uletin Ilmiah Mat. tat. dan Terapannya (imaster) Volume, o. (4), hal 4 5. METODE IMPLEK UTUK PEROL PEMROGRM LIER DEG KOEFIIE FUGI TUJU ILG FUZZY TRPEZOIDL Paula rista, ayu Prihandono, ilamsari Kusumastuti ITIRI Himpunan fuzzy merupakan kumpulan bilangan real yang dinyatakan dengan suatu fungsi keanggotaan yang memetakan setiap domainnya ke tepat satu bilangan real pada interval tertutup [ ]. Teori himpunan fuzzy banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu seperti dalam pemrograman linear fuzzy. Pemrograman linear fuzzy digunakan untuk mencari solusi yang optimal berdasarkan kendala dan kriteria yang dinyatakan dalam fungsi tuuan dengan koefisien berupa bilangan fuzzy trapezoidal. Untuk mengurutkan bilangan fuzzy trapezoidal digunakan fungsi ranking linear yang memetakan setiap bilangan fuzzy trapezoidal ke dalam bilangan real. Pada pemrograman linear fuzzy ini digunakan metode simpleks untuk mencari solusi optimal dengan melakukan beberapa iterasi pada tabel simpleks. Pada penyelesaian contoh soal, keuntungan perusahaan yang tidak pasti merupakan bilangan fuzzy trapezoidal yaitu (5,55, 6,) dalam ribuan rupiah untuk kue sus kering dan (6, 65, 6,6) dalam ribuan rupiah untuk kue kuping gaah. ehingga dengan pengoptimalan produksi kue sus kering sebanyak 66,67 kg dan kue kuping gaah sebanyak 5 kg, maka keuntungan maksimum yang bisa didapat oleh perusahaan adalah sebesar 84, 5 74, 58, dalam ribuan rupiah atau senilai Rp 6.8.,. Kata Kunci: ilangan Fuzzy Trapezoidal, Metode impleks. PEDHULU Permasalahan dalam kehidupan nyata erat hubungannya dengan permasalahan yang mengandung ketidakpastian. alah satu contohnya pada masalah pengalokasian sumber daya yang terbatas sehingga laba yang didapatkan oleh suatu perusahaan tersebut tidaklah pasti. Penggambaran keadaan dunia nyata yang tidak pasti inilah muncul istilah fuzzy. Teori fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh Lotfi. Zadeh dari Universitas California di arkley pada tahun 965. Teori himpunan fuzzy dapat digunakan untuk menangani ketidakpastian dengan memperkenalkan himpunan yang dinyatakan dengan suatu fungsi keanggotaan yang memetakan setiap domain pada himpunan fuzzy ke tepat satu bilangan real pada interval tertutup,. Teori himpunan fuzzy banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu seperti dalam pemrograman linear. Pemrograman linear fuzzy digunakan untuk mencari solusi yang optimal seperti memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya berdasarkan kendala dan kriteria yang dinyatakan dalam fungsi tuuan dengan koefisien berupa bilangan fuzzy trapezoidal. Untuk mengurutkan bilangan fuzzy trapezoidal digunakan fungsi ranking linear yang memetakan setiap bilangan fuzzy trapezoidal ke dalam bilangan real. Jadi, pemrograman linear fuzzy memiliki peranan penting dalam merumuskan ketidakpastian ke dalam lingkungan nyata. Metode yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan pemrograman linear fuzzy yaitu metode simpleks. Metode simpleks adalah suatu algoritma yang merupakan suatu proses dengan prosedur sistematis yang diulang-ulang sampai hasil yang diinginkan tercapai (solusi optimal). Pada penelitian ini dibahas mengenai bagaimana menyelesaikan persoalan pemrograman linear dengan koefisien fungsi tuuan bilangan fuzzy trapezoidal (Fuzzy umber Linear Programming atau disingkat FLP) menggunakan metode simpleks. Tuuan dari penelitian ini yaitu mengkai bilangan fuzzy trapezoidal dan langkah-langkah metode simpleks untuk menyelesaikan persoalan FLP. 4
44 P. RIT,. PRIHDOO,. KUUMTUTI Langkah-langkah penyelesaian persoalan FLP dengan metode simpleks dimulai dengan memodelkan persoalan optimasi ke dalam bentuk kanonik pemrograman linear. ilai koefisien fungsi tuuan diubah menadi bentuk bilangan fuzzy trapezoidal. pabila telah tersusun dalam bentuk kanonik, maka disusun tabel awal simpleks. Tabel awal simpleks tersebut diui keoptimalannya. pabila belum optimal, maka tabel harus diperbaiki dengan mencari variabel masuk dan variabel keluar. elanutnya ditentukan basis baru dengan menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan. Kemudian disusun kembali tabel simpleks yang baru dan diui kembali keoptimalannya. Jika sudah optimal, maka diperiksa kembali apakah tabel tersebut memiliki variabel buatan positif atau tidak. Jika tabel memiliki variabel buatan positif maka persoalan menadi tidak layak. amun ika sebaliknya, maka penyelesaian persoalan telah selesai. ebagai hasil akhir, nilai optimal pada fungsi tuuan yang berupa bilangan fuzzy trapezoidal diurutkan dengan menggunakan fungsi ranking linear yang memetakan setiap bilangan fuzzy trapezoidal ke dalam bilangan real. ILG FUZZY TRPEZOIDL Teori himpunan fuzzy diperkenalkan oleh Lotfi. Zadeh dari Universitas California di arkley pada tahun 965. Teori himpunan fuzzy ini diperkenalkan karena ada hal yang tidak dapat direpresentasikan dengan baik oleh himpunan crisp seperti suatu persoalan tidaklah selalu bernilai mutlak nol atau satu seperti pada himpunan crisp. Pada himpunan crisp, deraat keanggotaan sebuah elemen terhadap suatu himpunan bernilai nol atau satu. edangkan pada himpunan fuzzy, deraat keanggotaan sebuah elemen berada pada interval terutup,. Dimisalkan himpunan fuzzy adalah kumpulan elemen keanggotaan. Fungsi keanggotaan sebagai berikut: yang menyatakan suatu elemen yang dinyatakan dengan fungsi didefinisikan Definisi Fungsi keanggotaan dari himpunan fuzzy dinotasikan dengan, yang didefinisikan sebagai berikut: ( ) [ ]. Himpunan fuzzy pada adalah konveks ika untuk sebarang dan, berlaku y min ( ), ( y). Definisi 4 Diberikan himpunan semua bilangan real. ilangan fuzzy trapezoidal adalah himpunan fuzzy konveks dengan [ ] yang memenuhi kondisi berikut:. Fungsi keanggotaannya ( ) adalah kontinu sepotong-sepotong.. Terdapat tiga interval, pada bc,, menurun pada ab, bc,, dan cd, dengan meningkat pada ab,, sama dengan cd,, dan sama dengan untuk yang lainnya. ilangan fuzzy trapezoidal ditunukkan pada Gambar dinotasikan dengan ( a, a,, ) dengan a a,,, dan. ( ) L a a b c d L a U a Gambar. ilangan Fuzzy Trapezoidal U a
Metode impleks Untuk Persoalan Pemrograman Linear Dengan... 45 Definisi 4 Diberikan ( a, a,, ) sebuah bilangan fuzzy trapezoidal. upport himpunan adalah ( a, a ) dan core himpunan adalah a, a. etiap bilangan fuzzy didefinisikan sesuai dengan fungsi keanggotaannya 5. Diberikan a ( a, a,, ) dan ( b b, b,, ) dua bilangan fuzzy trapezoidal, operasi antara bilanganbilangan fuzzy trapezoidal tersebut didefinisikan sebagai berikut:. Perkalian dengan skalar: untuk, ; ( a a, a,, ) untuk, ; ( U L a a, a,, ) a a a. Pembagian dengan skalar: untuk, ;,,, U L a a a untuk, ;,,,. Penumlahan: a b ( a L b L, a U b U,, ) 4. Pengurangan: a b ( a L b U, a U b L,, ) 5. egasi dari a : ( U L a a, a,, ). 4 Fungsi ranking digunakan untuk mengurutkan bilangan fuzzy trapezoidal yang didasarkan pada perbandingan bilangan fuzzy trapezoidal. Perbandingan bilangan fuzzy trapezoidal merupakan cara untuk mengurutkan unsur-unsur dari ( ) dengan mendefinisikan fungsi ranking ( ) yang memetakan setiap bilangan fuzzy trapezoidal ke dalam bilangan real dengan suatu relasi urutan. eberapa relasi urutan pada ( ) didefinisikan sebagai berikut:. a b. a b. a b ika dan hanya ika a b ika dan hanya ika a b ika dan hanya ika a b dengan a dan b di ( ), adalah fungsi ranking dan simbol merepresentasikan relasi urutan fuzzy. erikut dielaskan mengenai fungsi ranking linear yang digunakan dalam pemrograman linear fuzzy. Definisi 4 4 Diberikan ( ) ( ). Fungsi ranking adalah adalah fungsi yang memetakan setiap bilangan fuzzy trapezoidal ke bilangan real dan didefinisikan sebagai berikut a a a 4 Fungsi ranking linear memenuhi sifat sebagai berikut:. a b a b untuk setiap ( ).. ka k a untuk setiap ( ) dan skalar.
46 P. RIT,. PRIHDOO,. KUUMTUTI METODE IMPLEK UTUK PEROL FLP da beberapa hal dalam pemrograman linear yang keadaannya lebih cenderung ke suatu hal yang samar (fuzzy) dibandingkan dengan suatu hal yang elas (crisp). Misalnya, dalam kehidupan nyata terdapat masalah pengalokasian sumber daya yang terbatas sehingga laba yang didapatkan oleh suatu perusahaan tersebut tidaklah pasti. ehingga teori himpunan fuzzy dapat digunakan untuk mengatasi persoalan pemrograman linear fuzzy tersebut. Persoalan pemrograman linear fuzzy dengan koefisien fungsi tuuan bilangan fuzzy trapezoidal atau yang disingkat FLP (Fuzzy umber Linear Programming) didefinisikan sebagai berikut: Maks. (atau Min.) z c, kendala b,, dengan,, ( ( )),, dan adalah fungsi ranking linear yang didefinisikan oleh Persamaan (). Definisi 5 ebarang merupakan penyelesaian layak untuk Persamaan memenuhi kendala-kendala pada Persamaan. Diberikan ika Q adalah himpunan semua penyelesaian layak dari persoalan FLP. Penyelesaian layak optimal untuk persoalan FLP adalah Q ika c c ( c c ) untuk setiap Q pada persoalan maksimasi (minimasi). Dengan kata lain, setiap penyelesaian layak yang memaksimumkan (meminimumkan) fungsi tuuan disebut penyelesaian layak optimal. Gagasan umum dari metode simpleks adalah memulai dari satu penyelesaian basis kemudian melanutkan ke penyelesaian basis selanutnya yang bertuuan memperbaiki optimalitas dengan mempertahankan kelayakan. Cara yang paling sederhana untuk memilih penyelesaian basis awal adalah menggunakan basis yang merupakan matriks identitas m m yang terdiri dari variabel slack, surplus, atau variabel buatan. Dengan cara ini, selanutnya ditentukan dengan menukarkan satu vektor dalam dengan satu vektor non basis dalam mnm yang akan menggerakkan penyelesaian ke arah optimalitas. Dimisalkan persoalan FLP seperti pada Persamaan adalah sebagai berikut: Vektor dipartisi menadi berkaitan dengan basis awal Maks. z c Kendala (, ) b, dan dan, di mana bersesuaian dengan elemen-elemen dari yang I. Kemudian c dipartisi menadi c dan dengan dan. Jadi, persoalan FLP standar dapat ditulis sebagai atau Maks. z c c, z c c b kendala c yang bersesuaian b, dan.
Metode impleks Untuk Persoalan Pemrograman Linear Dengan... 47 asis z z c c Tabel Tabel Umum impleks FLP c c RH c b b ebagai ilustrasi, dimisalkan Tabel yang terdiri dari variabel slack. Dalam kasus ini c dan I. Oleh karena I, I, maka tabel awal simpleks FLP yang diperoleh dari Tabel dengan substitusi langsung adalah sebagai berikut: asis z Tabel Tabel wal impleks FLP RH z c I b erikut adalah langkah utama metode simpleks untuk persoalan FLP: Diasumsikan penyelesaian layak basis dengan basis dan tabel simpleks yang sesuai sudah diketahui. Langkah-langkah metode simpleks untuk persoalan FLP adalah sebagai berikut:. Penentuan variabel masuk P. Untuk setiap vektor non basis Untuk persoalan maksimasi (minimasi), vektor masuk P, dihitung z c c P c. P dipilih yang memiliki z c negatif (positif) terbesar (tentukan secara sebarang ika terdapat lebih dari satu yang sama). Kemudian ika semua z c ( ) maka penyelesaian optimal telah dicapai dan diketahui dan z c c b. amun ika terdapat z c. Penentuan variabel keluar P. etelah diketahui vektor masuk r a. ilai variabel basis saat ini, yaitu b. b. Koefisien kendala dari variabel masuk, yaitu α P. Variabel keluar b ( ) maka dilanutkan ke langkah. P, dihitung: P (baik untuk persoalan maksimasi atau minimasi) harus berkaitan dengan r b k rasio min, k di mana b dan k k k α. Jika semua k adalah elemen ke- k dari k b dan, persoalan tersebut tidak memiliki penyelesaian yang terbatas. amun ika terdapat maka dapat ditentukan variable keluar dan dilanutkan ke langkah. k. Penentuan basis baru dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan. Metode ini dimulai dengan mengidentifikasi kolom di bawah variabel masuk sebagai kolom masuk. aris yang berkaitan dengan variabel keluar dapat dinyatakan sebagai persamaan pivot seperti pada Persamaan () dan elemen di titik potong antara kolom masuk dan persamaan pivot dinyatakan sebagai elemen pivot. Metode eliminasi Gauss-Jordan menentukan basis baru dengan penggunaan dua enis perhitungan, yaitu: a. Persamaan pivot: Persamaan pivot baru = persamaan pivot lama elemen pivot. b. emua persamaan lainnya, termasuk z : Persamaan baru = persamaan lama (koefisien kolom masuk persamaan pivot baru). 4. Kembali ke langkah.
48 P. RIT,. PRIHDOO,. KUUMTUTI Contoh oal. ebuah perusahaan makanan memproduksi enis produk yang berbeda yaitu kue sus kering dan kue kuping gaah yang masing-masing membutuhkan enis bahan baku, yaitu terigu, telur ayam, dan gula pasir. Produk tersebut dikerakan melalui proses pengeraan manual, yaitu Proses I dan Proses II. etiap kg kue sus kering membutuhkan kg terigu,,6 kg telur ayam, dan, kg gula pasir. etiap kg kuping gaah membutuhkan,8 kg terigu, kg telur ayam, dan,9 kg gula pasir. kibat keterbatasan gudang bahan baku dan dana yang ada, bahan baku yang disediakan tiap minggu adalah kg terigu, 9 kg telur ayam, dan 5 kg gula pasir. Kue sus kering membutuhkan waktu 4 am pada Proses I dan am pada Proses II. Kue kuping gaah membutuhkan waktu am pada Proses I dan 4 am pada Proses II. Jumlah karyawan pada Proses I sebanyak orang, sedangkan pada Proses II sebanyak orang. Perusahaan bekera dengan shift, mulai pukul 8. sampai pukul 6. dengan istirahat selama am mulai pukul. hingga., selama 6 hari kera dalam minggu. Keuntungan per kg untuk kue sus kering sebesar Rp 5., sampai Rp 55., dan untuk kue kuping gaah sebesar Rp 6., sampai Rp 65.,. Keuntungan per kg kedua produk tersebut seringkali berubah sesuai dengan kondisi pasar. Ketika order produk tersebut banyak berdatangan ke perusahaan dan dituntut untuk segera memenuhinya, maka keuntungan per kg untuk kue sus kering bisa bertambah tetapi tidak pernah mencapai Rp 66., dan untuk kue kuping gaah uga bisa bertambah tetapi tidak pernah mencapai Rp 8.,. kan tetapi ketika produk tersebut sulit untuk terual dan terkadang konsumen meminta diskon, maka keuntungan per kg untuk kue sus kering bisa berkurang tetapi tidak pernah mencapai Rp 44., dan untuk kue kuping gaah uga bisa berkurang tetapi tidak pernah mencapai Rp 54.,. erdasarkan kondisi tersebut, berapakah keuntungan maksimum yang bisa didapat oleh perusahaan? Penyelesaian: Pada penyelesaian kasus ini, selanutnya bahan baku dinyatakan dalam kg. Jam kera karyawan per minggu dapat dihitung: Proses I: 76 4 am Proses II: 76 54 am. Kasus ini dapat ditabulasikan sebagai berikut: Terigu (kg) ahan aku Telur yam (kg) Gula Pasir (kg) Tabel Persoalan pada Perusahaan Makanan Produk I Kue us Kering,6, II Kue Kuping Gaah,8,9 Kapasitas Proses I (am) 4 4 Proses II (am) 4 54 Keuntungan per kg (Rp) 5-55 6-65 Keuntungan maks per kg (Rp) < 66 < 8 Keuntungan min per kg (Rp) > 44 > 54 9 5
Metode impleks Untuk Persoalan Pemrograman Linear Dengan... 49 Keuntungan untuk kedua produk tersebut dapat dibentuk ke dalam bilangan fuzzy trapezoidal sebagai berikut: Produk I (Kue us Kering): 44 6 5 55 66 Gambar. ilangan Fuzzy Trapezoidal untuk Keuntungan Produk I Keuntungan per kg untuk Produk I (kue sus kering) dalam bilangan fuzzy trapezoidal yaitu (5,55,6,) atau dapat ditulis menadi (5,55,6,) dalam ribuan rupiah. Produk II (Kue Kuping Gaah): 54 6 6 65 6 8 Gambar. ilangan Fuzzy Trapezoidal untuk Keuntungan Produk II Keuntungan per kg untuk Produk II (kue kuping gaah) dalam bilangan fuzzy trapezoidal yaitu (6,65,6,6) atau dapat ditulis menadi (6,65,6,6) dalam ribuan rupiah. Variabel keputusan: = umlah Produk I (kue sus kering) yang dibuat dalam kg. = umlah Produk II (kue kuping gaah) yang dibuat dalam kg. Kasus tersebut dapat diformulasikan sebagai berikut: Maksimumkan: 5,55,6, 6,65,6,6 dengan kendala,8, z,6 9,,,9 5, 4 4, 4 54,,.
5 P. RIT,. PRIHDOO,. KUUMTUTI Kemudian diubah ke bentuk kanonik sebagai berikut: Maks. z 5, 55, 6, 6, 65, 6,6 4 5 z 55, 5,, 6 65, 6,6, 6 dengan kendala,8, 4 5,6 9,,,9 5, 4 4, 4 4 54, 5,,,,,,. 4 5 Tabel 4 Tabel impleks untuk olusi wal V z 4 5 RH RH Rasio z 55, 5,, 6 65, 6,6, 6,8,6 * 9,,9 5 4 4 4 5 4 54 5, 8 9 9 5 8, 8, 9 4 4 54 6 4 Untuk setiap vektor non basis, ditentukan variabel masuk dengan menghitung z c yang paling negatif. 55, 5,, 6 55 5 6 5, 5, 5 5, 75. 4 65, 6,6, 6 65 6 6 6 6, 5, 5 65. 4 ehingga yang menadi variabel masuk adalah. Untuk penentuan variabel dikeluar, dipilih variabel basis yang memiliki rasio positif terkecil. ehingga variabel basis menadi variabel keluar dengan nilai rasio 9. Untuk penentuan basis baru, kolom di bawah variabel masuk ditentukan sebagai kolom masuk. aris yang berkaitan dengan variabel keluar dapat dinyatakan sebagai persamaan pivot. Elemen di titik potong antara kolom masuk dan persamaan pivot yaitu dinyatakan sebagai elemen pivot, seperti yang terlihat pada Tabel 4 dengan tanda *.
Metode impleks Untuk Persoalan Pemrograman Linear Dengan... 5 erikut adalah perhitungan untuk menentukan basis baru dengan metode eliminasi Gauss-Jordan lalu kemudian mengisi tabel simpleks untuk solusi yang baru:. Dihitung persamaan pivot dengan rumus: Persamaan pivot baru = persamaan pivot lama elemen pivotnya yaitu.. Dihitung semua persamaan lainnya, termasuk z dengan rumus: Persamaan baru = persamaan lama (koefisien kolom masuk persamaan pivot baru). Tabel 5 Tabel impleks untuk olusi aru VD z 4 5 RH RH Indeks z 7 78 9,,, 5 5 6, 65, 6,6 54, 585, 54,44 5 8 48 9, 6 9 5 * 5 9 44 66,67 4 5-5 68,8 5-4 44-6 5 elanutnya dengan cara yang sama disusun tabel-tabel simpleks untuk iterasi selanutnya hingga optimal. ehingga didapatlah tabel simpleks yang telah optimal sebagai berikut: VD z Tabel 6 Tabel impleks untuk olusi khir 4 5 RH RH z 85 4 9 5.,, 5 95 6 7,,, 84 5 74,, 58, 68, 6 4 5 5 5 4 5 5 5 84 5 74 84 5 74,,58, 58 68, 4
5 P. RIT,. PRIHDOO,. KUUMTUTI Oleh karena nilai z c, maka penyelesaian optimal telah dicapai. ehingga penyelesaian optimal dari persoalan yaitu 84 5 74 z,,58, ; z 68, PEUTUP Dari penelitian ini dapat disimpulkan bahwa: dengan 66, 67 dan 5.. ilangan fuzzy trapezoidal dinotasikan dengan ( a, a,, ) dengan a a,,, dan a, a,, dan grafik fungsi keanggotaannya merupakan representasi kurva trapesium.. Model persoalan pemrograman linear dengan koefisien fungsi tuuan bilangan fuzzy trapezoidal dapat diselesaikan dengan metode simpleks yang dimulai dengan memodelkan persoalan optimasi ke dalam bentuk kanonik pemrograman linear. ilai koefisien fungsi tuuan diubah menadi bentuk bilangan fuzzy trapezoidal. pabila telah tersusun dalam bentuk kanonik, maka disusun tabel awal simpleks. Tabel awal simpleks tersebut diui keoptimalannya. pabila belum optimal, maka tabel harus diperbaiki dengan mencari variabel masuk dan keluar. elanutnya ditentukan basis baru dengan metode eliminasi Gauss-Jordan. Kemudian disusun kembali tabel simpleks yang baru dan diui kembali keoptimalannya. Jika sudah optimal, maka diperiksa kembali apakah tabel tersebut memiliki variabel buatan positif atau tidak. Jika memiliki, maka persoalan menadi tidak layak. amun ika sebaliknya, maka penyelesaian persoalan telah selesai. ebagai hasil akhir, nilai optimal pada fungsi tuuan yang berupa bilangan fuzzy trapezoidal diurutkan menggunakan fungsi ranking linear yang memetakan setiap bilangan fuzzy trapezoidal ke dalam bilangan real.. Pada penyelesaian contoh soal, keuntungan perusahaan yang tidak pasti merupakan bilangan fuzzy trapezoidal yaitu (5,55,6,) dalam ribuan rupiah untuk kue sus kering dan (6,65,6,6) dalam ribuan rupiah untuk kue kuping gaah. ehingga dengan pengoptimalan produksi kue sus kering sebanyak 66,67 kg dan kue kuping gaah sebanyak 5 kg, maka keuntungan maksimum yang bisa didapat oleh perusahaan adalah sebesar 84, 5, 58, 74 dalam ribuan rupiah atau senilai Rp 6.8.,. DFTR PUTK []. etiadi. Himpunan & Logika amar serta plikasinya; Ed ke-. Yogyakarta: Graha Ilmu; 9. []. Klir GJ dan o Yuan. Fuzzy et and Fuzzy Logic (Theory and pplications). Toronto: simon & chuster Company; 995. []. Mahdavi, miri, asseri H, dan Yazdani. Fuzzy Primal imple lgorithms for olving Fuzzy Linear Programming Problems. Iranian Journal ofoperations Research. 9; :68-84. [4]. Mahdavi, miri, asseri H. Duality Results and a Dual imple Method for Linear Programming Problems with Trapezoidal Fuzzy Variables. Fuzzy ets and ystems. 7; 58:96-978. [5]. Kusumadewi dan Purnomo H. plikasi Logika Fuzzy untuk Pendukung Keputusan; Ed ke-. Yogyakarta: Graha Ilmu;. PUL RIT YU PRIHDOO ILMRI KUUMTUTI : Jurusan Matematika, FMIP Untan, Pontianak, paula_arista@yahoo.com : Jurusan Matematika, FMIP Untan, Pontianak, beiprihandono@gmail.com : Jurusan Matematika, FMIP Untan, Pontianak, uminilam@yahoo.com