BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Pembahasan tentang persamaan diferensial parsial terus berkembang baik secara teori maupun aplikasi. Dalam pemodelan matematika pada permasalahan di bidang ilmu lain seperti bidang fisika, bidang teknik dan bidang kimia banyak yang menggunakan persamaan diferensial parsial. Salah satu contoh fenomena alam yang dibuat pemodelan matematika adalah peristiwa transportasi yang terjadi pada fluida yang dimodelkan menjadi persamaan konveksi difusi. Beberapa persamaan diferensial dapat diselesaikan secara analitis. Namun dalam kenyataannya, dalam beberapa kasus untuk mencari penyelesaian persamaan konveksi difusi secara analitis merupakan hal yang cukup rumit. Oleh karena itu digunakan metode-metode numerik untuk membantu penyelesaiannya. Dalam tesis ini yang merupakan kajian ulang dari jurnal yang berjudul "Stabilized Least Squares Finite Element Method for 2D and 3D Convection-Diffusion" yang ditulis oleh V.D. Pireira (2014), akan diuraikan solusi dari persamaan konveksi difusi dengan menggunakan metode elemen hingga Least Squares. Metode elemen hingga merupakan salah satu metode numerik yang umum dipergunakan dalam mencari solusi persamaan diferensial. Di antara beberapa jenis metode elemen hingga yang ada, metode Least Squares lebih sering dipergunakan khususnya dalam bidang fluid mechanics dan electromagnetics. Metode elemen hingga Least Square didasarkan pada meminimalkan residu pangkat dua. Sebagai ilustrasi, diperhatikan persamaan diferensial berikut Au = f, pada Ω, Bu = 0, pada batas Ω, (1.1) dengan A merupakan operator diferensial linier, B merupakan operator batas, u 1
2 merupakan vektor tak bebas, f merupakan vektor gaya dan Ω merupakan domain. Pertama misalkan solusi pendekatan dari u u φ j (x)u j, j = 1, 2,..., n, dengan u j merupakan parameter, φ j (x) merupakan fungsi trial (dasar) dan vektor x merupakan variabel bebas. Selanjutnya, mencari peminimal dari I(u) = (Au f) 2 dω. Kemudian solusi Least Square dihitung dari persamaan variasi berikut (Aφ i ) T (Au f)dω. Ω Ω Meskipun formulasi pada metode Least Square sederhana, tapi memberikan manfaat yang signifikan. (1)Universality. Sudah menjadi hal yang umum dalam mengerjakan persamaan diferensial yang berbeda digunakan skema numerik yang berbeda pula. Dalam literatur beda hingga misalnya, untuk mengerjakan persamaan eliptik digunakan beda hingga pusat, untuk mengerjakan persamaan hiperbolik digunakan skema upwind, serta skema khusus lainnya yang dipergunakan pada persamaan diferensial tertentu. Dalam literatur elemen hingga terdapat banyak metode Galerkin yang berbeda seperti Classic Galerkin, Galerkin Mixed, Petrov-Galerkin dan lain sebagainya, yang semuanya ditujukan untuk permasalahan yang berbeda dan masing-masing memiliki struktur yang berbeda pula. Lain halnya dengan metode elemen hingga Least Square yang memiliki formulasi sama untuk menjadi solusi numerik bagi semua tipe persamaan diferensial. (2) Efficiency. Metode elemen hingga Least Square cocok untuk menyelesaikan operator diferensial orde satu. Dalam bidang teknik dan ilmu terapan, persamaan yang diperoleh berdasar pada hukum-hukum fisika merupakan persamaan orde satu atau dapat dirubah menjadi persamaan orde satu. Namun, jika menggunakan metode konvensional sulit untuk menyelesaikan operator diferensial orde satu karena pada umumnya akan mengarah kepada matrik nonsimetris. Di sisi lain, metode least
3 Square selalu mengarah pada matrik simetris definit positif yang dapat diselesaikan secara efisien menggunakan metode iterasi matrik bebas seperti metode Preconditioned Conjugate Gradient. (3) Optimality. Menurut Jiang, dapat ditunjukkan bahwa metode elemen hingga Least Square merupakan solusi pendekatan yang terbaik dimana error dari solusi memiliki orde yang sama dengan error interpolasi. Dalam bidang teknik dan terapan, sangatlah penting untuk mengevaluasi keakuratan dari solusi pendekatan. Pada metode ini, indikator error diperoleh dari persamaan residu yang diminimalkan oleh prosedur yang mana merupakan indikator yang baik untuk mencapai solusi optimal. (4) Simulasi bersama. Karena metode Least Square merupakan metode yang unified untuk mendekati solusi dari fenomena fisika yang berbeda, satu algoritma, satu kode dan satu simulasi untuk menganalisis disiplin ilmu yang berbeda seperti perpindahan panas dan interaksi padat-fluida. (5) Seperti yang sudah disebutkan sebelumnya bahwa metode Least Square diformulasikan dalam set yang umum. Oleh karena itu metode ini dapat diprogram secara sistematis, misalnya untuk aplikasi yang baru hanya perlu merubah atau menambahkan koefisien, vektor beban dan kondisi batas untuk sistem orde satu. Hal ini dapat mengurangi waktu, biaya dan error pemrograman dalam pengembangan program. 1.2. Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mempelajari metode elemen hingga Least Squares yang diterapkan untuk mencari solusi pendekatan persamaan konveksi difusi. Dilanjutkan dengan menyusun algoritma pemrograman dan implementasi program dengan menggunakan software Matlab. Diharapkan metode ini dapat menjadi alternatif untuk menyelesaikan aplikasi dari persamaan konveksi difusi.
4 1.3. Tinjauan Pustaka Dalam penyusunan Tesis ini, diperlukan adanya panduan dari sejumlah literatur. Jurnal utama dalam tesis ini berjudul "Stabilized Least Squares Finite Element Method for 2D and 3D Convection-Diffusion" yang ditulis oleh Pireira (2014). Untuk dasar teori terkait persamaan diferensial digunakan buku Mayer Humi (2006) dan Perko (2000). Sedangkan untuk mempelajari metode elemen hingga Least Squares termasuk beberapa metode pendukung dipergunakan buku Bochev & Gunzburger (2009), Jiang (1998) dan Chung (2002). Teori terkait persamaan konveksi difusi dipergunakan buku Bejan (2013) dan Jiji (2006). Sedangkan contoh implementasi dari persamaan konveksi difusi diperoleh dari jurnal Kumar (2009). 1.4. Metode Penelitian Metode yang dipergunakan dalam penelitian ini adalah kajian pustaka dari beberapa buku dan paper terkait. Langkah-langkah yang akan dipergunakan adalah sebagai berikut 1. Mempelajari persamaan konveksi difusi. 2. Mempelajari metode elemen hingga Least Squares beserta aplikasinya pada kasus yang sederhana. Selanjutnya memperluas penerapan dari metode Least Squares. Mempelajari metode pendukung yang nantinya dipergunakan juga dalam penelitian ini. Selanjutnya mencari solusi persamaan konveksi difusi dengan menggunakan metode Least Squares. 3. Merancang algoritma pemrograman dan mengimplementasikannnya ke dalam bahasa pemrograman dengan menggunakan software Matlab. Program yang dibuat nantinya akan digunakan untuk mensimulasikan solusi dari beberapa contoh kasus persamaan konveksi difusi. 4. Membuat kesimpulan dan menyusun laporan hasil penelitian.
5 1.5. Sistematika Penulisan Gambaran dari tesis ini secara menyeluruh, dapat diperhatikan pada sistematika penulisan sebagai berikut. BAB I PENDAHULUAN berisikan latar belakang, tujuan penelitian, tinjauan pustaka, metode penelitian dan sistematika penulisan. BAB II LANDASAN TEORI yang memuat teori yang dipergunakan sebagai alat yang menunjang pembahasan bab selanjutnya. Landasan teori yang diberikan meliputi persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial dan metode elemen hingga Least Squares pada persamaan diferensial orde satu. BAB III PEMBAHASAN merupakan pembahasan mengenai persamaan konveksi difusi, metode elemen hingga Least Squares beserta beberapa metode pendukungnya yang kemudian dilanjutkan dengan penyelesaian persamaan konveksi difusi dengan metode elemen hingga Least Squares. BAB IV HASIL berisikan algoritma pemrograman dan implementasi dalam bahasa pemrograman dengan menggunakan software Matlab. BAB V PENUTUP meliputi kesimpulan dari hasil penelitian dan saran untuk pengembangan penelitian selanjutnya.
BAB II DASAR TEORI Topik yang akan dibahas dalam tesis ini adalah metode elemen hingga least squares yang diterapkan pada persamaan konveksi difusi. Elemen hingga merupakan salah satu metode yang umum dipergunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial. Secara umum, elemen hingga diklasifikasikan dalam tiga kelompok yaitu Metode Rayleigh-Ritz, Metode Galerkin dan Metode Least Squares. Menurut Jiang (1998), Metode Least Squares memiliki lebih banyak kelebihan untuk diterapkan dalam menyelesaikan persamaan di bidang Fluid mechanics dan Electromagnetics. Berikut diberikan beberapa definisi dan teorema yang mendasari pembahasan mengenai metode tersebut. 2.1. Persamaan Diferensial Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat derivatif dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas. Definisi 2.1.1 (Mayer Humi, 1991) Suatu persamaan diferensial dikatakan linier apabila semua variabel tak bebas dan derivatif-derivatifnya dalam persamaan tersebut memenuhi syarat-syarat sebagai berikut : 1. variabel-variabel tak bebas dan derivatif-derifatifnya muncul dalam derajat satu. 2. tidak ada perkalian antara variabel tak bebas dengan derivatifnya. 3. tidak ada fungsi transenden dari variabel-variabel tak bebas. Selanjutnya persamaan diferensial dikatakan non linier apabila tidak memenuhi paling sedikit satu syarat di atas. 6