peubah acak yang mungkin terjadi. d. Pada Menu Bar klik Transform>>Compute Variable. e. Pada kotak dialog Compute Variable, isikan Target Variabledengan pdf, padafunction group pilih PDF & Noncentral PDF, dan pada Functionand Special Variables pilihpdf.poisson. f. Pindahkan fungsi Pdf.Poisson kedalam kotak Numeric Expression dengan menekan tombol panah atas. Kemudian isi PDF.POISSON (?,?) lalu klik OK. 7. Normal Berikut ini merupakan langkah-langkah pengolahan data menggunakan distribusi normal pada SPSS 20: a. Masukan batas_bawah batas_atas dan cdf Name. setelah itu isikan kolom measure dengan scale. b. Mengisi kolom Decimal dengan 2 (dua) pada variabel batas_bawah dan batas_atas dan 5 ( lima ) pada variabel cdf. c. Buka software dan klik variabel view. d. Isikan Scale pada semua variabel di kolom measure. e. Kembali ke data view kemudian isikan nilai batas_atas dan batas_bawah. f. Kemudian pilih Transform lalu pilih compute variabel. g. Setelah itu akan muncul tampilan dialog compute variabel. Isikan target variabel dengan cdf untuk mencari cdf maksimum. Pada function group pilih CDF & Noncentral CDF. Dan pada function and special variabels pilih Cdf.Normal. h. Pindahkan fungsi Cdf.Normal kedalam kotak Inumeric expression dengan menekan tombol panah atas. i. Pada kotak numeric expression isikan CDF.NORMAL (batas_atas. mean. stddev)- CDF.NORMAL(batas_bawah. mean. stddev). Masukkan mean dan stdev dengan masing-masing nilai 14.245 dan 2.65. j. Klik Ok. 27
3.4.2 Prosedur Pengolahan Data Empiris Pada pengolahan data secara empiris dilakukan dengan menggunakan cara manual. Perhitungan empiris didasarkan hasil statistik percobaan. Berikut adalah prosedur penghitungan empiris. Berikut ini merupakan prosedur perhitungan pengolahan data secara empiris: 1. Menghitung jumlah frekuensi tiap replikasi pada tabel pengolahan berdasarkan tally setelah dilakukan praktikum. 2. Menghitung jumlah frekuensi kumulatif tiap replikasi pada tabel pengolahan. 3. Mengisi nilai variabel random (x) pada kolom. 4. Melakukan perhitungan empiris dengan membagi frekuensi pada variabel random yang akan dihitung dengan frekuensi kumulatif keseluruhan. Fempiris = Fi Fi 28
IV. STUDI KASUS 4.1 PENGOLAHAN DISTRIBUSI DISKRIT 1. Distribusi Tabel 5.1 Pengolahan Data Distribusi Replikasi Tally F F kum x Perhitungan Empiris Perhitungan Teoritis 2. Distribusi Tabel 5.2 Pengolahan Data Distribusi Replikasi Tally F F kum x Perhitungan Empiris Perhitungan Teoritis 29
3. Distribusi Tabel 5.3 Pengolahan Data Distribusi Replikasi Tally F F kum x Perhitungan Empiris Perhitungan Teoritis 4.2 PERHITUNGAN DISTRIBUSI KONTINYU 1. Distribusi Normal Tabel 5.4 Pengumpulan Data Distribusi Normal Replikasi Waktu Replikasi Waktu 1. 21. 2. 22. 3. 23. 4. 24. 5. 25. 6. 26. 7. 27. 8. 28. 9. 29. 10. 30. 11. 31. 12. 32. 13. 33. 14. 34. 15. 35. 16. 17. 18. 19. 20. 30
V. SOAL 1. Probabilitas seorang pasien sembuh dari penyakit A setelah dilakukan operasi adalah sebesar 0,4. Jika sebanyak 15 pasien positif terjangkit penyakit A, maka hitung probabilitas bahwa : a. Paling tidak ada 10 orang yang sembuh b. 3 sampai 8 orang bisa sembuh c. Tepat 5 orang akan sembuh Jawab: 2. Diameter poros pada suatu perusaahan yang memproduksi berbagai macam drive penyimpanan optik berdistribusi normal, dengan mean 925 inchi dan standar deviasi 60 inci. Bila diameter poros berdistribusi mendekati normal. Hitunglah Presentase diameter poros antara 875 inchi dan Rp. 969 inchi. a. Presentase diameter poros di bawah 800 inchi. b. Di atas berapa inchi kah 5% diameter poros tertinggi? c. Di bawah berapa inchi kah 10% diameter poros terendah Jawab:............... 31
3. Sebuah aula gedung fakultas dapat disewa untuk rapat yang lamanya tidak lebih dari 5 jam. Misalkan X adalah peubah acak yang menyatakan waktu rapat, yang mempunyai distribusi seragam. a. Tentukan fungsi densitas peluang dari X b. Tentukan peluang suatu rapat berlangsung 3 jam atau lebih Jawab: 4. Suatu sampling sebanyak 40 komponen part motor tidak dapat diterima apabila komponen tersebut terdapat 3 atau lebih cacat. Prosedur untuk sampling memilih 4 part sepda motor secara random dan menolak apabila terdapat banyak cacat yang ditemukan. Berapa probabilitas terdapat 1 cacat ditemukan pada sampel apabila terdaapat 3 cacat yang ditemukan keseluruhan? Jawab: 32
5. Sebuah toko buku sedang mengadakan diskon besar-besaran sehingga kedatangan pengunjung berdistribusi eksponensial. Kedatangan pengunjung meningkat dari biasanya menjadi 8,4 pengunjung per 35 menit. Berapa probabilitas kedatangan pengunjung dalam selang waktu 7 menit atau lebih? Jawab:...................................................... 33
34 (Halaman ini sengaja dikosongkan)