SUJET MTTER o m p i L e d y rs. La Misu, M.Pd rs. La rapu,, M.Si Reviewers: r. Sugiman, M.Si epartment Of Mathematics Education and Natural Sciences Faculty of Teacher Training and Education H L U O L E O U N I V E R S I T Y K E N R I 0 1 4
FTR ISI halaman I GEOMETRI INSIENSI ING N RUNG.. 1 II JRK N KEKONGRUENN 4.1. Keantaraan. 4.. Ruas Garis, Sinar, Sudut dan Segitiga 5.3. Kekongruenan Ruas Garis- Ruas Garis 6 dan Sudut-sudut III KEKONGRUENN SEGITIG-SEGITIG 9 IV PEMISHN ING N RUNG 16 4.1. Kecembungan dan Pemisahan 16 4..Teorema-teorema Insidensi 17 V KESENGUNN SEGITIG-SEGITIG 0 VI GRIS-GRIS N TITIK-TITIK ISTIMEW... 4 P SUTU SEGITIG 6.1. Garis-garis Istimewa 4 6.. Titik-titik Istimewa... 5 VII TURN FUNGSI TRIGONOMETRI 6 P SUTU SEGITIG 7.1. turan Sinus 6 7.. turan osinus 7 7.. turan Tangen 7 VIII SEGI EMPT N SEGI NYK 8 8.1. Segi Empat 8 8.. eberapa Segiempat embung Istimewa 8 8..1 Segi panjang 8 8.. Persegi 9 8..3 Layang-layang 30 8..4 Jajaran Genjang 30 8..5 elah Ketupat 31 8..6 Trapesium 3 8.3. Segi anyak 3 IX ERH-ERH POLIGON... 34 N EKSTERIORNY 9.1. Luas Segitiga dan Segibanyak eraturan... 34 9.. Luas Segi anyak eraturan 36 9.3. Tempat Kedudukan 37 9.4. Lingkaran 37 9.4.1 Luas Lingkaran 37 iv
X LINGKRN LUR, SINGGUNG LM... 39 N SINGGUNG LUR SUTU SEGITIG 10.1. Lingkaran Luar Suatu Segitiga 39 10. Lingkaran Singgung alam Suatu Segitiga... 40 10.3 Lingkaran Singgung Luar Suatu Segitiga 41 10.4 Garis Istimewa dan kibatnya 43 XI NGUN-NGUN RUNG 45 11.1 Kubus, balok, Prisma dan Limas 46 11.1.1 Kubus 47 11.1. alok 48 11.1.3 Prisma 49 11.1.4 Limas 50 11. angun-bangun Ruang Khusus 51 11.3 Melukis angun Ruang 5 11.4 Melukis Penampang 53 XII VOLUME NGUN-NGUN RUNG... 55 1.1 Kubus 55 1. alok 55 1.3 Prisma 55 1.4 Tabung 56 1.5 Limas 57 1.6 Kerucut 57 1.7 Paralel Epipedum 58 XIII VOLUME NGUN-NGUN RUNG... 59 TERPNUNG 13.1 Limas Terpancung 59 13. Kerucut Terpancung 6 XIV O L 65 14.1 Luas ola 65 14. Volume ola 67 FTR PUSTK 68 v
I GEOMETRI INSIENSI ING N RUNG Pada geometri insidensi, untuk membicarakan garis kita memerlukan beberapa aksioma-aksioma. Kumpulan aksioma ini selanjutnya disebut aksioma insidensi. ksioma insidensi inilah yang membangun geometri insidensi. Selengkapnya aksioma itu adalah: 1-0 Suatu garis dan bidang adalah himpunan titik. Suatu garis l adalah himpunan bagian dari suatu bidang E dan dikatakan bahwa l terletak dalam E. pabila suatu garis l memuat sebuah titik P dikatakan bahwa P terletak pada l atau l melalui P. Titik-titik yang terletak pada satu garis disebut kolinear dan titik-titik yang terletak pada satu bidang disebut koplanar. 1-1 Melalui dua titik yang berbeda hanya dapat dibuat tepat satu garis. pabila titik itu P dan Q maka garis yang melaluinya dinotasikan dengan PQ. 1- Melalui tiga titik yang tidak kolinear hanya dapat dibuat tepat satu bidang. 1-3 Suatu garis yang memuat dua titik berbeda yang terletak pada suatu bidang, garis itu seluruhnya terletak pada bidang itu. 1-4 Perpotongan dua bidang adalah suatu garis. 1-5 Setiap garis memuat paling sedikit dua titik yang berbeda dan setiap bidang memuat paling sedikit tiga titik yang tidak segaris. Selanjutnya misalkan kita diberikan sebarang dua garis berbeda. Kita ingin melihat bagaimana kedudukan dua garis ini. Jika berpotongan berupa apa perpotongannya atau mungkin saja kedua garis ini tidak berpotongan. Kedudukan dua garis ini dijelaskan dalam Teorema 1.1. apat juga kita melihat kedudukan garis dan bidang. Terkait hal ini dapat kita lihat apakah garis subset bidang, garis dan bidang saling lepas atau garis menembus bidang. Teorema-teorema yang terkait dengan hal ini dijelaskan dalam Teorema 1. untuk garis menembus bidang, sedangkan untuk garis subset bidang dijelaskan dalam Teorema 1.3. 1
Teorema 1.1 ua garis yang berbeda berpotongan paling banyak hanya pada satu titik ukti Misalkan garis itu adalah l dan m. ndaikan l dan m berpotongan pada dua titik berbeda P dan Q. Maka menurut 1-1 melalui P dan Q hanya dapat dibuat tepat satu garis. Ini berarti l dan m berimpit atau l = m, tetapi ini kontradiksi dengan l m. Jadi pengandaian salah. Reductio ad bsurdum (R). Selanjutnya selain kedudukan dua garis dapat juga melihat kedudukan himpunan dua titik lainnya. iantara kedudukan dua himpunan titik yang juga penting untuk didlihat adalah kedudukan antara garis dan bidang. Untuk jelasnya hal ini dapat dilihat pada Teorema 1.. Teorema 1. Jika suatu garis memotong suatu bidang yang tak memuat garis itu maka perpotongannya adalah sebuah titik. ukti Misalkan l adalah garis yang memotong bidang E, tetapi l tidak terletak pada E, maka ada paling sedikit satu titik P l E. ndaikan ada Q P l E. Maka Q l dan Q E. Menurut aksioma 1-1 l = PQ. Menurut aksioma 1-3 PQ terletak pada E. Ini kontradiksi dengan l tidak terletak pada E. Jadi pengandaian salah. R. Pada Teorema 1.1 dan Teorema 1. telah dijelaskan kedudukan antara dua garis dan kedudukan antara garis dan bidang berturut-turut. Padahal dari tiga himpunan titik; yaitu titik, garis dan bidang kita dapat melihat tiga keterkaitan; yaitu kaitan titik dan garis, kaitan titik dan bidang dan kaitan garis bidang. Oleh karena itu Teorema 1.3 menjelaskan hasil gabungan titik dan garis. Teorema 1.3 iketahui suatu garis dan sebuah titik yang tidak terletak pada garis itu, maka terdapat tepat satu bidang yang memuat garis dan titik itu. ukti Misalkan garis itu adalah l dan titik itu adalah P. Maka ada R Q l. Karena P l maka P, Q dan R tidak kolinear. Menurut aksioma 1- melalui P, Q dan R hanya
dapat tepat dibuat satu bidang E. Karena l = PQ, maka menurut aksioma I-1 E = l P. Misalkan ada bidang lain F yang memuat l P. Maka F juga akan memuat P, Q dan R. Ini berarti F = E. Selanjutnya mari kita lihat apa yang terjadi penggabungan garis******* Teorema 1.4 Jika dua garis berpotongan, maka gabungan kedua garis itu terletak pada satu bidang. ukti Misalkan garis itu adalah l dan m. kan ditunjukkan bahwa l m = bidang E. Menurut teorema 1 l m = P. Menurut aksioma 1-1 ada Q l dengan P Q dan ada R l. Jadi P,Q dan R tidak kolinear. Menurut aksioma 1- melalui P,Q dan R hanya tepat dibuat satu bidang E. Karena l = PQ dan m = PR maka E = l m. Menurut Teorema 1.3 tidak ada bidang lain yang memuat l m. Soal Latihan 1. iberikan dua titik berbeda dan. da berapa garis yang dapat dibuat melalui dan? Jelaskan jawaban nda!. da berapa biadang yang dapat dibuat yang memuat dan pada soal 1? Jelaskan jawaban nda! 3. iberikan tiga titik berbeda dan tidak segaris, dan. da berapa garis yang dapat dibuat dari tiga titik ini? 4. da berapa bidang yang dapat dibuat yang memuat titik-titik pada soal no.3? 5. Jika diberikan n titik berbeda dan setiap tiga titik tidak segaris, tentukanlah banyaknya a. Garis yang dapat dibuat sehingga setiap titik dilalui garis! b. idang yang dapat dibuat sehingga setiap titik termuat dalam bidang! 3
II JRK N KEKONGRUENN Setiap pasangan titik akan berkaitan dengan suatu bilangan real yang disebut jarak di antara dua titik itu. Untuk menjelaskan kaitan ini, maka perlu didefinisikan suatu fungsi d yang harus memenuhi syarat sebagai jarak antara dua titik. Syarat yang harus dipenuhi oleh d ini selanjutnya disebut sebagai aksioma jarak. ksioma jarak selengkapnya adalah sebagai berikut: d - 0. d adalah suatu fungsi d:sxs R d - 1. P,Q S, d (P,Q) 0. d -. d (P,Q) = 0, jika dan hanya jika P = Q. d - 3. d (P,Q) = d (Q,P) P,Q S. i sini d(p,q) adalah jarak antara dua titik P dan Q dan untuk singkatnya d(p,q) ditulis sebagai PQ. efinisi.0 Misalkan f : l R merupakan suatu korespondensi satu-satu antara titik-titik dalam garis l dengan bilangan real. Fungsi f disebut sistem koordinat untuk l apabila untuk setiap pasangan titik P dan Q pada l dipenuhi PQ = f (P) f (Q). Selanjutnya untuk setiap P l, bilangan f(p) = x disebut koordinat P. d - 4. Setiap garis mempunyai sebuah sistem koordinat..1 Keantaraan efinisi.1.1 iberikan tiga titik kolinear, dan. ikatakan terletak di antara dan bilamana memenuhi + =, dan dinotasikan dengan (). Teorema.1. Jika (), maka (). ukti (Sebagai latihan). 4
Teorema.1.3 Setiap tiga titik berbeda yang kolinear tepat satu titik berada di antara dua titik lainnya. ukti Misalkan f adalah suatu sistem koordinat untuk garis l dan x, y, z adalah koordinat-koordinat dari titik, dan berturut-turut. Maka salah satu dari bilangan x, y, z berada di antara kedua bilangan lainnya. ilangan-bilangan ini akan berkorespondensi dengan titik-titik, dan. Selanjutnya disini akan ditunjukan bahwa jika () maka tidak akan () atau (). Selanjutnya misalkan f() = 0 dan 0<f()<f(). Jadi 0 = x < y < z. ndaikan () maka + =. Tetapi + =. Setelah kedua persamaan ini dijumlahkan maka = 0. Menurut d- =. Tetapi ini kontradiksi dengan. Untuk () dilakukan pembuktian dengan cara serupa. Teorema.1.4 Jika dan adalah dua titik sebarang, maka ada satu titik sehingga () dan ada satu titik sehingga (). ukti Misalkan f adalah sebarang sistem koordinat untuk. Misalkan x dan y berturut-turut adalah kordinat dan dengan x<y. Maka x<y<y+1. Jika = f -1 (y+1) y x x y maka (). Juga diperoleh x < x+y < y atau x < y. Jika = f -1 maka ().. Ruas Garis (Segmen), Sinar, Sudut dan Segitiga efinisi..1 iberikan dua titik berbeda dan. Himpunan titik-titik yang terletak di antara dan bersama dan adalah ruas garis di antara dan dan ini dinotasikan dengan. Gbr. 1 5
ari definisi..1 berarti = : (X),. x. efinisi.. iberikan dua titik berbeda dan. Himpunan semua titik yang terletak pada demikian sehingga tidak terletak di antara dan disebut sinar dari melalui dan ini dinotasikan dengan. Titik disebut titik awal Gbr. dari atau ujung. efinisi..3 Sudut adalah sebuah bangun pada bidang yang merupakan gabungan dari dua buah sinar yang mempunyai titik ujung yang sama, tetapi tidak terletak pada garis yang sama. pabila sudut itu adalah gabungan dan, kedua sinar ini disebut kaki-kaki dari sudut itu. Titik disebut titik sudut dan sudut itu dinotasikan dengan. Teorema..4 =. ukti (sebagai latihan). efinisi..5 Gbr. 3 Gbr. 4 iberikan tiga titik, dan yang tidak segaris. Himpunan disebut sebuah segitiga dan dinotasikan dengan. Ketiga segmen, dan disebut sisi segitiga (Gbr. 4). 6
.3 Kekongruenan Ruas Garis- Ruas Garis dan Sudut-sudut efinisi.3.1 Ruas garis-ruas garis dan dikatakan kongruen bilamana =, dan dinotasikan dengan. Gbr. 5 efinisi.3. Misalkan (). Titik disebut titik tengah bilamana memenuhi. Teorema.3.3 Setiap segmen mempunyai tepat satu titik tengah. ukti mbil sebarang. Misalkan f sebuah sistem koordinat pada demikian sehingga f() = 0 dan f()>0. Jika (), maka = f () f () = 0 f () = f (). r o R 30 o Misalkan f() = x, maka = x. Tetapi = f () f () = x f () (i) Gbr. 6 Q (ii) P = x = - x. Karena titik tengah maka =. Jadi x = - x atau x =. Syarat ini dipenuhi oleh hanya satu bilangan x maka juga hanya satu. 7
Selanjutnya untuk menyatakan suatu ukuran P dinotasikan dengan Q R m( ), tetapi (i) untuk menghindari kesalahpahaman dengan perkalian r o X Y Z (ii) Gbr. 7 digunakan m saja. Oleh karena itu jika ada sudut seperti pada Gbr. 6 persamaannya dinyatakan sebagai m = r dan m PQR = 30. Selanjutnya jika dua sudut PQR dan XYZ dengan m PQR = m XYZ maka dikatakan PQR kongruen dengan XYZ dan untuk ini dinotasikan dengan PQR XYZ. r o Soal 1. iberikan (). uktikan bahwa jika titik tengah maka =. 8
III KEKONGRUENN SEGITIG-SEGITIG efinisi 3.1 iberikan dua segitiga dan EF dan suatu korespondensi satu-satu EF di antara titik-titik sudutnya. Korespondensi itu dikatakan suatu kekongruenan apabila setiap pasangan yang berkorespondensi itu sisi-sisi dan sudutsudutnya kongruen. efinisi 3.1 menunjukkan bahwa korespondensi EF adalah suatu kekongruenan jika memenuhi keenam kondisi berikut : E, F, EF,, E, F. Jika korespondensi EF adalah suatu kekongruenan, maka E F dan EF dikatakan kongruen dinotasikan dan dengan (i) Gbr. 8 (ii ) EF. ksioma sisi-sudut-sisi (S.Sd.S) 3. iberikan suatu korespondensi diantara dua segitiga. Jika dua sisi dan sudut yang diapitnya pada segitiga pertama kongruen dengan korespondensi yang seletak pada segitiga kedua maka korespondensi itu adalah suatu kekongruenan. Jika segitiga itu adalah, EF dan EF maka EF jika E, teorema., F (Gbr. 9). ari penjelasan ini kita dapat diturunkan beberapa Teorema 3.3 (Sudut-Sisi-Sudut (Sd.S.Sd)) iberikan suatu korespondensi diantara dua segitiga (atau di antara suatu segitiga dengan dirinya sendiri). Jika dua sudut dan sisi yang diapitnya dari segitiga pertama 9
kongruen dengan bagian yang seletak pada segitiga kedua maka korespondensi itu adalah suatu kekongruenan. ukti iberikan, EF dan suatu korespondensi EF. Jika, F dan F, akan ditunjukan bahwa EF. E F (i) Gbr. 9 (ii) Menurut sifat sinar maka ada suatu titik ' E = '. Menurut aksioma S.Sd.S maka ' F. Menurut definisi kekongruenan maka EF'. Tetapi FE. Jadi EF ' FE. Karena ' E maka FE = F'. Oleh karena itu E = '. Jadi EF. efinisi 3.4 iberikan suatu garis l pada bidang E. Garis l membagi bidang E menjadi suatu setengah bidang E 1 dan E. alam hal ini E 1 dan E disebut sisi l. Masing-masing E 1 dan E terletak pada sisi yang berhadapan dari l. Jika dan pada E dengan dan dan tidak pada l maka : (i) Gbr. 10 E (ii) ' F (i) (ii) dan terletak pada sisi yang sama dari l, jika tidak memotong l. Ini berarti jika E 1 maka juga E 1 atau jika E maka juga E. dan terletak pada sisi yang berhadapan dari l jika memotong l. Ini berarti jika E 1 maka E atau jika E maka E 1.(Gbr. 11). 10
Teorema 3.5 (Sisi-Sisi-Sisi (S.S.S)) iberikan suatu korespondensi diantara dua segitiga. Jika E E 1 (ii) l ketiga pasangan sisi yang korespondensi kongruen maka korespondensi itu adalah suatu kekongruenan. (i) E ukti iberikan, EF dan Gbr. 11 suatu korespondensi EF seperti pada Gbr.1. Jika E, EF dan akan F ditujukkan E bahwa korespondensi itu adalah suatu kekongruenan. Menurut @ Q @ Gbr. 1 @ @ F definisi 3.4 ada suatu Q dengan Q dan terletak pada sisi yang berhadapan dari sehingga Q FE. Maka ada suatu ' Q sehingga ' E. Selanjutnya karena F maka menurut sisi-sudut-sisi EF '. Misalkan kasus yaitu : ' memotong pada suatu titik G. ukti ini dapat kita lihat dalam tiga (i). (G), (ii). (=G) dan iii. (G). (i) Tetapi untuk kasus-kasus ini pada dasarnya cukup hanya kita lihat pada kasus (i) saja. Karena pada ' dan ' maka 'G G. Juga pada ' dan ' maka 'G G. Karena G interior dan G interior ' maka '. Menurut S.Sd.S itu menunjukkan bahwa '. Karena ' EF maka EF. 11
efinisi 3.6 Suatu garis bagi dari suatu sudut adalah suatu sinar interior sudut itu yang membagi sudut itu dalam dua bagian yang saling kongruen. Teorema 3.6 Setiap sudut mempunyai tepat satu garis bagi. ukti iberikan. Tanpa menghilangkan keumuman anggap Gbr. 13 bahwa. Misalkan titik tengah. Maka interior dan menurut teorema sisi-sisi-sisi. Jadi sehingga adalah garis bagi. Karena setiap hanya mempunyai satu titik tengah maka tunggal. Jadi telah kita menunjukkan bahwa setiap sudut paling sedikit mempunyai satu garis bagi. Ini baru setengah dari bukti teorema kita. Kemudian kita harus menunjukan bahwa paling banyak hanya mempunyai satu garis bagi. Untuk ini kita harus menunjukkan bahwa garis bagi nggap bahwa E garis bagi melalui titik tengah dari.. Maka secara otomatis E interior. Karena itu E akan memotong pada suatu titik ' diantara dan, tetapi menurut sisi sudut sisi ' '. Jadi ' '. Ini berarti titik tengah. Karena hanya mempunyai satu titik tengah, maka satu garis bagi. hanya mempunyai Jika satu kaki suatu sudut berimpit dengan salah satu kaki sudut yang lain maka kedua sudut itu berbatasan. ua buah sudut yang berbatasan sehingga kaki-kaki sudut yang berjauhan membentuk suatu garis, maka kedua sudut itu saling suplemen. Jika dua sudut saling suplemen maka kedua sudut itu membentuk suatu pasangan linear. Selanjutnya perhatikan Gbr. 14. Karena dibentuk oleh dan, sedangkan kedua sinar itu adalah kaki-kaki sudut yang berjauhan dari dan 1
diketahui bahwa kedua sudut ini saling suplemen. Oleh karena itu dapat membentuk suatu pasangan linear, yang berarti bahwa m + m 180. Selanjutnya dua sudut saling bertolak belakang jika kaki-kaki sudut itu membentuk pasangan sinar yang bertolak belakang seperti pada Gbr. 15. isini bertolak belakang dengan ''. Gbr. 14 dan Sifat 3.8 Jika dua buah sudut ' saling bertolak belakang maka kedua sudut itu ' kongruen. Gbr. 15 ukti (Sebagai latihan). Teorema 3.9 iberikan suatu garis dan sebuah titik tidak pada garis maka ada suatu garis yang melalui titik yang diberikan tegak lurus garis yang diberikan. ukti Misalkan l adalah garis itu dan titik itu adalah. mbil dan sebarang titik yang berbeda pada l (Gbr.16). Maka ada suatu titik Q demikian sehingga Q dan berada pada sisi yang berhadapan dari l dan memenuhi pada Q sehingga '. Q. Juga ada suatu titik ' Karena dan ' berada pada sisi yang berhadapan dari l maka ' memotong l pada suatu titik G. i sini ada dua kemungkinan mengenai G yaitu : (i) G. Pada kasus ini G ' Gbr. 16 Q l 13
menurut s.sd.s G 'G. Karena itu G G' dan mem-bentuk pasangan linear. Oleh karena itu setiap sudut adalah sudut siku-siku. Jadi G = l seperti yang diminta. (ii) = G. Pada kasus ini G dan 'G. Tetapi '. Karena itu = l. Selanjutnya diberikan garis-garis l 1, l dan m pada satu bidang. Jika m memotong l 1 dan l pada dua titik P dan Q yang berbeda berturutturut maka m adalah G ' G. Jadi sama dengan kasus (i), sehingga G suatu transversal terhadap l 1 dan l. Jika : (1) t suatu transversal terhadap l 1 dan l yang memotong l 1 dan l di P dan Q berturut-turut dan (). dan titik-titik pada l 1 dan l berturut-turut yang terletak pada sisi yang berhadapan dari t, l 1 maka PQ dan PQ disebut sudut-sudut berseberangan dalam (Gbr. 18). Q P Gbr. 17 l m efinisi 3.10 Jika sudut-sudut dalam dan x dan y berse-berangan y dan z bertolak belakang, maka dan sudut x z adalah sudut z Q y x P l 1 l sehadap. Gbr. 19 14
Teorema 3.11 Selanjutnya jika t suatu tranversal terhadap l 1 dan l maka l 1 dan l sejajar jika sudut sudut-sudut berse-berangan dalam kongruen atau sudut-sudut sehadap kongruen. ukti (sebagai latihan). 15
4.1 Kecembungan dan Pemisahan efinisi 4.1.1 IV PEMISHN ING N RUNG Suatu himpunan disebut cembung (konvex) apabila untuk setiap titik P dan Q di segmen PQ seluruhnya terletak dalam. ontoh ua gambar berikut adalah konvex. ua gam-bar berikut adalah cekung (konkav). Suatu himpunan konvex biasanya menjadi sangat luas. Sebagai P Q Q P contoh semua ruang S adalah konvex Gbr. 0 dan seluruh garis dan bidang adalah konvex. Sekarang diberikan suatu garis l pada bidang E. Maka garis l membagi E menjadi dua bagian dan P P kedua bagian ini disebut sisi l. Sisi-sisi l ini juga konvex. Setiap sisi l ini Q Q disebut setengah bidang. Garis l sendiri disebut tepi setengah bidang. Gbr. 1 ksioma Pemisahan idang 4.1. iberikan suatu garis dan suatu bidang yang memuat garis itu. Himpunan semua titik pada bidang yang tidak terletak pada garis adalah gabungan dua himpunan sehingga 1. setiap himpunan adalah konvex. jika P pada satu himpunan dan Q pada himpunan lain, maka PQ memotong garis itu. 16
Selanjutnya misalkan bidang itu adalah E dan garis itu adalah l. Jika himpunan yang tidak pada garis l adalah H 1 dan H, maka aksioma di atas ekuivalen dengan 1. E l = H 1 H. jika P H 1 dan Q H maka PQ l. Soal Latihan 1. uktikan bahwa himpunan H 1 dan H keduanya tak kosong!. uktikan bahwa himpunan H 1 memuat paling sedikit dua titik! 3. uktikan bahwa setiap sinar adalah konvex! 4. uktikan bahwa H 1 l adalah konvex! 5. uktikan bahwa jika dan konvex maka konvex! 6. uktikan bahwa jika G adalah sebarang koleksi dari himpunan konvex Gi, maka irisan dari semua himpunan Gi dalam koleksi itu adalah konvex! 7. Misalkan adalah suatu himpunan titik dan adalah gabungan seluruh segmen yang berbentuk PQ, dengan P, Q. pakah konvex? Mengapa? tau mengapa tidak? 8. iberikan suatu dan suatu garis l pada bidang yang sama. Jika l tidak melalui titik sudut, maka l tidak memotong ketiga sisi segitiga itu! 9. iberikan suatu dan suatu garis l pada bidang yang sama. Jika l melalui suatu titik diantara dan, maka l memotong salah satu dari sisi lainnya dari! 4. Teorema-teorema Insidensi ari aksioma pemisahan bidang diketahui bahwa suatu garis membagi suatu bidang menjadi dua setengah bidang yang berlawanan dari garis yang merupakan tepi kedua setengah bidang itu. emikian juga jika dua titik terletak pada setengah bidang yang berbeda, maka titik itu terletak pada sisi yang berlawanan dari garis yang diberikan. 17
Teorema 4..1 Jika P dan Q pada sisi yang berlawanan dari garis l dan Q dan T pada sisi yang berlawanan dari l, maka P dan T terletak pada sisi yang sama dari l. Teorema 4.. Jika P dan Q pada sisi yang berlawanan dari garis l dan Q dan T pada sisi yang sama dari l, maka P dan T terletak pada sisi yang berlawanan dari l. Selanjutnya jika suatu bidang dipisahkan oleh garis, maka untuk materi yang berbeda dengan persoalan yang sama kita terapkan pada garis. Untuk sebaranag titik P pada garis l, maka P memisah l menjadi dua setengah garis yang disebut sinar garis. Kedua setengah garis ini terletak pada sisi yang berlawanan dari P dalam l. Teorema 4..3 iberikan suatu garis dan suatu sinar yang mempunyai titik ujung pada garis itu tetapi tidak terletak pada garis itu. Maka semua titik sinar itu, kecuali titik ujungnya terletak pada sisi yang sama dari garis itu. Konsep pemisahan bidang dapat diterapkan untuk melihat gabungan dua sinar dan bidang. Sebab kejadian khusus dari gabungan dua sinar ini adalah garis. Tetapi pada umumnya gabungan dua sinar ini adalah sudut. alam hal gabungan dua sinar adalah sudut, maka suatu bidang akan terbagi dua menjadi exterior dan interior sudut itu. efinisi 4..4 Interior adalah irisan sisi yang memuat dan sisi yang memuat, bila tidak disebut exterior. efinisi ini menunjukkan bahwa suatu titik adalah interior apabila (1) = dan () =. Teorema 4..5 Setiap sisi dari suatu segitiga kecuali titik-ttik ujungnya adalah interior sudut didepannya. Teorema 4..6 Jika (), () dan (FG) pada satu bidang dan, dan tidak segaris, 18
maka G interior. Interior dan exterior pada suatu segitiga diberikan oleh dfinisi berikut. efinisi 4..7 Interior adalah irisan dari himpunan-himpunan (1). Sisi yang memuat, (). Sisi yang memuat dan (3). Sisi yang memuat. Teorema 4..8 Interior suatu segitiga adalah suatu himpunan konvex. Teorema 4..9 Interior suatu segitiga adalah irisan dari interior-interior sudutnya. Soal Latihan 1. Jika interior, maka - terletak pada interor.. Jika interior dan (G), maka G - terletak pada sisi yang tak memuat. 3. Jika interior dan (F), maka F dan pada sisi yang sama dari. 4. Jika interior, maka memotong. 5. iberikan suatau segitiga dan suatu garis pada bidang yang sama. Jika garis itu memotong salah satu sisi dari segitiga itu, maka garis itu akan memotong salah satu dari dua sisi lainnya. 19
V KESENGUNN SEGITIG-SEGITIG menggunakan iberikan, EF dan suatu korespondensi EF. isini kita ketentuan yang sudah dikenal yaitu panjang sisi di depan sudut, dan seterusnya. Korespondensi EF dikatakan proporsional bilamana sisi kedua segitiga ini memenuhi a, b, c ~ d, e, f. Jika korespondensi itu proporsional dan setiap sudut yang korespondensi itu kongruen maka kita katakan bahwa korespondensi itu adalah suatu kesebangunan dan dinotasikan dengan ~ EF. ua segitiga dikatakan sebangun bilamana ada suatu korespondensi kesebangunan diantara keduanya. Teorema 5.1 (Sd.Sd.Sd). iberikan suatu korespondensi di antara dua segitiga. Jika korespondensi sudutsudutnya kongruen maka korespondensi itu suatu kesebangunan. ukti iambil, EF c b a Gbr. dan suatu korespondensi EF (Gbr.1). Jika f e E d F, E dan F, akan ditunjukkan bahwa ~ EF. Misalkan E' dan F' adalah titik-titik pada dan berturut-turut sehingga E' = f dan F' = e. E' F' Gbr.3 1 c E f e d F 0
Menurut sisi-sudut-sisi E'F' EF. Karena E' F' E dan E maka E' F'. Jadi E' dan di bawah suatu proyeksi sejajar. Karena itu kita peroleh ratio : bahwa f e. engan cara yang sama dan melakukan penggantian materi, dapat ditunjukkan e d, karena itu d, e, f ~,, atau d, e, f ~ a, b, c. Karena sisi yang korespondensi proporsional dan suatu kesebangunan. Teorema 5. (Kesebangunan sudut-sudut). EF suatu korespondensi maka korespondensi itu adalah iberikan suatu korespondensi di antara dua segitiga. Jika dua pasangan sudut yang korespondensi di antara dua segitiga itu kongruen maka korespondensi itu adalah suatu kesebangunan. ukti mbil dan E Misalkan E' dan F' adalah titik-titik, EF dan suatu korespondensi EF (Gbr. ). Jika pada dan berturut-turut sehingga E' = f dan F' = e. Menurut sisi-sudut-sisi sehingga Oleh karena itu, akan ditunjukkan bahwa ~ EF. E' c E E'F' EF. Maka E' F' E. Tetapi E, E' F'. Padahal E' F' dan sehadap. Ini berarti E' F' //. F juga sehadap dengan sehingga F' E' F' E' F, maka F. Menurut Teorema 5.1 ~ EF. F' Gbr. 4 f d e F. Tetapi 1
Suatu garis tinggi dari suatu segitiga adalah suatu garis yang ditarik dari suatu titik sudut tegak lurus pada garis yang memuat sisi didepannya. Sifat 5.3 ruas tinggi. Setiap segitiga mempunyai tiga ukti (Sebagai alatihan). Suatu segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku disebut segitiga siku-siku. Sisi yang mengapit sudut siku-siku disebut sisi siku-siku, sisi di depan sudut itu disebut hipotenusa (sisi miring). Teorema 5.4 Garis tinggi yang memotong hipotenusa dari suatu segitiga siku-siku membagi segitiga itu menjadi dua segitiga yang saling sebangun. ukti Misalkan adalah kaki yang tegak lurus dari ke ~ ~. Fakta bahwa teorema kesebangunan sudut-sudut lainnya dapat dibuktikan. Teorema 5.5 (Teorema Pythagoras) adalah suatu segitiga siku-siku dengan sudut siku di dan. kan ditunjukkan bahwa dan. Menurut ~. engan cara yang sama yang Pada sebarang segitiga siku-siku kuadrat panjang hipotenusa sama dengan jumlah kuadrat dua sisi lainnya. ukti Misalkan Gbr. 5 adalah suatu segitiga siku-siku dan siku-siku di. kan dibuktikan bahwa a + b = c. Misalkan garis tinggi melalui memotong. Menurut Teorema 16 ~ ~. Karena itu h, f, b ~ a, b, c ~ g, h, a. di
3 Jadi c b b f sehingga f = c b dan c a g maka c a a g. Fakta bahwa c = f+g = c b c a. Jadi a + b = c. Gbr. 7 Gbr. 6 a g f b h c
V GRIS-GRIS N TITIK-TITIK ISTIMEW P SEGITIG 6.1 Garis-garis Istimewa Pada setiap sudut dalam suatu segitiga dapat ditarik tiga buah garis istimewa yaitu : garis tinggi, garis bagi dan garis berat. Hanya satu garis istimewa pada segitiga tidak melalui titik sudutnya, yaitu garis sumbu segitiga. Garis ini disebut sumbu sisi segitiga. Suatu garis disebut sumbu sisi suatu segitiga apabila garis itu adalah sumbu suatu sisi dari segitiga yang diberikan. Teorema 6.1.1 Melalui suatu titik sudut pada suatu segitiga hanya dapat tepat dibuat satu ruas tinggi. ukti (sebagai latihan) Jadi pada setiap segitiga hanya kita mempunyai tiga garis tinggi. Garis bagi dari suatu sudut pada suatu segitiga adalah suatu garis yang ditarik melalui titik sudut itu dan membagi sudut itu sehingga menjadi dua sudut yang saling kongruen. Teorema 6.1. Melalui suatu sudut dalam suatu segitiga hanya dapat tepat dibuat satu garis bagi. ukti (sebagai latihan) Oleh karena itu pada suatu segitiga kita hanya mempunyai tiga garis bagi. Garis berat pada suatu segitiga adalah garis yang ditarik melalui suatu titik sudut segitiga itu dan membagi dua saling kongruen sisi di depannya. Teorema 6.1.3 Melalui suatu sudut dalam suatu segitiga hanya dapat tepat dibuat satu garis berat. ukti (sebagai latihan) Ini berarti pada setiap segitiga hanya mempunyai tiga garis berat. Teorema 6.1.4 Melalui suatu sisi segitiga hanya dapat dibuat tepat satu sumbu sisi. 4
ukti (sebagai latihan) Ini berarti pada setiap segitiga hanya mempunyai tiga sumbu sisi. 6. Titik-titik Istimewa Titik-titik istimewa yang dimaksud di sini adalah titik-titik yang merupakan perpotongan garis-garis istimewa. Oleh karena itu dalam setiap segitiga kita hanya mempunyai tiga titik istimewa yaitu titik tinggi, titik bagi dan titik berat. Teorema 6..1 Setiap segitiga hanya mempunyai tepat satu titik tinggi. ukti (sebagai latihan ) Teorema 6.. Setiap segitiga hanya tepat mempunyai satu titik berat. ukti (sebagai latihan) Teorema 6..3 Setiap segitiga hanya mempunyai tepat satu titik bagi. ukti (sebagai latihan) 5
VII TURN FUNGSI TRIGONOMETRI P SUTU SEGITIG 7.1 turan Sinus iberikan suatu. Tarik garis tinggi dengan adalah titik potong dengan. Misalkan = t, = b, = a, = c, = c 1, dan = c. Karena dan siku di maka : sin t b dan sin Jadi b sin = a sin atau t a (6.1.1) sin sin. (6.1.) a b Sekali lagi tarik garis tinggi E dengan E adalah titik kaki garis itu pada. Karena E dan E siku-siku di E maka : E Sin atau E = b sin dan b Sin E atau E = c sin c Jadi b sin c sin tetapi (6.1.) maka sin b sin a sin c atau...(6.1.3) sin sin.. (6.1.4) b c entuk (6.1.4) ini disebut aturan sinus pada suatu dengan a, b, c adalah panjang sisi di depan,, dan berturut-turut. b t Gbr. 6 E 6
7. turan osinus Pandang seperti pada Gbr. 5. Misalkan garis tinggi dari sudut adalah sehingga memotong di. Maka : dan c = + c = +. engan mengeliminasi dari persamaan ini dan menggunakan fakta bahwa + = b maka dari kedua persamaan ini di peroleh : c = a + b - b..(6..1) tetapi = a cos, maka dari (6..1) diperoleh : c = a + b - ab cos entuk (6..) disebut aturan cosinus pada c b (6..). a Gbr. 7 6.1 turan Tangen Tan Perhatikan kembali segitiga pada Gbr. 5. ari gambar ini diperoleh : dan tan. Jadi 1 1 tan tan = = b.. (6.3.1) Tetapi = a b c b maka, tan b tan tan = (a b c ) sehingga (b + c - a ) tan = (a +b -c ) tan. (6.3.) engan cara yang sama kita peroleh (b + c - a ) tan karena (8) maka, = (a + c - b ) tan. Oleh (b + c - a ) tan = (a + c - b ) tan = (a +b -c ) tan (6.3.3) bentuk ini disebut aturan tangen pada. 7
VIII SEGI EMPT N SEGI NYK 8.1 Segi Empat efinisi 8.1.1 iberikan empat titik berbeda,, dan sehingga terletak pada satu bidang dan setiap tiga titik tidak segaris. ilamana,, dan hanya berpotongan pada ujung-ujungnya. gabungan segmen-segmen itu disebut suatu segiempat dan dilambangkan dengan. Selanjutnya,, dan disebut sisi-sisi segiempat itu dan,,, adalah titik-titik sudutnya. Ruas garis-ruas garis dan disebut diagonal segiempat itu. Sisi-sisi yang tidak berpotongan disebut sisi yang berhadapan, sudut-sudut yang kaki-kakinya hanya bersekutu pada dua titik disebut sudut saling berhadapan. Selanjutnya misalkan P, Q dengan P Q dua titik sebarang di dalam. Jika PQ berada di dalam maka disebut segiempat konvex (Gbr. 8(ii)). 8. eberapa Segiempat embung Istimewa 8..1 Segi panjang efinisi 8..1.1 Segiempat yang keempat sudutnya kongruen disebut persegipanjang. Teorema 8..1. (i) Sudut-sudut suatu persegipanjang adalah sudut siku-siku. Gbr. 8 (ii ) 8
ukti sss Misalkan persegipanjang itu adalah. Tarik diagonal. Maka terbentuk dari dua dan. Karena persegipanjang maka menurut jadi u u 180. Karena maka u u u 180. Tetapi u + u = u. Jadi u +u =180. Karena maka u 90. Ini membuktikan bahwa sudutsudut suatu persegipanjang adalah sudut sikusiku. Teorema 8..1.3 Sisi-sisi yang berhadapan dari suatu persegipanjang adalah sejajar. ukti (Sebagai latihan). Teorema 8..1.4 Sisi yang berhadapan dari suatu persegipanjang adalah kongruen. ukti (Sebagai latihan). Teorema 8..1.5 kongruen. iagonal suatu persegipanjang kongruen dan berpotongan membagi dua saling ukti (Sebagai latihan). 8.. Persegi angun ini merupakan kejadian khusus dari segiempat panjang. efinisi 8...1 P Konvex Q Gbr. 9 Persegipanjang yang keempat sisinya kongruen disebut bujursangkar. P Q Tak Konvex 9
Teorema 8... diagonalnya. iagonal bujursangkar saling berpotongan tegak lurus di titik tengah ukti (sebagai latihan). 8..3 Layang-layang efinisi 8..3.1 Segiempat disebut layang-layang bilamana mempunyai sepasang sudut dengan kaki-kaki yang kongruen saling berhadapan. Teorema 8..3. Setiap layang-layang mempunyai paling sedikit satu pasang sudut berhadapan.yang kongruen ukti Misalkan layang-layang itu adalah yang saling kongruen adalah saling dengan sudut yang mempunyai kaki dan. Maka dan saling berhadapan. Tarik, maka terdiri dari dua samakaki yaitu dengan dan dengan. Tetapi u = u + u. Karena u = u dan u u u u u u. Jadi. Karena dan mempunyai persekutuan kaki maka dan saling berhadapan. maka tidak Teorema 8..3.3 iagonal layang-layang saling berpotong tegak lurus. ukti (sebagai latihan) 8..4 Jajaran Genjang efinisi 8..4.1 Suatu segiempat yang dua pasang sisinya yang saling berhadapan sejajar disebut jajaran genjang. 30
Teorema 8..4. Sisi-sisi yang saling berhadapan dari suatu jajaran genjang adalah kongruen. ukti (Sebagai latihan). Teorema 8..4.3 Sudut-sudut yang saling berhadapan dari suatu jajaran genjang adalah kongruen. ukti (Sebagai latihan). Teorema 8..4.4 iagonal suatu jajaran genjang saling berpotongan sehingga setiap diagonal terbagi menjadi segmen yang saling kongruen. ukti Misalkan jajaran genjang itu adalah. Maka //, // dan dan. Tarik diagonal maka dan terletak pada sisi yang berhadapan dari. Sebaliknya tarik maka dan terletak pada sisi yang berhadapan dari. Menurut aksioma Pasch memotong pada suatu titik E. Karena berada di dalam maka E. kan ditunjukkan bahwa E adalah titik tengah sekaligus. Karena maka terdiri dari dua segitiga yaitu dan. Menurut S.Sd.S maka dari dua segitiga yaitu Karena. Selanjutnya karena maka terdiri dan. Menurut S.S.S. E maka E E dan E E. Jadi E E. kibatnya E E dan. Tetapi 1. Oleh karena E E itu E = E dan E = E. Ini membuktikan bahwa E adallah titik tengah sekaligus. 8..5 elah Ketupat angun ini merupakan kejadian khusus dari jajaran genjang yang mempunya sisi-sisi yang berdekatan kongruen. 31
efinisi 8..5.1 Jajaran genjang yang keempat sisinya kongruen disebut belah ketupat. Teorema 8..5. iagonal suatu belah ketupat saling berpotongan tegak lurus dan setiap diagonal terbagi menjadi segmen yang saling kongruen. ukti (sebagai latihan) 8..6 Trapesium efinisi 8..6.1 Suatu segiempat yang mempunyai sepasang sisi yang saling berhadapan sejajar (Gbr.8) disebut trapesium. Sisi yang sejajar disebut alas dan dua sisi lainnya disebut kaki. Ruas garis yang menghubungkan dua titik tengah kaki trapesium disebut garis tengah sejajar. Teorema 8..6. kedua alasnya. Panjang garis tengah sejajar dari suatu trapesium adalah setengah jumlah panjang ukti (Sebagaai latihan). Suatu trapesium yang kedua kakinya sama panjang disebut trapesium sama kaki. Teorema 8..6.3 Sudut alas dari suatu trapesium samakaki adalah kongruen. ukti (Sebagai latihan). 8.3 Segi anyak // Gbr. 30 // efinisi 8.3.1 iberikan sebarang titik 1,, 3,, n dengan n 3 demikian sehingga 3
terletak pada satu bidang dan setiap tiga titik tidak terletak satu garis. Gabungan 1,, 3 n n 1, n 1 n adalah segibanyak apabila ruas garis-ruas garis ini hanya berpotongan di titik-titik ujungnya. Ruas garis-ruas garis, dan 1, 3,... n 1n 1 n disebut sisi segibanyak dan 1,,, n adalah titik sudutnya. Selanjutnya jika 1 n n 1 n 1 n, maka segibanyak disebut segibanyak beraturan. Untuk n = 3, segibanyak beratuan ini adalah segitiga samasisi dan bujursangkar adalah contoh lain segibanyak beraturan untuk n = 4. Teorema 8.3. Setiap segibanyak beraturan adalah bangun datar yang konvex. ukti (Sebagai latihan). 33
IX ERH-ERH POLIGON N EKSTERIORNY 9.1 Luas Segitiga dan Segibanyak eraturan Luas segitiga dan segibanyak dibangun oleh aksioma-aksioma luas. ksioma Luas 9.1.1-1. L adalah suatu fungsi R poligon dan R adalah himpunan semua bilangan real. -. Setiap daerah poligon R, L(R)>0 R, di mana R adalah himpunan semua daerah -3. ksioma kekongruenan. Jika dua daerah segitiga kongruen maka kedua daerah itu mempunyai luas daerah yang sama. -4. ksioma penjumlahan. Jika dua daerah poligon berpotongan hanya pada batasbatasnya dan sudutnya maka luas gabungannya adalah jumlah masing-asing luasnya. L(R 1 R ) = L (R 1 )+ L(R ) l R R 1 R p Gbr. 31 Gbr. 3-5. ksioma satuan. Luas daerah suatu persegi panjang adalah perkalian panjang dan lebarnya L( R )= pl ari aksioma di atas dapat diturunkan beberapa teorema. Teorema 9.1. Luas suatu segitiga siku-siku adalah setengah kali perkalian panjang kakikakinya. ukti mbil, dengan sudut siku di. Misalkan adalah suatu titik 34
sehingga adalah suatu persegi panjang.menurut -4, maka L = L + L. Tetapi. Maka menurut -3 L = L. Jadi L = L. Tetapi menurut -5 karena itu L = Teorema 9.1.3 L = ab. Oleh 1 ab. Luas suatu segitiga adalah setengah kali perkalian sebarang alas dan garis tinggi yang memotong garis yang memuat alas itu. ukti (sebagai latihan) Teorema 9.1.4 Luas jajaran genjang adalah perkalian sebarang alas dan tingginya. ukti (sebagai latihan) Teorema 9.1.5 yang sejajar. ukti Luas suatu trapesium adalah setengah perkalian tinggi dan jumlah dua sisi mbil suatu trapesium seperti Gbr. 34. Menurut aksioma penjumlahan luas maka: L L L. trp Tetapi Jadi L 1 L b h dan L b 1 h b h b h 1 1 trp 1 1. h Gbr. 33 b 1 b Gbr. 34 35
Teorema 9.1.6 Teorema 9.1.7 Teorema 9.1.8 1 = h b b ). ( 1 Luas persegi adalah setengah kuadrat diagonalnya. Luas layang-layang adalah hasil kali kedua diagonalnya. Luas belah ketupat adalah hasil kali kedua diagonalnya. 9. Luas Segi anyak eraturan mbil sebarang segibanyak beraturan N 1 N N k dengan titik sudut N i, i =1,, 3,, k. Misalkan panjang sisi-sisi segibanyak di atas adalah s dan jari-jari lingkaran yang melalui semua titik sudutnya adalah r. Selanjutnya untuk setiap segibanyak kelilingnya kita sebut "perimeter" disingkat "P" dan ruas tinggi pada sisi segibanyak dari setiap segitiga disebut "apotema" disingkat "a". Teorema 9..1 ukti Luas segibanyak beraturan adalah setengah perkalian apotema dan perimeter. Misalkan segibanyak itu adalah Gbr. 35, maka N 8 Gbr. 35 N 7 M N 6 N 4 N k N N 3 N 5 1 L segibanyak k. s. a = (ks) a 1, tetapi ks = perimeter p, maka L segibanyak 1 ap. 36
9.3 Tempat Kedudukan efinisi 8.3.1 Tempat Kedudukan (TK) adalah letak titik -titik di bidang yang memenuhi syarat tertentu. ontoh iberikan dua titik berbeda dan di bidang. Tentukan TK titik-titik sehingga jarak titik itu ke- dan ke- adalah sama. Penyelesaian: Jelas bahwa titik tengah adalah salah satu dari TK ini, misalkan titik itu adalah. Jika sehingga =, maka adalah segitiga samakaki. Garis tinggi melalui dari melalui. Jadi TK yang dimaksud, yaitu garis tegak lurus melalui titik tangahnya. Selanjutnya disebut. 9.4 Lingkaran efinisi 9.4.1 Lingkaran adalah TK titik-titik di R sehingga jaraknya terhadap suatu titik tertentu adalah tetap. Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran dan jarak tetap itu disebut jari-jari lingkaran. r 9.4.1 Luas Lingkaran Gbr. 36 Jika segibanyak pada Gbr. 35 segitiganya dibuat sampai tak hingga banyaknya maka keliling segibanyak itu akan mendekati keliling lingkaran dan apotemanya mendekati r. Misalkan apotema segibanyak ini adalah r dan perimeternya adalah πr maka luas segibanyak ini sama dengan luas lingkaran L. Jadi 37
L = 1 r.π. πr dengan r jari-jari lingkaran dan L luas lingkaran. 9.4.1 38
X LINGKRN LUR, SINGGUNG LM N SINGGUNG LUR SUTU SEGITIG 10.1 Lingkaran Luar Suatu Segitiga Perhatikan Gbr. 36. Pada, dan dilukis sumbu-sumbu sisi seperti Gbr. 37. Teorema 10.1.1 Sumbu-sumbu sisi, c R b dan pada berpotongan pada satu titik. ukti (Sebagai latihan). Teorema 10.1. S a Gbr. 36 Jika sumbu-sumbu sisi, dan pada berpotongan di R, maka R = R = R. ukti (Sebagai latihan). Ini berarti titik-titik, dan terletak pada suatu lingkaran yang berpusat di R dengan jari-jari R. Selanjutnya lingkaran c t t a t b ini disebut lingkaran luar. Sekarang perhatikan lagi pada Gbr.37. Jika garis tinggi yang melalui pada Gbr. 37 segitiga ini memotong di, maka = s ( s a)( s b)( s c), s = 1 ( a b ) b c. 10.1.3 Jadi L = s( s a)( s b)( s c), 10.1.4 39
dengan: s = 1 ( a b c ), Kembali pada a, b dan c panjang sisi segitiga. R, maka dapat ditunjukkan bahwa: Gbr. 37 dengan perpotongan sumbu-sumbu sisi adalah R, 10.1.4a R, 10.1.4b R. 10.1.4c engan menggunakan aturan osinus pada os dan R diperoleh: R os 10.1.5 os R os -1 r c a b c 1. r ab entuk sederhana persamaan ini adalah abc r, L = s( s a)( s b)( s c), 10.1.6 4L dengan; a, b dan c adalah panjang sisi-sisi segitiga, r jaria-jari lingkaran luar L luas., 10. Lingkaran Singgung alam Suatu Segitiga iberikan sebarang PQR. Misalkan garis bagi PQR melalui P memotong RQ di T, seperti Gbr. 38. Garis R bagi PQR melalui Q memotong PT di S dan PR di U, juga garis U S T bagi PQR melalui R memotong PQ di V maka PQR terbagi P V Q menjadi tiga segitiga, yaitu; PQS, Gbr. 38 40
PRS dan QRS. Jadi L PQR = L PQS + L PQR + L PRS. Karena S adalah titik bagi PQR, maka jarak S ke ketiga sisi PQR sama. Jarak ini sama dengan jari-jari lingkaran singgung dalam PQR. Tetapi jari-jari lingkaran ini sama dengan tinggi PQS, PRS dan QRS dari S. Karena itu L PQR = 1 r.pq + 1 r.qr + 1 r.pr. Jadi jari-jari lingkaran singgung dalam PQR adalah.l ΔPQR r =, dengan: r jari-jari lingkaran singgung dalam PQR,...10..1 K L PQR luas PQR, dan K keliling PQR. Lingkaran singgung dalam PQR dapat dilukis sebagai berikut. Lukis garis PQR melalui P dan Q. Misalkan kedua garis ini berpotongan di S. Maka S adalah pusat lingkaran singgung dalam PQR. Selanjutnya lukis garis tinggi PQS melalui S. Misalkan garis tinggi ini memotong PQ di T. Lingkaran singgung dalam PQR adalah lingkaran yang dilukis melalui T dan berpusat di S. 10.3 Lingkaran Singgung Luar Suatu Segitiga Perhatikan lagi pada Gbr. 36. Pada ini dilukis suatu lingkaran sehingga menyinggung salah satu sisinya dan perpanjangan kedua sisi lainnya. Lingakaran ini selanjutnya disebut lingkarang singgung. Misalkan kita ingin melukis lingkaran singung yang menyinggung sisi seperti Gbr. 39. Maka yang pertama kita lukis adalah garis bagi K O a b E c F Gbr. 39 41
. Ke-mudian kita lukis garis bagi F, dengan F pada demikian sehingga (F). Perpotongan kedua garis bagi ini adalah pusat lingkaran y ang dimaksud dan misalkan adalah 0. Selanjutnya misalkan lingkaran itu menyinggung di E, di F dan di K maka berlaku hal-hal berikut : tan (1/ ) = tan (1/ ) = r F r K r r dan F c E r r. K b E a b c Tetapi E =, karena itu tan (1/ ) = 4r( a b c) tan ( ) =. Karena tan ( ) = ( a b c) 4r r a b c dan sin, maka cos (b 4L c a ) 4r(a b c) (a b c) 4r ( a b c)( b c a ) ( a b c) r 8L ( b c a ) 16L ( a b c) ( a b c)( b c a ) ( a b c).bc r. 10.3.1 8L Untuk (a+b+c)bc tidak memenuhi sebab r < 0 dan ini tidak mungkin. Selanjutnya untuk (a+b+c)bc, diperoleh; r = = ( a b c)(a c b)(a b c) 8L L s a. 10.3. dimana ; r : jari-jari lingkaran singgung di depan L : luas,, 4
a b c s :, a, b dan c panjang sisi-sisi. engan cara yang sama kita peroleh pula jari-jari lingkaran singgung di depan dan berturut-turut adalah : r r L dan 10.3.3 s b L. 10.3.4 s c 10.4 Garis Istimewa dan kibatnya ari pasal-pasal terdahulu diketahui bahwa garis istimewa pada suatu segitiga ada, yaitu garis tinggi, garis bagi dan garis berat. Oleh karena itu pada pasal ini akan dibahas akibat dari ketiga garis istmewa ini. 9.5.1 Garis Tinggi Suatu Segitiga pabila pada setiap titik sudut dari suatu segitga ditarik garis tinggi, maka garis tinggi itu dapat memotong sisi di depan segitiga itu atau perpanjangannya. Teorema 9.5.1.1 iberikan. Jika garis tinggi dari memotong di, maka a c b / a bilamana ( ), atau b c c / a () atau a b c / a, bilamana ()., bilamana Teorema 9.5.1. iberikan suatu. Misalkan garis tinggi dari memotong di, garis tinggi dari memotong di E dan garis tinggi dari memotong di F dengan titik tinggi G. Jika G interior, maka EG ~ G ~, FG ~ G ~ G dan EG ~ FG ~ F. 43
Teorema 9.5.1.3 L: luas. Jika seperti pada Teorema 9.5.1.3, maka a( b c a ) G, 4L Teorema 9.5.1.6 Jika seperti pada Teorema 9.5.1.3, maka ( a G c b )( a 8aL b c ), L: luas. Teorema 9.5.1.7 Jika seperti pada Teorema 9.5.1.3, maka a cos cos L G c cos cos b cos cos. L L G G 44
XI NGUN-NGUN RUNG Pada dasarnya bangun ruang hanya terdiri dari prisma dan limas. Sedangkan bangun ruang lainnya hanya merupakan kejadian-kejadian khusus dari kedua jenis Prisma alas Prisma alas persegipanjang = balok Prisma alas dan sisi dan penutup bujur sangkar yang sama = kubus Prisma las lingkaran = tabung Limas Limas alas lingkaran = kerucut bangun ini atau gabungan dari salah satu atau kedua jenis bagian bangunan ini. Hal ini dapat dilihat pada Gbr. 40. Prisma miring sepasang dinding sisinya = parelel epipedum Gbr. 40 45
Selanjutnya perhatikan kubus Gbr. 41. Titik-titik sudutnya,,,, E, F, G, dan H, rusuk-rusuknya adalah :,, E, F, G, H, H G EH, HG, FG, dan EF. idang-bidang sisi-sisinya adalah, FE, GF, HG dan FGH. iagonal ruangnya E F adalah G, H, E dan F. iagonal bidangnya adalah GH, HE, EF dan GF. alam keadaan tertentu Gbr. 41 kadang-kadang kita perlu menentukan titik potong/tembus garis dan bidang. ontoh : Misalkan kita ingin menentukan jarak titik tengah dengan bidang diagonal EF pada kubus Gbr. 41. Untuk ini tentu memerlukan suatu garis yang melalui titik tengah memotong tegak lurus bidang EF. Supaya dapat kita menentukan titik ini harus dilakukan prosedur berikut : Tarik E, Tarik F, Sebut E F = L, Tarik KL dengan K titik tengah, maka KL tegak lurus pada setiap garis yang terletak pada bidang EF yang melalui L. KL jarak titik tangah ke bidang EF. 11.1 Kubus, balok, Prisma dan Limas Masing-masing bangun ruang ini mempunyai sifat sendiri-sendiri. Pada pasal ini akan dibahas sifat-sifat khusus itu. 46
11.1.1 Kubus angun ruang ini mempunyai : 8 titik sudut, 1 rusuk yang sama, panjang yang tegak lurus satu sama lainnya, 6 bidang sisi yang berbentuk bujur sangkar dan tegak lurus satu sama lainnya, 4 diagonal ruang, 4 diagonal bidang yang berbentuk persegi panjang. Untuk jelasnya perhatikan kubus pada Gbr. 41. Telah diketahui bahwa penutup mempunyai jarak tetap terhadap alas, maka kita katakan bahwa penutup kubus adalah tempat kedudukan titik yang mempunyai jarak tetap s dari bidang alas kubus. Hal ini yang dapat kita lihat pada kubus bahwa setiap garis yang terletak pada sisi-sisi alas selalu memotong atau menyilang rusuk tegak lurus. Oleh karena itu untuk menentukan jarak titik tengah ke dalam EF harus dibuat proyeksi titik tengah kesebarang garis pada bidang EF. Perhatikan Gbr.41 pada contoh di atas. Misalkan titik tengah adalah K, maka dengan bidang EF dan titik K dapat dibentuk diagonal bidang yang berbentuk segitiga samakaki, yaitu EK dan KF dengan EK = K dan K = FK. las kedua segitiga ini berpotongan di suatu titik L. Jarak KL adalah jarak titik K ke bidang diagonal EF. Selanjutnya di sini dapat juga kita ketahui bahwa bidang EF dan bidang EK berpotongan pada suatu garis lurus E. emikian juga bidang EF dan bidang KE berpotongan pada suatu garis lurus H. Sedangkan kedua bidang yang melalui kedua segitiga di atas berpotongan pada suatu garis lurus KL. Karena EF persegipanjang, maka garis tinggi EK dan KF dari K adalah garis yang melalui K dan titik tengah E dan F. Jika E F = L, maka KL adalah jarak titik tengah ke diagonal bidang EF. 47
11.1. alok Pada dasarnya kubus merupakan bentuk khusus dari balok yaitu jika mempunyai rusuk yang sama panjang maka akan terjadi kubus. Oleh karena itu balok juga mempunyai 8 titik sudut, 3 pasang bidang sisi, 1 rusuk H G dengan 4 rusuk panjang, 4 E F rusuk lebar, 4 rusuk tinggi, 4 L diagonal ruang, 4 diagonal bidang. Perhatikan Gbr. 4. Titik sudutnya adalah K,,,E,F,G, dan seterusnya. Segmen-segmen,, Gbr. 4 EF, GH adalah rusuk panjang,,, EH, FG rusuk lebar, E, H, F, G, rusuk tinggi, G, H, E dan F adalah diagonal ruang. idang-bidang H L G alas, FG, bidang EF, GH E M K F bidang dinding dan EHGF bidang penutup, GF, GH, HE HE dan adalah Gbr. 44 48
diagonal bidang. Sama halnya dengan pada kubus di sini juga kadang-kadang kita perlu menentukan letak suatu titik dengan tepat. ontoh : Misalkan kita ingin menentukan jarak antara titik dengan bidang yang melalui EG seperti pada Gbr. 43. Untuk itu perhatikan Gbr. 44. Misalkan H G K adalah titik E F potong garis tinggi dari ke G dan L adalah titik potong garis Gbr. 43 tinggi dari ke EG. Misalkan M adalah titik potong L dan EK. Maka jarak M adalah jarak titik ke bidang EG. ukti Karena K G maka bidang yang melalui, K, E tegak lurus pada bidang EG juga karena L EG maka bidang yang melalui, L, tegak lurus pada bidang EG. Karena itu maka garis potong bidang KE dan bidang L adalah garis lurus yang tegak lurus bidang EG. Karena garis itu melalui dan memotong EG di M maka jarak M adalah jarak ke bidang EG. 11.1.3 Prisma Prisma merupakan bangun ruang yang mempunyai bidang alas dan penutup sejajar dan kongruen, rusuk-rusuk tegak juga sejajar. ontoh : Perhatikan Gbr. 45. (i) Prisma dengan alas dan penutup segitiga. (ii) Prisma dengan alas dan penutup segilima. 49
angun ruang yang masih menyerupai bentuk bangun ini disebut prismoida. Ini dapat dilihat pada Gbr. 46. IKL i sini bidang IKL//bid. EFGH. Selanjutnya disebut prismoida. EFGH 11.1.4 Limas sebagai bidang Limas merupakan bangun ruang yang dibatasi oleh sebuah bangun segi-n alas dan bidangbidang tegak berbentuk sisi yang sisi-sisi alas segi-n itu dan puncaknya berimpit. eberapa bangun ruang ini tampak pada Gbr. 47. (i) (ii) Limas dengan bidang alas segitiga Limas dengan bidang alas segiempat Kadang-kadang sebuah bangun ruang tertentu disebut paralel epipedum. Sebenarnya ini adalah sebutan umum dari bangun ruang yang mempunyai bidang-bidang sisi berhadapan sejajar. Misal kubus balok. angun yang dan segitiga dengan lain juga disebut paralel epipedum E I H F Gbr. 46 (i ) K F L G E (i ) Gbr. 45 J E F Gbr. 47 I (ii) E (ii ) H G 50
adalah prisma miring dengan alas dan penutup persegipanjang (Gbr. 48). 11. angun-bangun Ruang Khusus 11..1 idang Empat eraturan (tetrahedron) angun ini disusun dari empat buah segitigasisi, sehingga membentuk bangun ruang. Ini tampak seperti Gbr. 49. Gbr. 48 Gbr. 49 11.. idang Enam eraturan (Hexahedron, Kubus) (lihat Gbr. 40) 11..3 idang elapan beraturan (Octahedron) angun ini juga disusun dari delapan buah segitiga sama sisi sehingga membentuk sebuah bangun ruang. angun ini tampak seperti Gbr. 50. Gbr. 50 Gbr. 51 11..4 idang ua elas beraturan (odecahedron) angun ini disusun dari dua belas segilima beraturan (Gbr. 51). 51
11..5 idang ua Puluh eraturan (Icosahedron) angun ini disusun dari dua puluh segitiga samasisi. 11.3 Melukis angun Ruang angun ruang tidak dapat dilukis tepat sama dengan bangun ruang sesungguhnya pada Gbr. 5 bidang. Untuk itu diperlukan syarat-syarat tertentu agar dapat memperoleh model yang hampir menyerupai bangun yang sebenarnya. Syarat untuk melukis ini ada tiga yaitu; bidang datar, bidang frontal, perbandingan proyeksi dan syarat lain. ontoh 1 Lukis kubus EFGH dengan bidang pada bidang datar, bidang FE pada bidang frontal, sudut-sudut 30 0 dan perbandingan proyeksi 1:. Lukisan H G E F E 30 Gbr. 53 1 Gbr.54 Karena bidang FE frontal maka FE dilukis seperti bidang bujursangkar FE. i sini sebenarnya tegak lurus pada tetapi pada lukisan hanya dilukis 30 0. Juga sebenarnya = tetapi hanya dilukis = 1/. 5