BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Pada suatu eksperimen atau pengamatan terhadap suatu keadaan, pengambilan data merupakan salah satu bagian terpenting, agar hasil dari eksperimen dapat lebih mudah dipahami. Selanjutnya, untuk mempermudah pembacaan dari data yang telah diperoleh, data akan ditampilkan dalam bentuk kurva. Namun, tidak jarang data-data yang diperoleh sangat acak sehingga sulit untuk mengambil kesimpulan mengenai hubungan antar variabelnya. Hubungan tersebut dinyatakan dalam suatu fungsi agar dapat digunakan untuk memprediksi nilai data di suatu titik tertentu. Oleh karena itu dibutuhkan teknik pencocokan kurva, untuk mendekati data-data yang acak menjadi suatu kurva yang mampu menggambarkan data-data hasil pengamatan atau eksperimen. Pencocokan kurva merupakan suatu teknik yang penting dan diperlukan untuk mengolah data hasil pengukuran suatu variabel, sehingga diperoleh gambaran yang jelas mengenai sifat-sifat atau perilaku variabel yang diukur. Terdapat dua alasan mengapa kebutuhan pencocokan kurva dari data hasil pengukuran ini penting. Pertama, dengan cara pencocokan ini bisa memberikan gambaran secara matematis mengenai hubungan antar variabel-variabel yang diukur. Kedua, persamaan kurva yang diperoleh dapat digunakan untuk memprediksikan nilai variabel tak bebas di suatu titik. Dalam hubungannya dengan sains dan teknik, misalkan dalam mengukur suatu besaran fisis tertentu, sering ditemukan data hasil pengukuran yang tidak rapi atau fluktuatif. Dengan cara mencocokkan data ke kurva tertentu akan dapat ditunjukkan adanya kecenderungan membentuk pola tertentu. Jelasnya, untuk mendapatkan gambaran yang komprehensif tentang perilaku besaran fisis yang telah diukur, perlu dilakukan pencocokan kurva dari data hasil pengukuran atau pengamatan tersebut. Sebagai contoh, seorang fisikawan ingin menemukan hubungan 1
2 antara hambatan terpasang dengan besarnya arus yang mengalir dalam suatu rangkaian tertutup. Contoh lain dalam bidang ilmu ekonomi yaitu seorang ekonom ingin mendapatkan gambaran tentang kecenderungan ekonomi pada masa yang akan datang. Oleh karena itu, seorang ekonom akan menggunakan kumpulan-kumpulan data yang diperoleh dari data beberapa tahun sebelumnya. Selanjutnya, ekonom tersebut akan melakukan pencocokan data variabel-variabel ekonomi yang telah diperoleh dengan suatu kurva tertentu, sehingga dari pencocokan data tersebut dapat diperoleh prediksi kecenderungan ekonomi di masa yang akan datang. Metode yang paling sederhana untuk mencocokan data terhadap kurva tertentu adalah dengan menghubungkan titik-titik data tersebut dan menarik garis yang bersesuaian dengan data tersebut. Selain itu dapat pula dilakukan dengan membentuk suatu kurva yang mendekati penyebaran kumpulan-kumpulan data tersebut. Dalam ilmu matematika, pencocokan data dengan suatu kurva merupakan salah satu contoh permasalahan nonlinear least squares. Dalam skripsi ini akan dibahas mengenai masalah nonlinear least squares, yaitu masalah yang meminimumkan nilai terkecil dari jumlahan kuadrat selisih antara kumpulan data dan suatu model fungsi yang mendekati kumpulan data tersebut. Dengan kata lain, masalah nonlinear least squares bertujuan untuk meminimumkan jumlahan kuadrat selisih antara kumpulan data dan model fungsi atau kurva yang mendekati kumpulan data tersebut. Berdasarkan metode yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan nonlinear least squares pada pencocokan kurva, masalah ini dapat dibedakan menjadi zero residual, small residual, dan large residual. Masalah nonlinear least squares yang terdapat pada pencocokan kurva dapat diselesaikan dengan menggunakan metode-metode yang digunakan dalam masalah optimisasi pada umumnya. Akan tetapi dalam skripsi ini hanya akan dipaparkan tentang metode Gauss-Newton sebagai metode khusus yang digunakan untuk menyelesaikan masalah nonlinear least squares. Metode Gauss-Newton merupakan metode iterasi untuk menentukan suatu titik yang meminimumkan jumlahan kuadrat dari selisih antara kumpulan data dan suatu model fungsi yang mendekati kumpulan data tersebut, sehingga nantinya didapat model fungsi yang akurat dan
3 dapat merepresentasikan kumpulan data tersebut. Metode Gauss-Newton merupakan modifikasi dari metode Newton untuk meminimumkan fungsi. Tidak seperti metode Newton, metode Gauss-Newton hanya dapat digunakan untuk meminimumkan jumlahan kuadrat suatu fungsi. Akan tetapi keunggulan dari metode Gauss-Newton adalah dalam permasalahan nonlinear least squares untuk kasus zero residual dan small residual turunan kedua dari fungsi yang menyatakan selisih antara kumpulan data dan model fungsi yang mendekati kumpulan data tersebut tidak perlu dihitung. Lebih lanjut, untuk kasus zero residual laju konvergensi dari metode Gauss- Newton konvergen secara kuadratik, yang berarti titik tebakan awal yang diberikan akan konvergen ke titik yang meminimumkan jumlahan kuadrat dari selisih antara kumpulan data dan model fungsinya secara kuadratik. Sedangkan untuk kasus small residual laju konvergensi dari metode Gauss-Newton konvergen secara linear, yang berarti titik tebakan awal yang diberikan akan konvergen secara linear. Akan tetapi, untuk kasus large residual metode Gauss-Newton tidak dapat digunakan untuk menentukan titik yang meminimalkan jumlahan kuadrat dari selisih antara kumpulan data dan model fungsi yang mendekati kumpulan data tersebut. Selain itu, dalam skripsi ini akan diberikan contoh permasalahan nonlinear least squres dalam pencocokan kurva terhadap data jumlah populasi penduduk Indonesia antara tahun 1961 dan 2010, serta data pendapatan perusahaan Cisco dari tahun 1997 sampai 2016. Selanjutnya, akan dilakukan implementasi metode Gauss- Newton untuk menyelesaikan kedua permasalahan tersebut. 1.2. Rumusan Masalah Berkaitan dengan penjabaran pada latar belakang, pokok bahasan pada tulisan ini meliputi : 1.) Pemaparan masalah nonlinear least squares pada pencocokan kurva. 2.) Pemaparan metode Gauss-Newton dan konvergensinya. 3.) Pemaparan contoh masalah nonlinear least squares pada pencocokan kurva ter-
4 hadap data hasil sensus penduduk Indonesia antara tahun 1961 dan 2010, serta data pendapatan perusahaan Cisco dari tahun 1997 sampai tahun 2016. 4.) Pengimplementasian metode Gauss-Newton pada masalah nonlinear least squares dalam pencocokan kurva. 1.3. Batasan Masalah Pada skripsi ini, pembahasan terbatas pada permasalahan nonlinear least squares pada pencocokan kurva untuk kasus small residual, dengan kata lain dalam skripsi ini hanya akan dibahas mengenai permasalahan nonlinear least squares dengan selisih antara kumpulan data dengan suatu model fungsi yang mendekati kumpulan data tersebut relatif kecil. Selain itu, pembahasan mengenai metode untuk menyelesaikan permasalahan nonlinear least squares terbatas pada metode Gauss-Newton. 1.4. Tujuan dan Manfaat Penelitian Penulisan skripsi ini diharapkan dapat memberikan wawasan kepada pembaca bahwa matematika dapat digunakan sebagai sarana untuk memecahkan berbagai persoalan di kehidupan nyata. Salah satu permasalahan yang dapat dipecahkan dengan matematika adalah masalah nonlinear least squares, yang salah satu contoh permasalahannya adalah pencocokan kurva terhadap data yang diperoleh dari hasil eksperimen atau pengamatan terhadap suatu keadaan. Pencocokan kurva ini dilakukan dengan tujuan memperoleh kurva yang jumlahan kuadrat selisih antara kumpulan data dengan suatu model fungsi yang mendekati kumpulan data tersebut minimum dan memberikan gambaran secara matematis mengenai hubungan antar variabel yang diukur. 1.5. Tinjauan Pustaka Penulisan tugas akhir ini merujuk pada buku utama (Dennis dan Schnabel, 1996). Buku tersebut membahas mengenai masalah nonlinear least squares yang dipandang sebagai masalah optimisasi (meminimumkan) tanpa kendala. Da-
5 lam buku tersebut pembahasan masalah nonlinear least squares berkaitan dengan masalah pencocokan kurva. Oleh karena masalah nonlinear least squares dapat dipandang sebagai masalah optimisasi (meminimumkan), maka tujuan dari masalah nonlinear least squares dalam pencocokan kurva adalah meminimumkan jumlahan kuadrat dari selisih yang dihasilkan antara kumpulan-kumpulan data hasil dari pengamatan dan kurva yang mendekati kumpulan data tersebut. Selanjutnya buku tersebut juga membahas metode Gauss-Newton yang diturunkan berdasarkan metode Newton, sebagai salah satu metode khusus yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah nonlinear least squares dalam pencocokan kurva. Untuk mengetahui dan memahami tentang permasalahan pencocokan kurva, digunakan buku (Vera dan Melanie, 1994) sebagai referensi. Dalam buku tersebut, dijelaskan bahwa pencocokan kurva merupakan teknik yang digunakan untuk memodelkan kumpulan-kumpulan data dari hasil pengamatan menjadi persamaan matematis, yang nantinya akan menghasilkan suatu kurva tertentu berdasarkan persamaan matematis tersebut dan digunakan sebagai pendekatan terhadap kumpulankumpulan data tersebut. Berdasarkan kurva yang telah diperoleh, nantinya dapat digunakan untuk mengetahui, menggambarkan dan menjelaskan hubungan antar variabel dari data hasil pengamatan tersebut. Lebih lanjut, pencocokan kurva ini menjadi bagian penting dalam suatu pengamatan, baik dalam pengembangan dan penggambaran ilmu fisika, kimia, biologi, ekonomi maupun ilmu-ilmu lainnya. Dalam meminimumkan jumlahan kuadrat dari selisih antara kumpulan data dengan suatu model fungsi yang mendekati kumpulan data tersebut sebagai fungsi objektif yang terdapat dalam masalah nonlinear least squares, perlu pemahaman mengenai masalah optimisasi terlebih dahulu. Untuk mengetahui dan memahami tentang masalah optimisasi, digunakan buku (Chong dan Żak, 2008) sebagai referensi. Dalam buku tersebut dijelaskan bahwa masalah optimisasi dapat diselesaikan dengan turunan pertama dan kedua. Turunan pertama digunakan untuk menentukan titik stasioner dari fungsi yang dioptimalkan, sedangkan turunan kedua digunakan untuk memastikan bahwa titik stasioner tersebut merupakan titik optimal. Masalah optimisasi yang dibahas dikhususkan pada masalah meminimumkan. Selain itu,
6 dalam referensi tersebut juga dijelaskan bahwa metode Newton merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi (meminimumkan) tanpa kendala. Metode Newton, merupakan salah satu metode yang menggunakan turunan pertama dan turunan kedua dari fungsi yang akan diminimalkan pada setiap iterasinya. Lebih lanjut, metode Newton ini digunakan sebagai dasar dari pembentukan rumus iterasi metode Gauss-Newton yang akan digunakan untuk menyelesaikan masalah nonlinear least squares pada pencocokan kurva. 1.6. Metode Penelitian Dalam skripsi ini digunakan metode studi literatur dengan cara membedah beberapa buku mengenai permasalahan nonlinear least squares pada pencocokan kurva beserta metode Gauss-Newton yang digunakan sebagai salah satu metode untuk menyelesaikan masalah nonlinear least squares pada pencocokan kurva. Selanjutnya, penulis melakukan studi mengenai masalah optimisasi tanpa kendala dan metode-metode untuk menyelesaikan masalah optimisasi tanpa kendala. Selanjutnya, penulis mempelajari masalah nonlinear least squares beserta contoh permasalahannya. Selain itu, dipelajari pula penurunan metode Gauss-Newton sebagai metode khusus untuk menyelesaikan contoh permalasahan nonlinear least squares pada pencocokan kurva. Pada tahapan berikutnya, penulis menyusun syntax program untuk menyelesaikan permasalahan nonlinear least squares pada pencocokan kurva menggunakan program MATLAB. Selanjutnya, dilakukan aplikasi metode Gauss-Newton untuk menyelesaikan permasalahan nonlinear least squares pada pencocokan kurva terhadap data jumlah populasi penduduk Indonesia antara tahun 1961 dan 2010, serta pencocokan kurva terhadap data pendapatan perusahaan Cisco dari tahun 1997 sampai tahun 2016. 1.7. Sistematika Penulisan Penulisan skripsi ini dilakukan dengan sistematika sebagai berikut : BAB I PENDAHULUAN Pada bagian ini dilakukan pembahasan mengenai latar belakang permasalahan, ru-
7 musan masalah, batasan masalah, tujuan dan manfaat penulisan skripsi, tinjauan pustaka, metode penelitian dan sistematika penulisan skripsi. BAB II DASAR TEORI Pembahasan pada dasar teori meliputi teori-teori yang berhubungan dengan masalah nonlinear least squares yang dibahas dalam skripsi ini, diantaranya norma vektor dan norma matriks, derivatif fungsi R n R, persekitaran titik, titik interior dan titik batas himpunan, titik minimum dalam masalah optimisasi, optimisasi fungsi konveks, metode Newton, pencocokan kurva, fungsi terdiferensiabel kontinu dari R n R, fungsi terdiferensiabel kontinu dari R n R m, integral fungsi R n R m n dan kekontinuan Lipschitz fungsi R n R m n. BAB III MASALAH NONLINEAR LEAST SQUARES Pada bab ini, dijabarkan mengenai permasalahan nonlinear least squares dalam pencocokan kurva. Selain itu, dijabarkan metode Gauss-Newton sebagai metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah nonlinear least squares yang dipandang sebagai masalah optimisasi (meminimumkan) tanpa kendala. Selanjutnya, juga dibahas tentang konvergensi dari metode Gauss-Newton tersebut. Lebih lanjut, dilakukan pula implementasi model pada data jumlah populasi warga negara Indonesia antara tahun 1961 dan 2010, serta terhadap data pendapatan perusahaan Cisco dari tahun 1997 sampai tahun 2016. Hasil implementasi dapat digunakan untuk mengetahui suatu kurva dengan persamaan matematis yang dapat menggambarkan atau memodelkan data tersebut. BAB IV PENUTUP Pada bagian ini dipaparkan kesimpulan dari penyelesaian masalah nonlinear least squares pada pencocokan kurva terhadap data jumlah populasi warga negara Indonesia antara tahun 1961 dan 2010, serta pencocokan kurva terhadap data pendapatan perusahaan Cisco dari tahun 1997 sampai tahun 2016. Selanjutnya, diberikan pula saran serta rekomendasi untuk penelitian berikutnya.