MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK

Catatan Kuliah MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK Orang Pintar Belajar Stokastik disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2012

Tentang MA4081 Pengantar Proses Stokastik A. Jadwal kuliah: Selasa; 13-14.40; R.9231 Kamis; 13-14.40; R.9307 B. Silabus: Peluang, peubah acak dan distribusi (2 minggu) Peluang dan ekspektasi bersyarat (1 minggu) Rantai Markov (4 minggu) Distribusi Eksponensial (3 minggu) Proses Poisson (2 minggu) C. Buku teks: Sheldon Ross, 2010, Introduction to Probability Models, 10th ed., Academic Press. Taylor dan Karlin, 1998, An Introduction to Stochastic Modelling, 3rd ed., Academic Press. E. Penilaian: Ujian 1,2,3 (90%): 18 September 2012 (20%) 18 Oktober 2012 (35%) 4 Desember 2012 (35%) Kuis/PR/Kehadiran (10%) MA5181 Pros.Stok. i K. Syuhada, PhD.

Matriks kegiatan perkuliahan Table 1: Materi kuliah MA5181 Proses Stokastik. Minggu- Materi Keterangan 1 Pengantar Penjelasan kuliah 2 Peluang, peubah acak dan distribusi 3 Peluang dan ekspektasi bersyarat 4 Ujian 1 18 September 2012 5-8 Rantai Markov* 8 Ujian 2 18 Oktober 2012 9-10-12 Distribusi Eksponensial* 13-14 Proses Poisson* 15 Ujian 3 4 Desember 2012 MA5181 Pros.Stok. ii K. Syuhada, PhD.

Daftar Isi 1 Peluang, Peubah Acak dan Distribusi 1 1.1 Peluang............................... 1 1.2 Peubah acak dan distribusi..................... 4 1.3 Ekspektasi bersyarat........................ 7 2 Rantai Markov 1 2.1 Ilustrasi............................... 1 2.2 Definisi................................ 3 2.3 Peluang n-langkah......................... 6 iii

BAB 1 Peluang, Peubah Acak dan Distribusi 1.1 Peluang Peluang adalah suatu konsep berpikir, bukan sekadar angka (walaupun wujudnya adalah angka diantara nol dan satu). Peluang berkaitan dengan menyatakan alasan atas suatu kejadian. Peluang, secara implisit, mengajak kita untuk mempersiapkan diri menghadapi kejadian yang tidak terjadi (yang memiliki peluang kecil). Setiap hari Laila pergi ke kampus dan berharap perkuliahan terjadi (untuk setiap mata kuliah Laila sudah memiliki dugaan peluang terjadinya perkuliahan tersebut). Jika suatu hari Laila tidak pergi ke kampus, akankah sebuah perkuliahan benar-benar tidak terjadi? Ini kisah masa lalu Tiani yang sempat diceritakan sesaat sebelum Tiani menikah. Katanya Ayahku meninggal waktu usiaku tiga tahun. Lalu Ibu kawin lagi. Dengan ayah tiriku, Ibu mendapat dua orang anak tiri dan melahirkan tiga orang anak. Ketika usiaku lima belas tahun, Ibu pun meninggal. Ayah tiriku kawin lagi dengan seorang janda yang sudah beranak dua. Ia melahirkan dua orang anak pula dengan ayah tiriku. Adakah sosok seperti Tiani? Untuk membuat peluang lebih berwujud, maka diciptakan cara menghitung peluang. Secara khusus, kita akan menghitung peluang suatu kejadian. Peluang terdefinisi pada suatu ruang sampel. 1

Catatan: Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. Ruang sampel S adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Anggota dari S disebut kejadian elementer. Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel atau koleksi dari kejadian-kejadian elementer. Peluang kejadian A adalah P (A) = lim n n(a) n P (A) = n(a) n(s) Direktur perusahaan mengundang para karyawan yang memiliki setidaknya satu anak laki-laki (L) ke acara syukuran khitanan. Seorang karyawan memiliki dua anak. Berapa peluang bahwa kedua anak karyawan adalah laki-laki, diberikan bahwa karyawan tersebut diundang ke acara syukuran? Solusi: Misalkan L kejadian memiliki anak laki-laki; LK kejadian memiliki dua anak laki-laki; U kejadian diundang ke acara syukuran. Jadi, P (LK U) = P (LK U) P (U) = P ({{LL} {LL, LLc, L c L}}) P ({LL, LL c, L c L}) P ({LL}) = P ({LL, LL c, L c L}) = (1/4)/(3/4) = 1/3 Seringkali dibutuhkan nilai (awal) peluang suatu kejadian, untuk kemudian dapat dihitung peluang kejadian berikutnya. Menentukan nilai awal peluang merupakan masalah yang menarik dan menantang (challenging). Sebagai seorang sekretaris, Dien tahu bahwa sebuah surat akan berada di salah satu dari tiga buah kotak surat yang ada dengan peluang sama. Misalkan p i adalah peluang bahwa Dien akan menemukan surat setelah mengecek kotak surat i dengan cepat jika ternyata surat tersebut berada di kotak surat i, MA5181 Pros.Stok. 2 K. Syuhada, PhD.

i = 1, 2, 3. Misalkan Dien mengecek kotak surat 1 dan tidak menemukan surat. Berapa peluang kejadian itu akan terjadi? Jika diketahui Dien mengecek kotak surat 1 dan tidak menemukan surat, berapa peluang bahwa surat itu ada di kotak surat 1? Solusi: Misalkan K i, i = 1, 2, 3 adalah kejadian surat berada di kotak surat i. Misalkan T kejadian mengecek kotak surat 1 dan tidak mendapatkan surat. Peluang kejadian itu akan terjadi adalah P (T ) = P (T K 1 )P (K 1 ) + P (T K 2 )P (K 2 ) + P (T K 3 )P (K 3 ) = (1 p 1 )(1/3) + 1/3 + 1/3 Jika diketahui Dien mengecek kotak surat 1 dan tidak menemukan surat, maka peluang bahwa surat itu ada di kotak surat 1 adalah P (T K 1 )P (K 1 ) P (K 1 T ) = P (T K 1 )P (K 1 ) + P (T K 2 )P (K 2 ) + P (T K 3 )P (K 3 ) (1 p 1 )(1/3) = (1 p 1 )(1/3) + 1/3 + 1/3 B dan G secara bersamaan menembak sasaran tertentu. Peluang tembakan B mengenai sasaran adalah 0.7 sedangkan peluang tembakan G (bebas dari tembakan B) mengenai sasaran adalah 0.4. Jika sebuah tembakan mengenai sasaran, berapa peluang bahwa itu tembakan G? Berapa peluang bahwa, jika sasaran tertembak, kedua tembakan mengenai sasaran? Berapa peluang bahwa, jika sasaran tertembak, tembakan G mengenai sasaran? Solusi: Misalkan B kejadian B menembak sasaran. Misalkan G kejadian G menembak sasaran. Misalkan T kejadian sebuah tembakan mengenai sasaran. Misalkan S kejadian sasaran tertembak P (G T ) = P (G T ) P (T ) P (G B c ) = P (G B c ) + P (B G c ) (0.4)(0.3) = (0.4)(0.3) + (0.7)(0.6) MA5181 Pros.Stok. 3 K. Syuhada, PhD.

P (G S) P (B S) P (G B S) = P (S) P (G)P (B) = 1 P (G c B c ) = (0.4)(0.7) 1 (0.6)(0.3) P (G S) P (G S) = P (S) P (G S) = 1 P (G c B c ) 0.4 = 1 (0.6)(0.3) 1.2 Peubah acak dan distribusi Peubah acak (p.a.) adalah alat untuk memudahkan kita dalam menyederhanakan hitungan peluang; p.a. membuat kita bekerja dalam bilangan riil. Catatan: Peubah acak berbeda dengan peubah! P.a. berkaitan dengan distribusi atau, secara khusus, fungsi distribusi (kumulatif) (f.d.). Melalui f.d., p.a. akan makin memiliki makna dan aplikatif. Contoh, suatu p.a. menyatakan waktu tunggu seorang lulusan mendapat pekerjaan. P.a. tersebut mengikuti distribusi eksponensial. Kita dapat memahami perilaku p.a. (secara probabilistik) tersebut melalui f.d. Misalkan X suatu p.a.; F.d. untuk X adalah F X (x) = F (x) = P (X x) dengan sifat-sifat: (a) F fungsi tidak turun (b) lim x F (x) = 1 (c) lim x F (x) = 0 (d) F fungsi kontinu kanan Catatan: Jika X p.a. diskrit, P (a < X b) = F (b) F (a) MA5181 Pros.Stok. 4 K. Syuhada, PhD.

P (X b) P (X < b) P (X < b) = P ( { 1 }) lim X b n n = lim P ( X b 1 ) n n = lim F ( b 1 ) n n Tentukan fungsi peluang dari f.d. berikut: 0, x < 0 1 + x, 0 x < 1 3 5 3 F (x) =, 1 x < 2 5 9 10, 2 x < 3 1, x 3 Solusi: Misalkan X p.a dengan f.d. F X (x). Kita dapat membentuk p.a. baru (menurut konsep Transformasi Peluang) yaitu dengan f.d. U = F X (X) Unif(0, 1), F U (u) = P (U u) = P (F X (X) u) = P (X F 1 X (u)) = F X (F 1 X (u)) = u. Jika X berdistribusi Uniform pada selang (-1,1), tentukan (a) P ( X > 1/2) (b) fungsi peluang dari X. Solusi: Maskapai penerbangan mengetahui bahwa lima persen pemesan tiket tidak akan datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu MA5181 Pros.Stok. 5 K. Syuhada, PhD.

untuk menjual 52 tiket penerbangan pada pesawat dengan kapasitas duduk 50 orang. Berapa peluang akan ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang? Solusi: Misalkan X p.a. berdistribusi Poisson dengan mean λ. Parameter λ berdistribusi eksponensial dengan mean 1. Tunjukkan bahwa Solusi: P (X = n) = (1/2) n+1 Misalkan X peubah acak dengan f.d. F dapat diturunkan. Fungsi peluang (f.p.) f adalah turunan dari f.d., f X (x) = d dx F X(x) atau, dengan kata lain, F X (x) = x f X (t) dt Jika X p.a. sedemikian hingga f.p.-nya ada (turunan dari f.d.) maka X dikatakan sebagai peubah acak kontinu. Catatan: 1 = F X ( ) = P (a X b) = F X (b) F X (a) = P (X = a) = a a f X (t) dt = 0 f X (t) dt b a f X (t) dt Salah satu contoh distribusi kontinu adalah distribusi eksponensial dengan parameter θ yang memiliki f.d. F (x) = 1 e θx, x 0, Seperti apakah bentuk data berdistribusi eksponensial? Untuk membangkitkan datanya, contoh X exp(1/3), serta bentuk distribusinya (dalam histogram) kita gunakan kode berikut: x = exprnd(3,10,1); hist(x) MA5181 Pros.Stok. 6 K. Syuhada, PhD.

Kita dapat pula membangkitkan data dengan menggunakan teknik simulasi stokastik yaitu Invers Transformation Method. Misalkan U peubah acak Uniform(0, 1). Untuk setiap f.d. kontinu F, jika kita definisikan peubah acak X sbb: X = F 1 (U) maka peubah acak X memiliki f.d. F. Jika F (x) = 1 e x maka F 1 (u) adalah nilai x sedemikian hingga atau 1 e x = u x = log(1 u) Jadi, jika U adalah p.a. Uniform(0,1) maka F 1 (U) = log(1 U) adalah p.a. eksponensial dengan mean 1 (parameter 1). 1.3 Ekspektasi bersyarat Distribusi Bersama Misalkan X dan Y p.a. dengan f.d. berturut-turut F X dan F Y. Kita dapat membangun f.d. dan f.p. bersama dari kedua peubah acak tersebut dari informasi distribusi marginal dan sifat kebebasan. Distribusi bersama untuk dua atau lebih p.a. sangat membantu dalam membangun model yang lebih rumit. Hubungan antara f.d. marginal dan f.d. bersama adalah sebagai berikut: f.d. marginal mungkin dapat membangun f.d. bersama; dengan f.d. bersama kita dapat menentukan f.d. marginal. Misalkan X dan Y ada peubah acak-peubah acak diskrit yang terdefinisi di ruang sampel yang sama. Fungsi peluang bersama dari X dan Y adalah p X,Y (x, y) = P ({X = x, Y = y}) Perhatikan bahwa (i) kondisi bahwa X dan Y terdefinisi pada ruang sampel yang sama berarti dua p.a. tsb memberikan informasi secara bersamaan terhadap keluaran (outcome) dari percobaan yang sama, (ii) {X = x, Y = y} adalah irisan kejadian {X = x} dan {Y = y}; kejadian dimana X bernilai x dan Y bernilai y. MA5181 Pros.Stok. 7 K. Syuhada, PhD.

Proposisi Misalkan X dan Y p.a. diskrit yang didefinisikan pada ruang sampel yang sama. Maka, p X (x) = y p X,Y (x, y), x R dan p Y (y) = x p X,Y (x, y), y R adalah f.p. marginal dari X dan f.p. marginal dari Y. Diberikan data ttg jumlah kamar tidur dan kamar mandi dari 50 rumah yang akan dijual sbb (X kamar tidur, Y kamar mandi): X\Y 2 3 4 5 Total 2 3 0 0 0 3 14 12 2 0 28 4 2 11 5 1 Total 23 50 a. Hitung p X,Y (3, 2) b. Tentukan f.p. bersama dari X dan Y Solusi: Misalkan kita punyai 2 komponen elektronik yang identik. Misalkan juga X dan Y adalah waktu hidup (jam, diskrit). Asumsikan f.p. bersama dari X dan Y adalah p X,Y (x, y) = p 2 (1 p) x+y 2, x, y N dimana 0 < p < 1. Tentukan f.p. marginal dari X dan Y. Solusi: Perhatikan soal diatas. Tentukan peluang bahwa kedua komponen elektronik tsb bertahan lebih dari 4 jam. Tentukan peluang bahwa salah satu komponen bertahan setidaknya 2 kali dari komponen yang lain. Solusi: Pandang 2 komponen elektronik A dan B dengan masa hidup X dan Y. Fungsi MA5181 Pros.Stok. 8 K. Syuhada, PhD.

peluang bersama dari X dan Y adalah f X,Y (x, y) = λ µ exp( λx + µy), x, y > 0 dimana λ > 0, µ > 0. Tentukan peluang bahwa kedua komponen berfungsi pada saat t. Tentukan peluang bahwa komponen A adalah komponen yang pertama kali rusak Solusi: Ekspektasi Bersyarat Ilustrasi - Seorang narapidana terjebak dalam suatu sel penjara yang memiliki tiga pintu. Pintu pertama akan membawanya ke sebuah terowongan dan kembali ke sel dalam waktu dua hari. Pintu kedua dan ketiga akan membawanya ke terowongan yang kembali ke sel dalam waktu masing-masing empat dan satu hari. Asumsikan bahwa sang napi selalu memilih pintu 1, 2, dan 3 dengan peluang 0.5, 0.3 dan 0.2, berapa lama waktu rata-rata (expected number of days) yang dibutuhkan untuk dia agar selamat? Definisi: Misalkan X dan Y adalah p.a. kontinu dengan f.p. bersama f X,Y (x, y). Jika f X (x) > 0 maka ekspektasi bersyarat dari Y diberikan X = x adalah ekspektasi dari Y relatif terhadap distribusi bersyarat Y diberikan X = x, E(Y X = x) = y f X,Y (x, y) f X (x) dy = y f Y X (y x) dy Proposisi Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f X,Y (x, y). Misalkan ekspektasi dari Y hingga. Maka atau E(Y ) = E(Y X = x) f X (x) dx E(Y ) = E(E(Y X = x)) Definisi: Misalkan X dan Y adalah p.a. kontinu dengan f.p. bersama f X,Y (x, y). Jika f X (x) > 0 maka variansi bersyarat dari Y diberikan X = x adalah variansi dari Y relatif terhadap distribusi bersyarat Y diberikan X = x, ( (Y ) ) 2 X V ar(y X = x) = E E(Y X = x) = x MA5181 Pros.Stok. 9 K. Syuhada, PhD.

Proposisi Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f X,Y (x, y). Misalkan variansi dari Y hingga. Maka V ar(y ) = E(V ar(y X = x)) + V ar(e(y X)) Misalkan X dan Y peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f(x, y) = e x(y+1), 0 x, 0 y e 1 (a) Hitung P ( ) X > 1 Y = 1 2 (b) Hitung E ( ) X Y = 1 2 Solusi: Febri meninggalkan kantor setiap hari kerja antara pukul 6-7 malam. Jika dia pergi t menit setelah pukul 6 maka waktu untuk mencapai rumah adalah peubah acak berdistribusi Uniform pada selang (20, 20 + (2t)/3). Misalkan Y adalah banyak menit setelah pukul 6 dan X banya menit untuk mencapai rumah, berapa lama waktu mencapai rumah? Solusi: Zarudd saat ini berada di penjara Markas Brimob di Kelapa Dua, Depok. Dia ingin melarikan diri (katanya sih ingin ke Bogota atau manalah) namun hal ini tidak mudah. Fakta yang ada menunjukkan bahwa kalau Zarudd hendak keluar dari penjara dia akan menghadapi tiga pintu. Pintu pertama akan membawanya ke sebuah lorong dan kembali ke penjara dalam waktu dua jam. Pintu kedua pun demikian, akan membawanya ke sebuah lorong dan kembali ke penjara dalam waktu tiga jam. Sedangkan pintu ketigalah yang membawa Zarudd langsung bebas. Jika Zarudd memilih pintu-pintu, yang belum digunakannya, secara acak, berapa lama waktu rata-rata (expected number of hours) yang dibutuhkan Zarudd untuk bebas? Solusi: MA5181 Pros.Stok. 10 K. Syuhada, PhD.

BAB 2 Rantai Markov 2.1 Ilustrasi (Ilustrasi 1) Perilaku bunuh diri kini kian menjadi-jadi. Hesti (nama sebenarnya) adalah sebuah contoh. Dia pernah melakukan percobaan bunuh diri, namun gagal. Menurut pakar, kalau pada suatu waktu seseorang melakukan percobaan bunuh diri maka besar kemungkinan dia akan melakukannya lagi di masa mendatang. Jika seseorang belum pernah melakukan percobaan bunuh diri, di masa mendatang orang tersebut akan mungkin melakukan percobaan bunuh diri. Deskripsikan fenomena diatas sebagai model peluang (probability model). (Ilustrasi 2) Pada 23 Juni lalu sekitar pukul 21.30 mobil yang dikemudikan suami saya terperosok masuk lubang di jalan tol lingkar luar Jakarta, kira-kira 2 kilometer dari Pintu Tol Pondok Ranji arah Jakarta. Ban dan gading-gading roda rusak. Esoknya saya mengajukan klaim asuransi Sinar Mas kepada SiMas Bekasi. Pada 1 Juli saya mendapat jawaban bahwa klaim asuransi ditolak dengan alasan: bagian yang rusak hanya ban dan gading-gading roda. Tak mengenai badan mobil. Padahal, tercantum jelas di dalam pasal-pasal polis asuransi maupun surat penolakan bahwa ban dan gading-gading roda tidak dijamin, kecuali disebabkan oleh Pasal 1 angka 1.1. Isi pasal itu, pertanggungan ini menjamin kerusakan yang secara langsung disebabkan oleh tabrakan, benturan, terbalik, tergelincir atau terperosok. Asuransi Sinar Mas berusaha menghindar dari kewajiban dengan alasan mengada-ada, bahkan mengingkari aturan yang dibuatnya sendiri (Surat Pembaca KOMPAS; 03/08/2010). Andaikan suatu hari saya mengajukan klaim lagi ke Asuransi Sinar Mas, berapa peluang bahwa klaim saya akan diterima? (Ilustrasi 3) Loyalitas konsumen terhadap suatu merek barang. Wilkie (1994) mendefinisikan brand loyalty as a favorable attitude toward and consistent purchase of a particular brand. Lyong (1998): brand loyalty is a 1

function of a brands relative frequency of purchase in both time-independent and time-dependent situations. Seorang konsumen pembeli merek barang A diharapkan akan terus membeli barang A. Mungkinkah ini terjadi? Apakah model statistika yang dapat dengan tepat (atau mendekati tepat) merinci peluang terjadinya hal ini? Apakah model ini membantu dalam strategi pemasaran suatu barang? (Ilustrasi 4) Akhir-akhir ini, hujan dan panas (baca: tidak hujan) datang silih berganti tanpa bisa diduga. Kalau hari ini hujan, besok mungkin hujan mungkin juga panas. Tentu saja peluang besok hujan akan lebih besar dibanding peluang besok akan panas. Begitu pula jika hari ini panas. Besok akan lebih mungkin panas dibandingkan hujan. Jika hari Senin hujan, berapa peluang bahwa hari Selasa akan hujan? Berapa peluang bahwa hari Kamis akan hujan? (Ilustrasi 5) Sebagai calon atlet, setiap pagi Laila meninggalkan rumahnya untuk berlari pagi. Laila akan pergi lewat pintu depan atau belakang dengan peluang sama. Ketika meninggalkan rumah, Laila memakai sepatu olah raga atau bertelanjang kaki jika sepatu tidak tersedia di depan pintu yang dia lewati. Ketika pulang, Laila akan masuk lewat pintu depan atau belakang dan meletakkan sepatunya dengan peluang sama. Diketahui bahwa Laila memiliki 4 pasang sepatu olah raga. Berapa peluang bahwa Laila akan sering berolah raga dengan bertelanjang kaki? (Ilustrasi 6) Hutang tak terbayar. Hutang atau rugi dimasa depan, milik siapa? Perlukah kita mengetahui (baca: memprediksi) kerugian dimasa depan? Bagaimana memodelkan kerugian? segmentation algorithm? Markov chain? account s behavioural score? P = 0.85 0.09 0.01 0.00 0.01 0.01 0.03 0.05 0.76 0.12 0.04 0.01 0.00 0.02 0.03 0.08 0.70 0.15 0.03 0.00 0.01 0.01 0.04 0.03 0.70 0.12 0.00 0.00 0.00 0.02 0.07 0.03 0.88 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 MA5181 Pros.Stok. 2 K. Syuhada, PhD.

2.2 Definisi Proses stokastik {X n } adalah Rantai Markov: n = 0, 1, 2,... nilai yang mungkin adalah hingga atau terhitung P ( X n+1 = j X n = i, X n 1 = i n 1,..., X 1 = i 1, X 0 = i 0 ) = Pij ( ) distribusi bersyarat X n+1, diberikan keadaan-keadaan lampau (past states) X 0, X 1,..., X n 1 dan keadaan sekarang (present state) X n, hanya bergantung pada keadaan sekarang ( Sifat Markov ) keadaan-keadaan (states): i 0, i 1,..., i n 1, i, j P ij peluang bahwa proses akan berada di keadaan j dari keadaan i; P ij 0, i, j 0; P ij = 1, i = 0, 1,... j=0 Matriks peluang transisi P ij adalah P = P 00 P 01 P 02 P 10 P 11 P 12... P i0 P i0 P i0... MA5181 Pros.Stok. 3 K. Syuhada, PhD.

P02 P01 P12 P00 0 P11 1 P22 2... P10 P21 P20 Figure 2.1: Diagram transisi keadaan atau state transition diagram Perhatikan (*): P ( X n+1 = j X n = i, X n 1 = i n 1,..., X 1 = i 1, X 0 = i 0 ) = P ( X n+1 = j X n = i ) = P ij, yang disebut sebagai peluang transisi 1-langkah atau one-step transition probability. Peluang bersama P ( X n = i, X n 1 = i n 1,..., X 1 = i 1, X 0 = i 0 ) dapat dihitung dengan sifat peluang bersyarat berikut. P ( X n = i, X n 1 = i n 1,..., X 1 = i 1, X 0 = i 0 ) = P ( X n 1 = i n 1,..., X 1 = i 1, X 0 = i 0 ) P ( X n = i X n 1 = i n 1,..., X 1 = i 1, X 0 = i 0 ) = P ( X n 1 = i n 1,..., X 1 = i 1, X 0 = i 0 ) P ( Xn = i X n 1 = i n 1 ) = = p i0 P in 1,i n 1. Jika, pada waktu t, Rez mengajukan klaim asuransi, maka Rez akan mengajukan klaim pada waktu t + 1 dengan peluang α; jika Rez tidak mengajukan klaim asuransi saat ini maka di masa depan Rez akan mengajukan klaim asuransi dengan peluang β. Matriks peluang transisinya MA5181 Pros.Stok. 4 K. Syuhada, PhD.

adalah... 2. Suatu rantai Markov dengan keadaan-keadaan 0, 1, 2 memiliki matriks peluang transisi: P = 0.1 0.2 0.7 0.9 0.1 0 0.1 0.8 0.1 dan P (X 0 = 0) = 0.3, P (X 0 = 1) = 0.4, P (X 0 = 2) = 0.3. Hitung P (X 0 = 0, X 1 = 1, X 2 = 2) 3. Keadaan hujan pada suatu hari bergantung pada keadaan hujan dalam dua hari terakhir. Jika dalam dua hari terakhir hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.7; Jika hari ini hujan dan kemarin tidak hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.5; jika hari ini tidak hujan dan kemarin hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.4; jika dalam dua hari terakhir tidak hujan maka besok hujan dengan peluang 0.2. Matriks peluang transisinya adalah... 4. Tiga item produk A dan tiga item produk B didistribusikan dalam dua buah paket/kotak sedemikian hinga setiap paket terdiri atas tiga item produk. Dikatakan bahwa sistem berada dalam keadaan i, i = 0, 1, 2, 3 jika dalam paket pertama terdapat i produk A. Setiap saat (langkah), kita pindahkan satu item produk dari setiap paket dan meletakkan item produk tersebut dari paket 1 ke paket 2 dan sebaliknya. Misalkan X n menggambarkan keadaan dari sistem setelah langkah ke-n. Matriks peluang transisinya adalah... 5. Menurut Kemeny, Snell dan Thompson, Tanah Australia diberkahi dengan banyak hal kecuali cuaca yang baik. Mereka tidak pernah memiliki dua hari bercuaca baik secara berturut-turut. Jika mereka mendapatkan hari bercuaca baik maka esok hari akan bersalju atau hujan dengan peluang sama. Jika hari ini mereka mengalami salju atau hujan maka besok akan bercuaca sama dengan peluang separuhnya. Jika terdapat perubahan cuaca dari salju atau hujan, hanya separuh dari waktu besok akan menjadi hari bercuaca baik. Tentukan matriks peluang transisi dari Rantai Markov yang dibentuk dari keadaan-keadaan diatas. MA5181 Pros.Stok. 5 K. Syuhada, PhD.

6. Suatu rantai Markov dengan keadaan-keadaan 0, 1, 2 memiliki matriks peluang transisi: P = Hitung dan 0.7 0.2 0.1 0 0.6 0.4 0.5 0 0.5 P (X 2 = 1, X 3 = 1 X 1 = 0) P (X 1 = 1, X 2 = 1 X 0 = 0) 7. Sebagai calon atlet, setiap pagi Swari meninggalkan rumahnya untuk berlari pagi. Swari akan pergi lewat pintu depan atau belakang dengan peluang sama. Ketika meninggalkan rumah, Swari memakai sepatu olah raga atau bertelanjang kaki. Ketika pulang, Swari akan masuk lewat pintu depan atau belakang dan meletakkan sepatunya dengan peluang sama. Diketahui bahwa Swari memiliki 4 pasang sepatu olah raga. Bentuklah suatu Rantai Markov dari proses diatas. 2.3 Peluang n-langkah Persamaan Chapman-Kolmogorov Misalkan Pij n menyatakan peluang transisi n-langkah suatu proses di keadaan i akan berada di keadaan j, P n ij = P (Y k+n = j Y k = i), n 0, i, j 0. Persamaan Chapman-Kolmogorov adalah alat untuk menghitung peluang transisi n + m-langkah: P n+m ij = k=0 P n ikp m kj, (Buktikan!) untuk semua n, m 0 dan semua i, j. Pik np kj m menyatakan peluang suatu proses dalam keadaan i akan berada di keadaan j dalam n+m transisi, melalui keadaan k dalam n transisi/langkah. MA5181 Pros.Stok. 6 K. Syuhada, PhD.

Contoh/Latihan: 1. Jika hari ini hujan maka besok akan hujan dengan peluang α = 0.7; jika hari ini tidak hujan maka besok akan hujan dengan peluang β = 0.4. Matriks peluang transisi 4 langkah adalah... 2. Keadaan hujan pada suatu hari bergantung pada keadaan hujan dalam dua hari terakhir. Jika dalam dua hari terakhir hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.7; Jika hari ini hujan dan kemarin tidak hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.5; jika hari ini tidak hujan dan kemarin hujan maka besok akan hujan dengan peluang 0.4; jika dalam dua hari terakhir tidak hujan maka besok hujan dengan peluang 0.2. Matriks peluang transisinya adalah sbb: P = 0.7 0 0.3 0 0.5 0 0.5 0 0 0.4 0 0.6 0 0.2 0 0.8 Jika hari Senin dan Selasa hujan, berapa peluang bahwa hari Kamis akan hujan? Peluang Transisi Tak Bersyarat Misalkan α i = P (X 0 = i), i 0, dimana i=0 α i = 1. Peluang tak bersyarat dapat dihitung dengan mensyaratkan pada keadaan awal, P (X n = j) = P (X n = j X 0 = i) P (X 0 = i) = i=0 i=0 P n ij α i Contoh/Latihan: 1. Pandang soal yang lalu dengan matriks peluang transisi: P = ( 0.7 0.3 0.4 0.6 ) Jika diketahui α 0 = P (X 0 = 0) = 0.4 dan α 1 = P (X 0 = 1) = 0.6, maka peluang (tak bersyarat) bahwa hari akan hujan 4 hari lagi adalah... MA5181 Pros.Stok. 7 K. Syuhada, PhD.

2. Seorang pensiunan H menerima 2 (juta rupiah) setiap awal bulan. Banyaknya uang yang diperlukan H untuk dibelanjakan selama sebulan saling bebas dengan banyaknya uang yang dia punya dan sama dengan i dengan peluang P i, i = 1, 2, 3, 4, 4 i=1 P i = 1. Jika H memiliki uang lebih dari 3 di akhir bulan, dia akan memberikan sejumlah uang lebih dari 3 itu kepada orang lain. Jika setelah dia menerima uang diawal bulan H memiliki uang 5, berapa peluang uangnya akan 1 atau kurang setiap saat selama 4 bulan berikut? MA5181 Pros.Stok. 8 K. Syuhada, PhD.