PENGENALAN KONSEP-KONSEP DALAM RING MELALUI PENGAMATAN Disampaikan dalam Lecture Series on Algebra Universitas Andalas Padang, 29 September 2017 Indah Emilia Wijayanti Departemen Matematika FMIPA Universitas Gadjah Mada Yogyakarta Indonesia October 24, 2017
Latar Belakang Hal-hal yang sudah diketahui mahasiswa sebelum mempelajari ring: Grup merupakan suatu himpunan tak kosong yang dilengkapi suatu operasi biner dan memenuhi beberapa aksioma. Contoh-contoh grup adalah (Z, +), (Q, +), (R, +), dan (M 2 2 (R), +). Perhatikan bahwa dalam Z dijumpai juga operasi lain, yaitu operasi perkalian bilangan-bilangan bulat.
Sifat-sifat operasi perkalian dalam Z operasi perkalian di Z bersifat assosiatif, yaitu untuk setiap n 1, n 2, n 3 Z; (n 1 n 2 ) n 3 = n 1 (n 2 n 3 ), operasi penjumlahan dan perkalian bersifat distributif kiri dan distributif kanan, yaitu n 1 (n 2 + n 3 ) = (n 1 n 2 ) + (n 1 n 3 ) dan (n 1 + n 2 ) n 3 = (n 1 n 3 ) + (n 2 n 3 ), untuk setiap n 1, n 2, n 3 Z.
Apakah Z dengan operasi perkalian juga grup? Beberapa fakta dalam Z: Operasi perkalian dalam Z komutatif. Ada bilangan 1 yang berperan sebagai elemen satuan untuk operasi perkalian. Tetapi ada bilangan bulat yang tidak mempunyai invers, misalnya 2 dan 3. Jadi (Z, ) bukan grup, melainkan semigrup. Definisi Himpunan tak kosong (S, ) disebut semigrup jika operasi biner bersifat asosiatif.
Apakah Q dengan operasi perkalian juga grup? Beberapa fakta dalam Q: Operasi perkalian dalam Q komutatif. Ada bilangan 1 yang berperan sebagai elemen satuan untuk operasi perkalian. Bilangan rasional yang tidak mempunyai invers adalah 0. Jadi (Q, ) bukan grup.
Apakah M 2 2 (R) dengan operasi perkalian juga grup? Beberapa fakta dalam M 2 2 (R): Operasi perkalian dalam M 2 2 (R) tidak komutatif. Ada matriks identitas I yang berperan sebagai elemen satuan untuk operasi perkalian. Banyak matriks yang tidak mempunyai invers, yaitu matriks dengan determinan 0. Jadi (M 2 2 (R), ) bukan grup.
Apakah 2Z dengan operasi perkalian juga grup? Beberapa fakta dalam 2Z: Operasi perkalian dalam 2Z komutatif. Tidak ada bilangan genap yang berperan sebagai elemen satuan untuk operasi perkalian. Jadi (2Z, ) bukan grup.
Pengertian Ring Himpunan tak kosong R yang dilengkapi dua operasi biner dan disebut ring jika memenuhi sifat: 1. (R, ) merupakan grup komutatif; 2. operasi di R bersifat assosiatif, yaitu r 1, r 2, r 3 R, (r 1 r 2 ) r 3 = r 1 (r 2 r 3 ). 3. operasi penjumlahan dan perkalian di R bersifat: a. distributif kiri: r 1, r 2, r 3 R, r 1 (r 2 r 3 ) = (r 1 r 2 ) (r 1 r 3 ), b. distributif kanan: r 1, r 2, r 3 R, (r 1 r 2 ) r 3 = (r 1 r 3 ) (r 2 r 3 ).
Gambaran proses abstraksi (Z, +, ) (R,, ) Setelah proses abstraksi dicari contoh-contoh ring yang lain. Bagaimana cara mencari contoh yang lain? Bagaimana dengan contoh-contoh grup yang sudah diketahui, yaitu Apakah mereka juga ring? (Q, +), (R, +), (M 2 2 (R), +).
Mengembangkan contoh (1) 1. Himpunan matriks berukuran 2 2 yaitu (M 2 2 (R), +, ), adalah ring. 2. Himpunan matriks berukuran 3 3 yaitu (M 3 3 (R), +, ), adalah ring. 3. Himpunan matriks berukuran n n yaitu (M n n (R), +, ), adalah ring.
Mengembangkan contoh (2) 1. Himpunan semua bilangan bulat (Z, +, ) adalah ring. 2. Himpunan hasil kali Cartes semua bilangan bulat (Z Z, +, ) adalah ring, dengan operasi sebagai berikut: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) (c, d) = (a c, b d). 3. Bagaimana dengan Z Z Z Z?
Contoh Ring Perhatikan grup komutatif (R, +). Dibentuk himpunan semua fungsi dari R ke R, yaitu Fun(R) = {f : R R f homomorfisma grup}. Dengan operasi penjumlahan berikut (f + g)(x) = f (x) + g(x), (Fun(R), +) merupakan grup komutatif. Lebih lanjut, dapat didefinisikan operasi komposisi pada Fun(R) berikut: untuk setiap x G. (f g)(x) = f (g(x)),
Sifat distributif ((f + g) h)(x) = (f + g)(h(x)) = (f h)(x) + (g h)(x) (h (f + g))(x) = h(f (x) + g(x)) = (h f )(x) + (h g)(x). Jadi (Fun(R), +, ) merupakan ring.
Contoh Ring Melalui Absraksi Diberikan grup komutatif (G, +). Dibentuk himpunan semua endomorfisma dari G ke G, yaitu End(G) = {f : G G f homomorfisma grup}. Sudah diketahui bahwa (End(G), +) merupakan grup komutatif. Lebih lanjut, dapat didefinisikan operasi komposisi pada End(G) berikut: (f g)(x) = f (g(x)), untuk setiap x G. Dapat ditunjukkan bahwa (End(G), +, ) merupakan ring.
Jenis-jenis Ring 1. Ring R disebut ring komutatif jika R komutatif terhadap perkalian, yaitu untuk setiap r, s R berlaku rs = sr. 2. Ring R disebut ring dengan elemen satuan jika R mempunyai elemen satuan terhadap perkalian, yaitu terdapat 1 R R sehingga untuk setiap r R berlaku r1 R = 1 R r = r. 3. Ring R disebut ring pembagian (division ring) jika R mempunyai elemen satuan dan setiap elemen tak nol di R mempunyai invers terhadap perkalian, yaitu untuk setiap elemen tak nol r di R, terdapat r 1 di R sehingga rr 1 = r 1 r = 1 R. 4. Ring R disebut lapangan jika R ring pembagi yang komutatif.
Contoh Jenis-jenis Ring 1. Ring (2Z, +, ) merupakan ring komutatif, namun tidak mempunyai elemen satuan. 2. Ring matriks (M 2 2 (R), +, ) merupakan ring dengan elemen satuan berupa matriks identitas I 2. Ring matriks M 2 2 (R) bukan ring komutatif. 3. Ring (Z, +, ), (R, +, ), (Q, +, ), dan (C,, +, ) masing-masing merupakan ring komutatif dengan elemen satuan. 4. Ring (R, +, ), (Q, +, ), dan (C,, +, ) masing-masing merupakan contoh lapangan.
Bagaimana mengenalkan subring? 1. Apa motivasinya? 2. Bagaimana mengabstraksikan ide sehingga sampai pada definisi? 3. Bagaimana menemukan contoh-contoh lain?
Fakta : ada ring di dalam ring 2Z adalah ring di dalam Z. M 2 (2Z) adalah ring di dalam M 2 (Z). Himpunan semua bilangan ganjil 1 + 2Z = {1 + 2n n Z}, merupakan himpunan bagian tak kosong dari Z tetapi bukan merupakan ring.
Pengertian subring Definisi Diberikan S himpunan bagian tak kosong dari ring (R,+, ). Himpunan S disebut subring R jika S juga merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian yang sama pada ring R. Apakah setiap kali akan membuktikan subring harus mengecek semua aksiomanya? Bagaimana kita memanfaatkan fakta bahwa subring adalah ring di dalam ring?
Mengamati syarat subring di dalam ring Diketahui S adalah himpunan bagian tak kosong di R. Adakah sifat R yang diwariskan ke S? Asosiatif dan distributif. Untuk menjadi ring, syarat apa yang harus dipenuhi S? (S, +, ) harus merupakan ring terhadap operasi yang sama dengan operasi di R. (S, +) harus merupakan subgrup di R dan (S, ) harus merupakan subsemigrup di R.
Syarat apa saja yang perlu dicek? Operasi + dan harus tertutup di S. Proposisi Diberikan himpunan tak kosong S di dalam ring (R, +, ). Himpunan S merupakan subring dari R jika dan hanya jika untuk setiap s 1, s 2 S berlaku sifat: (i). s 1 s 2 S; (ii). s 1 s 2 S.
Contoh Subring Himpunan matriks segitiga atas { [ ] a11 a T 2 2 (R) = A = 12 0 a 22 merupakan subring dalam (M 2 2 (R), +, ). } a 11, a 12, a 22 R
Contoh-contoh subring Z Q R C.
Pembentukan Ring Faktor Diberikan R ring dan S subring. Dari teori grup sudah diketahui grup faktor (R/S, + ) juga merupakan grup komutatif, dengan R/S = {r r R} = {r + S r R}. Selanjutnya, muncul pertanyaan apakah dapat dibentuk operasi perkalian pada R/S, yaitu: : R/S R/S R/S, sedemikian hingga (R/S, +, ) juga merupakan ring.
Latar Belakang Definisi Ideal Akan dicek apakah operasi tersebut well-defined atau tidak. Misalkan r 1, r 2, r 1, r 2 R/S dengan r 1 = r 1, dan r 2 = r 2. Akan dicek apakah r 1 r 2 = r 1 r 2, yang artinya r 1r 2 = r 1 r 2. Ekuivalen dengan mengecek r 1 r 1 S dan r 2 r 2 S r 1 r 2 r 1r 2 S. Ekuivalen dengan menunjukkan apakah jika r 1 r 1 = s 1 dan r 2 r 2 = s 2 untuk suatu s 1, s 2 S, maka akan berakibat r 1 r 2 r 1 r 2 = s 3 untuk suatu s 3 S.
Dengan demikian akan diperoleh r 1 r 2 r 1r 2 = (s 1 + r 1)(s 2 + r 2) r 1r 2 = (s 1 s 2 + s 1 r 2 + r 1s 2 + r 1r 2) r 1r 2 = s 1 s 2 + s 1 r 2 + r 1s 2. (1) Jelas s 1 s 2 S, tetapi s 1 r 2 dan r 1 s 2 belum tentu berada dalam S. Dapat disimpulkan bahwa operasi pada R/S belum tentu well-defined.
Ideal Suatu Ring Definisi Misalkan R suatu ring tak nol dan I adalah himpunan bagian tak kosong di R. Himpunan I disebut ideal dari R jika 1. untuk setiap s 1, s 2 I, berlaku s 1 s 2 I ; 2. untuk setiap s 1 I dan r R, berlaku s 1 r, rs 1 I.
Contoh Ideal 1. Himpunan 2Z merupakan ideal di ring Z. 2. Secara umum, untuk setiap k Z 0, kz = {kn n Z} merupakan ideal di ring Z. 3. Himpunan M 2 2 (2Z) merupakan ideal di ring M 2 2 (Z). 4. Tetapi Z BUKAN ideal di Q, dan Q BUKAN ideal di R. Kesimpulan : tidak setiap subring merupakan ideal.
Ring Faktor Definisi Jika I merupakan ideal dalam ring R, maka R/I merupakan ring terhadap operasi: 1. penjumlahan + dengan definisi untuk setiap r 1, r 1 RI ; dan 2. perkalian dengan definisi untuk setiap r 1, r 1 RI. r 1 + r 2 = r 1 + r 2, r 1 r 2 = r 1 r 2,
Contoh Ring Faktor Misal diambil ring bilangan bulat Z dan ideal 2Z di ring Z. Mudah dipahami bahwa hanya ada dua koset dari ideal 2Z, yaitu koset 0 + 2Z dan 1 + 2Z. Dengan demikian, diperoleh ring faktor dengan Z/2Z = {0 + 2Z, 1 + 2Z} (0 + 2Z) + (0 + 2Z) = (0 + 0) + 2Z = 0 + 2Z (1 + 2Z) + (1 + 2Z) = (1 + 1) + 2Z = 0 + 2Z (0 + 2Z) + (1 + 2Z) = (0 + 1) + 2Z = 1 + 2Z (0 + 2Z) (0 + 2Z) = (0 0) + 2Z = 0 + 2Z (1 + 2Z) (1 + 2Z) = (1 1) + 2Z = 1 + 2Z (0 + 2Z) (1 + 2Z) = (0 1) + 2Z = 0 + 2Z
Ideal Kiri dan Ideal Kanan Definisi Misalkan R suatu ring tak nol dan I adalah himpunan bagian tak kosong di R. Himpunan I disebut ideal kiri dari R jika 1. untuk setiap s 1, s 2 I, berlaku s 1 s 2 I ; 2. untuk setiap s 1 I dan r R, berlaku rs 1 I. Definisi Misalkan R suatu ring tak nol dan I adalah himpunan bagian tak kosong di R. Himpunan I disebut ideal kanan dari R jika 1. untuk setiap s 1, s 2 I, berlaku s 1 s 2 I ; 2. untuk setiap s 1 I dan r R, berlaku s 1 r I.
Motivasi : Hubungan Z dan Q Z adalah subring Q. Struktur Z adalah daerah inegral, Q adalah lapangan. Sebagai daerah integral, tidak setiap elemen Z mempunyai invers. Sebagai bagian dari lapangan Q, setiap elemen Z mempunyai invers. Peristiwa tersebut dinamakan penyisipan Z ke Q. Apakah sebarang daerah integral dapat disisipkan ke dalam suatu lapangan?
Hubungan Z dan Q (lanjutan) Himpunan Q dapat dinyatakan sebagai: Q = { a b a, b Z, b 0} Pandang anggota-anggota Q sebagai pasangan berurutan anggota Z Z dengan komponen kedua tak nol. Bagaimana dengan (2, 3) yang merepresentasikan 2 3 dan (4, 6) yang merepresentasikan 4 6? Dalam Z Z keduanya berbeda, tetapi dalam Q keduanya sama. Dibuat relasi ekuivalensi di dalam Z Z : (a, b) (c, d) ad = bc.
Penerapan ke Daerah Integral Diberikan daerah intergral R. Dibentuk himpunan S = R \ {0}. Dibentuk hasil kali Cartes R S. Dibuat relasi ekuivalensi di dalam R S : (a, b) (c, d) ad = bc. Kelas yang memuat (a, b) dinyatakan dengan a b. Himpunan kelas-kelas ekuivalensi yang terjadi di dalam R S dinyatakan sebagai R S.
Struktur R S Didefinisikan operasi berikut: untuk setiap a b, c d R S. a b + c d a b c d Elemen netral di R S adalah 0 b. ad + bc = bd = ac bd Elemen satuan di R S adalah b b, dengan b 0. Invers a b terhadap penjumlahan adalah a b. Invers a b, a 0, terhadap perkalian adalah b a.
Pengamatan selanjutnya (R S, +, ) merupakan lapangan dan disebut lapangan fraksi yang memuat R. Terdapat monomorfisma ϕ : R R S dengan definisi ϕ(r) = r 1. Apakah pembentukan ring fraksi dapat dilakukan untuk sebarang ring komutatif?
TERIMA KASIH