BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Teori titik tetap merupakan teori matematika yang sering digunakan untuk menjamin eksistensi solusi masalah nilai awal dan syarat batas persamaan diferensial berbentuk linear maupun nonlinear. Teori titik tetap berawal dari dikemukakannya Teorema Titik Tetap Banach (Banach s Fixed Point Theorem) pada tahun 1922 yang menyatakan eksistensi dan ketunggalan titik tetap fungsi kontraksi (contraction) dalam ruang metrik lengkap. Dengan munculnya Teorema Titik Tetap Banach, Agarwal, dkk (2004) tetap dapat menjamin eksistensi titik tetap fungsi kontraksi di dalam ruang metrik bagian dari ruang metrik lengkap dengan menggunakan homotopi dari dua fungsi kontraksi. Dengan menggunakan teorema titik tetap fungsi kontraksi pada ruang metrik bagian yang diperoleh Agarwal, dkk. tersebut, penulis tertarik untuk mempelajari eksistensi titik tetap untuk fungsi yang mempunyai pengertian yang lebih umum daripada fungsi kontraksi, yang disebut fungsi nonekspansif (nonexpansive), di himpunan bagian ruang metrik lengkap. Dengan mengingat bahwa setiap ruang Banach merupakan ruang metrik lengkap dan setiap ruang Hilbert merupakan ruang Banach, penulis tertarik untuk mempelajari syarat cukup yang dapat menjamin eksistensi titik tetap fungsi nonekspansif di ruang Hilbert. Pada tahun 1936 dalam paper yang berjudul "Uniformly Convex Spaces", Clarkson mengenalkan konsep ruang Banach konveks seragam. Selanjutnya, Milman dan Pettis berhasil membuktikan bahwa setiap ruang Banach konveks seragam merupakan ruang Banach yang refleksif. Adanya hukum Paralellogram yang berlaku pada ruang Hilbert mengakibatkan setiap ruang Hilbert konveks seragam. Setelah mempelajari syarat cukup yang dapat menjamin eksistensi titik tetap fungsi nonekspansif di ruang Hilbert dan dengan mengingat bahwa setiap ruang Hilbert merupakan ruang Banach, penulis tertarik untuk mempelajari lebih lanjut mengenai syarat cukup yang menjamin eksistensi titik tetap fungsi nonekspansif di dalam ruang Banach yang konveks seragam. 1.2 Perumusan Masalah Rumusan masalah yang dibahas di dalam skripsi ini adalah: 1
2 1. menyelidiki syarat cukup yang menjamin eksistensi titik tetap fungsi nonekspansif di ruang Hilbert 2. menyelidiki syarat cukup yang menjamin eksistensi titik tetap fungsi nonekspansif di ruang Banach konveks seragam dan 3. hubungan antara teorema titik tetap fungsi nonekspansif dalam ruang Hilbert dengan teorema titik tetap fungsi nonekspansif dalam ruang Banach konveks seragam. 1.3 Batasan Masalah Pada penulisan skripsi ini, penulis membatasi masalah teori titik tetap untuk fungsi nonekspansif pada ruang bernorma dan ruang Banach konveks seragam yang merupakan generalisasi konsep teori titik tetap fungsi kontraksi dalam ruang metrik. Skripsi ini tidak membahas aplikasi teorema titik tetap dalam ruang Banach konveks seragam tersebut. Sebelum membahas eksistensi titik tetap fungsi nonekspansif di ruang Hilbert dan ruang Banach konveks seragam, diharapkan pembaca telah memahami konsep-konsep dalam analisis real dan kompleks. 1.4 Maksud dan Tujuan Selain untuk memenuhi syarat kelulusan Program Strata-1 (S1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada, penyusunan skripsi ini bertujuan untuk mempelajari syarat cukup yang menjamin eksistensi titik tetap fungsi nonekspansif dalam ruang bernorma lengkap, khususnya ruang Hilbert dan ruang Banach konveks seragam. Dengan menggunakan konsep konveks seragam yang dikenalkan oleh Clarkson (1936) dan melengkapi pembuktian dalam referensi utama, akan diberikan sifat yang menjamin eksistensi titik tetap fungsi nonekspansif di ruang Hillbert dan ruang Banach konveks seragam dengan disertai beberapa syarat cukup. Lebih lanjut, manfaat penelitian ini secara khusus adalah sebagai ide dasar mengembangkan teori titik tetap yang menggunakan konsep konveks seragam di ruang Banach. 1.5 Tinjauan Pustaka Teori titik tetap diawali dengan munculnya Teorema Titik Tetap Banach pada tahun 1922 yang menyatakan bahwa setiap fungsi kontraksi yang terdefinisi pada
3 ruang metrik lengkap mempunyai titik tetap secara tunggal di dalam ruang metrik lengkap tersebut. Teorema Titik Tetap Banach dan pembuktiannya dapat ditemukan dalam buku mengenai teori titik tetap metrik, antara lain Granas dan Dugundji (2003), Goebel dan Kirk (1990), dan Agarwal, dkk (2004). Pada tahun 1935, Hurewicz mengenalkan konsep homotopi, yaitu fungsi yang dibangun oleh dua fungsi kontinu F dan G dan memenuhi sifat: H(, 0) = F dan H(, 1) = G. Selanjutnya, konsep homotopi tersebut digunakan oleh Agarwal, dkk (2004) untuk memenuhi syarat cukup yang menjamin eksistensi titik tetap fungsi kontraksi yang terdefinisi pada ruang metrik bagian dari ruang metrik lengkap dengan melibatkan dua fungsi kontraksi yang homotopik. Selanjutnya, dengan menggunakan sifat ruang bernorma, yaitu setiap ruang bernorma merupakan ruang metrik, definisi ruang Banach, yaitu ruang Banach merupakan ruang metrik yang lengkap, dan sifat ruang Hilbert, yaitu setiap ruang Hilbert merupakan ruang Banach, teorema titik tetap fungsi kontraksi digunakan untuk menyelidiki syarat cukup yang menjamin eksistensi titik tetap fungsi nonekspansif di ruang Hilbert. Hasil yang diperoleh dalam menyelidiki syarat cukup untuk menjamin eksistensi titik tetap fungsi nonekspansif di ruang Hilbert dapat ditemukan dalam paper Agarwal, dkk (2004) dan Granas dan Dugundji (2003). Selanjutnya, Clarkson (1936) memperkenalkan konsep ruang Banach konveks seragam, yaitu ruang Banach X yang memenuhi sifat: untuk setiap bilangan ε dengan 0 < ε 2, terdapat bilangan δ > 0 sehingga untuk setiap x, y X dengan x 1, y 1, dan x y ε berlaku x+y 1 δ. Adanya hukum 2 Paralellogram yang berlaku pada ruang Hilbert mengakibatkan setiap ruang Hilbert merupakan ruang Banach konveks seragam. Berdasarkan fakta tersebut, penyelidikan mengenai syarat cukup yang menjamin eksistensi titik tetap fungsi nonekspansif dilanjutkan untuk ruang Banach konveks seragam. Hasil penyelidikan mengenai syarat cukup yang menjamin eksistensi titik tetap fungsi nonekspansif di ruang Banach konveks seragam dapat ditemukan dalam paper Agarwal, dkk (2004) dan Granas dan Dugundji (2003). Milman membuktikan bahwa setiap ruang Banach konveks seragam merupakan ruang Banach yang refleksif. Dengan mengingat bahwa sifat ruang bernorma yang refleksif, yaitu setiap barisan terbatas di dalam ruang bernorma yang refleksif mempunyai barisan bagian yang konvergen lemah, maka sifat refleksif yang melekat pada ruang Banach konveks seragam ini akan menjadi faktor pendukung dalam menjamin eksistensi titik tetap fungsi nonekspansif di ruang Banach konveks seragam.
4 Pembuktian sifat ruang Banach konveks seragam, yaitu setiap ruang Banach konveks seragam merupakan ruang Banach yang refleksif, dapat ditemukan dalam beberapa buku dan literatur, antara lain Yoshida (1980) dan Agarwal, dkk (2004), sedangkan pembuktian sifat sifat ruang bernorma yang refleksif, yaitu setiap barisan terbatas di dalam ruang bernorma yang refleksif mempunyai barisan bagian yang konvergen lemah, dapat ditemukan dalam buku dan literatur tentang analisis fungsional, diantaranya adalah Edwards (1965), Megginson (1998), dan Schecter (2002). Dasar teori mengenai analisis fungsional, khususnya ruang metrik, ruang Banach, ruang Hilbert dan ruang refleksif, dapat ditemukan dalam beberapa buku dan literatur tentang analisis fungsional, antara lain Bartle dan Sherbert (2000), Berberian (1961), Kaplansky(1972), Megginson (1998), Schecter (2002) dan Stancl (1987). 1.6 Metodologi Penelitian Metode yang digunakan dalam pembuatan skripsi ini adalah dengan studi literatur dari beberapa jurnal dan buku, serta artikel terkait mengenai eksistensi titik tetap fungsi nonekspansif di ruang Hilbert dan ruang Banach konveks seragam. Paper berjudul "Continuation Methods for Contractive and Nonexpansive Mappings" oleh Agarwal, dkk (2004) dijadikan referensi utama. Di dalam skripsi ini, yang akan dilakukan adalah melengkapi pembuktian teorema di dalam referensi utama tersebut. Tahap awal yang dilakukan adalah mengenalkan definisi titik tetap dan fungsi kontraksi pada ruang metrik dan dilanjutkan dengan membuktikan Teorema Titik Tetap Banach. Dalam mempertahankan eksistensi titik tetap fungsi kontraksi pada ruang metrik bagian dari ruang metrik lengkap, metode yang dilakukan adalah mengenalkan definisi homotopi untuk dua fungsi kontraksi pada ruang metrik. Dengan menggunakan definisi homotopi untuk dua fungsi kontraksi tersebut, selanjutnya membuktikan bahwa dua fungsi kontraksi yang homotopik pada ruang metrik lengkap mempunyai titik tetap di himpunan tertutup dalam ruang metrik lengkap dengan menambahkan syarat cukup yaitu salah satu diantara dua fungsi kontraksi tersebut mempunyai titik tetap di himpunan tertutup tersebut, dengan menggunakan Teorema Titik Tetap Banach. Setelah membuktikan beberapa teorema titik tetap fungsi kontraksi pada ruang metrik lengkap, selanjutnya menyelidiki eksistensi titik tetap untuk fungsi yang lebih umum, yaitu fungsi nonekspansif. Ruang Hilbert merupakan ruang bernorma yang lengkap. Dalam menunjukkan bahwa setiap fungsi nonekspansif, yang terdefinisi
5 pada himpunan tak kosong, tertutup, terbatas, dan konveks U di dalam ruang Hilbert H, mempunyai titik tetap di U diperlukan dua lemma. Lemma pertama mengenai sifat anggota ruang Hilbert yang dibuktikan dengan menggunakan hukum Paralellogram yang berlaku pada ruang Hilbert H. Lemma kedua disebut Teorema Irisan Cantor yaitu mengenai suatu syarat cukup dan perlu agar suatu ruang bernorma merupakan ruang Banach, yang berlaku untuk ruang Hilbert sebagai ruang Banach. Selain dua lemma tersebut, untuk menyelidiki syarat cukup yang menjamin eksistensi titik tetap fungsi nonekspansif di ruang Hilbert yaitu dengan menggunakan Teorema Titik Tetap Banach. Langkah berikutnya menyelidiki eksistensi titik tetap fungsi nonekspansif di dalam ruang Banach mempunyai struktur yang lebih umum daripada ruang Hilbert, yaitu ruang Banach konveks seragam. Dalam menyelidiki eksistensi titik tetap fungsi nonekspansif di ruang Banach konveks seragam, perlu mengetahui bahwa setiap ruang Banach konveks seragam merupakan ruang bernorma yang refleksif dan sifat ruang refleksif, yaitu setiap barisan terbatas di dalam ruang bernorma yang refleksif mempunyai subbarisan yang konvergen lemah. Dalam membuktikan setiap barisan terbatas di dalam ruang bernorma yang refleksif mempunyai subbarisan yang konvergen lemah, diperlukan teorema Hahn-Banach untuk ruang bernorma dan beberapa sifat yang melekat pada ruang bernorma yang refleksif dan separabel. Untuk menunjukkan bahwa setiap fungsi nonekspansif yang terdefinisi pada himpunan tak kosong, tertutup, terbatas, dan konveks U di dalam ruang Banach konveks seragam X mempunyai titik tetap di U, diperlukan beberapa tahap, yaitu pertama, menggunakan teorema titik tetap fungsi kontraksi pada ruang Banach yang telah dibuktikan sebelumnya. Selanjutnya, menambahkan beberapa syarat cukup dengan berdasarkan syarat cukup yang ada dalam teorema titik tetap fungsi nonekspansif pada ruang Hilbert sebelumnya. 1.7 Sistematika Penulisan Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai berikut. BAB I PENDAHULUAN Pada bab ini dibahas mengenai latar belakang pengambilan topik teori titik tetap fungsi nonekspansif, beberapa rumusan masalah yang akan dibicarakan dalam skripsi ini, pembatasan masalah untuk teori titik tetap fungsi nonekspansif, maksud dan tujuan membicarakan teori titik tetap fungsi nonekspansif, langkah-langkah dalam
6 meninjau sumber pustaka untuk membahas teori titik tetap fungsi nonekspansif, metode penelitian yang digunakan untuk mencapai maksud dan tujuan pembicaraan teori titik tetap fungsi nonekspansif, dan urutan penulisan yang sistematis. BAB II DASAR TEORI Pada bab ini dibahas mengenai konsep yang mendasari pembahasan di bab-bab berikutnya. Konsep dasar yang dipelajari pada bab ini adalah ruang metrik terkait teori titik tetap metrik, ruang bernorma terkait teori titik tetap untuk fungsi nonekspansif di ruang bernorma, dan ruang pre-hilbert terkait teori titik tetap untuk fungsi nonekspansif di dalam ruang Hilbert. BAB III TEOREMA TITIK TETAP FUNGSI NONEKSPANSIF Pada bab ini dibahas mengenai teorema-teorema titik tetap fungsi nonekspansif di dalam ruang bernorma dan lebih lanjut akan dibahas pula teorema titik tetap di dalam ruang bernorma yang lebih khusus, yaitu ruang Banach konveks seragam. Oleh karena itu, akan dibahas konsep-konsep fungsi kontraksi, fungsi nonekspansif dan titik tetap di dalam ruang metrik, ruang bernorma, dan ruang Banach yang mempunyai struktur konveks seragam. BAB IV KESIMPULAN Pada bab ini dibahas mengenai hasil-hasil yang diperoleh pada BAB III terkait teori titik tetap untuk fungsi nonekspansif di ruang bernorma dan ruang Banach konveks seragam.