SOUSI UJIAN TENGAH SEMESTER E-32 MATERIA TEKNIK EEKTRO Semester I 23/24, Selasa 2 Nopember 22 Waktu : 7: 9: (2menit)- Closed Book SEKOAH TEKNIK EEKTRO DAN INFORMATIKA - INSTITUT TEKNOOGI BANDUNG Dosen : Dr. Basuki R. Alam (Kelas ), Dr. Irman Idris(2), Ihsan Hariadi, MSc(3), Dr. M Amien Sulthoni (4). Diketahui Aluminium pada 2⁰C memiliki jari-jari atom,43 nm, struktur kristal FCC, serta nomor dan berat atom adalah 3 dan 26,98 g/mol. a. Berapa lattice constant dari atom Aluminium? b. Berapa volume sel unit FCC dari atom Aluminium? c. Berapa atomic packing factor (APF) atom Aluminium? d. Berapa berat jenis Aluminium? Solusi : T = 2 C; Jari-jari atom = R =,43 nm Nomor atom = 3; Berat atom = BA = 26.98 g/mol Struktur kristal : Face-Center-Cubic (FCC); N = jumlah atom dalam satu unit sel NA = bilangan Avogradro = 6.23 x 23 atom/mol a. attice Constant = a 4r = 2a 2 a = 4 R = 2 2 R = 2,8284 x,43 nm =,445 nm 2 b. Volume sel unit FCC c. APF V = a 3 =,662 nm 3 sel unit FCC Aluminium terdiri dari 8 atom sudut (ukuran /8 atom) dan 6 atom muka (ukuran ½ atom) Jumlah atom Al = N = 8 x /8 + 6 x /2 = 4 atom (Sudut) (Muka) Volume atom Al = 4/3 π R 3 =,22 nm 3 APF = N x V atom = 4 x,22 =,745 Volume Sel.662 d. Berat Jenis ρ = N V BA NA atom/unitsel cm3/unitsel g/mol atom/mol ρ = 4 26.98.662x 2 6.2x 23 = 2.78 g/cm3
2. Suatu bahan gallium arsenide intrinsik di doping dengan arsen dengan konsentrasi x 2 cm -3, kemudian didoping dengan bahan phospor sampai 5 x 6 cm -3 ; keduanya sampai terdistribusi homogen dalam bahan. a. Apakah jenis pembawa muatan mayoritas bahan tersebut, dan berapakah konsentrasinya? Asumsikan kondisi ionisasi sempurna. b. Hitunglah level energy intrinsik (E I) dan Fermi (E F) bahan tersebut, relatif terhadap level energy konduksi atau valensi (E Catau E v), jika diketahui pada GaAs, N C = 4.7 x 7 cm -3 dan N V = 7 x 8 cm -3. c. Buatlah sketsa diagram band energy bahan tersebut, yang memperlihatkan level energi konduksi (E C), level energi valensi (E V), evel energi intrinsik (E I), level energy Fermi E F), dan tunjukkan letak pembawa muatan mayoritas pada diagram tersebut. Anggaplah bahwa E V menjadi dasar diagram anda, dan diketahui energy bandgap bahan GaAs adalah.42ev. d. Apabila bahan tersebut diberikan beda potensial V diantara kedua sisinya, gambarkan diagram band energy pada kasus tersebut dalam kondisi mendapat beda potensial sepanjang sampai x, dan tunjukkan arah drift dan difusi pembawa muatan pada diagram tersebut. Solusi : a. Jumlah doping phospor jauh lebih besar dari arsen (x), sehingga pembawa muatan mayoritas adalah elektron (bahan tipe n), dengan konsentrasi N D = 5 x 6 cm -3. b. evel energi intrinsik GaAs adalahe I = E C+E V 2 valensi E I = Eg 2 + (kt 2 ) ln N V N C =.7 x.26 ln 4.89 =.78eV + ( kt 2 ) ln N V N C, sehingga jika diukur dari level energi Pada bahan tipe p, selisih level energi Fermi terhadap level energi valensi dirumuskan E C E F = kt ln N C N D, sehingga E C E F =.26 ev ln (9.4) =.26 x 2.24 ev =.58eV. c. Diagram band energy adalah sebagai berikut:
d. Dibawah beda potensial V, diagram energy, pembawa muatan, dan arah drift sebagai berikut: Karena tidak ada gradien konsentrasi, tidak ada difusi pembawa muatan 3. Keberadaan elektron pada atom hidrogen pada sistem koordinat Cartesian satu matra (D) dapat dimodelkan sebagai sebuah partikel yang terkurung di dalam sebuah sumur potensial dengan fungsi tinggi potensial penghalang V(x) seperti tergambar di bawah ini: Perilaku partikel tersebut untuk kasus time-independent dapat diwakili oleh persamaan Schrodinger
d 2 ψ (x) + 2m [E V(x)]ψ dx 2 ћ 2 (x) = (*) Di mana ψ (x) dan m fungsi gelombang dan massa elektron, h tetapan Planck, dan E energi total dengan 2 syarat batas: (i) V(x) = di sepanjang daerah interior, < x <, dan (ii) V(x) = pada posisi x = dan x = (a). Berdasarkan syarat batas (i) tunjukkan bahwa persamaan diferensial di atas untuk daerah interior dapat ditulis sebagai: d 2 ψ (x) dx 2 + k 2 ψ (x) = (**) Apa hubungan antara parameter k di persamaan (**) dengan E, m, dan ћ pada persamaan (*)? Jika syarat batas (ii) diabaikan, tunjukkan bahwa baik fungsi ψ (x) = A sin kx maupun ψ (x) = A cos kx merupakan solusi yang mungkin dari persamaan diferensial (**) di atas. Jika syarat batas (ii) diterapkan, mengapa bentuk fungsi cosinus menjadi tidak berlaku? (b). Berdasarkan syarat batas, ψ (x) =, nyatakan k sebagai kelipatan bulat n dari π (n = x=,,2, ). Dari kedua versi persamaan untuk parameter k ini (soal a dan b), nyatakan hubungan antara energi E dengan n, dan, dimana n =,, 2,... Apa penafsiran fisis untuk bentuk fungsi E (n) ini? (c). Berdasarkan postulat ketiga dari persamaan gelombang (kebolehjadian menjumpai partikel dalam suatu ruang) untuk kasus D di atas berlaku hubungan: ψ ψ dx = ψ 2 dx = Dari hubungan ini, hitunglah nilai amplituda A sebagai fungsi dari. Sekarang nyatakan bentuk penuh dari fungsi ψ n (x), dimana n =,,2,. alu gambarkan sketsa bentuk fungsi (i) ψ 3 (x) untuk < x < (beri label nilai maksimumnya pada grafik) (ii) ψ 3 (x) 2 untuk < x < (beri label nilai maksimumnya pada grafik) Solusi: a) Untuk daerah interior, V(x) =, sehingga persamaan Schroedinger pada soal menjadi : d 2 ψ dx 2 + 2mE ħ 2 ψ (x) = Jika didefinisikan suatu parameter k dengan hubungan k = 2mE ħ (atau k 2 = 2mE ħ 2 ) maka persamaan diferensial di atas dapat ditulis sebagai
d 2 ψ (x) dx 2 + k 2 ψ (x) =, atau d 2 ψ (x) dx 2 = k 2 ψ (x) ( ) dapat ditunjukkan bahwa dua fungsi trigonometri ψ(x) = A sin kx dan ψ(x) = A cos kx masing-masing merupakan bentuk solusi umum dari persamaan (*) di atas. Jika (x) = A sin kx, maka dψ(x) dx Jika (x) = A cos kx, maka dψ(x) dx = ka cos kx dan = ka sin kx dan d 2 ψ(x) dx 2 d 2 ψ(x) dx = k 2 A sin kx = k 2 ψ(x) = ka sin 2 kx = k 2 ψ(x) Syarat batas (ii), yaitu bahwa nilai potential barrier V(x) = untuk x = dan x =, artinya pada kedua posisi tersebut kebolehjadian adanya elektron adalah nihil/nol, jadi ψ(x) = untuk x = dan x =. Jika kedua nilai x ini dimasukkan ke fungsi (x) = A cos kx, nilainya, (tidak valid). Sedangkan jika dimasukkan ke fungsi ψ(x) = A sin kx Pada x =, ψ() = A sin k. = (valid) Pada x =, ψ() = A sin k., nilai ψ() = (valid), jika dipenuhi hubungan k = nπ, atau k = nπ, n =, 2, 3 b) Dari kedua hubungan untuk parameter k di atas k = 2mE ħ, dan k = nπ, maka dapat diperoleh hubungan E n = n2 π 2 h 2 2m 2 Persamaan di atas dapat ditafsiran bahwa menurut model partikel di dalam kotak dimensi ini electron-nya mempunyai tingkat-tingkat energi yang bersifat diskrit. c) Berdasaran postulat ketiga dari persamaan gelombang Schroedinger: ψ ψ dx = ψ 2 dx = Jadi ψ 2 dx = A 2 sin 2 kx dx = A 2 sin 2 kx dx =. Mengingat sin 2 θ = ½ - ½ cos 2θ, maka ψ 2 dx = A 2 [ cos 2kx] dx 2 2 Jadi 2 A2 =, atau A = 2 = 2 A2 [x] 4k A2 [sin 2 kx] = 2 A2 A sin 2 k 4k = 2 A2 (suku kedua =, karena k = nπ, n =,2,3, )
Untuk n = 3, fungsi gelombang menjadi ψ 3 (x) = 2 sin 3π x, dan Probability Density Function menjadi ψ 3 2 (x) = 2 sin2 3π x = 2 ( 2 2 2.3π cos x) Gambar sketsa grafik untuk fungsi gelombang serta Probability Density Function untuk n = 3 diperlihatkan pada gambar di bawah ini (dengan contoh untuk nilai =. supaya sederhana). 4. Suatu semikonduktor Si didop dengan Aluminum dari golongan III dengan konsentrasi 6 cm -3. Temperatur kamar 27 C. Density of states ban konduksi dan ban Valensi sebagai berikut N c = 4π [ 2 m 3 n ] 2 ( h 2 c ) /2 N V = 4π [ 2 m p h 2 ] 3 2 ( V ) /2 Persamaan distribusi Fermi Dirac, F D dan konsentrasi elektron dan hole masing-masing, F D ( ) = ( F ) + e kt ; n = n i exp [ F i ] ; p = n kt i exp [ i F ] kt Solusi : (a) Tentukan level enerji Fermi, F (2) : Konsentrasi dopant akseptor (Al) : NA = 6 [cm -3 ] Pada temperatur kamar (3K) semua dopant terionisasi : Konsentrasi hole : p = NA = 6 [cm -3 ] Konsentrasi intrinsik : n i = p i =. x [cm 3 ] p = exp ( ε i ε F p i kt p = p i exp ε i ε F kt ) ln p p i = ε i ε F kt ; kt ln p p i = ε i ε F
ε i ε F =,256 ln [ 6, x ε i ε F = kt ln p p i ] =,256 3.72 =,35eV (Fermi level.35ev dibawah enerji intrinsic ε i ) (b) Berikan ekspresi integral penurunan konsentrasi hole, p, menggunakan persamaan diatas (25) p = N ( ) [ - F( )] d min V Dimana : N( ) = N V = 4π [ 2 m 3 p ] 2 ( h 2 V ) /2, dan F(ε) = F D ( ) = ( F ) + e kt ; p = ε V ε ε 4π [ 2 m 3 p ] h 2 Sehingga : 2 ( V ε) 2 { (ε F ) (+ e kt ) } (sampai disini Ok) p = 4π [ 2 m 3 p h 2 ] 2 ε ( V ε) ( + e (ε F ) ε V kt ) 2 { ( + e (ε F ) } ε kt ) ε V = N V ε ( V ε) 2 { ε e (ε V F ) ( V ) kt kt ( + e (ε V F ) kt ( V ) kt ) Untuk enerji ( F V ) > 4kT V F ) ( V ) e(ε kt kt, persamaan konsentrasi p menjadi ε V p = N V ε ( V ε) 2 {e (ε V F ) kt ε ( V ) kt } (c). Tentukan probabilitas menemukan hole pada level enerji = F dan pada < V ( level enerji maksimum ban Valensi) (25) } F(ε) = { ( + e (ε F ) } kt ) Pada level enerji : = F F(ε) = { (ε= F F ) (+ e kt ) } = 2 F(ε) = { (ε= V F ) (+ e kt ) = V, V F = {, 55eV (ε i ε F )} =, 2eV } = {,2 (+ e.256) } = {.4 } =, 44
Dus, untuk probabilitas menemukan hole dengan enerji ε < V (dalam ban Valensi): F(ε) <. 44 (a) Bila diinginkan level enerji Fermi F digeser,4ev dibawah ban Konduksi, tentukan jenis doping yang diperlukan (donor atau akseptor) dan konsentrasinya? (3) ε C ε F = ε g 2 + ε i ε F =,55eV+ ε i ε F =,4eV,4eV = ε F ε i n = exp ( ε F ε i n i kt ) = exp (,4,256 ) n = n i. exp(6) n = 9.92x 6 [cm 3 ] Konsentrasi hole semula : p=n A = 6 cm 3 ; Diperlukan doping Donor dengan konsentrasi yang diperlukan : N D = n + N A = 6 + 9.92x 6 =.92. 6 =.9 x 7 [cm 3 ]