LA - WB (Lembr Aktivits Wrg Beljr) TURUNAN FUNGSI Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT VI DERAJAT MAHIR 2 SETARA KELAS XI Creted By It Yulin 33
Turunn Fungsi Kompetensi Dsr 1. Menggunkn sift dn turn turunn dlm perhitungn turunn fungsi ljbr 2. Menggunkn turunn untuk menentukn krkteristik sutu fungsi ljbr dn memechkn mslh 3. Merncng model mtemtik dri mslh yng berkitn dengn ekstrim fungsi ljbr 4. Menyelesikn model mtemtik dri mslh yng berkitn dengn ekstrim fungsi ljbr dn penfsirnny Ksus Jik sutu ush tidk rugi, berrti ush tersebut kn mendptkn keuntungn tu imps. Keuntungn tu kerugin yng kn dilmi sutu perushn tergntung pd penjuln brng yng diproduksi. Keuntungn mksimum dpt dicpi jik bnyk brng yng diproduksi sesui dengn loksi biy produksi. Jik fungsi biy produksi dn fungsi penjuln dikethui, bnyk brng yng hrus diproduksi dpt ditentukn gr perushn memperoleh keuntungn mksimum. Bnyk brng yng diproduksi dpt dihitung dengn menggunkn turunn fungsi. Bgimn cr menggunkn turunn fungsi untuk permslhn ini? Kmu kn mengethui crny setelh mempeljri bb ini. Ringksn Mteri A. Turunn Fungsi Aljbr 1. Turunn fungsi Turunn fungsi f terhdp x didefinisikn sebgi f (x) =. f (x) dibc f ksen x, f (x) disebut turun (derivtif) pertm dri f(x), dn f () = disebut perubhn sest tu lju perubhn f(x) di x = tu turunn f di x = Penulisn turunn y = f(x) dengn notsi Leibniz dlh y = tu f (x) = Du notsi lin untuk turunn fungsi dlh. dn D x (f(x)). Turunn dri f(x) = cx n dengn c konstn dlh f (x) = ncx n-1 tu = ncx n-1. 2. Sift-sift turunn fungsi Misl u dn v dlh fungsi-fungsi dllm vribel x mk sift-sift turunn fungsi sbb.. Jik y = c mk y = 0 tu = 0 dengn c merupkn konstn b. Jik y = u v mk y = u v tu Creted By It Yulin 34
c. Jik y = k.u mk y = k.u tu dengn k merupkn konstn d. Jik y = uv mk y = vu + uv tu e. Jik y = u n mk y = n. u n-1. u tu f. Jik y = mk y = tu, dengn v 3. Aturn rnti Mislkn y = f(u(x)) dengn f dn u dlh fungsi-fungsi yng mempunyi turunn. Turunn dri y dlh y = f (u(x)). u (x) tu Contoh: Crilh turunn dri fungsi-fungsi berikut. f(x) = 3x 3 6x b. f(x) = (2x 2 3)(3x 2) c. f(x) = d. f(x) = (x 2 5x + 6) 9 Jwb. f(x) = 3x 3 6x mk f (x) = 3. 3x 3-1 6x 1-1 = 9x 2 6x 0 = 9x 2 6 b. f(x) = (2x 2 3)(3x 2) mk f (x) = (4x)(3x 2) + (2x 2 3)(3) = 12x 2 8x + 6x 2 9 = 18x 2 8x 9 c. f(x) = mk mk f (x) = = = d. f(x) = (x 2 5x + 6) 9 mislkn u(x) = x 2 5x + 6 mk u (x) = 2x 5 dn f(x) = {u(x)} 9 sehingg f (x) = 9 {u(x)} 9-1. u (x) = 9 (x 2 5x + 6) 9-1. (2x 5 ) = 9 (2x 5) (x 2 5x + 6) 8 Creted By It Yulin 35
Aktivits 1 Crilh turunn dri fungsi-fungsi berikut 1. f(x) = 2x 2. f(x) = 2x 2 3x + 5 3. f(x) = 4. f(x) = 5. f(x) = (x 2 2)(x 1) 2 6. f(x) = (3x 2 + 4) 5 B. Penggunn Turunn 1. Persmn gris singgung Turunn fungsi f(x) di x = tu f () secr geometri ditfsirkn sebgi grdien gris singgung kurv di titik (, f()). Dengn demikin, grdien gris singgung pd kurv y = f(x) di titik P (, f() dlh m = f (). Jik di titik (, b) pd kurv y = f(x), persmn gris singgung pd kurv y = f(x) di titik (, b) dlh y b = f ()(x ). Contoh: Tentukn persmn gris singgung kurv y = x 3 5x 1 di titik (-2, 1) Jwb: Grdien gris, m = f (x) = 3x 2 5 f (-2) = 3 (-2) 2 5 = 12 5 = 7 mk persmn gris yng mellui (-2, 1) dn bergrrdien 7 dlh y 1 = 7 (x + 2) y 1 = 7x + 14 y = 7x + 15 2. Menggmbr grfik fungsi ljbr. Pengertin fungsi nik dn fungsi turun Creted By It Yulin 36
1) Jik x 1 dn x 2 dlm fungsi f(x) memenuhi < x 1 < x 2 < b didpt f(x 1 ) < f(x 2 ), fungsi diktkn nik. 2) Jik x 1 dn x 2 dlm fungsi f(x) memenuhi < x 1 < x 2 < b didpt f(x 1 ) > f(x 2 ), fungsi diktkn turun. b. Nik turunny sutu fungsi kontinu f(x) dlm sutu intervl tertentu dpt diliht dri grdien gris singgungny 1) Dlm intervl x <, fungsi f(x) merupkn fungsi nik jik grdien gris singgung bernili positif tu f (x) > 0 2) Dlm intervl x >, fungsi f(x) merupkn fungsi turun jik grdien gris singgung bernili negtif tu f (x) < 0 3) Fungsi f(x) tidk nik dn tidk turun di x = jik grdien gris singgungny nol tu f (x) = 0 Contoh : Tentukn pd intervl mnkh fungsi f(x) = x 2 4x + 3 merupkn fungsi nik tu turun Jwb: f (x) = 2x 4. f merupkn fungsi nik jik 2x 4 > 0 2x > 4 x > 2 b. f merupkn fungsi turun jik 2x 4 < 0 2x < 4 x < 2 gris bilngn yng menunjukkn tnd dri f (x) dlh + + + + + + 2 Tnd positif menunjukkn intervl dimn fungsi nik(x > 2), sedngkn tnd negtif menunjukkn intervl dimn fungsi turun (x < 2) c. Titik stsioner dn nili stsioner Jenis titik stsioner dn nili stsioner dpt ditentukn dengn uji turunn pertm Misl f(x) mempunyi turunn di x = dn f() merupkn nili stsioner f(x) di x = 1) Jik f (x) > 0 untuk x <, f () = 0 dn f (x) < 0 untuk x > mk (, f()) merupkn titik blik mksimum dn f() merupkn nili mksimum. 2) Jik f (x) < 0 untuk x <, f () = 0 dn f (x) > 0 untuk x > mk (, f()) merupkn titik blik minimum dn f() merupkn nili minimum. Creted By It Yulin 37
3) Jik f (x) < 0 untuk x <, f () = 0 dn f (x) < 0 untuk x > mk (, f()) merupkn titik belok. 4) Jik f (x) > 0 untuk x <, f () = 0 dn f (x) > 0 untuk x > mk (, f()) merupkn titik belok. () (b) (c) (d) x < f (x) > x < + 0 f (x) > x < 0 + f (x) > x < > 0 f + 0 + (x) Contoh: Tentukn nili stsioner fungsi f(x) = x 2 8x + 1 dn jenisny Jwb f(x) = x 2 8x + 1 f (x) = 2x 8 fungsi f mencpi stsioner jik f (x) = 0 2x 8 = 0 2x = 8 x = 4 nili stsioner f(4) = 4 2 8. 4 + 1 = 16 32 + 1 = 15 jenis stsioner dpt ditentukn dengn tnd gris bilngn x < 4 4 >4 f (x) 0 + Jdi, jenis stsionerny dlh mempunyi nili blik minimum d. Nili mksimum dn minimum sutu fungsi dlm intervl tertutup Nili mksimum tu minimum fungsi f dlm sutu intervl tertutup belum tentu sm dengn nili blik mksimum tu minimum. Nili mksimum tu minimum fungsi f dlm intervl tertutup dpt diperoleh dri du kemungkinn, yitu nili-nili stsioner fungsi f tu nili fungsi pd ujung-ujung intervl tertutup itu. Contoh: Sebuh kerts berbentuk persegi yng mempunyi sisi 12 cm keempt pojokny digunting untuk dijdikn kotk tnp tutup. Berp pnjng guntingn tersebut gr volumeny mencpi mksimum Creted By It Yulin 38
Jwb: mislny pnjng guntingn pd keempt pojokny dlh x cm mk volumeny V = (12 2x) 2. X V = (144 48x + 4x 2 ). x V = 144x 48x 2 + 4x 3 V = 144 96x + 12x 2 Untuk V = 0 mk 144 96x + 12x 2 = 0 12 8x + x 2 = 0 (x 2 )(x 6) = 0 x = 2 tu x = 6 tnd pd gris bilngn + 0 2 6 Nili x hny berd pd intervl 0 x 6 Mk volume mksimum yng terjdi jik x = 2 tu setip pojik dipotong 2 cm e. Menggmbr grfik fungsi ljbr Lngkh-lngkh menggmbr grfik fungsi ljbr sbb. 1) Menentukn titik potong grfik dengn sumbu koordint (jik titik-titik itu mudh ditetpkn) 2) Menentukn titik stsioner dn jenisny sert intervl fungsi ni dn fungsi turun 3) Menentukn nili y untuk x besr positif dn x besr negtif Contoh : Gmbrlh grfik fungsi y = -x 2 + 2x + 8 Jwb:. Titik potong dengn sumbu X untuk y = 0 -x 2 + 2x + 8 = 0 -(x 4)(x + 2) = 0 x = 4 tu x = -2 Koordint titik potong dengn sumbu X dlh (4, 0) dn (-2, 0) b. Titik potong dengn sumbu Y untuk x = 0 y = 0 + 0 + 8 tu y = 8 Koordint titik potong dengn sumbu Y dlh (0, 8) c. Titik stsioner f (x) = -2x + 2, untuk f(x) = 0 mk 0 = -2 x + 2 x = 1 Creted By It Yulin 39
tnd gris bilngn x < 1 1 >1 f (x) + 0 Untuk x = 1, mk y = 1 2 + 2.1 + 8 = 9 Titik stsionerny dlh titik blik mksimum yitu (1, 9) d. Skets grfik Y 8 (1,9) -2 0 1 4 X Aktivits 2 1. Tentukn persmn gris singgung kurv y = 2x 2 4x + 3 mellui titik (2, 3) 2. Tentukn pd intervl mnkh fungsi f(x) = 12 4x x 2 nik tu turun 3. Tentukn nili dn jenis stsioner fungsi f(x) = x 3 3x 4. Sebuh peluru ditembkkn vertikl ke ts. Setelh t detik mencpi ketinggin yng dinytkn dengn rumus h(t) = 400t 2t 2 (dlm meter). Tentukn tinggi mksimum 5. Gmbrkn skets grfik fungsi f(x) = x 2 + 4x + 5 Creted By It Yulin 40