BAB DISTRIBUSI IDUK DA DISTRIBUSI SAMEL.. EDAHULUA Jika suatu bsaran mmiliki nilai ssungguhnya sdangkan hasil ukurnya adalah maka kita mngharapkan hasil pngamatan mndkati, namun knyataannya tidak slalu dmikian. Jika dilakukan pngukuran brulang mungkin hasilnya brbda dari hasil ukur prtama. Jika pngukuran diulangi sampai banyak kali maka akan diprolh sbaran data. Ada data yang tlalu kcil, ada yang trlalu bsar. Walaupun dmikian kita brharap smua data hasil ukur masih brada di skitar nilai sbnarnya asalkan kita dapat mmprbaiki ralat sistmatis. Jika dilakukan pngukuran sampai tak hingga kali maka kita dapat mlukiskan distribusi data yang ssungguhnya. amun sayangnya hal ini tidak mungkin dilakukan dan bisanya hanya dalam hipotsis. Distribusi ini disbut distribusi induk. Untuk data yang diprolh dari pngukuran dalam umlah trbatas, maka distribusinya mrupakan distribusi sampl. Jika umlah pngukuran mndkati tak hingga maka distribusi sampl mndkati distribusi induk. 5 4 3 a kali 4 6 8 b 5 4 3 3 kali 4 6 8 4 6 8 4 6 8 3 Gambar.. Distribusi data dngan kali pngukuran a, 3 kali pngukuran b
Gambar.. Histogram pngukuran panang balok. Kurva gaussian yaitu garis pnuh diprolh dari prhitungan dngan rata-rata =9,9 cm dan dviasi standar s =,5 cm. Kurva garis putus-putus mnyatakan distribusi induk dngan rata-rata =, cm dan dviasi standar =,5 cm. Contoh: Mahasiswa mngukur panang balok sbanyak kali. Hasil pngamatannya stlah dikorksi dngan ralat sistmatis brada diantara 8 cm dan bbrapa pngamatan hasilnya sama. Gambar mnyatakan histogram frkunsi pngukuran. Sumbu y mnyatakan umlah pngukuran. Jika hasil pngukuran brupa distribusi dngan ksalahan acak maka bntuknya mngikuti Gaussian atau distribusi ksalahan normal. Sumbu digambar mulai dari -d/ +d/. Jika kurva dinormalisasi shingga luas darah di bawah kurva samadngan maka disbut fungsi distribusi probabilitas. Untuk mnyatakan paramtr dari distribusi induk digunakan huruf Yunani sdangkan untuk mnyatakan paramtr distribusi sampl digunakan huruf latin. aramtr distribusi ksprimn sampl akan sama dngan paramtr distribusi induk ika umlah pngukuran mncapai batas tak hingga. Jika ksprimn dilakukan sbanyak kali maka paramtr induk = lim paramtr ksprimn Jika dilakukan pngukuran sbanyak dan masing-masing pngukuran dibri labl,...,,, 3 maka umlah dari sluruh pngukuran adalah: i i 3...
Untuk pnydrhanaan biasa ditulis dngan: i.. MEA, MEDIA DA MODUS Rata-rata untuk populasi sampl: i. Man untuk populasi induk: lim i. Man sama dngan nilai rata-rata dari. Gambar.3 Distribusi asimtrik yang mnggambarakan posisi man, mdian dan modus dari variabl. Mdian dari populasi induk / mrupakan nilai tngah dari populasi induk. Adanya / mmbuat sparoh dari data lbih kcil dari / dan sparoh data lbih bsar dari /. Jadi /.3 i / i / Modus adalah nilai yang paling sring muncul most probabl valu, ma..3. DEVIASI Dviasi.4 ma ma i dari smua pngukuran didfinisikan sbagai slisih antara i dan : i dngan nilai rata-rata distribusi induk 3
i i.5 Dalam prhitungan, dviasi biasanya dihitung trhadap man dan bukan trhadap mdian atau modus. Rata-rata dviasi i harus sama dngan nol. lim lim lim i i.6 Rata-rata mutlak dviasi didfinisikan sbagai rata-rata dari harga mutlak dviasi: lim i.7 Dviasi rata-rata mrupakan ukuran pnybaran pngamatan yang diharapkan di skitar man. aramtr lain yang lbih mudah digunakan scara analitik dan lbih mncrminkan pnybaran pngamatan adalah dviasi standar. Varian didfinisikan sbagai limit rata-rata dari kuadrat dviasi trhadap nilai : lim i lim i.8 Dviasi standar adalah akar varian. Ruas kanan prs..8 sring diungkapkan dngan rata-rata dari kuadrat, minus kuadrat rata-rata. Dalam mkanika kuantum dituliskan. Dviasi standar mrupakan rms akar kuadrat rata-rata dari dviasi. Untuk populasi sampl, dviasi standar kuadrat dinyatakan dngan: atau dviasi standar s i.9 s i dimana faktor - pada pnybut untuk mnyatakan bahwa paramtr ditntukan dari data dan bukan paramtr bbas di luar data..4 MEA DA DEVIASI STADAR DARI DISTRIBUSI ROBABILITAS Dfinisi dan standar dviasi trkait dngan distribusi induk dari populasi induk. Fungsi probabilitas didfinisikan sdmikian rupa shingga pada batas umlah 4
pngamatan yang sangat bsar, proporsi mnghasilkan nilai antara dan +d dibrikan olh d = d. d pngamatan trhadap variabl yang ilai man mrupakan nilai harap dari atau ditulis, dan varian mrupakan nilai harap dari kuadrat dviasi dari trhadap, atau ditulis. ilai harap smbarang fungsi, f didfinisikan sbagai rata-rata brbobot dari f mliputi sluruh nilai yang mungkin dari variabl, dimana stiap nilai f dibri bobot dngan distribusi rapat probabilitas. Distribusi diskrit Jika fungsi probabilitas mrupakan fungsi diskrit dari nilai obsrvabl, maka umlah sluruh pngamatan individual i pada prs.. diganti dngan umlah sluruh nilai ROBABILITAS pngamatan, dikalikan dngan banyaknya pngamatan trsbut yang diharapkan tradi. Jika trdapat n kmungkinan nilai obsrvabl yang brbda dan ditulis sbagai dngan indk bralan dari sampai n tanpa nilai yang sama, maka dari pngamatan total dapat diprolh umlah pngamatan bagi stiap obsrvabl sbanyak. Slanutnya man dapat dinyatakan: lim lim i n n lim. Bandingkan dngan distribusi frkunsi: fi f i i fi i f i i Dngan cara yang sama, varian pada prs..8 dapat dinyatakan dalam bntuk fungsi probabilitas mnadi: n n lim lim i i. Umumnya nilai harap dari smbarang fungsi f dinyatakan dngan: f f. n 5
Contoh: Di dalam klas trdiri dari 4 orang dngan sbaran umur sbagai brikut: o, Umur, Jumlah, 4 5 3 6 3 4 5 4 6 5 5 Jumlah 6 4 Ungkapan tsbut dapat dinyatakan dngan = 4 = = 5 = 3 = 6 = 3 4 = = 5 = 4 = 6 = 5 = 5 4 rtanyaan: Brapakah pluang ssorang brumur 5 tahun? Jawab: Ini mrupakan pluang individu. 5 4 rtanyaan: Brapakah pluang ssorang brumur 4 tahun? 4 4 Jika ditablkan maka pluang masing-masing umur adalah: 4 = /4 5 = /4 6 = 3/4 = /4 4 = /4 6
5 = 5/4 + = 4/4 = rtanyaan: Brapakah pluang mmprolh sorang brumur 4 atau 5 Jawab: adalah umlah dari kdua pluang individu. 4 atau 5 4 4 7 Jumlah smua pluang individu adalah. total rtanyaan: Brapakah umur yang mmiliki pluang trbsar? Jawab: Adalah 5. Tampak bahwa 5 paling bsar dibandingkan yang lain. rtanyaan: Brapakah mdiannya? Jawab: 3 karna / / = 7 yaitu 7 orang lbih muda dan 7 orang lbih tua. Umumnya mdian adalah suatu nilai sdmikian rupa shingga pluang untuk mmprolh nilai lbih bsar sama dngan pluang untuk mmprolh nilai lbih kcil. rtanyaan: Brapakah umur rata-rata? Jawab: 3 5 94 4 5 6 4 5 4 4 4 4 4 4 4 Umumnya harga rata-rata dari ada yang mnuliskan dngan notasi < > dibrikan olh: rtanyaan: brapakah umur kuadrat rata-rata? Jawab: = 459,57. ilai ini tidak sama dngan rata-rata kuadrat yang nilainya samadngan 44. 7
8 Gambar. Dua histogram dngan mdian, rata-rata, pluang paling bsar sama namun simpangan baku brbda. Untuk mngtahui ukuran pnyimpangan suatu data individu trhadap nilai rata-ratanya digunakan. ilai bisa ngatif bisa positif. Jika diambil rata-ratanya maka sama dngan nol. Untuk mmunculkan adanya pnyimpangan data trhadap rata-ratanya digunakan kuadrat harga mutlak dari yang diknal dngan varians. =.a i X = - rat 4-5.33 8.44 96 5-4.33 8.78 5 3 6-3.33. 56 4.67 7. 484
5 4 4.67.78 576 6 5 5.67 3. 65 rat= 9.33. =9.33 X rat=393.67 9,33 Varians : 9, 89 n 6 9,33 Standar dviasi : = 4, 46 n 6 Jika dari prsamaan 7 Varians: 393,67 9,33 9, 89 Standar dviasi: 4, 46 Hasilnya sama Untuk varians sampl maka bilangan pmbaginya n- Distribusi kontinyu Jika fungsi probabilitas mrupakan fungsi yang brvariasi scara kontinyu dari nilai yaitu, maka tanda sumasi untuk sluruh pngamatan individu pada prs.. dapat diganti dngan intgral untuk sluruh nilai dikalikan dngan probabilitas. Rumusan dari man mnadi: d.3 dan varian mnadi: d d.4 ilai harap nilai rata-rata smbarang fungsi mnadi: f d.5 f 9
Bbrapa probabilitas pluang yang biasa digunakan untuk mnganalisis data adalah distribusi binomial, distribusi oisson dan distribusi Gaussian. Diantara ktiga nis trsbut yang paling sring digunakan dalam pnlitian fisika adalah distribusi Gaussian yaitu untuk mlukiskan distribusi pngamatan acak dari suatu ksprimn. Distribusi oisson digunakan untuk mnganalisis data acak ika itm atau pristiwa diamati dalam satuan intrval trtntu, sprti analisis pluruhan radioaktif, atau sbaran data yang tlah disortir dan diklompokkan pada stiap intrval angkau trtntu shingga dapat dibuat tabl frkunsi atau histogram. Distribusi binomial biasanya untuk mnggambarkan pristiwa dari sumlah kmungkinan pristiwa yang mungkin, sprti umlah gambar atau angka yang muncul pada plmparan mata uang, umlah partikl yang trhambur mnuu atau kmbali k arah brkas sinar datang. Distribusi oisson O = O = 4 O = Dalam tori probabilitas dan statistik, distribusi oisson mrupakan distribusi probabilitas diskrit yang mnyatakan probabilitas suatu pristiwa yang tradi pada angkau waktu trtntu dan mmiliki rata-rata harga harap tidak ada kaitannya dngan pristiwa sblumnya. Distribusi oisson uga dapat digunakan untuk nis intrval yang lain tidak harus waktu sprti arak dan volum, umlah dan lain-lain. Jika rata-rata kadian pada angkau waktu trsbut adalah maka probabilitas tradinya pristiwa adalah : ; B ; n, p.6! lim p
dngan ; probabilitas oisson untuk nilai yang mmiliki rata-rata dan, ; lim p n B p adalah limit probabilitas binomial ika p. Ingat bahwa ; tidak prnah untuk = karna! =. Dmikian pula tidak didfinisikan untuk ngatif. rs..6 mnyatakan fungsi probabilitas trnormalisasi, shingga umlah fungsi yang dihitung pada smua nilai variabl samadngan.!! ;.7 ingat drt taylor untuk 4 3!... 4! 3!!! n n n Man dan Standar dviasi Distribusi oisson sbagaimana distribusi binomial mrupakan distribusi diskrit. Distribusi oisson hanya didfinisikan pada nilai bulat, positif dan bilangan riil. Man distribusi oisson mrupakan paramtr pada prs. fungsi probabilitas ;.6.!! ;!!.8 Standar dviasi dicari dari varians.!!!!!!!!!. maka.9.
Maka distribusi poisson hanya mmiliki paramtr tunggal yaitu. Contoh : Dua ratus pnumpang tlah mmsan tikt untuk sbuah pnrbangan luar ngri. Jika probabilitas pnumpang yang tlah mmpunyai tikt tidak akan datang adalah. maka brapakah pluang ada 3 orang yang tidak datang. Jawab : Ungkapan orang tlah mmsan tikt dan probabilitas tidak brangkat,, artinya rata-rata pmsan tikt yang tidak brangkat adalah, =. adi =. Slanutnya untuk = 3 maka 3,.84 atau 8.4 %! 3! Contoh : Rata rata sorang skrtaris baru mlakukan lima ksalahan mngtik pr halaman. Brapakah pluang bahwa pada halaman brikut ia :. Tidak ada ksalahan =. Tidak lbih dari tiga ksalahan 3 atau,,,3 3. Lbih dari tiga ksalahan > 3 atau 4,,5 Diktahui: rata-rata µ = 5 5 5 a. untuk = maka,5. 67! b. untuk 3 ; 3; 5 ;5 ;5 ;5 3;5 =.67 +.337 +.84 +.44 =.65 atau 6.5 % c. untuk > 3 maka 3;5 3;5.65, 735 atau 73,5% Contoh 3: Dua siswa mngukur cacah latar dari radiasi sinar kosmis di lab. Fisika sbagai tugas untuk mnntukan umur isotop radioaktif prak. Data dirkam olh dtktor pada stiap dtik sbanyak data dan diprolh umlah cacahnya,69 cacah / dt. Dari rumus kduanya mmprkirakan standar dviasinya,69, 3 dan dari
prhitungan diprolh s =,9 dg rumus n / n s. Slanutnya kdua siswa mngulangi ksprimn, skarang dtktor mrkam data stiap 5 dt sbanyak 6 data. Diprolh man,48 cacah/5dtik dan standar dviasi,48 3, 7. Standar dviasi yang dihitung dari data dngan prs..9 adalah s = 3,39. rincian kdua prcobaan adalah sbagai brikut: rcobaan rcobaan Intrval waktu dtik 5 dtik Jumlah data 6 Man,69 cacah/ dt,48 cacah/5 dt Standar dviasi =,3 = 3,7 S =,9 s = 3,39 Gb..3 Gb..4. Histogram kdua st data ditunukkan pada Gambar.3 dan.4 bukan gambar distribusi probabilitas, namun langsung diklompokkan intrval cacah trhadap frkunsi atau umlah kadian. Dari Gambar.3 tampak bahwa kurva tidak simtri, shingga posisi tidak brsama-sama dngan modus puncak kurva. Gambar.4 hampir simtris pada nilai rrata. Jika naik maka tingkat simtri distribusi oisson uga brtambah sampai tidak bisa dibdakan dngan distribusi Gaussian. rubahan intrval Distribusi oisson dapat diimplmntasikan dalam kasus yang lbih spsifik ika pada kasus yang lbih umum tidak mmbrikan cukup arti. Misalnya rata-rata pristiwa dalam intrval tiap am sama, maka tidak ada artinya kita mnghitung probabilitas pristiwa dalam suatu am trtntu. Ada kmungkinan ika intrval waktunya diprsmpit maka umlah pristiwa mnadi brbda. Misalnya umlah pristiwa pada mnit prtama, brbda dngan umlah pristiwa pada mnit kdua. Maka distribusi poisson mnadi lbih brmakna. Hal trsbut dapat dilakukan ika pristiwa kdua tidak brgantung pada pristiwa prtama. Dalam intrval nis kdua ttap harus tramin tidak ada ksamaan umlah pristiwa untuk intrval waktu brikutnya. Jika masih tradi ksamaan maka pnggunaan distribusi poisson gagal. Dalam kasus prubahan intrval pristiwa ini maka brlaku: 3
; ; t t t! Dngan = umah pristiwa prsatuan waktu t = umlah satuan waktu Contoh soal : Jika rata rata kdatangan bis di suatu trminal λ = 7 stiap am, brapakah pluang dari = 4 kdatangan dalam t = 3 mnit? Jawab: Dalam kasus ini λ = 7 kdatangan stiap am namun yang ditanyakan adalah 4 kdatangan pr 3 mnit. Olh karna itu = 7/am diubah mnadi 7/6 mnit = 7/3 mnit = 7//3 mnit = 3,6 kndaraan / 3mnit. 4 3,6 3,6 4;3,6,9 atau 9, % 4!,5, robabilitas,5,,5 4 6 8 Jum lah kndaraan Jumlah robailitas Jika diinginkan mnntukan umlah probabilitas sampl mulai dari sampai dngan pada kurva distribusi oisson dngan man, maka S, ; ;. Jika diinginkan mnntukan umlah probabilitas sampl dngan kadian sbanyak n atau lbih dan man maka : n n S n, ; ;.! 4
Dari contoh di atas cacah trkam rata-rata untuk intrval 5 dtik adalah =,48. Dalam intrval prtama maka diprolh nilai 3. robabilitas untuk mmprolh nilai 3 atau lbih adalah ~,8. ada kasus umlah kndaraan di atas, Jumlah probabilitas,8,6,4, 4 6 8 Jumlah kndaraan Jumlah ; 3,6,734,5689,3747 3,556 4,76438 5,8449 6,9677 7,969 8,98839 9,995976,99879,99963,9999 3,999975 4,999994 5,999999 6 Vrifikasi nilai rata-rata distribusi oisson ;3,6 ;3,6,734,98365,98365 5
,7758,3545 3,469,63748 4,9,764889 5,3768,6884 6,868,495648 7,4484,97389 8,98,5943 9,7647,6884,753,753,9,99,7,344 3 7,49E-5,973 4,9E-5,69 5 4,6E-6 6,93E-5 6,4E-6,66E-5 Jumlah 3,6 Dari kolom ktiga bawah, maka ssuai dngan prsamaan.8 diprolh ; 3,6 BELUM.3 DISTRIBUSI ORMAL ATAU GAUSSIA Distribusi Gaussian mrupakan kadaan khusus dari pndkatan distribusi binomial ika umlah pngamatan brbda yang mungkin n mnadi tak brhingga bsar dan probabilitas brhasil untuk stiap pngamatan cukup bsar shingga np >>. Kadaan ini mnadi distribusi oisson ika mnadi bsar. Karaktristik Fungsi probabilitas Gaussian didfinisikan: G ;, p.3 Bntuk trsbut mrupakan fungsi kontinyu yang mlukiskan probabilitas untuk mmprolh nilai, hasil pngamatan scara acak dari distribusi induk dngan paramtr dan yaitu man dan dviasi standar. Karna distribusinya kontinyu maka prlu mndifinisikan intrval dimana nilai hasil pngamatan dari akan brada. Fungsi probabilitas didfinisikan sdmikian rupa shingga probabilitas dq G ;, nilai suatu pngamatan scara acak akan brada dalam intrval d di skitar dibrikan olh: dq ;, ;, d.4 G G dngan d mrupakan nilai yang kcil skali. Maka fungsi probabilitas trnormalisasi mnadi: 6
dq G, dq G ;, G.5 ; d Bukti: Lbar kurva ditntukan dngan nilai sdmikian rupa shingga untuk tinggi kurva brkurang mnadi -/ dari nilai puncaknya. G / G maka ;, ;,.6 Bntuk distribusi Gaussian ditunukkan pada Gambar.5. Kurva brbntuk sprti loncng dan simtri di man. Gambar.5 robabiltas Gaussian yang mnggambarkan hubungan,, dan.e. trhadap kurva. Kurva mmiliki luas Karaktrisasi yang lain adalah pada lbar stngah puncak maksimum, yang sring dinyatakan dngan lbar stngah half-width, didfinisikan dngan angkau yang mnghasilkan probabilitas stngah dari nilai maksimumnya. G ;, ;, G.7 karna G ma. Dngan dfinisi ini maka dari prs..3 dapat diprolh: =.354.8 ada gambar tampak bahwa bagian kurva yang paling tral brada pada ktinggian -/ brssuaian dngan absis =. Kurva ini ika dilanutkan akan brpotongan dngan sumbu =. Contoh: Cacah radioaktif Cs-37 slama dtik sbanyak kali pncacahan di lab fisika modrn UAD. 7
388 3856 394 393 4 3889 3977 3964 3983 3963 39 3985 3833 397 3936 378 3934 48 383 399 3856 395 3953 395 397 3943 398 396 3988 39 3865 3968 3946 395 388 474 396 3989 3889 398 387 3789 384 3877 386 396 396 3833 387 3887 397 3994 3883 3873 3879 387 394 399 3999 3994 396 3889 3883 3953 3947 3854 386 398 44 399 3885 397 3993 3939 3838 387 44 386 3999 396 3938 4 396 3955 3935 47 383 3879 387 398 383 3869 3938 38 4 3849 3865 48 3875 3865 45 394 396 397 399 3947 3936 397 395 395 395 389 45 39 389 395 3935 3857 3987 3876 3856 47 3875 3895 3999 3876 394 396 389 3893 386 387 3878 3839 3936 3955 3879 398 3988 388 3847 39 397 399 3969 396 399 3887 394 397 394 383 395 397 3873 398 3889 395 396 3856 3898 3956 3875 3944 3865 3939 48 386 39 395 393 3985 389 397 3984 393 3865 3895 3969 3943 396 387 3859 3896 44 48 387 3876 387 3939 394 3998 386 3964 3944 464 445 46 3933 3955 397 436 396 388 3896 395 3948 383 395 3958 394 3943 3893 46 3865 394 389 39 3865 3883 39 3964 3879 387 395 448 3895 394 3859 3867 387 393 3895 38 399 3959 385 383 3947 3938 3999 3883 3897 388 3883 379 3877 3876 47 3854 386 3844 3839 3984 3948 3833 3894 39 393 3979 3859 3943 3874 385 395 3858 399 3953 396 3999 3895 3949 393 3876 3897 3857 393 3833 397 3864 3887 395 3895 38 3897 393 389 3856 3933 3879 48 389 3867 3838 39 4 49 46 3859 39 387 378 3865 3893 47 386 389 3856 393 3994 397 389 3895 46 394 389 386 3838 39 3846 385 394 379 3964 3868 394 3998 49 387 3945 3956 388 395 39 389 395 3979 3994 3959 3949 398 3833 386 397 3963 3875 3945 387 3877 387 39 3896 378 3949 395 3859 393 45 39 3889 3938 3937 394 3977 3954 3864 39 3959 3877 3978 396 3988 3936 3943 3887 3866 3959 3963 3845 397 3877 397 38 39 3896 394 3956 3933 399 3844 398 3965 393 396 399 394 3943 3864 3945 3884 3949 443 3799 395 39 3995 3938 397 39 396 3957 3856 395 3836 3865 39 3989 393 3958 393 3953 3985 3953 394 3857 385 3963 3935 39 3985 4 3873 39 389 3878 43 3994 387 399 3756 37 395 395 49 397 395 39 397 389 3959 3964 385 395 386 3963 396 394 3953 394 3959 46 385 3876 396 3998 397 394 387 3999 394 395 39 386 3869 3854 45 388 387 3966 39 396 3853 3959 3977 39 3936 398 398 387 3887 397 3858 3938 3966 3939 398 49 386 437 3956 3999 3956 3999 43 386 378 3959 396 3957 4 3964 3897 393 3949 398 48 396 3946 3853 39 397 394 396 396 399 3948 3938 3865 3957 3988 3996 3965 383 395 389 39 3938 39 3955 3977 3938 39 3843 437 45 398 395 393 3889 395 387 394 4 3848 386 395 485 3887 3944 399 3943 3879 395 393 44 3946 3985 397 3887 39 398 389 3959 397 387 3887 399 394 3987 395 3979 3946 399 433 3888 39 3848 3963 3993 3938 397 395 3956 3877 399 3889 3799 393 398 45 395 3849 3958 398 387 3874 3944 388 3976 3943 383 394 3897 393 435 3869 394 395 395 3895 43 38 394 3933 3897 395 3794 396 399 396 389 39 396 3984 3956 394 396 443 3948 3949 45 3996 395 396 397 3936 395 44 399 3969 398 39 3977 3956 3947 386 388 3963 8
395 39 3977 3835 399 4 399 3985 3848 396 3976 3999 388 393 3998 397 3938 3846 395 3987 398 49 397 3977 393 3968 39 3898 383 3935 395 3959 3934 3996 394 3953 3946 393 398 387 3853 387 3799 383 393 393 3849 389 3939 3857 3985 3895 394 45 3989 399 3938 3938 3869 3876 3957 387 48 49 386 3944 4 3987 3938 3938 396 388 396 396 3955 397 398 3959 397 3878 386 386 396 397 3938 3856 46 3868 3999 3848 394 399 3887 3887 3963 386 387 397 3896 3869 398 395 386 3898 399 399 393 387 44 3876 46 3947 3957 435 3853 3984 3799 3799 3898 464 3987 436 3943 3876 3843 399 389 387 383 383 387 3958 3956 394 448 3839 3866 395 39 396 3897 3897 389 387 3944 3867 3938 3887 3844 388 3889 389 393 3953 3876 383 43 388 3984 3956 395 388 3844 387 3938 39 388 3844 3956 39 3953 393 393 3858 398 3883 3938 3936 397 3858 399 3949 395 3939 3873 378 3888 393 386 3956 386 3864 399 393 4 388 395 39 389 393 3887 3949 387 3838 395 39 3994 39 3959 395 3833 389 399 3865 464 3856 3934 46 3964 393 3869 393 385 3848 3799 39 3958 394 388 3968 3994 379 398 3879 3933 397 383 395 387 395 387 396 3889 3979 3956 3887 396 3946 3897 39 383 387 3883 3994 393 3876 48 3938 43 3889 3953 433 3844 3943 44 3939 44 3856 3988 398 466 3943 39 3946 3858 3957 383 3879 3933 3887 437 395 438 3933 3936 3965 3864 3857 399 394 3893 399 3844 39 394 443 3956 398 3838 399 3987 395 3895 3799 395 3936 3939 39 3949 399 3856 395 3878 3893 3999 3989 393 39 395 3985 3865 397 394 394 399 399 3948 4 3873 397 39 49 39 3963 395 396 3898 395 396 397 395 45 Langkah-langkah prtama adalah mngurutkan data mnsortir data dngan mnolak data mnggunakan dngan kritria. Ada sbanyak data yang trtolak. ma min Mnntukan panang intrval dngan rumus: panang intrval k dngan k adalah umlah pmbagi pada sumbu : k 3,3log =,86 dibulatkan mnadi, dngan umlah data ditrima dalam hal ini = 978 intrval frkunsi m m 3794-387 4.673 387-384 46.3366 384 3863 76.8477 3863 3886 3 3.4365 3886 399 45 4.75435 399 3933 5.754674 9
3933 3956 78 6.4657 3956 3979 7.44876 3979 4 88 8.6538 4 45 39 9.3695 45-448 8.853 = 978 6 dtik.5 3 dtik dtik m..5 4 m 6 8 Tamilan running program Igor Display wav vs wav ModifyGraph mod=3 CurvFit gauss wav /X=wav /D Fit convrgd proprly fit_wav= W_cof[]+W_cof[]*p--W_cof[]/W_cof[3]^ W_cof={.33,.7995,4.745,3.} V_chisq=.5994; V_npnts= ; V_numas= ; V_numIFs= ; W_sigma={.6,.,.758,.45} Cofficint valus ± on standard dviation y =.33 ±.6 A =.7995 ±. = 4.745 ±.758 width = 3. ±.45 Hasil fitting data mngikuti profil gaussian mnunukkan bahwa pada t = dtik prsamaan brbntuk:
y.33.7995 4.745 3. Distribusi Gaussian standar Bntuk standar dari prsamaan Gaussian dibntuk dngan mndfinisikan variabl tak brdimnsi z = -/, shingga: z G z dz p dz.9 Jadi dari tabl nilai G z maka dapat diprolh fungsi distribusi Gaussian G ;, untuk smua nilai paramtr dan dngan mngubah variabl dan mmbuat skala fungsi dngan /. Man dan Dviasi Standar aramtr dan pada prs..3 untuk distribusi rapat probabilitas Gaussian brhubungan dngan man dan dviasi standar fungsi. Ekuivalnsi ini dapat dibuktikan dngan mnghitung dan dari prs..3 dan.4 sbagai nilai harap untuk fungsi Gaussian dan -. Untuk sampl data trbatas, yang diharapkan mngikuti distribusi rapat probabilitas Gaussian, man dan dviasi standar dapat dihitung scara langsung dngan prs.. dan.9. hasilnya dan s mrupakan stimasi dari man dan dviasi standar. robabilitas Intgral robabilitas intgral mrupakan probabilitas pngukuran mnyimpang dari harga man sbsar. Bsarnya dapat diturunkan dngan mnghitung intgral scara numrik: AG ;, p d.3 yang artinya probabilitas bahwa smbarang nilai mnyimpang dari man kurang dari. Karna fungsi probabilitas G ;, trnormalisasi mnadi, maka probabilitas bahwa suatu pngukuran akan mnyimpang dari man lbih dari hanya A G ;,. Yang mnarik adalah probabilitas yang brhubungan dngan dviasi,,.. trhadap man trkait dngan,,.. pada dviasi standar. Eror trbolh adi probabl rror,.e. mrupakan harga absolut dviasi sdmikian rupa shingga probabilitas dviasi dari smbarang pngamatan yang dilakukan scara acak kurang dari ½ atau 5%. Jadi sparoh dari obsrvasi dalam ksprimn diharapkan turun pada batas.e. Jika digunakan bntuk distribusi gaussian standar sbagaimana prs..9 maka dapat dihitung probabilitas intgral A G z dalam variabl tak brdimnsi z = -/, i
z z / AG z dz dz.3 z dimana z = / mngukur dviasi dari man dalam satuan dviasi standar. Intgral pada prs..3 tidak dapat dihitung scara analitik shingga untuk mnntukan A G ;, maka fungsi Gaussian arus dikspansikan mnurut drt Taylor dan mngintgrasikan suku dmi suku atau mngintgrasikan scara numrik. Tabl dan Grafik Fungsi probabilitas Gaussian G z dan probabilitas intgral A G z tlah ditablkan. Dari tabl probabilitas intgral diprolh bahwa probabilitas pngukuran mnghasilkan dviasi dari man dan skitar 68% dan 95%. Dngan cara yang sama, dngan mmisalkan batas probabilitas 5% maka dapat dilihat nilai ror trbolhadi.e =.6745. Kmncngan kurva Skwnss Kmncngan kbalikan dari simtri. ada drt simtris modus, mdian, rata-rata idntik. Kofisin kmncngan = man modus standar dviasi Kurtosis kmnonolan Mrupakan ukuran tingkat kmnonolan distribusi. Ukuran kurtosis dinyataka dngan, dan 4. 4 4 dngan, 4 o Jika = 3 maka kurva normal msokurtik o Jika > 3 maka kurva mngrucut lptokurtik o Jika < 3 maka kurva mndatar platikurtik
3
4
5