I. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Untuk mengungkapkan perilaku dinamik suatu sistem fisik seperti mekanik, listrik, hidrolik dan lain sebagainya, umumnya sistem fisik dimaksud dimodelkan dengan sistem matematik melalui persamaan diferensial. Pemodelan sistem fisik dapat diuraikan dengan persamaan diferensial dalam bentuk orde satu, orde dua bahkan sampai orde tinggi orde n, tergantung perilaku sistem fisik dimaksud. Pemodelan sistem fisik diberikan dengan menggunakan persamaan diferensial dalam kawasan waktu kontinyu. Persamaan diferensial ada yang bersifat linier, tapi ada kalanya persamaan diferensial memiliki persamaan non-linier. Solusi persamaan diferensial secara umum diberikan dalam bentuk eksponen, ada yang berupa solusi khusus dan ada yang berupa solusi partikulir, dan jumlah dari keduanya disebut dengan solusi umum. Kesulitan yang terjadi dalam menyelesaikan persamaan diferensial adalah menentukan solusi partikulir, karena fungsi masukan dapat bervariasi mulai dari konstanta, fungsi waktu, exponensial dan fungsi sinus. Salah satu solusi yang diharapkan dalam memahami perilaku dinamik suatu sistem adalah dalam bentuk grafis, sehingga perilaku dinamik sistem dimaksud diamati melalui hasil grafis output sistem yang diperoleh. Solusi persamaan grafis mungkin banyak, tetapi salah satu metoda yang cukup baik dalam menyelesaikan persamaan diferensial adalah dengan metoda Runge-Kutta. Metoda ini memiliki cara numerik untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial, dan metoda ini dapat digunakan sekaligus untuk persamaan diferensial dalam bentuk linier maupun non-linier. Dalam dunia sistem kendali, hampir semua sistem dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial, dan karakteristik sistem dimaksud diamati dari persamaan diferensial yang diberikan. Salah satu solusi yang digunakan menyelesaikan persamaan diferensial adalah dengan metoda Transformasi Laplace, tetapi metoda ini hanya berlaku untuk sistem yang linier. Selanjutnya jika diinginkan menganalisis karakteristik sistem dimaksud, maka solusi transformasi Laplace tadi

juga diuraikan lagi dengan melakukan invers transformasi Laplace, dan diperoleh hasil dalam bentuk matematis berupa persamaan sebagai fungsi dari waktu. Solusi persamaan diferensial menggunakan metoda Runge-Kutta berlaku untuk persamaan diferensial orde kesatu. Untuk persamaan diferensial orde kedua, ketiga dan seterusnya, maka dilakukan cara lain dalam menyelesaikannya. Persamaan diferensial dalam orde dua atau lebih harus dibentuk menjadi sejumlah persamaan diferensial orde kesatu, sehingga setiap persamaan diferensial orde kesatu yang diperoleh diselesaikan secara simultan atau bersama-sama, dan setiap persamaan diferensial orde kesatu tersebut diselesaikan dengan menggunakan solusi Runge-Kutta. Sedangkan metoda yang digunakan untuk membentuk sebuah persamaan diferensial orde ke-n menjadi sejumlah persamaan diferensial orde kesatu, diberikan oleh suatu persamaan yang dikenal dengan Persamaan Ruang Keadaan. Persamaan ruang keadaan dibahas dalam ruang berdimensi n yang sumbu koordinatnya terdiri dari sumbu x1, sumbu x,..., sumbu xn, yang disebut sebagai ruang keadaan. Setiap keadaan dimaksud dapat dinyatakan dengan suatu titik pada ruang keadaan, dan suatu titik tersebut menandakan keberadaan dari suatu persamaan diferensial orde kesatu. Persamaan diferensial dalam dunia sistem kendali ditemui dalam sejumlah sistem seperti rangkaian listrik seperti resistor-induktor-kapasitor, mesin-mesin listrik yang memiliki resistansi-induktansi magnet, sistem mekanik berupa massapegas-dashpot, sistem pemodelan pengendalian pesawat, sistem pemodelan ayunan pada pengaturan pegas/per kenderaan, sistem pemanasan udara dan lain sebagainya. Setiap sistem dapat diamati jika diketahui karakteristik sistem dimaksud, yang umumnya dalam bentuk solusi grafis karena sistem dimaksud diamati setiap waktu. Solusi persamaan diferensial menggunakan metoda Runge-Kutta dimaksud, tentunya akan dihitung secara step by step dengan interval waktu selama h detik, sehingga akan memperoleh iterasi yang cukup banyak jika waktu yang diberikan cukup lama dengan interval waktu yang kecil. Oleh karena itu perhitungan

numerik tidak dapat dilakukan lagi dengan manual, dan menggambarkan solusi grafis juga tidak dapat lagi dilakukan secara manual. Oleh karena itu, persoalan matematis dan numerik dimaksud dapat diselesaikan menggunakan software khusus pemograman dalam bentuk matematik yang dikenal dengan software matrix laboratory atau dikenal dengan nama matlab. Software matlab sudah bergembang dari versi dos versi 3,5 hingga versi windows pertama dengan versi matlab for windows 4,0 dan 4,. Sekarang ini software ini berkembang hingga ke matlab for windows versi 6, 7 dan versi 8. Akan tetapi versi 4, sudah cukup memadai jika yang dikerjakan adalah solusi grafis dengan metoda Runge-Kutta dimaksud. 1.. Perumusan Masalah Yang menjadi masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana menyelesaikan persamaan diferensial, dimana persamaan diferensial dimaksud berada dalam orde terbatas ke-n dan akan diuraikan dalam bentuk persamaan diferensial orde kesatu sebanyak n buah, dan setiap persamaan diferensial orde kesatu tersebut secara bersamaan secara numerik deiselesaikan dengan metoda Runge-Kutta. Penyelesaian dengan cara numerik selanjutnya diproses dengan menggunakan program komputer berbasis matlab, sehingga jika proses sudah selesai selama waktu yang ditentukan dengan interval waktu tertentu, maka selanjutnya diperlukan proses lanjut untuk menggambarkan hasil dimaksud secara grafis. Analisa tidak perlu dilakukan, karena analisa hanya mungkin dilakukan jika sistem yang diamati adalah benar-benar mewakili persamaan dinamis sistem tertentu. Maka analisis hanya dilakukan untuk melihat apakah proses solusi dengan metoda Runge-Kutta sudah berjalan dengan benar. 1.3. Tujuan Penelitian Adapun tujuan dari penelitian ini adalah untuk memberikan tahapan-tahapan dalam menyelesaikan persamaan diferensial orde terbatas ke-n dengan metoda Runge-Kutta yang dilengkapi dengan program komputer berbasis matlab, sehingga para ilmuwan yang bergerak dalam dunia persamaan diferensial dapat

menggunakan metoda dan program yang disajikan ini sebagai salah satu metoda dalam solusi persamaan diferensial. 1.4. Kontribusi Penelitian Penelitian ini akan memberikan kontribusi kepada ilmuwan khususnya mahasiswa dan dosen di Program Studi teknik Elektro dalam beberapa hal yaitu, 1. Lebih mudah menyelesaikan persamaan diferensial dalam bentuk grafis dengan menggunakan metod Runge-Kutta.. Mendapat pengetahuan tambahan dalam penggunaan program komputer matlab yang sudah familiar di PSTE, sehingga mahasiswa dapat lebih bersemangat menggunakan matlab. 3. Sebagai salah satu motivasi mendorong mahasiswa agar lebih semangat membahas sistem yang lebih kompleks yang terkait dengan persamaan diferensial, khususnya dalam pengoperasian simulasi berbasis matlab. 4. Sebagai salah satu kegiatan Tridarma Perguruan Tinggi PSTE UHN, ikut serta dalam meningkatkan akreditasi PSTE.

II. TIJAUAN PUSTAKA. 1. Uraian Persamaan Diferensial Deskripsi matematik dari karakteristik dinamik suatu sistem disebut model matematik. Langkah pertama dalam analisis suatu sistem dinamik adalah menurunkan modelnya, dan secara umum bentuk persamaan diferensial orde ke-n yang bersifat linier dapat dituliskan seperti pada persamaan (-1), n n1 d y( d y( dy( a 1... a1 a0 y( u( n n (-1) n1 dt dt dt dimana, a n-1, a 1, a 0 y( u( : adalah konstanta : variabel output sebagai fungsi dari waktu : variabel input sebagai fungsi dari waktu Dalam dunia sistem kendali bahwa persamaan (-1) di atas diselesaikan dengan menggunakan metoda persamaan ruang keadaan dan metoda transformasi Laplace, dengan syarat diketahui semua kondisi awal untuk setiap waktu diferensial dimaksud. Sedangkan persamaan diferensial dalam bentuk non-linier dapat berisikan unsur lain seperti sinus dan pangkat dua seperti dituliskan pada persamaan berikut. d y dt dy a1 sin y a dt 0 d y( a dt 1 dy( ( ) dt a y u 0 y( sin( u( ) d y( dy( a1 a0 y( y ( u( dt dt Adanya unsur sinus dalam persamaan dimaksud membuat tidak mungkin persamaan di atas diselesaikan dengan menggunakan metoda transformasi

Laplace, walaupun syarat diketahui semua kondisi awal untuk setiap waktu diferensial dimaksud. Berbagai persamaan diferensial dapat ditemui dalam bentuk aplikasi, baik listrik maupun mekanik. Persamaan diferensial (-1) di atas dapat diuraikan menjadi sejumlah persamaan diferensial orde satu seperti dituliskan seperti pada persamaan (-). Dalam hal ini terdapat sejumlah variabel x 1, x,..., x n yang disebut dengan variabel keadaan dalam persamaan ruang keadaan orde ke-n, sebagai persamaan diferensial orde kesatu sebanyak n buah. x y 1 dx dt 1 dy x dt dx dt... dx dt n1 n1 d y x dt d dt n1 n1 3 y x n (-) dx dt. n n n d y a0x1 a1x n dt... a x n1 n u.. Solusi Persamaan Diferensial Berbagai metoda dapat digunakan dalam menyelesaiakan persamaan diferensial, baik secara analitik maupun dengan menggunakan proses transformasi seperti transformasi Laplace, tetapi secara numerikpun tidak kalah banyak metoda yang dapat digunakan, seperti metoda Euler, metoda Deret Taylor, metoda Heun, metoda Poligon, dan metoda Runge-Kutta dan mungkin masih ada metoda lainnya.

Contoh 1 : Tinjau suatu persamaan diferensial orde ke-satu berikut ini : dy( a y( b u( dt Dua variabel u dan y sebagai fungsi waktu t. Fungsi masukan adalah u( dan fungsi keluaran adalah y(, dengan a dan b adalah parameter konstan. Dengan mengetahui kondisi awal y(0) = y 0, solusi persamaan diferensial orde kesatu dimaksud dengan menggunakan transformasi Laplace adalah, s Y(s) + a Y(s) = b U(s) atau dapat lagi disederhanakan menjadi, b Y( s) U ( s) s a Fungsi penggerak U(s) dalam sistem kendali dapat terdiri dari fungsi unit step, fungsi ramp, fungsi eksponen atau fungsi sinus seperti ditunjukkan pada tabel -1. Tabel -1. Jenis Fungsi Masukan No. f( F(s) Nama fungsi 1 1( 1 s unit step 1 t s 3 e -at 1 s a w 4 A sin wt A s w ramp exponen sinus

Fungsi penggerak U(s) dipilih salah satu dari Tabel -1 sesuai keperluan pengendalian. Misalnya yang dipilih adalah fungsi unit step, maka keluaran memiliki persamaan, Y ( s) b s ( s a ) Dan invers transformasi Laplace dari persamaan di atas adalah, b b y t 1 ( ) L e s s a ( ) a 1 at Jika diketahui nilai variabel b = a =, dan digambarkan dalam kurun waktu t = 4 detik, maka diperoleh hasil y( = 1 e - t Dan hasil dalam bentuk grafik diperoleh seperti pada Gambar -1. 1 0.9 0.8 0.7 0.6 y( 0.5 0.4 0.3 0. 0.1 0 0 0.5 1 1.5.5 3 3.5 4 t Gambar -1. Grafik y(=1-e -t

Jika persamaan diferensial orde 1 di atas diselesaikan dengan solusi umum persamaan diferensial orde 1, maka diuraikan sebagai berikut : Untuk persamaan diferensial orde satu dengan bentuk, dy( a b y( f ( dt Maka solusi homogen persamaan diferensial orde satu y a adalah, y a K a e ( b / a) t Sedangkan solusi khusus y p untuk fungsi f( yang berbeda diperoleh dengan, f( = 0 maka y p = 0 f( = A, konstanta maka y p = K f( = A e at maka y p = K e at f( = A sin(w maka y p =K c cos(w + K s sin(w Sehingga solusi total y total persamaan diferensial orde satu adalah, y total y p K a e ( b / a) t Untuk contoh soal yang diberikan sebelumnya, maka solusi totla untuk persamaan diferensial orde satu dimaksud adalah, Untuk a = 1 dan b =, dan untuk fungsi f( = A = maka y p = 1 dan K a = -1, sehingga didapat y( 1 e t Hasil ini sama dengan hasil yang diperoleh menggunanakan transformasi Laplace. Jika persamaan diferensial memiliki bentuk linier orde dua seperti, d y( a dt 1 dy( a dt 0 y( b u(

Dan diketahui nila a 1 = 1, nilai a 0 = 10 dan nilai b = 4, maka persamaan di atas ditulis dengan, d y( dy( 10 y( 4u( dt dt Dalam bentuk Laplace untuk kondisi awal y(0) = 0 dan y(-1) = 0, dengan masukan u( = 1, diperoleh hasil Laplace persamaan diferensial orde dua di atas yaitu Y(s) dan pemisahannya dengan, Y s) s( s 4 s 10) m s 1 ( m s m3 s s 10 Nilai parameter pemisahan m 1, m dan m 3 diperoleh seperti berikut : m 1 (s + s + 10) + (m s + m 3 ) s = 4 atau m 1 + m = 0 m 1 + m 3 = 0 10 m 1 = 4 Diperoleh, m 1 = 0,4 dan m 3 = -0,4 dan m = 0,4 sehingga didapat, y L 1 1 s 1 Y ( s) L 0,4 1 ( Dan diperoleh, s s s 10 y( = 0,4 e t / 3 1 cos( 10 sin( 10 t 10 Dan hasil dalam bentuk grafik diperoleh seperti pada Gambar -.

0.7 0.6 0.5 ----------> y( 0.4 0.3 0. 0.1 0 0 4 6 8 10 ----------> t Gambar -. Grafik y( Plant Orde Dua Versi Laplace Dengan menggunakan perintah langsung matlab, yaitu dengan memberi perintah, t = 0:0.1:10 ; y = step( 4, [1 1 10], t ) ; plot ( t, y, w ) diperoleh grafik seperti pada Gambar -3. 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0.1 0 0 4 6 8 10 Gambar -3. Grafik y( Plant Orde Dua Versi Matlab

0.7 0.6 0.5 Matlab ----------> y( 0.4 0.3 0. 0.1 0 0 4 6 8 10 ----------> t Gambar -4. Grafik y( Versi Laplace dan Matlab Dari uraian yang diberikan, maka dapat disimpulkan bawa penggunaan metoda transformasi Laplace dan metoda solusi umum persamaan diferensial cukup sulit, apalagi jika untuk sistem dengan orde yang tinggi mulai orde tiga ke atas. Untuk itu diperlukan metoda numerik seperti metod pengintegralan Runge- Kutta sehingga solusi dalam bentuk angka dan grafis lebih mudah diperoleh..3. Metoda Runge Kutta Metoda Runge-Kutta memiliki ketelitian yang tinggi dalam integrasi persamaan diferensial, dan karena metoda ini berupa metoda numerik, maka metoda ini sangat cocok dilalukan dengan komputasi melalui komputer digital. Berdasarkan survey yang dilakukan dalam bentuk literatur dan melalui tulisan ilmiah pada internet, ditemukan beberapa bentuk solusi yang diberikan oleh Runge-Kutta, yaitu Runge-Kutta Orde Dua, Runge-Kutta Orde Tiga, Runge- Kutta Orde Empat, Runge-Kutta Gill Orde Empat, dan Runge-Kutta Fehlberg pada Update Orde Empat dan Orde Lima. Bentuk umum metoda Runge-Kutta orde-n ialah,

y i+1 = y i + a 1 k 1 + a k + a 3 k 3 +... + a n k n dengan a 1, a,..., a n adalah tetapan, dan k 1, k,..., k n ialah, k 1 h f ( t r, y ) i k k 3... k n h h h f ( t i 1 f ( t p i f ( t p i p h, y q n1 i 11 h, y q i k ) 1 h, y q i 1 k q 1 n1,1 1 k k q ) n1, k... q k ) n1, n1 n1 (-4) Dalam hal ini variabel h adalah interval waktu dalam iterasi yang dilakukan, dan variabel k 1, k,...,k n adalah variabel persamaan Runge-Kutta menurut orde yang digunakan, sehingga dalam hal ini y r+1 adalah hasil akhir dari pengintegralan persamaan diferensial untuk satu interval waktu dari h untuk y r. Variabel lainnya yaitu p i dan q i adalah parameter yang dipilih tergantung metoda yang digunakan. Ketentuan yang diberikan dalam pengintegralan secara numerik adalah : Nilai a i, dan k i dipilih sedemikian rupa sehingga meminimumkan galat per langkah untuk memperoleh hasil pengintegralan terbaik. Orde metoda = n..3.1. Metoda Runge-Kutta Orde Dua Bentuk persamaan diferensial yang akan diintegrasikan dengan metoda Runge-Kutta ialah, dy( f ( t, y) m y( cu( dt Dalam hal ini u adalah variabel masukan, y adalah variabel keluaran dan t adalah waktu, dengan m dan c adalah konstanta. Solusi pertama Metoda Runge-Kutta untuk pengintegralan persamaan diferensial (-3) adalah Runge-Kutta orde dua, dan bentuk persamaan ini dituliskan dengan, y i+1 = y i + a 1 k 1 + a k (-3)

a. Mengacu pada metoda Heun, dalam hal ini a 1 = a = 1/ Untuk kondisi ini, maka kedua variabel Runge-Kutta k 1 dan k diperoleh dengan, k 1 = h (m y i + c u) k = h (m (y i +k 1 )+ c u) y i+1 = y i + ( k 1 + k ) / (-4) Metoda Heun adalah metoda yang paling umum digunakan dalam pengintegralan dalam orde yang terendah, tetapi memberi hasil terbatas pada persamaan diferensial. b. Mengacu pada metoda Poligon, dalam hal ini a 1 = 0 dan a = 1 k 1 = h (m y i + c u) k = h (m (y i +k 1 /)+ c u) y i+1 = y i + k (-5) c. Mengacu pada metoda Raltson, dalam hal ini a 1 = 1/3 dan a = /3 k 1 = h (m y i + c u) k = h (m (y i +3/4 k 1 )+ c u) y i+1 = y i + ( k 1 + k ) / 3 (-6).3.. Metoda Runge-Kutta Orde Tiga

Solusi kedua Metoda Runge-Kutta untuk pengintegralan persamaan diferensial (- 3) adalah Runge-Kutta orde tiga, dan bentuk persamaan ini dituliskan dengan, y i+1 = y i + a 1 k 1 + a k + a 3 k 3 Pada metoda ini, ditentukan a 1 = a 3 = 1/6 dan a = /3 sehingga, y i+1 = y i + ( k 1 + 4 k + k 3 ) / 6 (-7) Ketiga variabel Runge-Kutta k 1, k dan k 3 diperoleh dengan, k 1 = h (m y i + c u) k = h (m (y i +k 1 /)+ c u) k 3 = h (m (y i - k 1 + k )+ c u).3.3. Metoda Runge-Kutta Orde Empat Solusi ketiga Metoda Runge-Kutta untuk pengintegralan persamaan diferensial (- 3) adalah Runge-Kutta orde empat, dan bentuk persamaan yang umum digunakan dan persamaan ini dituliskan dengan, y i+1 = y i + a 1 k 1 + a k + a 3 k 3 + a 4 k 4 Pada metoda ini, ditentukan a 1 = a 4 = 1/6 dan a = a 3 = /6 sehingga, y i+1 = y i + ( k 1 + k + k 3 + k 4 ) / 6 (-8) Keempat variabel Runge-Kutta k 1, k, k 3 dan k 4 diperoleh dengan, k 1 = h (m y i + c u) k = h (m (y i + k 1 /)+ c u) k 3 = h (m (y i + k /)+ c u) k 4 = h (m (y i + k 3 )+ c u) Solusi Lainnya dengan Metoda Runge-Kutta GILL untuk pengintegralan persamaan diferensial (-3) yang juga orde empat, dan bentuk persamaan ini dituliskan dengan,

y i+1 = y i + ( k 1 + k 4 ) / 6 ( b k + d k 3 ) / 3 (-9) Keempat variabel Runge-Kutta GILL k 1, k, k 3 dan k 4 diperoleh dengan, k 1 = h (m y i + c u) k = h (m (y i + k 1 /)+ c u) k 3 = h (m (y i +a k 1 + b k )+ c u) k 4 = h (m (y i + c k + d k 3 )+ c u) dalam hal ini, a 1 b c d 1.3.4. Metoda Runge-Kutta FEHLBERG Solusi lainnya untuk pengintegralan persamaan diferensial (-3) adalah Metoda Runge-Kutta FEHLBERG, dengan solusi orde empat, namum memiliki ketelitian sampai orde lima dan tapi dengan menggunakan 6 variabel, dan variabel bentuk persamaan ini dituliskan dengan, k 1 = h (m y i + c u) k = h (m (y i + k 1 /4)+ c u) 3 9 k3 h m yi k1 k 3 3 cu 193 700 796 k4 h m yi k1 k k3 197 197 197 cu 439 3680 845 k5 h m yi k1 8k k3 k4 16 513 4104 cu

8 3544 1859 11 k6 h m yi k1 k k3 k4 k5 7 565 4104 40 cu (-10) Maka untuk Formula Update orde empat diberikan dengan, 5 1408 197 1 yi 1 yi k1 k3 k4 k5 (-11) 16 565 4104 5 Dan untuk Formula Update orde lima diberikan dengan, 16 6656 8561 9 yi 1 yi k1 k3 k4 k5 k6 (-1) 135 185 56437 50 55 Dari uraian metoda pada sub-bab.1 sampai.4, diuraikan ada 8 bentuk solusi pengintegralan dengan Metoda Runge-Kutta, yaitu : 1. Solusi Runge-Kutta Orde Dua Metoda Heun. Solusi Runge-Kutta Orde Dua Metoda Poligon 3. Solusi Runge-Kutta Orde Dua Metoda Raltson 4. Solusi Runge-Kutta Orde Tiga Umum 5. Solusi Runge-Kutta Orde Empat Umum 6. Solusi Runge-Kutta GILL Orde Empat. 7. Solusi Runge-Kutta FEHLBERG dengan Formula Update Orde Empat 8. Solusi Runge-Kutta FEHLBERG dengan Formula Update Orde Lima.4. Penggunaan Ganda Metoda Runge Kutta

Seperti diuraikan sebelumnya bahwa metoda Runge-Kutta memiliki ketelitian yang tinggi dalam integrasi persamaan diferensial. Penggunaan metoda ini dalam metoda numerik, dapat dikembangkan dengan menggunakan variabel ganda yang tetap mengacu pada metoda Runge-Kutta yang sudah diuraikan sebelumnya. Persamaan diferensial dapat terbentuk dalam bentuk orde kedua, orde ketiga hingga orde ke n seperti pada persamaan (-1). Jika persamaan diferensial terdiri dari orde dua atau lebih, maka metoda Runge-Kutta hanya dapat digunakan setelah semua persamaan diferensial dibentuk kedalam sejumlah persamaan orde satu seperti pada persamaan (-). Penggunaan solusi yang diberikan oleh Runge-Kutta, yaitu Runge-Kutta Orde Dua, Runge-Kutta Orde Tiga, Runge-Kutta Orde Empat, Runge-Kutta Gill Orde Empat, dan Runge-Kutta Fehlberg pada Update Orde Empat dan Update Orde Lima yang sudah diberikan, harus digunakan secara ganda sejumlah m pasang, tergantung pada derajat persamaan diferensial yang diintegrasikan..4.1. Metoda Runge Kutta Ganda Tinjau sebuah persamaan diferensial orde dua seperti berikut : d y( a dt 1 dy( a dt 0 y( b u( Mengacu ke persamaan (-), jika persamaan di atas dibentuk menjadi persamaan diferensial orde satu, maka haruslah dibuat dengan aturan berikut. Definisikan, x ( 1 y( dx1( dy( x dt dt ( Maka persamaan diferensial orde dua di atas menjadi,

dx ( d y( a0 x1( a1 x ( bu( t ) dt dt Terlihat bahwa terdapat dua persamaan diferensial orde satu dari bentuk persamaan diferensial orde dua sebelumnya. Kondisi sekarang ini, kedua persamaan diferensial dimaksud harus diselesaikan secara bersamaan dengan menggunakan metoda Runge-Kutta. Oleh karena itu harus dipilih dua variable sekaligus sebagai variable Runge-Kutta yang harus digunakan secara bersamaan pula. Misalkan dalam hal ini dipilih dua variable k dan l..4.1.1. Pengintegralan Metoda Runge-Kutta Orde Dua Pengintegralan persamaan diferensial dalam bentuk orde dua menggunakan metoda Heun, dapat dituliskan dengan : k 1 = h x 0 ( l 1 = h ( -a 0 x 10 ( a 1 x 0 ( + b u ( ) k = h ( x 0 ( + l 1 ) l = h ( -a 0 (x 10 (+k 1 ) a 1 (x 0 (+l 1 ) + b u( ) Dan hasil pengintegrasian pertama diperoleh dengan, x 11 = x 10 + ( k 1 + k ) / x 1 = x 0 + ( l 1 + l ) /.4.1.. Pengintegralan Metoda Runge-Kutta Orde Tiga Dalam bentuk orde tiga penyelesaian persamaan diferensial orde dua di atas dapat dituliskan dengan : k 1 = h x 0 ( l 1 = h ( -a 0 x 10 ( a 1 x 0 ( + b u ( ) k = h ( x 0 ( + l 1 ) l = h (-a 0 (x 10 (+k 1 /) a 1 (x 0 (+l 1 /)) + b u( )

k 3 = h ( x 0 ( - l 1 + l ) l 3 = h (-a 0 (x 10 (-k 1 + k ) a 1 (x 0 ( - l 1 + l )) + b u( ) Dan hasil pengintegrasian pertama diperoleh dengan, x 11 = x 10 + ( k 1 + 4 k + k 3 ) / 6 x 1 = x 0 + ( l 1 + 4 l + l 3 ) / 6.4.1.3. Pengintegralan Metoda Runge-Kutta Orde Empat Dalam bentuk orde empat penyelesaian persamaan diferensial orde dua di atas dapat dituliskan dengan : k 1 = h x 0 ( l 1 = h ( -a 0 x 10 ( a 1 x 0 ( + b u ( ) k = h ( x 0 ( + l 1 / ) l = h (-a 0 (x 10 (+k 1 /) a 1 (x 0 (+l 1 /)) + b u( ) k 3 = h ( x 0 ( + l / ) l 3 = h (-a 0 (x 10 (+k /) a 1 (x 0 (+l /)) + b u( ) k 4 = h ( x 0 ( + l 3 ) l 4 = h (-a 0 (x 10 (+k 3 ) a 1 (x 0 (+l 3 )) + b u( ) Dan hasil pengintegrasian pertama diperoleh dengan, x 11 = x 10 + ( k 1 + k + k 3 + k 4 ) / 6 x 1 = x 0 + ( l 1 + l + l 3 + l 4 ) / 6 Dari uraian tentang penyelesaia persamaan diferensial orde dua di atas, selanjutnya jika diketahui ada persamaan diferensial orde 3, orde 4 hingga orde n, maka demikianlah prosesnya berlangsung, dibentuk 3 atau empat bahkan n variabel lagi, untuk membangun variabel Runge-Kutta. III. PROGRAM SIMULASI KOMPUTER MATLAB 3.1. Pengantar Program MATLAB

Kecepatan komputer digital dalam melakukan operasi aritmatika sangat memungkinkan banyak pengguna untuk menggunakan pendekatan dalam menyelesaikan integrasi persamaan diferensial. Dengan komputer digital maka analisis dapat berkembang dan tidak hanya terbatas pada orde kesatu dan kedua yang dapat dihitung manual, sehingga dapat diselesaikan berbagai persamaan dengan orde yang tinggi dan dengan jumlah variabel yang banyak. Metoda numerik selanjutnya diselesaikan dengan menggunakan program komputer berbasis Matrix Laboratory atau dikenal dengan nama matlab. Dalam hal ini matlab yang akan digunakan adalah versi 4, dengan memiliki tiga jenis tampilan window seperti pada Gambar 4.1 sampai dengan gambar 4.3. Gambar 4.1 adalah tampilan window Workspace sebagai zona kerja pada layar matlab atau disebut dengan Window Workspace. Gambar 4. adah tampilan window disaat diinginkan menunjukkan hasil grafis perhitungan dengan variabel tertentu, dan disebut dengan Window Grafik. Sedangkan Gambar 4.3 adalah tampilan window saat diperlukan pengeditan program yang akan dieksekusi dengan matlab, disebut dengan Window Editor. Tampilan window Gambar. dan Gambar.3 dapat ditampilkan lebih dari satu, sesuai dengan jumlah gambar yang ingin ditampilkan dan jumlah layar pengeditan yang ingin dilakukan. Gambar.1 Window Workspace Matlab

Gambar. Window Grafik Matlab Gambar.3 Window Editor Matlab Pemrograman dalam matlab tidak berbeda dari program lain seperti basic dan pascal, dapat memiliki program utama dan dapat memiliki sejumlah subprogram yang akan dieksekusi secara bersama-sama. Yang menarik dan penting

dalam matlab adalah bahwa telah tersedia sejumlah fungsi penting dan sub-rutin program yang dapat digunakan secara langsung, misalnya matriks dan prosesnya, menyediakan sub-rutin seperti invers, sub-rutin pembuatan grafis juga sudah tersedia secara lengkap. Pengguna program ini juga dapat menambahkan subprogram baru yang dibuat secara tersendiri dan digunakan secara bersama-sama dengan sub-program yang sudah ada disediakan matlab. Program matlab secara umum sudah familiar di Program Studi Teknik Elektro dan sudah digunakan banyak dalam analisis sistem pada saat penulisan Tugas Akhir mahasiswa, khususnya konsentrasi teknik kendali. Hanya saja penuntun program ini tidak banyak yang berkaitan langsung dengan penggunaannya dalam dunia teknik elektro. 3.. Program Simulasi MATLAB Program Simulasi ini bertujuan memberikan cara penyelesaian persamaan diferensial orde satu dan orde dua yang diselesaikan dengan berbagai bentuk solusi dengan menggunakan Metoda Runge-Kutta. Dipilih persamaan diferensial orde satu dan orde dua seperti berikut ini : dy( 1. y( u( dt d y( dy(. 10 y( 4 u( dt dt Kondisi awal untuk kedua soal di atas semuanya adalah nol, dan nulai fungsi u( diberikan dengan fungsi unit step. Program matlab yang diperlukan dalam melakukan simulasi pengintegrasian persamaan diferensial menggunakan metoda Runge-Kutta, terdiri dari dua bagian yaitu, program utama dan sub-program. Sub-Program atau adalah program yang

dibuat menggunakan bentuk function yang digunakan menyelesaikan setiap step dalam penyelesaian secara numerik persamaan Runge-Kutta. Pada simulasi ini, untuk setiap plant orde satu dan plant orde dua, masingmasing dibuat simulasi menggunakan metoda Runge-Kutta mulai dari orde dua, orde tiga dan orde empat, yaitu : 1. Plant Orde Satu dengan Runge-Kutta Orde Dua a. Metoda Heun b. Metoda Poligon c. Metoda Raltson. Plant Orde Dua dengan Runge-Kutta Orde Dua a. Metoda Heun b. Metoda Poligon c. Metoda Raltson 3. Plant Orde Satu dengan Runge-Kutta Orde Tiga 4. Plant Orde Dua dengan Runge-Kutta Orde Tiga 5. Plant Orde Satu dengan Runge-Kutta Orde Empat 6. Plant Orde Dua dengan Runge-Kutta Orde Empat 3..1. Program Simulasi Metoda Runge-Kutta Orde Dua 3..1.1. Plant Orde Satu a. Program Utama : % Program Utama Plant Orde Satu % dy/dt = y + u % Sinyal Masukan u( = 1. clear u = 1 ; x0 =0 ; h = 0.1 ;

tf = 4 ; for i = 1:tf/h t(i) = (i 1)*h ; x(i) = x0 ; x1 = rkp1h(x0,h,u) ; x0 = x1 ; end plot(t,x) xlabel(' > t') ylabel(' > y(') % Selesai. b. Program Sub-Rutin Metoda Heun : function x1 = rkp1h(x0,h,u) % Orde Dua metoda Heun k1 = h* ( *x0 + *u ) ; k = h* ( *( x0 + k1) + *u ) ; k = ( k1 + k ) / ; x1 = x0 + k ; % return. c. Program Sub-Rutin Metoda Poligon : function x1 = rkp1p(x0,h,u) % Orde Dua metoda Heun k1 = h* ( *x0 + *u ) ; k = h* ( *( x0 + 0. 5*k1) + *u ) ; k = 0*k1 + 1*k ;

x1 = x0 + k ; % return. d. Program Sub-Rutin Metoda Raltson : function x1 = rkp1r(x0,h,u) % Orde Dua metoda Heun k1 = h* ( *x0 + *u ) ; k = h* ( *( x0 + 0.75*k1) + *u ) ; k = ( k1 + *k ) / 3 ; x1 = x0 + k ; % return. Catatan p1rkr.m : program utama dibuat dengan file p1rkh.m, p1rkp.m, Sub-rutin dibuat dengan file rkp1h.m, rkp1p.m, rkp1r.m 3..1.. Plant Orde Dua a. Program Utama % Program Utama Plant Orde Dua % dy/dt + dy/dt + 10 y = 4 u % Sinyal Masukan u( = 1. clear u = 1 ; x10 = 0 ; x0 = 0 ; h = 0.1 ; tf = 10 ; for i = 1:tf/h t(i) = (i 1)*h ;

end x1(i) = x10 ; x(i) = x0 ; [x11,x1] = rkph(x10,x0,h,u) ; x10 = x11 ; x0 = x1 ; plot(t,x1,'w') xlabel(' > t') ylabel(' > y(') % Selesai. b. Sub-rutin metoda Heun function [x11,x1] = rkph(x10,x0,h,u) % Orde Dua metoda Heun K1 = h*x0 ; L1 = h* ( 10*x10 x0 + 4*u ) ; K = h*(x0+l1) ; L = h* ( 10*(x10+K1) (x0+l1) + 4*u ) ; K = ( K1 + K ) / ; L = ( L1 + L ) / ; x11 = x10 + K ; x1 = x0 + L ; % return. c. Sub-rutin metoda Poligon function [x11,x1] = rkp1p(x10,x0,h,u) % Orde Dua metoda Poligon

K1 = h*x0 ; L1 = h* ( 10*x10 x0 + 4*u ) ; K = h*(x0+0.5*l1) ; L = h* ( 10*(x10+0.5*K1) (x0+0.5*l1) + 4*u ); K = 0*K1 + 1*K ; L = 0*L1 + 1*L ; x11 = x10 + K ; x1 = x0 + L ; % return. d. Sub-rutin metoda Raltson function [x11,x1] = rkpr(x10,x0,h,u) % Orde Dua metoda Raltson K1 = h*x0 ; L1 = h* ( 10*x10 x0 + 4*u ) ; K = h*(x0+0.75*l1) ; L = h* ( 10*(x10+0.75*K1) (x0+0.75*l1)+4*u ); K = ( 1*K1 + *K ) / 3 ; L = ( 1*L1 + *L ) / 3 ; x11 = x10 + K ; x1 = x0 + L ; % return. Catatan prkr,m : program utama dibuat dengan file prkh.m, prkp.m, Sub-rutin dibuat dengan file rkp1h.m, rkp1p.m, rkp1r.m

3... Program Simulasi Metoda Runge-Kutta Orde Tiga 3...1. Plant Orde Satu a. Program Utama : % Program Utama Plant Orde Satu % dy/dt = y + u % Sinyal Masukan u( = 1. clear u = 1 ; x0 =0 ; h = 0.1 ; tf = 4 ; for i = 1:tf/h t(i) = (i 1)*h ; x(i) = x0 ; x1 = rk3p1(x0,h,u) ; x0 = x1 ; end plot(t,x) xlabel(' > t') ylabel(' > y(') % Selesai. b. Program Sub-Rutin Metoda Heun : function x1 = rkp1h(x0,h,u) k1 = h* ( *x0 + *u ) ; k = h* ( *( x0 + k1/) + *u ) ;

k3 = h* ( *( x0 k1 + *k ) + *u ) ; k = ( k1 + 4*k + k3 ) / 6 ; x1 = x0 + k ; % return. Catatan : program utama dibuat dengan file p1rk3.m Sub-rutin dibuat dengan file rk3p1 3..1.. Plant Orde Dua a. Program Utama % Program Utama Plant Orde Dua % dy/dt + dy/dt + 10 y = 4 u % Sinyal Masukan u( = 1. clear u = 1 ; x10 = 0 ; x0 = 0 ; h = 0.1 ; tf = 10 ; for i = 1:tf/h t(i) = (i 1)*h ;

x1(i) = x10 ; x(i) = x0 ; [x11,x1] = rk3p (x10,x0,h,u) ; x10 = x11 ; x0 = x1 ; end plot(t,x1,'w') xlabel(' > t') ylabel(' > y(') % Selesai. b. Sub-rutin function [x11,x1] = rk3p(x10,x0,h,u) % Orde Dua metoda Heun K1 = h*x0 ; L1 = h*( 10*x10 x0 + 4*u ) ; K = h*(x0+l1/) ; L = h*( 10*(x10+K1/) (x0+l1/) + 4*u ) ; K3 = h*(x0 L1+*L) ; L3 = h*( 10*(x10 K1+*K) (x0 L1+*L) + 4*u ) ; K = ( K1 + 4*K + K3 ) / 6 ; L = ( L1 + 4*L + L3 ) / 6 ;

x11 = x10 + K ; x1 = x0 + L ; % return. Catatan : program utama dibuat dengan file prk3.m Sub-rutin dibuat dengan file rk3p 3..3. Program Simulasi Metoda Runge-Kutta Orde Empat 3..3.1. Plant Orde Satu a. Program Utama % Program Utama Plant Orde Satu % dy/dt = y + u % Sinyal Masukan u( = 1. clear u = 1 ; x0 =0 ; h = 0.1 ; tf = 4 ; for i = 1:tf/h t(i) = (i 1)*h ; x(i) = x0 ; x1 = rk4p1(x0,h,u) ; x0 = x1 ; end

plot(t,x,'w') xlabel(' > t') ylabel(' > y(') % Selesai. b. Sub-rutin function x1 = rkp1h(x0,h,u) k1 = h*( *x0 + *u ) ; k = h*( *( x0 + k1/ ) + *u ) ; k3 = h*( *( x0 + k/ ) + *u ) ; k4 = h*( *( x0 + k3 ) + *u ) ; k = ( k1 + *k + *k3 +k4 ) / 6 ; x1 = x0 + k ; % return. Catatan : program utama dibuat dengan file p1rk4.m Sub-rutin dibuat dengan file rk4p1 3... Plant Orde Dua a. Program Utama % Program Utama Plant Orde Dua % dy/dt + dy/dt + 10 y = 4 u % Sinyal Masukan u( = 1. clear u = 1 ;

x10 = 0 ; x0 = 0 ; h = 0.1 ; tf = 10 ; for i = 1:tf/h t(i) = (i 1)*h ; x1(i) = x10 ; x(i) = x0 ; [x11,x1] = rk4p(x10,x0,h,u) ; x10 = x11 ; x0 = x1 ; end plot(t,x1,'w') xlabel(' > t') ylabel(' > y(') % Selesai. b. Sub-rutin function [x11,x1] = rk3p(x10,x0,h,u) % Orde Dua metoda Heun K1 = h*x0 ; L1 = h*( 10*x10 x0 + 4*u ) ; K = h*(x0+l1/) ; L = h*( 10*(x10+K1/) (x0+l1/) + 4*u ) ; K3 = h*(x0+l/) ;

L3 = h*( 10*(x10+K/) (x0+l/) + 4*u ) ; K4 = h*(x0+l3) ; L4 = h*( 10*(x10+K3) (x0+l3) + 4*u ) ; K = ( K1 + *K + *K3 + K4) / 6 ; L = ( L1 + *L + *L3 + L4) / 6 ; x11 = x10 + K ; x1 = x0 + L ; % return. Catatan : program utama dibuat dengan file prk4.m Sub-rutin dibuat dengan file rk4p IV. HASIL PENELITIAN Hasil penelitian yang diperoleh adalah dalam bentuk numerik dan dalam bentuk grafik, baik untuk plant orde satu maupun untuk plant orde dua. Hasil penelitian diperoleh dengan menjalankan program yang diberikan pada bab 3. Semua program dibuat dalam satu direktori RK, untuk memudahkan setiap program utama dapat menggunakan sub-program yang diberikan. Pasti akan ada muncul pertanyaan, apakah hasil yang diperoleh akan dapat disebut akurat? Tentu dapat, jika hasil yang diperoleh dibandingkan dengan sebuah referensi, dan referensi yang diakui adalah hasil referensi menggunakan solusi yang diperoleh melalui program standard matlab, karena program ini sudah berstandar internasional yang dibangun oleh Mathworks Inc, dengan logo Matlab seperti pada Gambar 4.1.

Gambar 4-1. Logo Matlab Sebagai Referensi Program Simulasi Setelah setiap pasangan program utama dan sub-rutin dijalankan secara bersamaan, baik untuk plant orde satu maupun orde dua, baik untuk metode Runge-Kutta orde dua, tiga dan empat, diperoleh hasil seperti diberikan berikut ini. 4.1. Hasil Plant Orde Satu Metoda Runge Kutta Orde Dua 1 0.9 0.8 0.7 ----------> y( 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0.1 0 0 0.5 1 1.5.5 3 3.5 4 ----------> t

Gambar 4. Grafik Plant Orde Satu Runge Kutta Heun Orde Dua 1 0.9 0.8 0.7 ----------> y( 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0.1 0 0 0.5 1 1.5.5 3 3.5 4 ----------> t Gambar 4 3. Grafik Plant Orde Satu Runge Kutta Poligon Orde Dua 1 0.9 0.8 0.7 ----------> y( 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0.1 0 0 0.5 1 1.5.5 3 3.5 4 ----------> t Gambar 4 4. Grafik Plant Orde Satu Runge Kutta Raltson Orde Dua

Hasil pengintegralan plant orde satu dengan metode Runge-Kutta rode dua versi Heun, Poligon dan Raltson dapat dikatakan sama. Dari hasil numeric diperoleh data seperti pada Tabel 4-1. Hasil numeric ketiga metoda dibandingkan dengan hasil analitik invers Transformasi Laplace, memberikan kesalahan ratarata pada ketiga metoda dengan nilai sama yaitu 0,00097 atau dibulatkan menjadi 0,1 %. Dari angka yang kecil ini, dapat dikatakan metoda ini mendekati hasil analitik, dan memenuhi hasil yang diberikan oleh standard MATLAB. Tabel 4 1. Hasil Numerik Plant Orde Satu Metoda Runge Kutta Orde Dua t(de Laplace Heun Poligon Raltson Eh Ep Er 0.00 0 0 0 0 0 0 0 0.10 0.1813 0.18 0.18 0.18 0.00130 0.00130 0.00130 0.0 0.397 0.376 0.376 0.376 0.0010 0.0010 0.0010 0.30 0.451 0.4486 0.4486 0.4486 0.0060 0.0060 0.0060 0.40 0.5507 0.5479 0.5479 0.5479 0.0080 0.0080 0.0080 0.50 0.631 0.693 0.693 0.693 0.0080 0.0080 0.0080 0.60 0.6988 0.696 0.696 0.696 0.0080 0.0080 0.0080 0.70 0.7534 0.7507 0.7507 0.7507 0.0070 0.0070 0.0070 0.80 0.7981 0.7956 0.7956 0.7956 0.0050 0.0050 0.0050 0.90 0.8347 0.834 0.834 0.834 0.0030 0.0030 0.0030 1.00 0.8647 0.866 0.866 0.866 0.0010 0.0010 0.0010 1.10 0.889 0.8873 0.8873 0.8873 0.00190 0.00190 0.00190 1.0 0.9093 0.9076 0.9076 0.9076 0.00170 0.00170 0.00170 1.30 0.957 0.94 0.94 0.94 0.00150 0.00150 0.00150 1.40 0.939 0.9379 0.9379 0.9379 0.00130 0.00130 0.00130 1.50 0.950 0.949 0.949 0.949 0.0010 0.0010 0.0010 1.60 0.959 0.958 0.958 0.958 0.00100 0.00100 0.00100 1.70 0.9666 0.9657 0.9657 0.9657 0.00090 0.00090 0.00090 1.80 0.977 0.9719 0.9719 0.9719 0.00080 0.00080 0.00080 1.90 0.9776 0.977 0.977 0.977 0.00060 0.00060 0.00060

t(de Laplace Heun Poligon Raltson Eh Ep Er.00 0.9817 0.9811 0.9811 0.9811 0.00060 0.00060 0.00060.10 0.985 0.9845 0.9845 0.9845 0.00050 0.00050 0.00050.0 0.9877 0.9873 0.9873 0.9873 0.00040 0.00040 0.00040.30 0.9899 0.9896 0.9896 0.9896 0.00030 0.00030 0.00030.40 0.9918 0.9915 0.9915 0.9915 0.00030 0.00030 0.00030.50 0.9933 0.993 0.993 0.993 0.00030 0.00030 0.00030.60 0.9945 0.9943 0.9943 0.9943 0.0000 0.0000 0.0000.70 0.9955 0.9953 0.9953 0.9953 0.0000 0.0000 0.0000.80 0.9963 0.9961 0.9961 0.9961 0.0000 0.0000 0.0000.90 0.997 0.9968 0.9968 0.9968 0.0000 0.0000 0.0000 3.00 0.9975 0.9974 0.9974 0.9974 0.00010 0.00010 0.00010 3.10 0.998 0.9979 0.9979 0.9979 0.00010 0.00010 0.00010 3.0 0.9983 0.9983 0.9983 0.9983 0.00000 0.00000 0.00000 3.30 0.9986 0.9986 0.9986 0.9986 0.00000 0.00000 0.00000 3.40 0.9989 0.9988 0.9988 0.9988 0.00010 0.00010 0.00010 3.50 0.9991 0.999 0.999 0.999 0.00010 0.00010 0.00010 3.60 0.9993 0.999 0.999 0.999 0.00010 0.00010 0.00010 3.70 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.00000 0.00000 0.00000 3.80 0.9995 0.9995 0.9995 0.9995 0.00000 0.00000 0.00000 3.90 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.00000 0.00000 0.00000 Rata = 0.00097 0.00097 0.00097 4.. Hasil Plant Orde Dua Metoda Runge Kutta Orde Dua

0.7 0.6 0.5 ----------> y( 0.4 0.3 0. 0.1 0 0 4 6 8 10 ----------> t Gambar 4 5. Grafik Plant Dua Satu Runge Kutta Heun Orde Dua 0.7 0.6 0.5 ----------> y( 0.4 0.3 0. 0.1 0 0 4 6 8 10 ----------> t Gambar 4 6. Grafik Plant Dua Satu Runge Kutta Poligon Orde Dua

0.7 0.6 0.5 ----------> y( 0.4 0.3 0. 0.1 0 0 4 6 8 10 ----------> t Gambar 4 7. Grafik Plant Dua Satu Runge Kutta Raltson Orde Dua Hasil pengintegralan plant orde dua dengan metode Runge-Kutta rode dua versi Heun, Poligon dan Raltson juga dapat dikatakan sama. Dari hasil numerick diperoleh data seperti pada Tabel 4-. Hasil numeric ketiga metoda dibandingkan dengan hasil analitik invers Transformasi Laplace, memberikan kesalahan ratarata pada ketiga metoda dengan nilai sama yaitu 0,00001 atau dibulatkan menjadi 0,001 %. Dari angka yang kecil ini, dapat dikatakan metoda ini sangat akurat dibanding hasil analitik, dan memenuhi hasil yang diberikan oleh standard MATLAB. Tabel 4. Hasil Numerik Plant Orde Dua Metoda Runge Kutta Orde Dua t Laplace Heun Poligon Raltson Eh Ep Er 0 0 0 0 0 0 0 0 0.10 0.019 0.000 0.000 0.000-0.0008-0.0008-0.0008 0.0 0.075 0.0751 0.0751 0.0751-0.006-0.006-0.006

t Laplace Heun Poligon Raltson Eh Ep Er 0.30 0.1516 0.1565 0.1565 0.1565-0.0049-0.0049-0.0049 0.40 0.467 0.537 0.537 0.537-0.0070-0.0070-0.0070 0.50 0.3471 0.3557 0.3557 0.3557-0.0086-0.0086-0.0086 0.60 0.4430 0.451 0.451 0.451-0.0091-0.0091-0.0091 0.70 0.558 0.5340 0.5340 0.5340-0.008-0.008-0.008 0.80 0.5887 0.5948 0.5948 0.5948-0.0061-0.0061-0.0061 0.90 0.679 0.6307 0.6307 0.6307-0.008-0.008-0.008 1.00 0.6418 0.6407 0.6407 0.6407 0.0011 0.0011 0.0011 1.10 0.6316 0.661 0.661 0.661 0.0055 0.0055 0.0055 1.0 0.6005 0.5910 0.5910 0.5910 0.0095 0.0095 0.0095 1.30 0.5535 0.5407 0.5407 0.5407 0.018 0.018 0.018 1.40 0.4964 0.4815 0.4815 0.4815 0.0149 0.0149 0.0149 1.50 0.4357 0.40 0.40 0.40 0.0155 0.0155 0.0155 1.60 0.3773 0.369 0.369 0.369 0.0144 0.0144 0.0144 1.70 0.367 0.3148 0.3148 0.3148 0.0119 0.0119 0.0119 1.80 0.878 0.797 0.797 0.797 0.0081 0.0081 0.0081 1.90 0.63 0.597 0.597 0.597 0.0035 0.0035 0.0035.00 0.539 0.554 0.554 0.554-0.0015-0.0015-0.0015.10 0.59 0.656 0.656 0.656-0.0064-0.0064-0.0064.0 0.773 0.879 0.879 0.879-0.0106-0.0106-0.0106.30 0.3053 0.3189 0.3189 0.3189-0.0136-0.0136-0.0136.40 0.3395 0.3549 0.3549 0.3549-0.0154-0.0154-0.0154.50 0.376 0.3917 0.3917 0.3917-0.0155-0.0155-0.0155.60 0.4117 0.458 0.458 0.458-0.0141-0.0141-0.0141.70 0.446 0.4540 0.4540 0.4540-0.0114-0.0114-0.0114.80 0.4666 0.474 0.474 0.474-0.0076-0.0076-0.0076.90 0.481 0.485 0.485 0.485-0.0031-0.0031-0.0031 3.00 0.4883 0.4868 0.4868 0.4868 0.0015 0.0015 0.0015 3.10 0.4856 0.4798 0.4798 0.4798 0.0058 0.0058 0.0058 3.0 0.4751 0.4657 0.4657 0.4657 0.0094 0.0094 0.0094 3.30 0.4585 0.4466 0.4466 0.4466 0.0119 0.0119 0.0119

t Laplace Heun Poligon Raltson Eh Ep Er 3.40 0.4379 0.448 0.448 0.448 0.0131 0.0131 0.0131 3.50 0.4157 0.407 0.407 0.407 0.0130 0.0130 0.0130 3.60 0.394 0.385 0.385 0.385 0.0117 0.0117 0.0117 3.70 0.3753 0.3659 0.3659 0.3659 0.0094 0.0094 0.0094 3.80 0.3605 0.3544 0.3544 0.3544 0.0061 0.0061 0.0061 3.90 0.3508 0.3483 0.3483 0.3483 0.005 0.005 0.005 4.00 0.3467 0.3480 0.3480 0.3480-0.0013-0.0013-0.0013 4.10 0.3480 0.357 0.357 0.357-0.0047-0.0047-0.0047 4.0 0.3541 0.3616 0.3616 0.3616-0.0075-0.0075-0.0075 4.30 0.3640 0.3733 0.3733 0.3733-0.0093-0.0093-0.0093 4.40 0.3763 0.3865 0.3865 0.3865-0.010-0.010-0.010 4.50 0.3897 0.3998 0.3998 0.3998-0.0101-0.0101-0.0101 4.60 0.407 0.4117 0.4117 0.4117-0.0090-0.0090-0.0090 4.70 0.4143 0.414 0.414 0.414-0.0071-0.0071-0.0071 4.80 0.435 0.480 0.480 0.480-0.0045-0.0045-0.0045 4.90 0.495 0.4313 0.4313 0.4313-0.0018-0.0018-0.0018 5.00 0.43 0.431 0.431 0.431 0.0010 0.0010 0.0010 5.10 0.4316 0.480 0.480 0.480 0.0036 0.0036 0.0036 5.0 0.480 0.45 0.45 0.45 0.0055 0.0055 0.0055 5.30 0.4 0.415 0.415 0.415 0.0070 0.0070 0.0070 5.40 0.4148 0.407 0.407 0.407 0.0076 0.0076 0.0076 5.50 0.4068 0.3993 0.3993 0.3993 0.0075 0.0075 0.0075 5.60 0.3988 0.39 0.39 0.39 0.0066 0.0066 0.0066 5.70 0.3917 0.3866 0.3866 0.3866 0.0051 0.0051 0.0051 5.80 0.3861 0.388 0.388 0.388 0.0033 0.0033 0.0033 5.90 0.383 0.3811 0.3811 0.3811 0.001 0.001 0.001 6.00 0.3806 0.3814 0.3814 0.3814-0.0008-0.0008-0.0008 6.10 0.3808 0.3834 0.3834 0.3834-0.006-0.006-0.006 6.0 0.389 0.3869 0.3869 0.3869-0.0040-0.0040-0.0040 6.30 0.3863 0.3913 0.3913 0.3913-0.0050-0.0050-0.0050 6.40 0.3907 0.396 0.396 0.396-0.0055-0.0055-0.0055

t Laplace Heun Poligon Raltson Eh Ep Er 6.50 0.3956 0.4009 0.4009 0.4009-0.0053-0.0053-0.0053 6.60 0.4004 0.4051 0.4051 0.4051-0.0047-0.0047-0.0047 6.70 0.4048 0.4084 0.4084 0.4084-0.0036-0.0036-0.0036 6.80 0.408 0.4105 0.4105 0.4105-0.003-0.003-0.003 6.90 0.4106 0.4114 0.4114 0.4114-0.0008-0.0008-0.0008 7.00 0.4117 0.4111 0.4111 0.4111 0.0006 0.0006 0.0006 7.10 0.4116 0.4098 0.4098 0.4098 0.0018 0.0018 0.0018 7.0 0.4105 0.4076 0.4076 0.4076 0.009 0.009 0.009 7.30 0.4084 0.4049 0.4049 0.4049 0.0035 0.0035 0.0035 7.40 0.4058 0.400 0.400 0.400 0.0038 0.0038 0.0038 7.50 0.408 0.399 0.399 0.399 0.0036 0.0036 0.0036 7.60 0.3999 0.3967 0.3967 0.3967 0.003 0.003 0.003 7.70 0.3973 0.3948 0.3948 0.3948 0.005 0.005 0.005 7.80 0.3951 0.3936 0.3936 0.3936 0.0015 0.0015 0.0015 7.90 0.3937 0.3931 0.3931 0.3931 0.0006 0.0006 0.0006 8.00 0.399 0.3934 0.3934 0.3934-0.0005-0.0005-0.0005 8.10 0.399 0.394 0.394 0.394-0.0013-0.0013-0.0013 8.0 0.3936 0.3956 0.3956 0.3956-0.000-0.000-0.000 8.30 0.3948 0.397 0.397 0.397-0.004-0.004-0.004 8.40 0.3964 0.3990 0.3990 0.3990-0.006-0.006-0.006 8.50 0.398 0.4007 0.4007 0.4007-0.005-0.005-0.005 8.60 0.4000 0.401 0.401 0.401-0.001-0.001-0.001 8.70 0.4016 0.403 0.403 0.403-0.0016-0.0016-0.0016 8.80 0.409 0.4039 0.4039 0.4039-0.0010-0.0010-0.0010 8.90 0.4038 0.404 0.404 0.404-0.0004-0.0004-0.0004 9.00 0.4043 0.4040 0.4040 0.4040 0.0003 0.0003 0.0003 9.10 0.4043 0.4034 0.4034 0.4034 0.0009 0.0009 0.0009 9.0 0.4039 0.406 0.406 0.406 0.0013 0.0013 0.0013 9.30 0.403 0.4016 0.4016 0.4016 0.0016 0.0016 0.0016 9.40 0.40 0.4005 0.4005 0.4005 0.0017 0.0017 0.0017 9.50 0.401 0.3995 0.3995 0.3995 0.0017 0.0017 0.0017

t Laplace Heun Poligon Raltson Eh Ep Er 9.60 0.4001 0.3986 0.3986 0.3986 0.0015 0.0015 0.0015 9.70 0.3991 0.3980 0.3980 0.3980 0.0011 0.0011 0.0011 9.80 0.3983 0.3976 0.3976 0.3976 0.0007 0.0007 0.0007 9.90 0.3977 0.3975 0.3975 0.3975 0.000 0.000 0.000-0.00001-0.00001-0.00001 4.3 Hasil Plant Orde Satu Metoda Runge Kutta Orde Tiga 1 0.9 0.8 0.7 ----------> y( 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0.1 0 0 0.5 1 1.5.5 3 3.5 4 ----------> t Gambar 4 8. Grafik Plant Orde Satu Runge Kutta Orde Tiga

4.4 Hasil Plant Orde Dua Metoda Runge Kutta Orde Tiga 0.7 0.6 0.5 ----------> y( 0.4 0.3 0. 0.1 0 0 4 6 8 10 ----------> t Gambar 4 9. Grafik Plant Orde Dua Runge Kutta Orde Tiga 4.5. Hasil Plant Orde Satu Metoda Runge Kutta Orde Empat 1 0.9 0.8 0.7 ----------> y( 0.6 0.5 0.4 0.3 0. 0.1 0 0 0.5 1 1.5.5 3 3.5 4 ----------> t Gambar 4 10. Grafik Plant Orde Satu Runge Kutta Orde Empat

4.6. Hasil Plant Orde Dua Metoda Runge Kutta Orde Empat 0.7 0.6 0.5 ----------> y( 0.4 0.3 0. 0.1 0 0 4 6 8 10 ----------> t Gambar 4 11. Grafik Plant Orde Dua Runge Kutta Orde Empat Hasil pengintegralan plant orde satu dan plant orde dua dengan metode Runge-Kutta orde tiga dan orde empat juga dapat dikatakan sama. Dari hasil numerick diperoleh data seperti pada Tabel 4-3 dan table 4-4. Hasil numeric ketiga metoda dibandingkan dengan hasil analitik invers Transformasi Laplace, memberikan kesalahan rata-rata pada ketiga metoda dengan nilai sama yaitu mendekati no, kecuali analitik menggunakan Laplace dengan error -0,0078. Dari angka yang kecil ini, dapat dikatakan metoda ini sangat akurat dibanding hasil analitik, dan memenuhi hasil yang diberikan oleh standard MATLAB. Tabel 4 3. Hasil Numerik Plant Orde Satu Metoda Runge Kutta Orde Tiga & Empat t Laplace Orde 3 Orde 4 E3 E4 0 0 0 0 0 0

t Laplace Orde 3 Orde 4 E3 E4 0.10 0.1813 0.1813 0.1813 0.0000 0.0000 0.0 0.397 0.398 0.397-0.0001 0.0000 0.30 0.451 0.4513 0.451-0.0001 0.0000 0.40 0.5507 0.5508 0.5507-0.0001 0.0000 0.50 0.631 0.633 0.631-0.000 0.0000 0.60 0.6988 0.6989 0.6988-0.0001 0.0000 0.70 0.7534 0.7535 0.7534-0.0001 0.0000 0.80 0.7981 0.798 0.7981-0.0001 0.0000 0.90 0.8347 0.8348 0.8347-0.0001 0.0000 1.00 0.8647 0.8648 0.8647-0.0001 0.0000 1.10 0.889 0.8893 0.889-0.0001 0.0000 1.0 0.9093 0.9094 0.9093-0.0001 0.0000 1.30 0.957 0.958 0.957-0.0001 0.0000 1.40 0.939 0.9393 0.939-0.0001 0.0000 1.50 0.950 0.9503 0.950-0.0001 0.0000 1.60 0.959 0.9593 0.959-0.0001 0.0000 1.70 0.9666 0.9667 0.9666-0.0001 0.0000 1.80 0.977 0.977 0.977 0.0000 0.0000 1.90 0.9776 0.9777 0.9776-0.0001 0.0000.00 0.9817 0.9817 0.9817 0.0000 0.0000.10 0.9850 0.9850 0.9850 0.0000 0.0000.0 0.9877 0.9877 0.9877 0.0000 0.0000.30 0.9899 0.9900 0.9899-0.0001 0.0000.40 0.9918 0.9918 0.9918 0.0000 0.0000.50 0.9933 0.9933 0.9933 0.0000 0.0000.60 0.9945 0.9945 0.9945 0.0000 0.0000.70 0.9955 0.9955 0.9955 0.0000 0.0000.80 0.9963 0.9963 0.9963 0.0000 0.0000.90 0.9970 0.9970 0.9970 0.0000 0.0000 3.00 0.9975 0.9975 0.9975 0.0000 0.0000 3.10 0.9980 0.9980 0.9980 0.0000 0.0000

t Laplace Orde 3 Orde 4 E3 E4 3.0 0.9983 0.9983 0.9983 0.0000 0.0000 3.30 0.9986 0.9986 0.9986 0.0000 0.0000 3.40 0.9989 0.9989 0.9989 0.0000 0.0000 3.50 0.9991 0.9991 0.9991 0.0000 0.0000 3.60 0.9993 0.9993 0.9993 0.0000 0.0000 3.70 0.9994 0.9994 0.9994 0.0000 0.0000 3.80 0.9995 0.9995 0.9995 0.0000 0.0000 3.90 0.9996 0.9996 0.9996 0.0000 0.0000-0.00005 0.00000 Tabel 4 4. Hasil Numerik Plant Orde Satu Metoda Runge Kutta Orde Tiga & Empat t Matlab Orde 3 Orde 4 E3 E4 Laplace Ea 0 0 0 0 0 0 0 0.0000 0.10 0.019 0.037 0.019-0.0135 0.0000 0.0945-0.0753 0.0 0.075 0.0958 0.075-0.033 0.0000 0.096-0.1371 0.30 0.1516 0.1795 0.1516-0.079 0.0000 0.331-0.1805 0.40 0.467 0.734 0.466-0.067 0.0001 0.4495-0.08 0.50 0.3471 0.367 0.3471-0.001 0.0000 0.5510-0.039 0.60 0.4430 0.451 0.4430-0.0091 0.0000 0.68-0.185 0.70 0.558 0.513 0.557 0.0045 0.0001 0.6760-0.150 0.80 0.5887 0.570 0.5887 0.0185 0.0000 0.695-0.1038 0.90 0.679 0.5968 0.679 0.0311 0.0000 0.679-0.0513

t Matlab Orde 3 Orde 4 E3 E4 Laplace Ea 1.00 0.6418 0.6015 0.6418 0.0403 0.0000 0.640 0.0016 1.10 0.6316 0.5866 0.6317 0.0450-0.0001 0.5816 0.0500 1.0 0.6005 0.5560 0.6006 0.0445-0.0001 0.5111 0.0894 1.30 0.5535 0.5146 0.5535 0.0389 0.0000 0.4365 0.1170 1.40 0.4964 0.4677 0.4965 0.087-0.0001 0.3655 0.1309 1.50 0.4357 0.404 0.4357 0.0153 0.0000 0.3046 0.1311 1.60 0.3773 0.377 0.3774 0.0001-0.0001 0.587 0.1186 1.70 0.367 0.3417 0.368-0.0150-0.0001 0.308 0.0959 1.80 0.878 0.316 0.878-0.084 0.0000 0.0 0.0658 1.90 0.63 0.3018 0.63-0.0386 0.0000 0.31 0.030.00 0.539 0.985 0.538-0.0446 0.0001 0.559-0.000.10 0.59 0.305 0.591-0.0460 0.0001 0.91-0.039.0 0.773 0.300 0.77-0.047 0.0001 0.3354-0.0581.30 0.3053 0.3405 0.305-0.035 0.0001 0.3807-0.0754.40 0.3395 0.3639 0.3394-0.044 0.0001 0.437-0.084.50 0.376 0.3878 0.3761-0.0116 0.0001 0.460-0.0840.60 0.4117 0.4097 0.4116 0.000 0.0001 0.4875-0.0758.70 0.446 0.480 0.446 0.0146 0.0000 0.5037-0.0611.80 0.4666 0.441 0.4666 0.054 0.0000 0.5083-0.0417.90 0.481 0.4489 0.481 0.033 0.0000 0.500-0.0199 3.00 0.4883 0.4510 0.4883 0.0373 0.0000 0.4865 0.0018 3.10 0.4856 0.4481 0.4856 0.0375 0.0000 0.4640 0.016 3.0 0.4751 0.4409 0.4751 0.034 0.0000 0.4375 0.0376 3.30 0.4585 0.4309 0.4585 0.076 0.0000 0.4099 0.0486 3.40 0.4379 0.419 0.4380 0.0187-0.0001 0.3840 0.0539 3.50 0.4157 0.407 0.4158 0.0085-0.0001 0.361 0.0536 3.60 0.394 0.3960 0.3943-0.0018-0.0001 0.3459 0.0483 3.70 0.3753 0.3866 0.3753-0.0113 0.0000 0.3365 0.0388 3.80 0.3605 0.3797 0.3605-0.019 0.0000 0.334 0.063 3.90 0.3508 0.3756 0.3508-0.048 0.0000 0.3384 0.014 4.00 0.3467 0.3743 0.3467-0.076 0.0000 0.348-0.0015 4.10 0.3480 0.3756 0.3480-0.076 0.0000 0.360-0.0140 4.0 0.3541 0.3791 0.3541-0.050 0.0000 0.3783-0.04

t Matlab Orde 3 Orde 4 E3 E4 Laplace Ea 4.30 0.3640 0.3840 0.3639-0.000 0.0001 0.3950-0.0310 4.40 0.3763 0.3899 0.376-0.0136 0.0001 0.4107-0.0344 4.50 0.3897 0.3959 0.3896-0.006 0.0001 0.438-0.0341 4.60 0.407 0.4016 0.407 0.0011 0.0000 0.4334-0.0307 4.70 0.4143 0.4064 0.4143 0.0079 0.0000 0.4389-0.046 4.80 0.435 0.4099 0.434 0.0136 0.0001 0.4400-0.0165 4.90 0.495 0.411 0.495 0.0174 0.0000 0.437-0.0077 5.00 0.43 0.419 0.43 0.0193 0.0000 0.4311 0.0011 5.10 0.4316 0.413 0.4316 0.0193 0.0000 0.45 0.0091 5.0 0.480 0.4107 0.481 0.0173-0.0001 0.416 0.0154 5.30 0.4 0.4083 0.4 0.0139 0.0000 0.404 0.0198 5.40 0.4148 0.4054 0.4149 0.0094-0.0001 0.399 0.019 5.50 0.4068 0.403 0.4068 0.0045 0.0000 0.3850 0.018 5.60 0.3988 0.3994 0.3988-0.0006 0.0000 0.3794 0.0194 5.70 0.3917 0.3970 0.3918-0.0053-0.0001 0.376 0.0155 5.80 0.3861 0.3951 0.3861-0.0090 0.0000 0.3757 0.0104 5.90 0.383 0.3940 0.383-0.0117 0.0000 0.3776 0.0047 6.00 0.3806 0.3935 0.3806-0.019 0.0000 0.3814-0.0008 6.10 0.3808 0.3938 0.3808-0.0130 0.0000 0.3867-0.0059 6.0 0.389 0.3945 0.388-0.0116 0.0001 0.398-0.0099 6.30 0.3863 0.3957 0.3863-0.0094 0.0000 0.3990-0.017 6.40 0.3907 0.397 0.3907-0.0065 0.0000 0.4047-0.0140 6.50 0.3956 0.3987 0.3956-0.0031 0.0000 0.4094-0.0138 6.60 0.4004 0.400 0.4004 0.000 0.0000 0.417-0.013 6.70 0.4048 0.4014 0.4047 0.0034 0.0001 0.4145-0.0097 6.80 0.408 0.404 0.408 0.0058 0.0000 0.4148-0.0066 6.90 0.4106 0.4030 0.4106 0.0076 0.0000 0.4135-0.009 7.00 0.4117 0.403 0.4117 0.0085 0.0000 0.4111 0.0006 7.10 0.4116 0.403 0.4116 0.0084 0.0000 0.4079 0.0037 7.0 0.4105 0.408 0.4105 0.0077 0.0000 0.404 0.0063 7.30 0.4084 0.40 0.4084 0.006 0.0000 0.4004 0.0080 7.40 0.4058 0.4015 0.4058 0.0043 0.0000 0.3970 0.0088 7.50 0.408 0.4007 0.409 0.001-0.0001 0.3941 0.0087

t Matlab Orde 3 Orde 4 E3 E4 Laplace Ea 7.60 0.3999 0.4000 0.3999-0.0001 0.0000 0.39 0.0077 7.70 0.3973 0.3993 0.3973-0.000 0.0000 0.3911 0.006 7.80 0.3951 0.3988 0.3951-0.0037 0.0000 0.3910 0.0041 7.90 0.3937 0.3985 0.3937-0.0048 0.0000 0.3918 0.0019 8.00 0.399 0.3984 0.399-0.0055 0.0000 0.3933-0.0004 8.10 0.399 0.3984 0.399-0.0055 0.0000 0.3954-0.005 8.0 0.3936 0.3986 0.3936-0.0050 0.0000 0.3976-0.0040 8.30 0.3948 0.3989 0.3948-0.0041 0.0000 0.3999-0.0051 8.40 0.3964 0.399 0.3964-0.008 0.0000 0.400-0.0056 8.50 0.398 0.3996 0.398-0.0014 0.0000 0.4037-0.0055 8.60 0.4000 0.4000 0.3999 0.0000 0.0001 0.4048-0.0048 8.70 0.4016 0.4003 0.4016 0.0013 0.0000 0.4054-0.0038 8.80 0.409 0.4006 0.409 0.003 0.0000 0.4054-0.005 8.90 0.4038 0.4007 0.4038 0.0031 0.0000 0.4049-0.0011 9.00 0.4043 0.4008 0.4043 0.0035 0.0000 0.4040 0.0003 9.10 0.4043 0.4008 0.4043 0.0035 0.0000 0.407 0.0016 9.0 0.4039 0.4007 0.4039 0.003 0.0000 0.4014 0.005 9.30 0.403 0.4006 0.403 0.006 0.0000 0.4000 0.003 9.40 0.40 0.4004 0.40 0.0018 0.0000 0.3987 0.0035 9.50 0.401 0.400 0.401 0.0010 0.0000 0.3977 0.0035 9.60 0.4001 0.4000 0.4001 0.0001 0.0000 0.3970 0.0031 9.70 0.3991 0.3999 0.3991-0.0008 0.0000 0.3967 0.004 9.80 0.3983 0.3997 0.3983-0.0014 0.0000 0.3967 0.0016 9.90 0.3977 0.3996 0.3977-0.0019 0.0000 0.3970 0.0007 0.0000 0.0000-0.0078

V. KESIMPULAN Dari keseluruhan uraian solusi persamaandiferensial menggunakan metoda Runge-Kutta, dari orde dua sampai orde empat, dan dengan menggunakan perangkat lunak matlab sebagai alat pemogram, maka diberikan kesimpulan sebagai berikut : 1. Contoh yang diberikan sebagai plant yaitu plant orde satu dan plant orde dua, dirasa cukup mewakili persamaan diferensial. Dari contoh ini dapat dilihat beberapa trik dalam membangun persamaan Runge-Kutta sesuai ordenya.. Solusi Runge-Kutta orde dua dengan metoda Heun, Poligon dan Raltson memiliki solusi yang mendekati sama dengan error yang sama dibandingkan dengan solusi standar yang diberikan oleh matlab. 3. Solusi Runge-Kutta orde empat disarankan sebagai suatu metoda yang tepat dalam solusi persamaan diferensial, dan hasilnya pun mendekati solusi standar yang diberikan oleh matlab.

VI. DAFTAR PUSTAKA Finizio N & Ladas G, Penerjemah : Widiarti Santoso, Persamaan Diferensial Biasa Dengan Penerapan Modern, Penerbit Erlangga, Jakarta, 1988 Frank Ayres, Jr, PhD, Differential Equations, Schaum s Outline Series, McGraw- Hill International Book Company, Singapore, 1981 Katsuhiko Ogata, Teknik Kontrol Automatik (Sistem Pengaturan), Jilid 1, Penerbit Erlangga, Jakarta, 1985 Katsuhiko Ogata, Teknik Kontrol Automatik (Sistem Pengaturan), Jilid, Penerbit Erlangga, Jakarta, 1985 Steven C. Chapra, Metoda Numerik, Penerbit Erlangga, Jakarta, 1991 Shoichiro Nakamura, Applied Numerical Methods With Software, Prentice -Hall International Inc, London, 1991 Bahram Shahian, Control System Design Using Matlab, Prentice -Hall International Editions, London, 1993