VERTEX EXPONENT OF A TWO-COLOURED DIGRAPH WITH 2 LOOPS ABSTRACT

vi VERTEX EXPONENT OF A TWO-COLOURED DIGRAPH WITH 2 LOOPS ABSTRACT A digraph D in which each of its arcs is coloured by either red or blue is called two-coloured digraph. A strongly connected of two-coloured digraph is primitive provided there are nonnegative integers m and b such that for each pair of vertices u and v in D there is a walk with length m + b, in which m arcs coloured by red and b arcs coloured by blue. Let D is a two-coloured digraph with V (D) = {v 1,v 2,,v n } for each v k V (D), the vertex exponent of D is the smallest nonnegative integer m + b such that there is a walk with length m + b from v k to each vertex in D. Let D is a two-coloured digraph on n vertex with n 3 and 2 loops, if v k, k =1, 2,..., n is vertex of D, this paper will give the general of vertex exponent of D exactly 2n 2 for k =1, 2, 3 and exactly 2n 5+k for 4 k n.

vii DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN PERNYATAAN PENGHARGAAN ABSTRAK ABSTRACT DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR i ii iii v vi vii ix BAB 1. PENDAHULUAN 1 1.1. Latar Belakang 1 1.2. Perumusan Masalah 4 1.3. Tujuan Penelitian 4 1.4. Manfaat Penelitian 4 1.5. Metodologi Penelitian 4 2. DIGRAPH DAN 2-DIGRAPH 6 2.1. Definisi 6 2.2. Matriks Adjacency 11 2.3. Primitifitas dari Digraph dan 2-Digraph Terhubung Kuat 12 2.4. Eksponen Digraph dan 2-Digraph 16 2.5. Eksponen Vertex Digraph dan 2-Digraph 24 3. DIGRAPH DWI-WARNA DENGAN 2 LOOP 29 3.1. Eksponen 2-Digraph dengan 2 Loop 29 3.2. Eksponen Vertex 2-Digraph dengan 2 Loop 32 4. KESIMPULAN DAN SARAN 41 4.1. Kesimpulan 41 4.2. Saran 41 DAFTAR PUSTAKA 42

viii LAMPIRAN A. FUNGSI MATLAB VERT 2EXP LOOPS 43 B. OUTPUT DARI FUNGSI MATLAB VERT 2EXP LOOPS 47

ix DAFTAR GAMBAR Gambar Halaman 1.1 Digraph dengan 2 Loop 3 2.1 Digraph dengan 6 vertex dan 9 arc 7 2.2 Digraph dengan walk, path, cycle dan loop 8 2.3 2-Digraph dengan 6 vertex dan 9 arc 9 2.4 2-Digraph dengan walk, path, cycle dan loop 10 2.5 (a) Digraph terhubung kuat (b) Digraph tidak terhubung kuat 13 2.6 Digraph terhubung kuat dan primitif 14 2.7 (a) 2-digraph terhubung kuat (b) 2-digraph tidak terhubung kuat 15 2.8 2-Digraph terhubung kuat dan primitif 16 2.9 Digraph Wielandt W n dengan n vertex 27 3.1 2-Digraph dengan 2 Loop 36

BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Digraph merupakan hubungan antara titik-titik yang disebut dengan vertex dari digraph dengan garis berarah yang disebut dengan arc dari digraph. Vertex dari digraph direpresentasikan dalam bentuk titik atau lingkaran kecil dan arc dari digraph direpresentasikan dalam bentuk garis berarah. Suatu walk dengan panjang m dari suatu digraph D yang menghubungkan vertex u dan vertex v adalah suatu barisan arc di D dalam bentuk u = v 0 v 1... v m 1 v m = v dengan v 0 = u dan v m = v. Jika u = v maka walk tersebut dikatakan walk tertutup, dan jika u v maka walk tersebut dikatakan walk terbuka. Suatu path adalah suatu walk tanpa adanya perulangan vertex. Suatu path tertutup uv disebut cycle. Dan suatu cycle dengan panjang 1 disebut loop. Suatu digraph dikatakan terhubung kuat jika untuk setiap pasangan vertex u dan v terdapat walk dari u ke v dan walk dari v ke u dan primitif jika terdapat suatu bilangan bulat positif l sedemikian hingga untuk setiap pasangan vertex dari u dan v di D terdapat walk yang panjangnya l dari u ke v. Bilangan bulat terkecil dari l tersebut merupakan eksponen dari D yang dinotasikan dengan exp(d). Konsep tradisional dari eksponen digraph primitif telah digeneralisasikan oleh Brualdi dan Liu (1990) dengan memperkenalkan tiga tipe generalisasi eksponen. Misalkan D adalah sebuah digraph primitif dengan himpunan vertex V (D) =(v 1,v 2,,v n ). Untuk suatu v i V (D) dan X V (D), eksponen vertex γ D (v k ) adalah bilangan bulat positif terkecil l sedemikian hingga Universitas terdapat walk Sumatera dengan Utara

2 panjang l dari v i kesetiap vertex di D, dan himpunan eksponen exp D (X) adalah bilangan bulat positif terkecil p sehingga untuk setiap vertex v j di D terdapat sebuah walk dari paling sedikit satu vertex di X ke v j dengan panjang p. Misalkan D adalah digraph primitif dengan orde n. Jika vertex - vertex di D adalah (v 1,v 2,,v n ) sedemikian hingga γ D (v 1 ) γ D (v 2 ) γ D (v n ) maka γ D (v k ) adalah tipe pertama generalisasi eksponen ke - k dari D, dinotasikan exp D (v k ). Digraph dwi-warna atau 2-digraph adalah suatu digraph yang setiap arc-nya diwarnai merah atau biru (Fornasini dan Valcher (1997)). Suatu (m,b)-walk pada 2 digraph D dari vertex u ke v adalah barisan arc yang terdiri dari m arc merah dan b arc biru yang menghubungkan vertex u dan v. Suatu 2-digraph D dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat m dan b sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat (m, b)-walk dari u ke v dan sebaliknya, bilangan bulat positif terkecil dari m + b tersebut merupakan 2-eksponen dari 2-digraph D primitif yang dinotasikan dengan exp 2 (D). Penelitian tentang 2-eksponen 2-digraph dimulai oleh Shader dan Suwilo (2003) yang memperlihatkan bahwa bila D adalah digraph dwi-warna primitif atas n vertex, maka 2-eksponen terbesar dari D terletak pada interval [ 1 2 (n3 5n 2 ), 1 2 (3n3 +2n 2 2n)]. Eksponen dari 2-digraph dengan 2-loop dan n vertex dapat diketahui dari komposisi warna arc yang adjacent dengan loop merah maupun loop biru pada 2-digraph tersebut. Dalam penelitiannya Richard Albert Nasution (2007) memperlihatkan bentuk umum 2-eksponen dari 2-digraph dengan 2 loop dengan jumlah vertex n yaitu tepat 2n, 2n 1, dan 2n 2 dengan syarat: 1. 2-digraph dengan eksponen tepat 2n didapat jika arcuniversitas yang adjacent Sumatera ke loop Utara

3 merah adalah sepasang arc yang berwarna merah dan untuk loop biru adalah sepasang arc yang berwarna biru, atau sebaliknya. 2. 2-digraph dengan eksponen tepat 2n 1 didapat jika arc yang adjacent ke loop merah adalah sepasang arc berwarna merah dan arc yang adjacent ke loop biru adalah sepasang arc yang berbeda warna, atau sebaliknya. 3. 2-digraph dengan eksponen tepat 2n 2 didapat kedua loop terletak pada vertex yang sama. Suatu 2-digraph D terhubung kuat dengan n 2 vertex yang memuat sebuah loop merah dan sebuah loop biru memiliki eksponen exp 2 (D) 3n 3. Andaikan D adalah 2-digraph yang terdiri dari cycle v 1 v n... v 3 v 1 dan v n v n 1... v 3 v 2 v n,loop(v 1,v 1 ) dan loop (v 2,v 2 ) yang diperlihatkan pada gambar Gambar 1.1 : Digraph dengan 2 Loop memiliki exp 2 (D) 3n 5. Dan jika pewarnaan di D menjadi (v 1,v 1 ) adalah loop merah, (v 2,v 2 ) adalah loop biru, v 1 v n v n 1... v 3 v 1 adalah cycle merah dan v 3 v 2 v n adalah path biru, maka 2-eksponennya tepat 3n 5. Gao dan Shao (2009) juga telah menggeneralisasikan eksponen dari digraph dwi-warna primitif Wielandt dengan menggunakan tiga tipe generalisasi eksponen yang tipe pertamanya adalah generalisasi eksponen vertex Universitas digraphsumatera dwi-warna Utara

4 primitif. Misalkan D adalah suatu digraph dwi-warna primitif dengan V (D) = {v 1,v 2,...,v n } untuk setiap v i V (D), maka eksponen vertex exp D (v i ) adalah bilangan bulat positif terkecil m 1 + m 2 sedemikian hingga terdapat (m 1,m 2 )-walk dari v i ke setiap vertex di D. Penelitian ini bertujuan untuk mencari generalisasi dari eksponen vertex dari 2-digraph dengan 2 loop pada Gambar 1.1. 1.2 Perumusan Masalah Andaikan D adalah suatu digraph dwi - warna yang terdiri dari n vertex dan memiliki 2 loop seperti pada Gambar 1.1 dengan (v 1,v 1 ) adalah loop merah, (v 2,v 2 ) adalah loop biru, v 1 v n v n 1 v 3 v 1 adalah cycle merah dan v 3 v 2 v n adalah path biru dari D. Masalah dari penelitian ini adalah bagaimana menentukan pola eksponen vertex v di D. 1.3 Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini yaitu untuk memperoleh generalisasi eksponen vertex dari 2-digraph dengan 2 loop seperti pada Gambar 1.1. 1.4 Manfaat Penelitian Penelitian ini bermanfaat untuk memperkaya literatur dalam bidang eksponen dari digraph primitif. 1.5 Metodologi Penelitian Untuk mencari pola eksponen vertex digraph dwi-warna dengan 2 loops dilakukan dengan cara sebagai berikut: 1. Mempelajari teori dasar yang berkenaan dengan penelitian ini, meliputi definisi, teorema, dan berbagai contoh.

5 2. Dengan bantuan program matlab vert 2exp loops yang dibuat oleh Dr. Saib Suwilo, M.Sc, yaitu suatu program yang digunakan untuk menentukan eksponen verteks dari digraph dwi-warna dengan loop. Melalui program ini peneliti memasukkan banyaknya vertex yang diinginkan lalu akan dihasilkan eksponen vertex dari masing-masing vertex serta komposisinya. 3. Mencari pola dari eksponen verteks digraph dwi-warna primitif dari hasilhasil yang telah diperoleh tersebut secara kombinatorial. 4. Memberikan suatu pembuktian dari pola eksponen verteks yang telah diperoleh tersebut.

BAB 2 DIGRAPH DAN 2-DIGRAPH Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar seperti teorema dan definisi sebagai landasan dalam penelitian ini. Konsep dasar yang dimaksud adalah yang berkaitan dengan permasalahan dalam penelitian ini seperti definisi, keterhubungan, primitifitas, eksponen dan eksponen vertex dari digraph dan 2-digraph. 2.1 Definisi Pada sub-bab ini akan diberikan beberapa definisi tentang digraph dan 2-digraph serta notasi-notasi yang akan digunakan dalam pembahasan selanjutnya. 2.1.1 Digraph Secara sederhana graph adalah kumpulan titik atau lingkaran kecil yang dihubungkan oleh garis tak berarah. Jika garis penghubung diberi arah, maka graph yang demikian dinamakan digraph (directed graph). Andaikan V adalah suatu himpunan objek berhingga yang tak kosong, sebuah digraph D adalah suatu objek yang dibentuk oleh himpunan V yang unsurnya disebut vertex dari D, dan himpunan A V V yang unsurnya disebut arc dari D. Jika diberikan u, v A, maka terdapat arc dari u ke v di D, dimana u disebut sebagai vertex awal dan v disebut sebagai vertex akhir. Arc (u,v) dapat juga dinotasikan dengan u v. Vertex v dari digraph direpresentasikan dalam bentuk titik atau lingkaran kecil yang diberi tanda v dan arc (u,v) dari digraph direpresentasikan dalam bentuk garis berarah dari titik u ke titik v.

7 Contoh 2.1.1 : Himpunan vertex V = v 1,v 2,v 3,v 4,v 5,v 6 dan himpunan arc A = (v 1,v 2 ), (v 1,v 6 ), (v 2,v 3 ), (v 2,v 4 ), (v 2,v 5 ), (v 3,v 4 ), (v 4,v 5 ), (v 5,v 1 ), (v 6,v 5 ) adalah suatu digraph dengan 6 vertex dan 9 arc dan direpresentasikan secara grafis sebagai berikut: Gambar 2.1 : Digraph dengan 6 vertex dan 9 arc Diberikan suatu digraph D dengan u dan v adalah vertex di D. Suatu walk dengan panjang m dari u ke v adalah suatu barisan arc di D dalam bentuk v 0 v 1 v 2... v m 1 v m dengan m>0, v 0 = u dan v m = v. Jika u = v maka walk tersebut dikatakan walk tertutup dan jika u v maka walk tersebut dikatakan walk terbuka. Suatu path didefinisikan sebagai suatu walk tanpa adanya perulangan vertex, namun vertex awal dan vertex akhir boleh berulang yang kemudian disebut path tertutup. Suatu path tertutup uv disebut dengan cycle dan sebuah cycle dengan panjang 1 disebut loop. Berikut ini akan diberikan representasi dari digraph untuk menjelaskan beberapa definisi di atas.

8 Contoh 2.1.2 : Diberikan digraph sebagai berikut: Gambar 2.2 : Digraph dengan walk, path, cycle dan loop berikut: Digraph pada gambar di atas memiliki walk, path, cycle dan loop sebagai a. v 1 v 2 v 3 v 4 v 2 v 5 v 1 adalah sebuah walk tertutup tetapi bukan path. b. v 1 v 2 v 5 v 5 v 1 v 2 v 3 adalah sebuah walk terbuka tetapi bukan path. c. v 1 v 2 v 5 adalah sebuah path terbuka. d. v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 1 adalah sebuah cycle atau path tertutup. e. v 5 v 5 adalah sebuah loop. 2.1.2 2-Digraph 2-Digraph atau digraph dwi-warna merupakan suatu digraph yang setiap arc-nya diberi warna merah atau biru. Andaikan V adalah suatu himpunan objek berhingga yang tak kosong, sebuah 2-digraph D adalah suatu objek yang dibentuk oleh himpunan V yang unsurnya disebut vertex dari D, dan himpunan R V V yang unsurnya disebut arc merah dari D dan himpunan B V V yang unsurnya disebut arc biru dari D. Jika diberikan u 1,v 1 R dan u 2,v 2 B, maka terdapat Universitas arc merah Sumatera dari uutara 1

9 ke v 1 di D dan terdapat arc biru dari u 2 ke v 2 di D, dimana u 1 dan u 2 disebut sebagai vertex awal dan v 1 dan v 2 disebut sebagai vertex akhir. Arc merah (u 1,v 1 ) dapat juga dinotasikan dengan u 1 r v 1 dan arc biru (u 2,v 2 ) dapat juga dinotasikan dengan u 2 b v 2. Vertex v dari 2-digraph direpresentasikan dalam bentuk titik atau lingkaran kecil yang diberi tanda v, arc merah (u 1,v 1 ) dari 2-digraph direpresentasikan dalam bentuk garis atau kurva berarah tak putus dari titik u 1 ke titik v 1 dan arc biru (u 2,v 2 ) dari 2-digraph direpresentasikan dalam bentuk garis atau kurva berarah putus-putus dari titik u 2 ke titik v 2. Contoh 2.1.3 : Himpunan vertex V = v 1,v 2,v 3,v 4,v 5,v 6, himpunan arc R = {(v 1,v 2 ), (v 2,v 4 ), (v 4,v 5 ), (v 5,v 1 )} dan himpunan arc B = {(v 1,v 6 ), (v 2,v 3 ), (v 2,v 5 ), (v 3,v 4 ), (v 6,v 5 ) } adalah suatu digraph dengan 6 vertex, 4 arc merah dan 5 arc biru dan direpresentasikan secara grafis sebagai berikut: Gambar 2.3 : 2-Digraph dengan 6 vertex dan 9 arc Suatu (m, b)-walk w pada 2-digraph D adalah suatu walk yang terdiri dari m arc merah dan b arc biru. Banyaknya m arc berwarna merah dan b arc berwarna biru pada suatu walk w di D dinotasikan dengan r(w) dan b(w) serta panjangnya walk w dinotasikan dengan l(w) dimana l(w) = r(w) + b(w) yaitu banyaknya arc merah dan arc biru yang membentuk walk tersebut. Vektor dari (r(w),b(w)) atau

10 [ ] r(w) disebut sebagai komposisi dari w. b(w) Sama seperti digraph, path merupakan suatu walk tanpa adanya perulangan vertex, namun vertex awal dan vertex akhir boleh berulang yang kemudian disebut path tertutup atau cycle. Loop merupakan suatu cycle dengan komposisi [ ] 1 0 atau [ 0 1].Berikut ini akan diberikan representasi dari 2-digraph untuk menjelaskan beberapa definisi di atas. Contoh 2.1.4 : Diberikan 2-digraph sebagai berikut: Gambar 2.4 : 2-Digraph dengan walk, path, cycle dan loop berikut: Digraph pada gambar di atas memiliki walk, path, cycle dan loop sebagai a. v 1 r v 2 b v 3 b v 4 r v 2 b v 5 r v 1 adalah sebuah walk tertutup tetapi bukan path. b. v 1 r v 2 b v 5 b v 5 r v 1 r v 2 b v 3 r v 3 adalah sebuah walk terbuka tetapi bukan path. c. v 1 r v 2 b v 5 adalah sebuah path terbuka. d. v 1 r v 2 b v 3 b v 4 r v 5 r v 1 adalah sebuah cycle atau path tertutup. e. v 5 b v 5 adalah sebuah loop dengan komposisi [ 0 1]. f. v 3 r v 3 adalah sebuah loop dengan komposisi [ 1 0].

11 2.2 Matriks Adjacency Digraph dan 2-Digraph dapat juga direpresentasikan dalam bentuk matriks. Suatu digraph D dan 2-Digraph D dengan n vertex dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks berordo n n dengan entri-entrinya berupa 1 dan 0. Matriks tersebut merupakan matriks adjacency. 2.2.1 Matriks Adjacency Digraph Suatu matriks adjacency A =[a ij ] dari Digraph D dengan n vertex dapat kita representasikan dengan entri sebagai berikut: 1, jika terdapat arc dari v i ke v j a i,j = 0, jika sebaliknya. untuk i, j =1, 2,,n. Contoh 2.2.1 : Berikut ini adalah matriks adjacency yang diperoleh dari digraph pada Gambar 2.2 : 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 2.2.2 Matriks Adjacency 2-Digraph Suatu matriks adjacency dari 2-Digraph D dengan n vertex dapat kita representasikan dalam 2 matriks adjacency, yaitu matriks adjacency merah dan matriks adjacency biru. Matriks adjacency merah, R =[r ij ] pada D adalah matriks n n dengan entri sebagai berikut: 1, jika terdapat arc merah r i,j = 0, jika sebaliknya untuk i, j =1, 2,,n

12 Matriks adjacency biru, B =[b ij ] pada D adalah matriks n n dengan entri sebagai berikut: 1, jika terdapat arc biru b i,j = 0, jika sebaliknya untuk i, j =1, 2,,n Contoh 2.2.2 : Berikut ini adalah matriks adjacency yang diperoleh dari 2- digraph pada Gambar 2.4 : 0 1 0 0 0 0 R = 0 0 1 0 0 adalah matriks adjacency merah ; 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 B = 0 0 0 1 0 adalah matriks adjacency biru. 0 1 2.3 Primitifitas dari Digraph dan 2-Digraph Terhubung Kuat Pada sub-bab ini akan dibahas tentang digraph dan 2-digraph terhubung kuat dan primitif. 2.3.1 Digraph Primitif Suatu digraph D dikatakan terhubung kuat (strongly connected) jika untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v dan terdapat walk dari v ke u.

13 Contoh 2.3.1 : Berikut ini adalah representasi dari digraph terhubung kuat dan digraph tidak terhubung kuat. Gambar 2.5 : (a) Digraph terhubung kuat (b) Digraph tidak terhubung kuat Gambar 2.5 (a) merupakan suatu digraph terhubung kuat karena terdapat walk dari satu vertex ke vertex lainnya, dan Gambar 2.5 (b) bukan merupakan suatu digraph terhubung kuat atau dengan kata lain tidak terhubung kuat karena tidak terdapat walk dari v 2 ke v 3. Suatu digraph D terhubung kuat dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat positif l sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat suatu walk yang panjangnya l. Lemma 2.1 Andaikan D adalah digraph terhubung kuat maka setiap vertex v di D terletak pada cycle. Bukti: Ambil sebarang vertex v di D dan sebarang arc dari vertex u ke v di D. Karena D terhubung kuat, maka terdapat path dari vertex u ke v yang berakibat akan diperoleh suatu path tertutup di D yang dibentuk oleh arc dari vertex u ke v dan path dari vertex v ke u di D. Oleh definisi bahwa path tertutup adalah suatu cycle dan v sebarang vertex di D, maka setiap vertex v di D terletak pada suatu cycle.

14 Andaikan himpunan C = {c 1, c 2,...,c t } adalah himpunan semua cycle di D. Misalkan M adalah suatu matriks baris dengan kolom ke i untuk i = 1, 2,..., t dan entri-entri dari M adalah panjang cycle c i (l(c i )). Misalkan M sebagai subgrup dari grup bilangan bulat Z yang dibangun oleh kolom-kolom dari M yakni M = {z 1 l(c 1 )+z 2 l(c 2 )+... + z t l(c t ):z i Z, i =1, 2, 3,..., t} Andaikan D adalah digraph imprimitif dengan indeks imprimitifitas k, maka k = gcd(l(c 1 ), l(c 2 ),..., l(c t )). Kemudian suatu digraph dikatakan primitif jika k = 1 dan imprimitf jika k 1. Contoh 2.3.2 : Representasi dari digraph terhubung kuat yang primitif Gambar 2.6 : Digraph terhubung kuat dan primitif Digraph pada Gambar 2.6 merupakan digraph terhubung kuat dengan 4 cycle yaitu : v 1 v 1 dengan panjang 1, cycle v 1 v 2 v 4 v 1 dengan panjang 3, cycle v 2 v 4 v 3 v 2 dengan panjang 3 dan cycle v 3 v 3 dengan panjang 1. Pembagi persekutuan terbesar dari panjang cycle-cycle pada digraph tersebut adalah 1. Dengan demikian, digraph tersebut primitif. 2.3.2 2-Digraph Primitif Suatu 2-digraph D dikatakan terhubung kuat (strongly connected) jika untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk dari u ke v dan Universitas terdapat Sumatera walk dariutara v

15 ke u, dengan tidak memperhatikan komposisi warna arc dari walk tersebut. Contoh 2.3.3 : Berikut ini adalah representasi dari 2-digraph terhubung kuat dan 2-digraph tidak terhubung kuat. Gambar 2.7 : (a) 2-digraph terhubung kuat (b) 2-digraph tidak terhubung kuat Gambar 2.7 (a) merupakan suatu 2-digraph terhubung kuat karena terdapat walk dari satu vertex ke vertex lainnya, dan Gambar 2.7 (b) bukan merupakan suatu 2-digraph terhubung kuat atau dengan kata lain tidak terhubung kuat karena tidak terdapat walk dari v 2 ke v 3. Suatu 2-digraph D terhubung kuat dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat m dan b sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat (m, b)- walk dari u ke v dan sebaliknya. Andaikan D adalah digraph dwi-warna terhubung kuat dan andaikan C = {γ 1,γ 2,...,γ t } adalah himpunan semua cycle yang berada di D. Suatu matriks cycle M dari D adalah suatu matriks berordo 2 t dengan kolom-kolomnya adalah komposisi dari cycle-cycle γ i, i =1, 2,,t yakni [ ] r(γ1 ) r(γ 2 )... r(γ t ) M = b(γ 1 ) b(γ 2 )... b(γ t ) disebut sebagai cycle matriks D. Suatu 2-digraph D dikatakan primitif jika dan hanya jika pembagi persekutuan terbesar dari determinan submatriks 2 2 dari M adalah 1 (Fornasini dan Valcher, 1997).

16 Contoh 2.3.3 : Representasi dari 2-digraph terhubung kuat yang primitif Gambar 2.8 : 2-Digraph terhubung kuat dan primitif Pada gambar terdapat 4 buah cycle, sehingga diperoleh cycle matriks sebagai berikut [ ] 1 3 1 0 M = 0 0 2 1 [ ] [ ] [ ] 1 3 1 1 1 0 dan submatriksnya adalah M 1 =, M 2 =, M 3 =,dst. Dikarenakan det(m 3 )=1, hal ini mengakibatkan pembagi persekutuan terbesar dari se- 0 0 0 2 0 1 mua determinan submatriksnya akan bernilai 1. Dengan demikian 2-digraph tersebut 2-primitif. 2.4 Eksponen Digraph dan 2-Digraph Pada sub-bab ini akan dibahas tentang definisi eksponen digraph dan 2-digraph serta contoh bagaimana menentukan eksponen dari digraph dan 2-digraph tersebut. 2.4.1 Eksponen Digraph Pada digraph, eksponen dari digraph D didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil k sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk berarah dari u ke v dengan panjang k. Eksponen dari digraph tersebut dinotasikan dengan exp(d).

17 Zaini dan Suwilo (2005), menyatakan bahwa vertex v i ke v j di A k memiliki walk dengan panjang k. Berikut ini diperlihatkan hubungan antara suatu digraph dengan matriks. Proposisi 2.2 Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D. Entri a k ij dari A k menyatakan banyaknya walk dari v i ke v j yang panjangnya k di D. Bukti: Andaikan A adalah suatu matriks adjacency dari digraph D, maka setiap entri (i, j) dari A menyatakan arc dari v i ke v j di digraph D. Hal ini berakibat untuk k = 1, maka setiap entri a 1 ij dari A 1 menyatakan banyaknya walk dari v i ke v j yang panjangnya satu. Asumsikan setiap entri a (k) ij dan A k menyatakan banyaknya walk dari v i dan v j yang panjangnya k di D, untuk k 1. Berikut ini diperlihatkan a (k+1) ij banyaknya walk dari v i ke v j yang panjangnya k +1diD, untuk k 1. adalah Perhatikan setiap walk dari v i ke v j di D dengan panjang k + 1 yang terdiri dari walk dari v i ke v j dengan panjang k untuk l =1, 2,...,n dan dilanjutkan dengan arc dari v i ke v j. Sehingga a (k) il a lj adalah menyatakan walk yang panjangnya k + 1 dari v i ke v j panjang k dari v i ke v j di D, maka a (k) il di D, untuk k =1, 2,...,n. Jika tidak terdapat walk yang = 0 sehingga a (k) il a lj = 0. Hal ini berarti tidak terdapat walk dengan panjang k+1 dari v i ke v j yang melalui v l di D sehingga diperoleh banyaknya walk yang panjangnya k + 1 dari v i ke v j di D adalah karena a (k) i1 a 1j + a (k) i2 a 2j + + a (k) in a nj = A k+1 = A k A n i=1 a (k) il a lj maka a (k) ij = n i=1 a (k) il a lj

18 Hal ini berakibat a (k+1) ij adalah benar menyatakan banyaknya walk dari v i ke v j yang panjangnya k +1 di D. Jadi, elemen (i, j) dari A k adalah banyaknya walk yang panjangnya k dari v i ke v j. Contoh 2.4.1 : Matriks adjacency dari digraph pada Gambar 2.6 adalah A = 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0, kemudian akan dicari eksponen dari digraph tersebut. 1 0 1 0 Berdasarkan Proposisi 2.2, banyaknya walk dari vertex v i ke v j dengan panjang k adalah entri dari matriks A k ij dari Ak, dengan demikian nilai k merupakan eksponen dari digraph bila matriks A k adalah matriks positif. Perhatikan matriks A k berikut: 1 1 0 0 a. Untuk k = 1 ; diperoleh A 1 = 0 0 0 1 0 1 1 0, maka bukan merupakan eksponen digraph, karena tidak terdapat walk dengan panjang 1 dari v 1 ke v 3, v 1 1 0 1 0 ke v 4, v 2 ke v 1, v 2 ke v 2, v 2 ke v 3, v 3 ke v 1, v 3 ke v 4, v 4 ke v 2 dan v 4 ke v 4. 1 1 0 1 b. Untuk k = 2 ; diperoleh A 2 = 1 0 1 0 0 1 1 1, maka bukan merupakan eksponen digraph, karena tidak terdapat walk dengan panjang 2 dari v 1 ke v 3, v 2 1 2 1 0 ke v 2, v 2 ke v 4, v 3 ke v 1, dan v 4 ke v 4. 2 1 1 1 c. Untuk k = 3 ; diperoleh A 3 = 1 2 1 0 1 1 2 1, maka bukan merupakan eksponen digraph, karena tidak terdapat walk dengan panjang 3 dari v 2 ke v 4. 1 2 1 2 3 3 2 1 d. Untuk k = 4 ; diperoleh A 4 = 1 2 1 2 2 3 3 1, karena terdapat walk dengan 3 2 3 2

19 panjang 4 dari tiap pasangan verteks di D, maka eksponen dari digraph pada Gambar 2.6 adalah 4. 2.4.2 2-Eksponen 2-Digraph Pada 2-digraph, 2-eksponen dari 2-digraph D didefinisikan sebagai bilangan bulat positif terkecil m + b sehingga untuk setiap pasangan vertex u dan v di D terdapat walk berarah dari u ke v dengan panjang m + b yang terdiri dari m arc merah dan b arc biru. Eksponen dari 2-digraph tersebut dinotasikan dengan exp 2 (D). Suwilo (2008) juga melakukan riset tentang digraph dwi - warna primitif yang dikhususkan pada lollipop dwi - warna. Lemma 2.3 Andaikan D adalah sebuah 2-digraph atas n verteks dan misalkan R dan B masing-masing adalah matriks adjacency merah dan biru dari digraph dwi-warna D. Maka elemen (i, j) dari (R, B) (m,b) adalah banyaknya (m, b)-walk dari verteks v i ke verteks v j. Bukti. Akan dibuktikan dengan induksi pada (m + b) dan (m + b + 1), jika m =0 maka b = 1 atau jika m = 1 maka b = 0. Jika [ ] m = 0 maka elemen (i, j) dari 0 (R, B) (0,1) = B adalah walk dengan komposisi di 2-digraph D. Dengan cara 1 yang sama, jika b = 0 maka (R, B) [ (1,0) ] = R adalah walk dengan elemen (i, j) 1 menyatakan walk dengan komposisi di 2-digraph D. 0 Andaikan Lemma 2.3 benar untuk semua bilangan bulat tak negatif m dan b dengan m +b m+b akan diperlihatkan untuk m+b+1 adalah benar dengan catatan sebagai berikut. (R, B) (m+1,b) = R(R, B) (m,b) + B(R, B) (m+1,b 1) Oleh hipotesis induksi, elemen (i, j) pada R(R, B) (m,b) adalah walk dari v i ke v j yang dimulai dengan arc merah dan diikuti oleh (m, b)-walk, dan elemen (i, j) pada B(R, B) (m+1,b 1) adalah walk dari v i ke v j yang dimulai Universitas dengan arc Sumatera biru dan Utara

20 diikuti oleh (m +1,b 1)-walk sedemikian hingga elemen (i, j) dari (R, B) (m+1,b) adalah jumlah (m +1,b)-walk dari v i ke v j. Jadi, elemen (i, j) dari (R, B) (m,b) adalah jumlah (m, b)-walk dari verteks v i ke verteks v j. Contoh 2.4.1 : Matriks adjacency merah dari 2-digraph pada Gambar 2.8 adalah 1 0 0 1 R = dan matriks adjacency biru dari 2-digraph pada Gambar 2.8 1 0 0 0 0 0 1 0 adalah B = 0 1 0 1 0 1 0 0, kemudian akan dicari eksponen dari 2-digraph tersebut. Berdasarkan Lemma 2.3, banyaknya walk dari vertex v i ke v j dengan panjang m + b adalah entri (i, j) dari (R, B) (m,b), dengan demikian nilai m + b merupakan eksponen dari digraph bila matriks (R, B) (m+b) adalah matriks positif. Perhatikan matriks (R, B) (m,b) berikut: a. Untuk m + b = 1, maka diperoleh: 1 0 0 1 1. (R, B) (1,0) = R = 1 0 0 0 0 0 1 0 2. (R, B) (0,1) = B = 0 1 0 1 0 1 0 0 b. Untuk m + b = 2, maka diperoleh: 1 0 1 1 1. (R, B) (2,0) = R 2 = 1 0 0 1 1 0 0 0

21 2. (R, B) (1,1) = RB + BR = 0 0 1 0 0 1 0 0 3. (R, B) (0,2) = B 2 = 0 1 0 1 0 1 0 1 c. Untuk m + b = 3, maka diperoleh: 2 0 1 1 1. (R, B) (3,0) = R 3 = 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 0 0 2. (R, B) (2,1) = R(R, B) (1,1) + BR 2 = 1 0 0 0 3. (R, B) (1,2) = RB 2 + B(R, B) (1,1) = 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 4. (R, B) (0,3) = B 3 = 0 1 0 1 0 1 0 1 d. Untuk m + b = 4, maka diperoleh: 3 0 1 2 1. (R, B) (4,0) = R 4 = 2 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 2. (R, B) (3,1) = R(R, B) (2,1) + BR 3 = 1 0 0 1 0 1 0 0

22 0 1 0 1 3. (R, B) (2,2) = R(R, B) (1,2) + B(R, B) (2,1) = 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 4. (R, B) (1,3) = RB 3 + B(R, B) (1,2) = 0 2 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 5. (R, B) (0,4) = B 4 = 0 1 0 1 0 1 0 1 e. Untuk m + b = 5, maka diperoleh: 4 0 2 3 1. (R, B) (5,0) = R 5 = 3 0 1 2 2 0 1 1 0 1 0 0 2. (R, B) (4,1) = R(R, B) (3,1) + BR 4 = 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 3. (R, B) (3,2) = R(R, B) (2,2) + B(R, B) (3,1) = 1 0 0 1 1 1 0 2 1 0 0 0 0 1 0 1 4. (R, B) (2,3) = R(R, B) (1,3) + B(R, B) (2,2) = 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 5. (R, B) (1,4) = RB 4 + B(R, B) (1,3) = 0 3 1 2 0 2 1 1 0 1 0 1

23 6. (R, B) (0,5) = B 5 = 0 1 0 1 0 1 0 1 f. Untuk m + b = 6, maka diperoleh: 6 0 3 4 1. (R, B) (6,0) = R 6 = 4 0 2 3 3 0 1 2 0 2 0 0 2. (R, B) (5,1) = R(R, B) (4,1) + BR 5 = 2 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 3. (R, B) (4,2) = R(R, B) (3,2) + B(R, B) (4,1) = 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 0 2 0 2 1 1 4. (R, B) (3,3) = R(R, B) (2,3) + B(R, B) (3,2) = 2 0 0 1 1 1 0 2 1 0 0 0 0 1 0 1 5. (R, B) (2,4) = R(R, B) (1,4) + B(R, B) (2,3) = 1 1 2 0 1 0 1 0 0 2 1 1 6. (R, B) (1,5) = RB 5 + B(R, B) (1,4) = 0 4 1 3 0 3 1 2 0 1 0 1 7. (R, B) (0,6) = B 6 = 0 1 0 1 0 1 0 1 g. Untuk m + b = 7, maka diperoleh:

24 9 0 4 6 1. (R, B) (7,0) = R 7 = 6 0 3 4 4 0 2 3 0 3 0 0 2. (R, B) (6,1) = R(R, B) (5,1) + BR 6 = 3 0 1 2 0 2 0 0 0 1 0 0 2 2 1 3 3. (R, B) (5,2) = R(R, B) (4,2) + B(R, B) (5,1) = 2 1 1 1 3 1 2 2 1 1 2 2 Karena terdapat walk dengan panjang 7 dari tiap pasangan verteks di 2-digraph D, maka 2-eksponen dari 2-digraph pada Gambar 2.8 adalah 7,dengan komposisi [ 5 ] 2, 5 arc merah dan 2 arc biru. 2.5 Eksponen Vertex Digraph dan 2-Digraph Pada sub-bab ini akan dibahas tentang definisi eksponen vertex dari digraph dan 2- digraph serta contoh bagaimana menentukan eksponen dari digraph dan 2-digraph tersebut. 2.5.1 Eksponen Vertex Digraph Misalkan D adalah sebuah digraph primitif dengan himpunan vertex V (D) = (v 1,v 2,,v n ). Untuk suatu v i V (D) dan X V (D), eksponen vertex γ D (v i ) adalah bilangan bulat positif terkecil l sedemikian hingga terdapat walk dengan panjang l dari v i kesetiap vertex di D, dan himpunan eksponen exp D (X) adalah bilangan bulat positif terkecil p sehingga untuk setiap vertex v j di D terdapat sebuah walk dari paling sedikit satu vertex di X ke v j dengan panjang p. Misalkan D adalah digraph primitif dengan orde n. Jika vertex - vertex di

25 D adalah (v 1,v 2,,v n ) sedemikian hingga γ D (v 1 ) γ D (v 2 ) γ D (v n ) maka γ D (v k ) adalah tipe pertama generalisasi eksponen ke - k dari D, dinotasikan exp D (v k ). Contoh 2.5.1 : Berikut ini akan dicari eksponen vertex dari masing-masing vertex di digraph pada Gambar 2.6 berdasarkan Proposisi 2.2 yaitu dengan melihat entri A k ij dari A k, dimana entri pada baris ke-i harus bernilai positif. Pada Contoh 2.4.1 telah diperoleh matriks-matriks dari A k, kita perhatikan 2 1 1 1 untuk k = 3 diperoleh matriks A 3 = 1 2 1 0 1 1 2 1, dimana pada baris ke-1, ke-3 1 2 1 2 dan ke-4 seluruh entrinya bernilai positif, maka exp D (v 1 ) = 3, exp D (v 3 ) = 3 dan exp D (v 4 )=3. 3 3 2 1 Kemudian perhatikan untuk k = 4 diperoleh matriks A 4 = 1 2 1 2, 2 3 3 1 3 2 3 2 dimana pada baris ke-2 seluruh entrinya bernilai positif, maka exp D (v 2 )=4. Dengan demikian keempat vertex digraph pada Gambar 2.6 telah memperoleh eksponen vertex masing-masing, yakni exp D (v 1 ) = 3, exp D (v 2 ) = 4, exp D (v 3 ) = 3 dan exp D (v 4 )=3. 2.5.2 Eksponen Vertex 2-Digraph Misalkan D adalah suatu 2-digraph primitif dengan himpunan vertex V (D) = {v 1,v 2,,v n }. Untuk setiap v i V (D) dan X V (D), eksponen vertex γ D (v i ) adalah bilangan bulat positif terkecil m 1 +m 2 sedemikian hingga terdapat (m 1,m 2 )- walk dari v i ke setiap vertex di D, dan himpunan eksponen exp D (X) adalah bilangan bulat positif terkecil p 1 + p 2 sehingga untuk setiap vertex v j di D terdapat sebuah (p 1,p 2 )-walk dari paling sedikit satu vertex di X keuniversitas v j. Sumatera Utara

26 Misalkan D adalah 2-digraph primitif dengan orde n. Jika vertex - vertex di D adalah (v 1,v 2,,v n ) sedemikian hingga γ D (v 1 ) γ D (v 2 ) γ D (v n ) maka γ D (v k ) adalah tipe pertama generalisasi eksponen ke - k dari D, dinotasikan exp D (v k ). Untuk mencari eksponen vertex dari suatu 2-digraph primitif D, dimana terdiri atas m arc berwarna merah dan b arc berwarna biru, maka akan dilakukan operasi (m, b)-matriks Hurwitz Product R dan B yang dapat didefinisikan secara rekurensif. Untuk suatu bilangan bulat tak negatif terkecil m dan b, dan k adalah vertex di D, maka untuk baris ke-k dari matriks tersebut yang seluruh entrinya bernilai positif, eksponen vertex-nya adalah m + b. Contoh 2.5.2 : Berikut ini akan dicari eksponen vertex dari masing-masing vertex di 2-digraph pada Gambar 2.8 yaitu dengan melihat entri (i, j) dari (R, B) (m,b), dimana entri pada baris ke-i harus bernilai positif. Pada Contoh 2.4.2 telah diperoleh matriks-matriks dari (R, B) (m,b), kita perhatikan untuk m + b = 6 pada (R, B) (4,2) diperoleh matriks (R, B) (4,2) = 1 1 1 1 R(R, B) (3,2) + B(R, B) (4,1) = 1 1 1 1 1 1 2 2, dimana pada baris ke-1, ke-2 dan ke-3 1 1 0 2 seluruh entrinya bernilai positif, maka exp D (v 1 ) = 6, exp D (v 2 ) = 6 dan exp D (v 3 ) = 6 dengan komposisi [ 4 2]. Kemudian perhatikan untuk m + b = 7 pada (R, B) (5,2) diperoleh matriks 2 2 1 3 (R, B) (5,2) = R(R, B) (4,2) + B(R, B) (5,1) = 2 1 1 1 3 1 2 2, dimana pada baris ke-4 1 1 2 2 seluruh entrinya bernilai positif, maka exp D (v 4 ) = 7 dengan komposisi [ 5 2]. Dengan demikian keempat vertex 2-digraph pada Gambar Universitas 2.8 telah Sumatera memper- Utara

27 oleh eksponen vertex masing-masing, yakni exp D (v 1 ) = 6, exp D (v 2 ) = 6, exp D (v 3 ) = 6 dan exp D (v 4 )=7. 2.5.3 Digraph Wielandt Digraph Wielandt W n dengan orde n 3 adalah suatu digraph dengan vertex v 1,v 2,...v n yang terdiri dari cycle v n v n 1 v 2 v 1 v n dan arc v 1 v n 1. Digraph Wielandt direpresentasikan sebagai berikut. Gambar 2.9 : Digraph Wielandt W n dengan n vertex Digraph Wielandt W n dengan orde n mempunyai eksponen terbesar dari digraph primitif dengan orde n tersebut, yaitu n 2 2n + 2. Didefinisikan W (2) n sebagai suatu digraph dwi-warna yang diperoleh dengan mewarnai arc dengan digraph Wielandt W n dengan merah dan biru. Suatu digraph Wielandt dwi-warna W n (2) dengan orde n adalah primitif jika dan hanya jika matriks cycle dari W n (2) adalah [ ] n 1 n 2 M = 1 1 Hal ini mengimplikasikan bahwa untuk suatu digraph Wielandt W (2) n yang primitif dengan orde n, n-cycle dari W (2) n terdiri dari tepat satu arc biru dan (n 1)- cycle dari W (2) n Sebut bahwa W (2) n juga terdiri dari tepat satu arc biru. Jadi ada dua kemungkinan. tipe I, jika arc v 1 v n atau arc v n v n 1 adalah biru, arc v 1 v n 1 adalah biru, dan yang lainnya merah; dan W (2) n disebut tipe II, jika path v n 1 v n 2 v 1 yang terdiri dari tepat satu arc biru dan selebihnya merah.

28 Beberapa fakta tentang eksponen digraph dwi-warna primitif Wielandt yang telah digeneralisasikan (Gao dan Shao, 2009). 1. Misalkan W (2) n adalah sebuah digraph dwi-warna Wielandt primitif dengan orde n. Jika W (2) n adalah tipe I dengan arc biru v 1 v n dan v 1 v n 1, maka untuk 1 k n, berlaku exp W (2) n = γ W (2) n (v k)=n 2 2n + k. 2. Misalkan W (2) n adalah sebuah digraph dwi-warna Wielandt primitif dengan orde n. Jika W (2) n adalah tipe I dengan arc biru v n v n 1 dan v 1 v n 1, maka untuk 1 k n, berlaku exp W (2) n = γ W (2) n (v k)=n 2 2n + k +1 3. Misalkan W (2) n orde n. Jika W (2) n adalah sebuah digraph dwi-warna Wielandt primitif dengan adalah tipe II dengan arc biru v j v j 1, dimana 2 j n 1, maka untuk 1 k n, berlaku exp W (2) n = γ (2) W (v k )=n 2 2n + k j +1 n