BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini diberikan tinjauan pustaka yang berisi penelitian sebelumnya yang mendasari penelitian ini, definisi, dan teori yang diperlukan serta kerangka pemikiran. 2.1 Tinjauan Pustaka Pada tahun 1969, Shalit dan Yitzhaki [15] mengenalkan kriteria MCSD untuk membentuk portofolio efisien. Kemudian Shalit dan Yitzhaki [15] menerapkan kriteria MCSD untuk membentuk portofolio efisien yang terdiri atas aset pada New York Stock Exchange. Pada tahun 2012, Levy [11] melakukan penelitian mengenai portofolio efisien dengan kriteria almost second order stochastic dominance. Penelitian Levy [11] menunjukkan bahwa jumlah portofolio efisien yang dihasilkan oleh kriteria almost second order stochastic dominance lebih sedikit dari pada jumlah portofolio efisien yang dihasilkan oleh kriteria second order stochastic dominance. Hal ini menunjukkan kriteria almost second order stochastic dominance lebih teliti daripada kriteria second order stochastic dominance. Pada tahun 2014, Denuit et al. [7] mengenalkan kriteria AMCSD. Kemudian Denuit et al. [7] menerapkan kriteria AMCSD dalam pembentukan portofolio efisien yang terdiri atas aset pada New York Stock Exchange. Pada penelitian Denuit et al. [7], jumlah portofolio efisien yang diperoleh dengan kriteria AMCSD lebih sedikit daripada jumlah portofolio efisien yang dihasilkan dengan kriteria MCSD. Hal ini menunjukkan bahwa kriteria AMCSD lebih teliti daripada kriteria MCSD dalam pembentukan portofolio efisien karena kriteria AMCSD dapat mengurangi jumlah portofolio efisien yang terbentuk. 4

2.2 Landasan Teori 2.2.1 Saham, Return, dan Portofolio Berikut ini merupakan penjelasan tentang saham, return, dan portofolio. 1. Saham. Saham adalah surat bukti kepemilikan atas aset-aset perusahaan yang menerbitkan saham (Tandelilin [16]). Saham merupakan instrumen investasi yang banyak dipilih para investor karena saham mampu memberikan tingkat keuntungan yang menarik. Porsi kepemilikan ditentukan oleh seberapa besar penyertaan yang ditanamkan di perusahaan (Azis dkk. [2]). 2. Return. Return merupakan keuntungan maupun kerugian dari suatu investasi. Dalam Brigham dan Houston [5], perhitungan nilai return adalah R(t) = P (t) P (t 1) P (t 1) 100%, (2.1) dengan R(t) adalah nilai return periode ke-t, P (t) adalah harga saham penutupan pada saat ke-t, dan P (t 1) adalah harga saham penutupan pada saat ke- (t 1). 3. Portofolio. Portofolio merupakan kumpulan beberapa aset. Dalam hal ini, portofolio berarti adanya minimum dua barang atau lebih yang dipegang oleh investor atau dikelolanya. Tujuan pembuatan portofolio adalah untuk mengurangi risiko bagi pihak yang memegang portofolio. Pengurangan risiko itu dilakukan dengan diversifikasi risiko (Manurung [14]). 2.2.2 Utilitas Menurut Charles et al. [6], utilitas adalah aturan subjektif pembuat keputusan berdasarkan risiko. Oleh karena itu, utilitas seseorang digunakan untuk mengevaluasi alternatif keputusan. 5

2.2.3 Risk Aversion Menurut Arrow [1], risk aversion adalah kondisi dimana perilaku konsumen atau investor sedang dalam ketidakpastian dan mencoba mengurangi ketidakpastian tersebut. Dengan kata lain, risk aversion adalah kecenderungan yang subyektif dari investor untuk menghindari risiko yang tidak diperlukan. Apabila diberikan dua investasi dengan return yang sama dan tingkat risiko yang berbeda, maka investor dengan risk-averse akan memilih investasi dengan risiko yang lebih kecil. 2.2.4 Variabel Acak Berikut ini adalah definisi dan teorema tentang variabel acak menurut Bain dan Engelhardt [3]. Definisi 2.2.1. Suatu variabel acak X adalah suatu fungsi yang didefinisikan pada ruang sampel S yang memetakan setiap hasil e yang mungkin di S ke suatu bilangan real X(e) = x. Variabel acak dibedakan menjadi 2 yaitu variabel acak diskrit dan variabel acak kontinu. Definisi 2.2.2. Jika himpunan semua nilai yang mungkin dari suatu variabel acak, X, adalah himpunan terhingga terhitung x 1,x 2,..., x n atau himpunan tak terhingga terhitung x 1,x 2,..., maka X disebut variabel acak diskrit. Fungsi f(x) = P [X = x], x = x 1, x 2,... menunjukkan probabilitas untuk setiap nilai x yang mungkin disebut dengan fungsi densitas probabilitas diskrit. Definisi 2.2.3. Fungsi distribusi kumulatif dari suatu variabel acak X untuk sembarang bilangan real x didefinisikan sebagai F (x) = P [X x]. 6

Definisi 2.2.4. Jika X adalah suatu variabel acak diskrit dengan fungsi densitas probabilitas f(x) maka harga harapan dari X didefinisikan sebagai E(X) = x xf(x). Definisi 2.2.5. Suatu variabel acak X disebut variabel acak kontinu jika terdapat suatu fungsi densitas probabilitas dari X yaitu f(x), sedemikian sehingga fungsi distribusi kumulatif dari X dapat dinyatakan sebagai F (x) = x f(t)dt. Teorema 2.2.1. Suatu fungsi f(x) adalah fungsi densitas probabilitas dari variabel acak kontinu X jika dan hanya jika memenuhi 1. f(x) 0, untuk semua bilangan real x, dan 2. f(x)dx = 1. Definisi 2.2.6. Jika X adalah variabel acak kontinu dengan fungsi densitas probabilitas f(x), maka harga harapan X didefinisikan oleh E(X) = xf(x)dx, apabila integral tersebut konvergen absolut. Selain itu dapat dikatakan E(X) tidak ada. Teorema 2.2.2. Jika X adalah suatu variabel acak dengan suatu fungsi densitas probabilitas f(x) dan c(x) adalah suatu fungsi bernilai real dimana daerah asal meliputi semua nilai yang mungkin dari X, maka 1. E[c(X)] = x c(x)f(x) jika X adalah diskrit. 2. E[c(X)] = c(x)f(x)dx jika X adalah kontinu. 2.2.5 Uji Keacakan Uji keacakan adalah uji untuk mengetahui apakah sampel diambil secara acak atau tidak. Uji keacakan yang digunakan dalam penelitian ini adalah uji keacakan menurut Wackerly et al. [17] dengan hipotesis nol bahwa data bersifat acak. Berikut ini langkah-langkah uji keacakan menurut Wackerly et al. [17]. 7

1. mencari nilai median dari data, 2. memberikan tanda ( ) untuk data yang mempunyai nilai di bawah median dan tanda (+) untuk data yang mempunyai nilai di atas median, 3. menghitung n 1 dan n 2, dimana n 1 adalah banyak data yang berada di atas median, serta n 2 adalah banyak data yang berada di bawah median, 4. menghitung D, dengan D adalah jumlah runtun yang berubah tanda, 5. menghitung E(D), dengan rumus berikut, 6. menghitung V (D), dengan rumus berikut, 7. menghitung Z hitung, dengan rumus berikut, E(D) = 2n 1n 2 n 1 + n 2 + 1, (2.2) V (D) = 2n 1n 2 (2n 1 n 2 n 1 n 2 ) (n 1 + n 2 ) 2 (n 1 + n 2 1), (2.3) Z hitung = D E(D) V (D), 8. memberi kesimpulan bahwa hipotesis nol ditolak jika Z hitung Z α/2 atau Z hitung Z α 2. 2.2.6 Uji Kenormalan Uji kenormalah merupakan uji yang digunakan untuk mengetahui apakah data berasal dari populasi berdistribusi normal. Uji Jarque-Bera merupakan salah satu uji kenormalan. Menurut Gujarati [8], statistik uji Jarque-Bera didefinisikan JB = n 6 [S 2 + (K ] 3)2, (2.4) 4 dengan n adalah ukuran sampel. S adalah kemencengan dan K adalah keruncingan. Definisi S dan K secara berturut-turut adalah S = 1 n n i=1 (x i x) 3 ( 1 n n i=1 (x, i x) 2 ) 3 2 8

K = 1 n ( 1 n n i=1 (x i x) 4 n i=1 (x i x) 2 ), 2 dengan x adalah rata-rata sampel. Jika JB < χ 2 (α,2) maka data berasal berdistribusi normal. 2.2.7 Kriteria Stochastic Dominance Kriteria stochastic dominance adalah kriteria yang menyatakan hubungan dua fungsi distribusi, yaitu apakah suatu fungsi distribusi lebih dominan daripada fungsi distribusi yang lain (Heyer [10]). Konsep stochastic dominance berasal dari teori utilitas dalam pengambilan keputusan optimal untuk memilih beberapa alternatif investasi. Apabila terdapat investasi A dan B, maka investasi B lebih disukai daripada investasi A jika dan hanya jika harga harapan B lebih besar dari harga harapan A. Selanjutnya kriteria dasar stochastic dominance dapat dituliskan sebagai E A (x) E B (x). Kriteria stochastic dominance dibagi menjadi tiga orde yaitu kriteria first-order stochastic dominance (FSD), kriteria second-order stochastic dominance (SSD), dan kriteria third-order stochastic dominance (TSD). Hal ini didasarkan pada karakteristik fungsi utilitas masing-masing orde. 1. Kriteria first-order stochastic dominance (FSD). Fungsi utilitas yang digunakan pada F SD adalah fungsi utilitas monoton naik yang didefinisikan sebagai U 1 = {fungsi utilitas u u (x) 0}. Investasi B mendominasi A secara F SD pada fungsi utilitas U 1 jika dan hanya jika F A (x) F B (x), (2.5) untuk semua xϵs. variabel acak X. S adalah himpunan bilangan semesta yang memuat 9

2. Kriteria second-order stochastic dominance (SSD). Fungsi utilitas yang digunakan pada SSD adalah fungsi utilitas yang memiliki sifat risk aversion, didefinisikan sebagai U 2 = {fungsi utilitas u u (x) 0 dan u (x) 0}. Investasi B mendominasi A secara SSD pada fungsi utilitas U 2 jika dan hanya jika untuk semua xϵs. x F A (t)dt x F B (t)dt, (2.6) S adalah himpunan bilangan semesta yang memuat variabel acak X. 3. Kriteria third-order stochastic dominance (TSD). Fungsi utilitas yang digunakan pada T SD adalah fungsi utilitas yang memiliki sifat ruin aversion, didefinisikan sebagai U 3 = {fungsi utilitas u u (x) 0, u (x) 0 dan u (x) 0}. Investasi B mendominasi A secara T SD pada fungsi utilitas U 3 jika dan hanya jika x y F A (t)dtdy x y F B (t)dtdy, untuk semua xϵs. S adalah himpunan bilangan semesta yang memuat variabel acak X. 2.2.8 Kriteria Almost Stochastic Dominance Kriteria almost Stochastic Dominance (ASD) merupakan kriteria alternatif dalam pengambilan keputusan apabila kriteria stochastic dominance tidak terpenuhi (Levy [11]). Diasumsikan terdapat dua alternatif investasi yaitu A dan B. F A (x) adalah distribusi kumulatif dari A dan F B (x) adalah distribusi kumulatif dari B, dengan X adalah variabel acak. Berdasarkan Levy [12], kriteria ASD dibagi menjadi dua yaitu kriteria almost first-order stochastic dominance (AFSD) dan kriteria almost second-order stochastic dominance (ASSD). 10

1. Kriteria almost first-order stochastic dominance (AFSD). Kriteria AF SD digunakan apabila kriteria F SD yang ditunjukkan pada persamaan (2.5) tidak terpenuhi. sebagai Rasio ε 1 didefinisikan sebagai Daerah yang tidak terpenuhi untuk F SD dinotasikan S 1 (F A, F B ) = {x F B (x) > F A (x)}. ε 1 = S 1 (F B (x) F A (x))dx S F B(x) F A (x) dx, dengan ε 1 < 0, 5. Investasi B mendominasi investasi A secara AF SD pada fungsi utilitas U1 (ε 1 ) jika dan hanya jika S 1 (F B (x) F A (x))dx ε 1 S F B (x) F A (x) dx, dengan U 1 (ε 1 ) adalah fungsi utilitas yang didefinisikan sebagai U 1 (ε 1 ) = {u : u (x) 0, u (x) inf{u (x)}[ 1 ε 1 1], xϵs}. 2. Kriteria almost second-order stochastic dominance (ASSD). Kriteria ASSD digunakan apabila kriteria SSD yang ditunjukkan pada persamaan (2.6) tidak terpenuhi. Daerah yang tidak terpenuhi untuk SSD dinotasikan sebagai x x S 2 (F A, F B ) = {x F A (x) < F B (x); F B (t)dt F A (t)dt}. Rasio ε 2 didefinisikan sebagai S ε 2 = 2 (F B (x) F A (x))dx S 2 F A (x) F B (x)dx + S 2 F B (x) F A (x)dx. dengan ε 2 < 0, 5. Investasi B mendominasi investasi A secara ASSD pada fungsi utilitas U2 (ε 2 ) jika dan hanya jika ( ) (F B (x) F A (x))dx ε 2 F A (x) F B (x)dx + F B (x) F A (x)dx. S 2 S 2 S 2 dengan U 2 (ε 2 ) adalah fungsi utilitas yang didefinisikan sebagai U 2 (ε 2 ) = {u : u (x) 0, u (x) 0, u (x) inf{ u (x)}[ 1 ε 2 1], xϵs}. 11 (2.7)

2.2.9 Kriteria Marginal Conditional Stochastic Dominance Berdasarkan Shalit dan Yitzhaki [15], kriteria MCSD memberikan kondisi probabilitas untuk semua individu yang risk-averse dapat memperoleh portofolio efisien dengan melakukan perubahan marjinal pada porsi salah satu aset dalam portofolio. Perubahan marjinal dilakukan dengan meningkatkan porsi dari salah satu asetnya daripada aset yang lain dalam suatu portofolio. Kelebihan dari kriteria MCSD adalah dapat melibatkan perbandingan lebih dari dua aset. Misalkan investor dengan fungsi utilitas U 2, didefinisikan sebagai U 2 = {fungsi utilitas u u 0 dan u 0 }. Investor tersebut mengelola portofolio yang terdiri atas n aset. Porsi dari aset ke- i adalah α i, sehingga Σ n i=1α i = 1. (2.8) Kekayaan akhir didefinisikan sebagai n W = w 0 (1 + α i R i ), dengan W adalah kekayaan akhir, w 0 adalah kekayaan awal, dan R i adalah return dari aset ke- i. Return dari portofolio adalah R + didefinisikan sebagai R + = Σ n i=1α i R i. (2.9) Tujuan akhir dari investor adalah memilih porsi untuk memaksimalkan E[u(W )]. Menurut Shalit dan Yitzhaki [15], aset k mendominasi aset j berdasar MCSD jika memenuhi kondisi E[u (W )(R k R j )] 0. Selanjutnya, µ i (r + ) adalah harga harapan bersyarat dari return pada aset i ketika return portofolio sebesar r +. µ i (r + ) didefinisikan sebagai µ i (r + ) = E[R i R + = r + ]. (2.10) Berdasarkan Shalit dan Yitzhaki [15], apabila diberikan portofolio, aset k mendominasi aset j secara MCSD jika dan hanya jika E[R k R + r + ] E[R j R + r + ]. 12 i=1

Berdasarkan Shalit dan Yitzhaki [15], teorema MCSD disajikan dalam bentuk suatu kurva yang bernama absolute concentration curve (ACC). Nilai ACC dari aset i merupakan fungsi distribusi kumulatif dari nilai harapan bersyarat return aset i. Kurva ACC biasanya digunakan pada bidang keuangan, khususnya pada bidang ilmu tentang ketimpangan pendapatan. ACC dirumuskan sebagai ACC i α (ξ) = dengan ξ = r + f(r AMCSD+)dr +. F 1 R + (ξ) µ i (r + )f(r + )dr + (2.11) Teorema 2.2.3. Diberikan portofolio, aset k mendominasi aset j untuk semua fungsi utilitas U 2 pada W jika dan hanya jika ACC k α (ξ) ACC j α (ξ). (2.12) Selanjutnya didefinisikan B(t) adalah selisih kurva ACC sebagai B(t) = t a (µ k (r + ) µ j (r + ))df R+ (r + ) dengan tϵ[a, b], [a, b] adalah interval terbatas dari return. 2.3 Kerangka Pemikiran Para investor yang mempunyai sifat risk averse dapat menggunakan kriteria M CSD untuk memperoleh portofolio yang efisien. Kriteria ini didasarkan pada kurva ACC dari dua aset. Apabila nilai ACC aset k lebih dari nilai ACC aset j, maka aset k mendominasi aset j secara MCSD. Suatu daerah di antara kedua kurva ACC dikatakan tidak memenuhi kriteria M CSD apabila pada daerah tersebut ditemukan nilai ACC aset k kurang dari nilai ACC aset j. Apabila terdapat daerah yang tidak memenuhi kriteria M CSD, maka digunakan kriteria AM CSD. Nilai AMCSD diperoleh dari hasil bagi daerah yang tidak memenuhi MCSD dengan total rentang daerah yang memenuhi maupun tidak memenuhi MCSD. Berdasarkan Levy et al. [13], kriteria AMCSD terpenuhi jika nilai AMCSD bernilai kurang dari 0, 032. Jika nilai 13

kriteria AMCSD antara aset k dan aset j bernilai kurang dari 0, 032 maka aset k mendominasi aset j secara AMCSD. Pada pembentukan portofolio efisien, kriteria AMCSD digunakan untuk mengetahui apakah suatu portofolio efisien atau tidak efisien. Jika dalam portofolio terdapat aset yang mendominasi aset lainnya secara AMCSD, maka portofolio belum efisien. Akan tetapi, jika dalam portofolio tidak ada aset yang saling mendominasi secara AMCSD, maka portofolio efisien. 14