MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan

Transkripsi

1 MA1201 MATEMATIKA 2A Hendr Gunwn Semester II 2016/ Mret 2017

2 Kulih yng Llu 12.1 Fungsi du tu leih peuh 12.2 Turunn Prsil 12.3 Limit dn Kekontinun 12.4 Turunn ungsi du peuh 12.5 Turunn errh dn grdien 12.6 Aturn Rnti 12.7 Bidng singgung dn proksimsi Bgin I 12.8 Mksimum dn minimum 12.9 Metode pengli Lgrnge 4/2/2014 c Hendr Gunwn 2

3 Kulih Hri Ini 12.1 Fungsi du tu leih peuh 12.2 Turunn Prsil 12.3 Limit dn Kekontinun 12.4 Turunn ungsi du peuh 12.5 Turunn errh dn grdien 12.6 Aturn Rnti 12.7 Bidng singgung dn proksimsi Bg II 12.8 Mksimum dn minimum 12.9 Metode pengli Lgrnge 4/2/2014 c Hendr Gunwn 3

4 MA1201 MATEMATIKA 2A 12.7 BIDANG SINGGUNG DAN HAMPIRAN BAGIAN II Menggunkn polinom Tylor orde 2 untuk menghmpiri nili ungsi du peuh di sekitr titik tertentu 4/2/2014 c Hendr Gunwn 4

5 Hmpirn Liner & Bidng Singgung Bil mempunyi turunn di p = mk kit mempunyi hmpirn liner Dlm hl ini persmn merupkn persmn idng singgung pd permukn z = xy di titik. 4/2/2014 c Hendr Gunwn 5 y x y x y x y x z y x

6 Bidng Singgung & Vektor Grdien Dierikn ungsi du peuh implisit Fxyz = 0 kit dpt memperoleh persmn idng singgungny di titik c dri persmn x y z c F F F 0. x y z Perhtikn jik z = xy tulis Fxyz = z xy. Mk F x = - x F y = - y dn F z = 1 sehingg x y z c 1 0. z c x y. x x y y 4/2/2014 c Hendr Gunwn 6

7 Polinom Tylor Orde 1 Terkit dengn hmpirn liner & idng singgung polinom merupkn polinom Tylor orde 1 untuk xy di titik. Dlm hl ini xy P 1 xy untuk xy. 4/2/2014 c Hendr Gunwn 7 1 y x y x y x P y x Hmpirn liner

8 Polinom Tylor Orde 2 Seperti hlny utk ungsi stu peuh kit mempunyi polinom Tylor orde 2 untuk ungsi du peuh: Dlm hl ini xy P 2 xy untuk xy. 4/2/2014 c Hendr Gunwn 8 ]. 2 [ y y x x y x y x P yy xy xx y x Hmpirn kudrtik

9 Polinom Tylor Orde 2 Polinom Tylor orde 2 dpt dituliskn segi 4/2/2014 c Hendr Gunwn 9. ] [ ] [ 2 1 ] [ 2 H dengn y x H y x y x y x P yy yx xy xx T

10 Contoh/Ltihn Tentukn polinom Tylor orde 2 untuk xy = 2 2 x y e di O00 dn gunkn polinom ts untuk menksir nili Jw: x = y = xx = xy = yy = Jdi P 2 xy = dn P = 4/2/2014 c Hendr Gunwn 10

11 MA1201 MATEMATIKA 2A 12.8 MAKSIMUM DAN MINIMUM Menentukn nili mksimum dn minimum dri ungsi du peuh 4/2/2014 c Hendr Gunwn 11

12 Nili Ekstrim Glol Mislkn S R 2 : S R dn p* ϵ S. i p* diseut nili mksimum glol pd S pil p* p untuk setip p ϵ S. ii p* diseut nili minimum glol pd S pil p* p untuk setip p ϵ S. Nili p* diseut nili ekstrim glol pd S pil p* merupkn nili mksimum glol tu nili minimum glol. 4/2/2014 c Hendr Gunwn 12

13 Nili Ekstrim Lokl Mislkn S R 2 : S R dn p* ϵ S. i p* diseut nili mksimum lokl pd S pil terdpt ckrm N yng memut p* sehingg p* p untuk setip p ϵ N S. ii p* diseut nili minimum lokl pd S pil terdpt ckrm N yng memut p* sehingg p* p untuk setip p ϵ N S. Nili p* diseut nili ekstrim lokl pd S pil p* merupkn nili mksimum lokl tu nili minimum lokl. 4/2/2014 c Hendr Gunwn 13

14 Teorem Eksistensi Mks-Min Jik kontinu pd sutu himpunn tertutup dn terts S mk mencpi nili mksimum dn nili minimum glol pd S kemungkinn di titik yng ered. Cttn. Himpunn S tertutup errti S memut titik-titik pertsnny. S terts errti S termut dlm sutu ckrm COR yg erpust di O00 & erjri-jri R utk sutu R > 0. S 4/2/2014 c Hendr Gunwn 14

15 Teorem Titik Kritis Fungsi hny mungkin mencpi nili ekstrim di titik-titik kritis yitu di: i titik-titik pertsn derh sl tu ii titik-titik stsioner yitu titik di mn mempunyi turunn 0 tu iiititik-titik singulr yitu titik di mn tidk mempunyi turunn. 4/2/2014 c Hendr Gunwn 15

16 Contoh 1. Fungsi xy = x 2 + y 2 mencpi nili minimum 0 di O00 yng merupkn titik stsioner Fungsi gxy = x y mencpi nili minimum 0 di O00 yng merupkn titik singulr. 3. Jik kit tsi derh sl kedu ungsi di ts pd ckrm tertutup CO1 mk kedu ungsi di ts mencpi nili mksimum 1 pd setip titik pertsn. 4/2/2014 c Hendr Gunwn 16

17 Cttn Titik stsioner elum tentu merupkn titik ekstrim. Segi contoh ungsi Fxy = xy mempunyi titik stsioner O00 tetpi titik ini ukn merupkn titik ekstrim glol mupun lokl. Ingt pet konturny seperti p! Jik derh sl ungsi F ditsi pd ckrm tertutup CO1 mk nili ekstrimny hny mungkin tercpi di titik pertsn yitu pd lingkrn x 2 + y 2 = 1. [Kit hs gimn mencri nili ekstrimny nnti y!] 4/2/2014 c Hendr Gunwn 17

18 Uji Turunn Kedu: Syrt Cukup untuk Nili Ekstrim Mislkn xy mempunyi turunn prsil kedu yng kontinu pd sutu ckrm yng erpust di dn 00. Tulis 2 D D xx yy [ xy ]. Mk 1. Jik D > 0 dn xx < 0 mk merupkn nili mksimum lokl. 2. Jik D > 0 dn xx > 0 mk merupkn nili minimum lokl. 3. Jik D < 0 mk merupkn titik peln. 4. Jik D = 0 mk uji ini ggl. 4/2/2014 c Hendr Gunwn 18

19 Contoh Tentukn nili ekstrim dri Fxy = x 3 + y 2 3x 4y jik d. Jw: F x = 3x 2 3 = 0 j.h.j. x = ±1 dn F y = 2y 4 = 0 j.h.j. y = 2. Jdi d 2 titik stsioner yitu 12 dn -12. Selnjutny F xx = 6x F xy = 0 dn F yy = 2. Di 12 F xx = 61 = 6 > 0 dn D = = 12 > 0. Jdi F12 = -6 merupkn nili minimum lokl. Di -12 F xx = 6-1 = -6 < 0 dn D = = -12 < 0. Jdi -12 merupkn titik peln ukn ekstrim. 4/2/2014 c Hendr Gunwn 19

20 Sol 1 Mislkn nd ingin memut kotk tertutup dengn volume 1 dm 3 dn lus permuknny minimum. Berpkh ukurn kotk ts? [Petunjuk: Nytkn lus permukn kotk segi ungsi du peuh.] 4/2/2014 c Hendr Gunwn 20

21 Sol 2 Tentukn nili mksimum dn nili minimum dri Fxy = xy pd ckrm tertutup CO1. Jw: Nili ekstrimny tercpi di pertsn yitu pd lingkrn x 2 + y 2 = 1. Untuk mencriny nytkn titik-titik pd lingkrn ts dlm koordint polr ykni x = cos θ dn y = sin θ. Mk Fxy = Frθ = cos θsin θ = ½ sin 2θ. Jdi: F mencpi nili mksimum pd st θ = π/4 dn 5π/4 ykni di titik ½ 2½ 2 dn -½ 2-½ 2; dn F mencpi nili minimum pd st θ = 3π/4 dn 7π/4 ykni di titik -½ 2½ 2 dn ½ 2-½ 2. 4/2/2014 c Hendr Gunwn 21

22 Cttn Sol 2 dpt pul dijw dengn menggmr pet kontur dn mengmti hw nili ekstrim tercpi pd pertsn khususny di 4 uh titik perpotongn lingkrn x 2 + y 2 = 1 dengn gris y = ±x. 4/2/2014 c Hendr Gunwn 22

23 MA1201 MATEMATIKA 2A 12.9 METODE PENGALI LAGRANGE 1. Menggunkn Metode Lgrnge untuk menentukn nili ekstrim ungsi du tu tig peuh dengn kendl tertentu 4/4/2014 c Hendr Gunwn 23

24 Mencri Nili Ekstrim Fungsi pd Sutu Kurv/Permukn Ingt gimn kit mencri nili ekstrim ungsi Fxy = xy pd lingkrn x 2 + y 2 = 1. Demikin jug sol tentng ukurn kotk ervolume 1 yng lus permuknny minimum. Kedu sol ini termsuk contoh mslh nili ekstrim dengn kendl. 4/4/2014 c Hendr Gunwn 24

25 Mslh Nili Ekstrim dengn Kendl Mslh I: Tentukn nili ekstrim ungsi z = Fxy dengn kendl gxy = 0. Mslh II: Tentukn nili ekstrim ungsi w = Fxyz dengn kendl gxyz = 0. Cttn. Fungsi F diseut ungsi ojekti sedngkn ungsi g diseut ungsi kendl. 4/4/2014 c Hendr Gunwn 25

26 Cttn 1. Pd sol tentng kotk kit ingin mencri nili minimum dri L = 2xy + xz + yz dengn kendl xyz = 1. [Di sini ungsi kendlny dlh gxyz = xyz 1.] Untuk sol ini kit dpt mensustitusikn z = 1/xy pd L sehingg L menjdi ungsi dri x dn y sj llu kit peroleh nili minimum dri L dengn Uji Turunn Kedu. 4/4/2014 c Hendr Gunwn 26

27 Cttn 3. Pd sol kedu kit ingin mencri nili ekstrim dri F = xy dengn kendl x 2 + y 2 = 1. Untuk sol ini kit tidk mensustitusikn y = ±1 x 2 ½ pd persmn F = xy tetpi melkukn prmetrissi lingkrn x = cos θ dn y = sin θ dn menytkn F segi ungsi dri prmeter θ llu kit peroleh nili ekstrimny. 4/4/2014 c Hendr Gunwn 27

28 Cttn 4. Nili ekstrim dri Fxy = xy pd lingkrn x 2 + y 2 = 1 dpt pul diperoleh dgn mengmti pet kontur F pd ckrm tertutup CO1. Nili ekstrim tercpi di titik-titik di mn kurv ketinggin ersinggungn dengn lingkrn x 2 + y 2 = 1. 4/4/2014 c Hendr Gunwn 28

29 Cttn 4. lnjutn Di titik-titik terseut kurv ketinggin dn kurv kendl mempunyi vektor singgung yng sejjr! Jdi di titik titik ts vektor grdien dri Fxy sejjr dengn vektor grdien dri gxy ykni F p* g p*. 4/4/2014 c Hendr Gunwn 29

30 Metode Lgrnge Untuk mencri nili ekstrim dri Fp dengn kendl gp = 0 tentukn p dn λ yng memenuhi persmn F p g p dn g p 0. Titik-titik p yng diperoleh merupkn titik kritis F yng memenuhi kendl gp = 0 dn ilngn λ diseut pengli Lgrnge yng ersesuin. 4/4/2014 c Hendr Gunwn 30

31 Cttn Metode Lgrnge tidk memerikn kesimpuln pkh titik kritis ts merupkn titik ekstrim tu ukn. Untuk menentukn pkh titik ts merupkn titik ekstrim tu ukn kit hrus menggunkn rgumentsi linny. Jik hny terdpt stu titik kritis kesimpuln mudh dimil. Jik terdpt leih dri stu titik kritis kit dpt memndingkn nili ungsi di titik-titik terseut segi contoh nili teresr kn menjdi nili mksimum. 4/4/2014 c Hendr Gunwn 31

32 Contoh 1 Tentukn nili mksimum dn nili minimum dri Fxy = xy pd lingkrn x 2 + y 2 = 1. Jw: Di sini ungsi kendlny dlh gxy = x 2 + y 2 1. Dengn Metode Lgrnge kit cri x y dn λ yng memenuhi F x y g x y dn g x y 0. Dri persmn pertm kit peroleh y = 2λx dn x = 2λy. Eliminsi λ kit dptkn y 2 = x 2 sehingg y = ±x. Sustitusikn ke persmn kedu kit peroleh 2x 2 = 1 sehingg x = ±½ 2 dn y = ±½ 2. Nili mks tercpi di ±½ 2½ 2 min tercpi di ±½ 2-½ 2. 4/4/2014 c Hendr Gunwn 32

33 Contoh 2 Tentukn ukurn kotk tertutup dengn volume 1 dm 3 yng lus permuknny minimum. Jw: Di sini ungsi ojektiny dlh L = 2xy + xz + yz dn ungsi kendlny dlh gxyz = xyz 1. Dengn Metode Lgrnge kit peroleh persmn 2y + 2z = λyz 1. 2x + 2z = λxz 1. 2x + 2y = λxy 1.c Eliminsi λ kit dptkn x = y = z. Sustitusikn ini ke persmn kedu yitu gxyz = 0 kit peroleh x 3 = 1 sehingg x = 1 dn dengn demikin y = z = 1 jug. Titik yg diperoleh 111 merupkn titik minimum. 4/4/2014 c Hendr Gunwn 33

34 Sol 1 Tentukn titik pd idng x + 2y + 3z = 6 yng terdekt dri titik sl O000. Jw: Di sini kit ingin mencri titik yng meminimumkn Fxyz = x 2 + y 2 + z 2 dgn kendl gxyz = x + 2y + 3z 6 = 0. Jdi 4/4/2014 c Hendr Gunwn 34

35 Sol 2 Tentukn nili mksimum dn minimum ungsi Fxy = 1 + xy x 2 y 2 pd ckrm tertutup CO1 = {xy : x 2 + y 2 1}. Jw: F kontinu pd CO1 jdi F mencpi nili mksimum dn minimum pd CO1. Kren F tidk mempunyi titik singulr nili ekstrim F kemungkinn dicpi di titik stsioner dn di titik-titik pertsn. Jdi kit cri terleih dhulu titik stsionerny dn setelh itu cri titik-titik kritis pd lingkrn pertsn. 4/4/2014 c Hendr Gunwn 35

36 Jw lnjutn: F x y y 2x x 2y. Jdi stu-stuny titik stsioner F dlh 00. Kemudin dengn metode Lgrnge kn diperoleh empt titik kritis yitu ±½ 2±½ 2 [Perhitungn lengkpny dierikn di ppn tulis y ]. Selnjutny tinggl ndingkn nili F di lim titik kritis ts dn simpulkn hw F mencpi nili mksimum 1 di 00 dn mencpi nili minimum -½ di ±½ 2-½ 2. 4/4/2014 c Hendr Gunwn 36

37 MA1201 MATEMATIKA 2A 12.9 METODE PENGALI LAGRANGE 2. Menggunkn Metode Lgrnge untuk menentukn nili ekstrim ungsi tig peuh dengn du kendl 4/4/2014 c Hendr Gunwn 37

38 Mslh Nili Ekstrim Fungsi Tig Peuh dengn Du Kendl Untuk menentukn nili mksimum/minimum dri ungsi Fxyz dengn kendl gxyz = 0 dn hxyz = 0 kit selesikn persmn F p g p g p h p 0 dn h p Titik p = xyz yng diperoleh merupkn titik kritis Fxyz. Bilngn λ dn μ dlh pengli Lgrnge yng ersesuin. 0 4/4/2014 c Hendr Gunwn 38

39 Contoh Tentukn nili mksimum dn minimum dri Fxyz = x + 2y + z pd kurv perpotongn tung x 2 + y 2 = 2 dengn idng y + z = 1. Jw: Di sini ungsi kendlny dlh gxyz = x 2 + y 2 2 dn hxyz = y + z 1. Persmn Lgrnge yng hrus diselesikn dlh 121 = λ2x2y0 + μ011 x 2 + y 2 = 2 dn y + z = 1. [Lnjutnny di ppn tulis il sempt] 4/4/2014 c Hendr Gunwn 39

40 Sol Tentukn titik pd gris yng merupkn perpotongn idng x + y + z = 8 dn 2x y + 3z = 28 yng terdekt dri titik sl O000. Jw: Di sini kit ingin mencri titik yng meminimumkn Fxyz = x 2 + y 2 + z 2 dgn kendl gxyz = x + y + z 8 = 0 dn hxyz = 2x y + 3z 28 = 0. Jdi 4/4/2014 c Hendr Gunwn 40