BAB II TINJAUAN PUSTAKA. Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara

4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Aljabar Definisi II.A.: Aljabar (Wahyudin, 989:) Aljabar dapat didefinisikan sebagai manipulasi dari simbol-simbol. Secara historis aljabar dibagi menjadi dua periode waktu, dengan batas waktu sekitar tahun 800. Aljabar yang dibicarakan sebelum abad ke sembilanbelas disebut aljabar klasik, sedangkan aljabar sesudah abad ke sembilanbelas (hingga sekarang) disebut aljabar medern.. Aljabar Klasik Teknik memasukkan suatu simbol, misalnya xx, untuk melambangkan (mempresentasikan) suatu bilangan yang tidak diketahui di dalam menyelesaikan berbagai permasalahan sudah diketahui sejak abad ke-7. Simbol tersebut dapat dimanipulasi sebagai simbol-simbol aritmatik hingga diperoleh suatu solusi yang diinginkan. Aljabar klasik mempunyai ciri (karakteristik) bahwa setiap simbol yang dimaksud selalu mempunyai pengertian suatu bilangan tertentu. Bilangan-bilangan yang dimaksud adalah bilangan bulat, bilangan real, atau bilangan kompleks. Oleh karenanya, pada abad ke-7 dan abad ke-8, ahli-ahli matematik tidak memahami benar tentang akar pangkat dua dari bilangan negatif. Hal tersebut berlangsung hingga abad ke-9 dan pada permulaan 4 Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

5 (awal) aljabar modern barulah diperoleh penjelasan yang baik tentang bilangan kompleks yang telah diketahui. Tujuan pokok dari aljabar klasik adalah menggunakan manipulasi aljabar untuk menyelesaikan suatu persamaan polinom. Aljabar klasik berhasil memberikan algoritma-algoritma (aturan-aturan) untuk menyelesaikan semua permasalahan persamaan polinom dengan satu variabel dengan derajat tidak lebih dari empat.. Aljabar modern Pada abad ke-9, secara berangsur-angsur ternyata bahwa simbolsimbol matematika tidak perlu menyatakan suatu bilangan, pada kenyataannya simbol-simbol tersebut dapat berupa apa saja. Dari kenyataan tersebut maka muncullah apa yang disebut aljabar modern. Sebagai contoh misalnya simbol-simbol tersebut dapat melambangkan kesimetrian dari suatu benda/bangun, dapat melambangkan posisi dari suatu jaringan, dapat melambangkan instruksi dari suatu mesin, atau dapat melambangkan suatu rancangan/desain dari sebuah eksperimen statistik. Simbol-simbol tersebut dapat digunakan untuk memanipulasi sebarang aturan dari bilangan-bilangan. Misalnya, polinom 3xx + xx dapat dijumlahkan dan dikalikan dengan polinom-polinom lainnya, tanpa menginterpretasikan bahwa xx sebagai suatu bilangan. (Wahyudin, 989) Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

6 3. Operasi Aljabar Diberikan aa, bb, cc, dd, xx RR maka berlaku : a. Penjumlahan aaaa + bbbb = (aa + bb)xx aaaa + bb + cccc + dd = (aa + cc)xx + (bb + dd) b. Pengurangan aaaa bbbb = (aa bb)xx aaaa bb cccc dd = (aa cc)xx (bb + dd) c. Perkalian ) Perkalian konstanta dengan bentuk aljabar aa(bbbb + cccc) = aaaaaa + aaaaaa ) Perkalian bentuk aljabar dengan bentuk aljabar d. Pembagian aaaa(bbbb + cccc) = aaaa xx + aaaaaaaa aaaa(bbbb + cccc) = aaaaaaaa + aaaa yy (xx + aa)(xx + bb) = xx + bbbb + aaaa + aaaa (aaaa + bbbb): cc = aaaa + bbbb cc e. Pangkat Bentuk Aljabar (aaaa) nn = aa nn xx nn = cc (aaaa + bbbb) = aa cc xx + bb cc yy Contoh II.A. : Hitunglah perkalian bentuk aljabar berikut : (3xx + yy)(xx yy) = Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

7 Jawab : (3xx + yy)(xx yy) = 3xx. xx + (3xx. yy) + yy. xx + (yy. yy) = 3xx + ( 6xxxx) + xxxx + ( yy ) = 3xx yy 5xxxx Contoh II.A. : Hitunglah penjumlahan bentuk aljabar berikut : + = (xx ) (xx+3) Jawab : (xx ) + (xx + 3) = (xx + 3) (xx )(xx + 3) + (xx ) (xx )(xx + 3) = = (xx + 3) + (xx ) (xx )(xx + 3) xx + (xx )(xx + 3) B. Bilangan Transcendental Definisi II.B.: Bilangan Transcendental (Leithold, 99:4) Bilangan Transcedental (transcendental number) adalah bilangan yang bukan merupakan akar dari fungsi polinom pp(xx) berkoefisien bilangan rasional. Akar fungsi polinom adalah suatu bilangan yang merupakan solusi dari fungsi polinom yang dimaksud. Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

8 Misalkan ada fungsi polinom pp(xx) = aa nn xx nn + aa nn xx nn + aa nn xx nn + aa nn 3 xx nn 3 + + aa 0 dengan aa nn, aa nn, aa nn, aa nn,, aa 0 adalah bilangan rasional. Berapapun derajat pp(xx) yang diambil asalkan bukan nol dan apapun bilangan rasional yang dipilih sebagai koefisien maka bilangan transcendental bukanlah akar nya. Lawan dari bilangan transcendental adalah bilangan aljabar (algebraic number). Bilangan ee merupakan bilangan transcendental, karena tidak dapat dinyatakan sebagai akar dari suatu polinom dengan koefisien bilangan rasional. Pembuktikan bahwa ee merupakan bilangan transcendental dilakukan oleh Charles Hermit pada tahun 873. Dimana nilai dari bilangan ee sampai dengan tujuh desimal adalah,7888. Contoh lain bilangan tt transcendental adalah ππ, tt( tt, tt ) untuk tt RR-{,}. Contoh II.B. : Termasuk bilangan aljabar atau bilangan transcendental kah? Jawab : Kareana merupakan akar dari polinomial bentuk xx = 0, maka bukan merupakan bilangan transcendental. Contoh II.B. : Termasuk bilangan aljabar atau bilangan transcendental kah? Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

9 Jawab : Karena tidak ditemukan bentuk polinomial yang merupakan akarnya maka, adalah bilangan transcendental. C. Fungsi Definisi II.C.: Fungsi (Martono,999:9) Diberikan himpunan AA, BB RR, fungsi ff: AA BB adalah suatu aturan yang mengkaitkan setiap unsur xx AA dengan tepat satu unsur yy BB. Unsur yy yang berkaitan dengan unsur xx diberi lambang yy = ff(xx), yang dinamakan aturan fungsi. Di sini xx dinamakan peubah bebas, dan yy yang nilainya bergantung pada xx dinamakan peubah tak bebas. Jika terdapat y = f(x), x A, maka daerah asal fungsi f adalah himpunan AA, ditulis AA = DD ff, dan daerah nilai fungsi ff adalah himpunan RR ff = {yy yy = ff(xx), xx AA}. Jika yang diketahui hanya yy = ff(xx), maka daerah asal dan daerah nilai fungsi ff adalah : DD ff = {xx RR ff(xx) RR} dan RR ff = {ff(xx) RR xx DD ff } fungsi ini dinamakan fungsi real. Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

0 f R R x D f f R f f(x) Gambar II.C.: Gambar fungsi real yy = ff(xx) Contoh II.C.: Diberikan ff: RR RR dengan aturan ff(xx) = + xx Agar ff(xx) RR, syaratnya adalah xx 0 xx 0 xx xx Sehingga daerah asal fungsi f adalah DD ff = {xx RR xx } Karena untuk setiap xx DD ff berlaku xx 0, maka ff(xx) = + xx Sehingga daerah nilai fungsi ff adalah RR ff = {yy RR yy } Fungsi digolongkan menjadi dua, yaitu fungsi aljabar dan fungsi transenden. Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

Definisi II.C.: Fungsi aljabar (Martono,999:33) Fungsi aljabar adalah suatu fungsi yang diperoleh dari sejumlah berhingga operasi aljabar atas fungsi konstan ff(xx) = kk dan fungsi identitas gg(xx) = xx. Operasi yang dilakukan terhadap kedua fungsi ini adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, pemangkatan, dan penarikan akar ke-nn, untuk nn =,3,. Jenis-jenis fungsi aljabar :. Fungsi konstan (fungsi tetap), fungsi konstan adalah fungsi ff(xx) yang dinyatakan dalam rumus ff(xx) = cc, dengan cc suatu konstanta. Grafiknya jika dilukis dalam suatu sumbu koordinat dimana domainnya sumbu xx merupakan garis yang sejajar dengan sumbu xx.. Fungsi identitas, suatu fungsi ff(xx) disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi berlaku ff(xx) = xx, atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik absis maupun ordinatnya sama. 3. Fungsi linear, suatu fungsi ff(xx) disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh ff(xx) = aaaa + bb, di mana aa 0, aa dan bb bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus. 4. Fungsi kuadrat, suatu fungsi ff(xx) disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh ff(xx) = aaxx + bbbb + cc, di mana aa 0 dan aa, bb, dan cc bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola. Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

5. Fungsi Polinomial, fungsi Polinomial adalah fungsi ff(xx) yang dinyatakan dalam bentuk : ff(xx) = aa nn xx nn + aa nn xx nn + aa nn xx nn + aa nn 3 xx nn 3 + + aa 0. Jika nn = maka terbentuk fungsi linier (grafiknya berbentuk garis lurus). Jika nn = maka terbentuk fungsi kuadrat( grafiknya berbentuk parabola). 6. Fungsi bilangan bulat terbesar, suatu fungsi ff(xx) disebut fungsi bilangan bulat terbesar apabila setiap elemen domain dikawankan dengan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan eleman tersebut. Fungsi bilangan bulat terbesar dinyatakan dalam bentuk ff(xx) = [xx]. 7. Fungsi modulus, suatu fungsi ff(xx) disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya. Fungsi modulus dinyatakan dalam bentuk ff(xx) = xx. Definisi II.C.3: Fungsi Transenden (Martono,999:33) Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan merupakan fungsi aljabar. Jenis-jenis fungsi transenden :. fungsi eksponensial : ff(xx) = aa xx dimana aa 0 aaaaaaaa.. Fungsi logaritmik: ff(xx) = log aa xx, dimana aa 0 aaaaaaaa. Fungsi ini adalah fungsi invers dari fungsi eksponensial. Jika aa = ee =,788, Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

3 yang dinamakan basis alami dari logaritma maka penulisan ff(xx) = log aa xx = log ee xx = ln xx, yang dinamakan logaritma alami dari xx. 3. Fungsi trigonometrik : sin xx, cos xx, tan xx = cot xx = cos xx = tan xx sin xx sin xx cos xx, csc xx = sin xx, sec xx = cos xx, Variabel xx umumnya dinyatakan di dalam radian (ππ radian = 80 0 ). Untuk nilai xx yang real, maka sin xx dan cos xxterletak diantara dan. 4. Fungsi hiperbolik : didefinisikan dalam fungsi eksponensial sebagai berikut : a. sinh xx = ee xx ee xx b. cosh xx = ee xx +ee xx c. tanh xx = sinh xx = ee xx ee xx cosh xx ee xx +ee xx d. sech xx = cosh xx = ee xx +ee xx e. csch xx = sinh xx = ee xx ee xx f. coth xx = cosh xx = ee xx +ee xx sinh xx ee xx ee xx 5. Fungsi ganjil dan fungsi genap, fungsi ff(xx) disebut fungsi ganjil apabila berlaku ff( xx) = ff(xx), dan disebut fungsi genap apabila ff( xx) = ff(xx). (spiegel,997) Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

4 Definisi II.C.4 : Fungsi Terbatas (Martono,999:38) Fungsi ff(xx) dikatakan fungsi terbatas jika terdapat MM > 0 sehingga ff(xx) MM untuk setiap xx DD ff. Contoh II.C.4 :. Fungsi ff(xx) = sin xx terbatas karena ff(xx) = sin xx untuk setiap xx DD ff.. Fungsi ff(xx) = tidak terbatas pada selang (0, ) karena untuk sebarang xx MM > 0, terdapat xx 0 = > 0 sehingga ff(xx MM 0 ) = MM > MM. Definisi II.C.5 : Fungsi ff(xx) dikatakan :. Monoton naik pada selang I : uu < vv ff(uu) < ff(vv) uu, vv II.. Monoton tak turun pada selang I : uu < vv ff(uu) ff(vv) uu, vv II. 3. Monoton turun pada selang I : uu < vv ff(uu) > ff(vv) uu, vv II. 4. Monoton tak naik pada selang I : uu < vv ff(uu) ff(vv) uu, vv II. Sifat-sifat Fungsi :. Fungsi Injektif, suatu fungsi ff(xx): AA BB disebut fungsi injektif atau satu-satu jika setiap anggota himpunan A mempunyai bayangan berbeda di B.. Fungsi Surjektif, suatu fungsi ff(xx): AA BB disebut fungsi surjektif jika setiap anggota himpunan B mempunyai prapeta di A. Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

5 3. Fungsi Bijektif, suatu fungsi ff(xx): AA BB disebut fungsi bijektif jika fungsi tersebut injektif dan bijektif. D. Limit Fungsi Definisi II.D. : Limit (Martono,999:49) Diberikan fungsi ff(xx) yang terdefinisi pada selang terbuka II yang memuat cc, kecuali mungkin di cc sendiri. Limit fungsi ff(xx) di cc adalah LL, (ditulis lim xx cc ff(xx) = LL, atau ff(xx) LL bila xx cc) jika εε > 0, δδ > 0 sehingga 0 < xx cc < δδ ff(xx) LL < εε. Contoh II.D. : Buktikan lim x (5x + ) = 3 Jawab : Diberikan εε > 0, akan ditentukan δδ > 0 sehingga memenuhi 0 < xx + < δδ (5xx + ) + 3 < εε, (5xx + ) + 3 = 5xx + 5 = 5 xx + jika 0 < xx + < δδ 5 xx + < 5δδ 5δδ = εε δδ = εε 5 Agar (5xx + ) + 3 < εε, dipilih δδ = εε 5, maka untuk 0 < xx + < δδ (5xx + ) + 3 < εε Terbukti bahwa lim xx (5xx + ) = 3 karena εε > 0, δδ = εε 5 > 0 sehingga Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

6 0 < xx ( ) < δδ (5xx + ) ( 3) < εε. Sifat-sifat Limit Jika : lim xx cc ff(xx) = LL dan lim xx cc gg(xx) = MM maka:. lim xx cc [ff(xx) ± gg(xx)] = LL ± MM. lim xx cc. ff(xx) =. LL 3. lim xx cc [ ff(xx). gg(xx)] = LL. MM 4. lim xx cc ff(xx) gg(xx) = LL MM ; MM 0 5. Untuk n bilangan asli: a. lim xx cc (ff(xx)) nn = LL nn b. lim xx cc (ff(xx)) nn = LL nn = nn, LL 0 LL c. lim xx cc (ff(xx)) nn = LL nn nn = LL ; nn 0, n bilangan genap Definisi II.D. : Limit Menuju Tak Hingga Positif (Purcell,003:85) Diberikan fungsi ff yang didefinisikan pada [cc, ) untuk beberapa bilangan cc. lim xx ff(xx) = LL jika untuk setiap εε > 0 terdapat bilangan MM yang bersesuaian sedemikian sehingga xx > MM ff(xx) LL < εε. Definisi II.D.3 : Limit Menuju Tak Hingga Negatif (Purcell,003:86) Diberikan fungsi ff yang didefinisikan pada (, cc] untuk beberapa bilangan cc. lim xx ff(xx) = LL jika untuk setiap εε > 0 terdapat bilangan MM yang bersesuaian sedemikian sehingga xx < MM ff(xx) LL < εε. Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

7 Contoh II.D. : Tunjukkan lim xx xx kk = 0 Jawab : Akan ditunjukkan lim xx xx kk = 0 Diberikan εε > 0, akan ditentukan MM sehingga memenuhi xx > MM 0 =< εε xxkk xx kk 0 = xx kk = xx kk Jika xx > MM xx kk > MM kk xx kk < MM kk Agar xx kk 0 = xx kk < εε dapat diambil MMkk = εε atau MM kk = εε kk MM = εε Terbukti bahwa lim xx kk = 0 karena untuk setiap εε > 0 terdapat bilangan xx kk MM = εε yang bersesuaian sedemikian sehingga xx > MM kk 0 < εε. xx Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

8 Bentuk Limit dari ee Fungsi ff(xx) = ln xx terdiferensialkan untuk xx > 0 dengan ff (xx) = xx, sehingga untuk xx =, ff (xx) = = ln ee. Berdasarkan turunan fungsi ff(xx), dan sifat xx ln aa = ln aa xx, dan kekontinuitasan fungsi ff(xx), karena fungsi logaritma natural satu-satu, maka diperoleh bentuk llimit dari ee yaitu : ln ee = ff () = lim h 0 ff( + h) ff() h = lim h 0 ln( + h) h = ln lim h 0 ( + h) h ee = lim h 0 ( + h) h Dengan menggantikan nn =, maka dapat diperoleh bentuk limit lainnya dari h ee yaitu : ee = lim nn + nn nn, atau ee = lim nn + nn nn (Martono, 999) E. Kontinuitas Definisi II.E.: Kekontinuan Fungsi di Suatu Titik (Leithold,99:8) Fungsi ff(xx) dikatakan kontinu di suatu titik aa jika dan hanya jika ketiga syarat berikut dipenuhi:. lim xx aa ff(xx) ada. ff(aa) ada Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

9 3. lim xx aa ff(xx) = ff(aa) Jika satu atau lebih dari ketiga syarat di atas tidak di penuhi di titik aa, maka fungsi ff(xx) dikatakan tak kontinu di aa. Contoh II.E. : Buktikan bahwa fungsi : ff(xx) = xx, xx 3 3 xx xx 9, xx < 3 Kontinu di xx = 3. Jawab : i. ff(3) =.3 = 6 ii. lim xx 3 ff(xx) = lim = lim = lim xx 3 ff(xx) = xx 3 xx 9 xx 3 (xx 3)(xx+3) 6 lim xx 3 + ff(xx) = lim = xx 3 + xx 6 3 xx 3 xx lim xx 3 ff(xx) = 6 iii. lim xx 3 ff(xx) = 6 = ff(3) Dari i, ii, dan iii terbukti bahwa ff(xx) kontinu di xx = 3 Definisi II.E.: Kekontinuan Fungsi pada Suatu Selang (Leithold,99:8) Suatu fungsi dikatakan kontinu pada suatu selang terbuka jika dan hanya jika fungsi tersebut kontinu di setiap titik pada selang terbuka tersebut. Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

0 Definisi II.E.3: Kontinuitas Bagian Demi Bagian (Finizio,988:75) Suatu fungsi ff(xx) dikatakan kontinu bagian demi bagian pada suatu selang I, jika f(x) dapat dibagi menjadi jumlah berhingga selang-selang bagian, di dalam selang-selang bagian itu f(x) kontinu dan mempunyai limit kiri dan kanan yang berhingga. f(x) a x x x b x Gambar II.E.:Gambar fungsi f(x) kontinu bagian demi bagian F. Fungsi Eksponen. Fungsi Eksponen Natural Definisi II.F.: Fungsi Eksponen Natural (Martono, 999:9) Invers dari fungsi logaritma natural dinamakan fungsi eksponen natural, dan dinyatakan dengan ee xx. Terdapat relasi : xx = ee yy yy = ln xx, dimana xx > 0 dan yy RR sehingga diperoleh : e ln x = xx, xx > 0 dan ln ee yy = yy, yy RR Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

Karena fungsi logaritma natural monoton naik, dan fungsi ini satu-satu akibatnya, persamaan ln xx = mempunyai jawaban tunggal, sebutlah jawabnya bilangan ee. Disini dapat didefinisikan bilangan ee adalah bilangan real yang memenuhi ln ee =. Untuk xx = ee, e ln e = ee = ee Nilai hampiran untuk bilangan irrasional ee adalah,788 Sifat grafik fungsi eksponen natural ff(xx) = ee xx adalah : - Kontinu pada RR - Monoton naik pada RR - Cekung ke atas pada RR - lim xx ee xx = 0 dan lim xx ee xx = Grafik fungsi eksponen natural adalah sebagai berikut : y yy = ff(xx) = ee xx 0 x Gambar II.F. : Grafik fungsi eksponen natural Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

. Fungsi Eksponen dengan Bilangan Dasar aa > 0 Definisi II.F.: Fungsi Eksponen dengan Bilangan Dasar aa > 0 (Martono, 999:9) Fungsi ff(xx) = aa xx, dimana aa > 0 dan aa dinamakan fungsi eksponen dengan bilangan dasar aa. Sifat fungsi ff(xx) = aa xx, aa > 0 dan aa - Daerah asal dan daerah hasil fungsi ff adalah DDDD = RR dan RRRR = (0, ). - Fungsi ff kontinu pada RR. - Fungsi ff naik untuk aa > dan monoton turun untuk 0 < aa < - Fungsi ff selalu cekung ke atas pada daerah asalnya. Grafik fungsi ff(xx) = aa xx untuk aa > diperlihatkan pada Gambar II.F... y ff(xx) = aa xx, aa > 0 0 x Gambar II.F.. : fungsi ff(xx) = aa xx, aa > 0 Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

3 y ff(xx) = aa xx, 0 < aa < 0 x Gambar II.F.. : fungsi ff(xx) = aa xx, 0 < aa < G. Persamaan Eksponensial Definisi II.G. : Persamaan eksponensial adalah persamaan yang eksponennya mengandung variabel dan tidak menutup kemungkinan bilangan pokoknya juga mengandung peubah variabel. Teorema II.G. : Diberikan xx, yy RR dan aa, bb > 0 maka berlaku :. aa xx. aa yy = aa xx+yy. aa xx aayy = aaxx yy 3. (aaaa) xx = aa xx. bb xx 4. aa 0 = 5. (aa xx ) yy = aa xx.yy (Margha, 985) Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

P 4 Bentuk-bentuk Persamaan Eksponensial :. aa ff(xx) = Jika aa ff(xx) = dengan aa > 0 dan aa, maka ff(xx) = 0. aa ff(xx) = aa pp Jika aa ff(xx) = aa pp dengan aa > 0 dan aa, maka ff(xx) = pp 3. aa ff(xx) = aa gg(xx) Jika aa ff(xx) = aa gg(xx) dengan aa > 0 dan aa, maka ff(xx) = gg(xx) 4. aa ff(xx) = bb ff(xx) dimana aa bb Jika aa ff(xx) = bb ff(xx) dengan aa, bb > 0 dan aa bbp, maka ff(xx) = 0 5. aa ff(xx) = bb gg(xx) Jika aa ff(xx) = bb gg(xx) dengan aa, bb > 0 dan aa, bb dapat diselesaikan dengan logaritma, yaitu: log aa ff(xx) = log bb gg(xx) 6. (UU(xx)) ff(xx) = (UU(xx)) gg(xx) P atau f(x) log a = g(x) log b Jika (UU(xx)) ff(xx) = (UU(xx)) gg(xx) maka nlai x diperoleh dari : a. ff(xx) = gg(xx) b. UU(xx) = c. UU(xx) = 0, jika nilai xx memenuhi syarat ff(xx) 0 dan gg(xx) > 0 d. UU(xx) =, jika nilai xx memenuhi syarat ff(xx) dan gg(xx) keduaduanya ganjil atau kedua-duanya genap. Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

5 7. AA aa ff(xx) + BB aa ff(xx) + CC = 0 Himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen AA aa ff(xx) + BB aa ff(xx) + CC = 0 dengan (aa > 0 dan aa, AA, BB, dan CC bilangan real dan AA 0) dapat ditentukan dengan cara mengubah persamaan eksponen itu ke dalam persamaan kuadrat. Contoh II.G. : Carilah himpunan penyelesaian dari xx. xx + 3 = 0 Jawab : xx. xx + 3 = 0 ( xx ). ( xx ) + 3 = 0 dimisalkan xx = yy, maka persamaan ( xx ). ( xx ) + 3 = 0 dapat dituliskan menjadi yy yy + 3 = 0 (yy 4)(yy 8) = 0 yy = 4 atau yy = 8 untuk yy = 4, didapat xx = 4 xx = xx = untuk yy = 8, didapat xx = 8 xx = 3 Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

6 xx = 3 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {,3} Contoh II.G. : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan berikut : (xx 5xx + 5) xx 7xx 6 = (xx 5xx + 5) xx +xx+3 Jawab : (xx 5xx + 5) xx 7xx 6 = (xx 5xx + 5) xx +xx+3 ) xx 7xx 6 = xx + xx + 3 xx 8xx 9 = 0 (xx + )(xx 9) = 0 xx = atau xx = 9 ) xx 5xx + 5 = xx 5xx + 4 = 0 (xx )(xx 4) = 0 xx = atau xx = 4 3) xx 5xx + 5 = 0 xx, = ( 5) ± ( 5) 4()(5) () xx, = 5 ± 5 0 xx, = 5 ± 5 Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

7 xx = 5+ 5 atau xx = 5 5 Untuk xx = 5+ 5 gg(xx) = xx 7xx 6 gg 5 + 5 = 5 + 5 7 5 + 5 6 gg 5 + 5 5 + 0 5 + 5 35 + 7 5 = 6 gg 5 + 5 = 30 + 0 5 7 + 3 5 6 gg 5 + 5 = 6 + 6 5 h(xx) = xx + xx + 3 h 5 + 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 3 untuk gg(xx) dan h(xx) hasilnya positif, berarti xx = 5+ 5 merupakan anggota himpunan penyelesaian. Untuk xx = 5 5 gg(xx) = xx 7xx 6 gg 5 5 = 5 5 7 5 5 6 gg 5 5 5 0 5 + 5 35 7 5 = 6 gg 5 5 = 30 0 5 7 3 5 6 Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0

8 gg 5 5 = 6 6 5 untuk gg(xx) hasilnya negatif, berarti xx = 5 5 bukan merupakan anggota himpunan penyelesaian. 4) xx 5xx + 5 = xx 5xx + 6 = 0 (xx )(xx 3) = 0 xx = atau xx = 3 xx = gg() = () 7() 6 = 8 4 6 = h() = () + () + 3 = 9 gg(xx) dan h(xx) keduanya tidak ganjil atau genap, berarti xx = bukan merupakan himpunan penyelesaian. xx = 3 gg(3) = (3) 7(3) 6 = 8 6 = 9 h(3) = (3) + (3) + 3 = 5 gg(xx) dan h(xx) keduanya ganjil, berarti xx = 3 merupakan himpunan penyelesaian. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah,,3, 5+ 5, 4,9 Solusi Aljabar dan..., Agus Tuswandi, FKIP UMP, 0