PENENTUAN MEDAN GRAVITASI EINSTEIN DALAM RUANG MINKOWSKI MENGGUNAKAN SIMBOL CHRISTOFFEL JENIS I DAN II SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains MELLY FRIZHA 080801032 DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2012
PENENTUAN MEDAN GRAVITASI EINSTEIN DALAM RUANG MINKOWSKI MENGGUNAKAN SIMBOL SCHRISTOFFEL JENIS I DAN II ABSTRAK Telah dilakukan kajian teoritik mengenai penentuan medan gravitasi Einstein dalam ruang Minkowski melalui studi pada fenomena pembelokan cahaya bintang di sekitar matahari. Pengkajian ini menunjukkan bahwa medan gravitasi Einstein merupakan suatu manifestasi kelengkungan ruang-waktu yang dalam hal ini ruang-waktu Minkowski 4 dimensi dengan metrik Minkowski. Perhitungan besarnya medan gravitasi Eintein dalam ruang tersebut dilakukan dengan merumuskannya kedalam formulasi simbol Christoffel jenis I dan II. Hasilnya, memperlihatkan kaitan antara medan gravitasi dengan ruang-waktu yang secara matematis dapat menjelaskan konsep fisis pada fenomena pembelokan cahaya bintang di sekitar matahari tersebut.
DETERMINATION OF EINSTEIN S GRAVITATIONAL FIELD IN MINKOWSKI SPACE USING CHRISTOFFEL SYMBOL OF THE TYPE I AND II ABSTRACT Theoretical studies have been conducted concerning the determination of Einstein's gravitational field in Minkowski space through the study on the phenomenon of bending of starlight around the sun. This assessment showed that Einstein's gravitational field manifestation of the curvature of space-time in this space-time 4 dimensional Minkowski which have Minkowski s metric. Calculation of the gravitational field Eintein done by formulating it into the formulation of the Christoffel symbol of the type I and II. The results, showing a link between the gravitational field of the space-time which can mathematically explain the concept of physical phenomena on the deflection of starlight around the sun. DAFTAR ISI
Halaman Persetujuan... Pernyataan... Penghargaan... Abstrak... Abstract... Daftar Isi... Daftar Gambar... Daftar Simbol... Daftar Istilah... ii iii iv vi vii viii x xi xii Bab 1 Bab 2 Pendahuluan 1.1 Latar Belakang... 1 1.2 Batasan masalah... 3 1.3 Tujuan Penelitian... 3 1.4 Manfaat Penelitian... 3 1.5 Metodologi Penelitian... 4 1.6 Sistematika Penulisan... 5 Tinjauan Pustaka 2.1 Teori Relativitas Einstein... 6 2.1.1 Teori Relativitas Khusus... 6 2.1.1.1 Transformasi Lorentz... 7 2.1.1.2 Kerangka Acuan Inersial... 10 2.1.2 Teori Relativitas Umum... 11 2.1.2.1 Prinsip Ekuivalensi... 12 2.1.2.2 Prinsip Kovariansi Umum... 12 2.1.2.3 Kelengkungan Ruang-Waktu... 13 2.2 Analisis Tensor... 16 2.2.1 Transformasi Koordinat... 17 2.2.2 Koordinat Kurvalinier... 19 2.2.2.1 Koordinat Kurvalinier Ortogonal... 19 2.2.2.2 Vektor Satuan dan Faktor Skala dalam Sistem Koordinat Kurvalinier... 19 2.2.2.3 Koordinat Kurvalinier Umum... 20 2.2.3 Kaidah Penjumlahan... 22 2.2.4 Klasifikasi Tensor Berdasarkan Hukum Transformasi... 22 2.2.4.1 Vektor Kontravarian... 22 2.2.4.2 Vektor Kovarian... 23 2.2.4.3 Invarian... 23 2.2.4.4 Tensor Campuran... 24 2.2.4.5 Tensor Simetri dan Antisimetri... 25
2.2.5 Operasi-Operasi Dasar Tensor... 25 2.2.6 Tensor Metrik... 27 2.2.7 Tensor Konjugat... 29 2.2.8 Differensiasi Tensor... 29 2.2.9 Geodesik... 31 2.3 Medan Gravitasi Einstein... 32 Bab 3 Bab 4 Hasil dan Pembahasan 3.1 Pembelokan Cahaya Bintang di Sekitar Matahari Berdasarkan Teori Relativitas Umum Einstein... 34 3.2 Ruang-Waktu Minkowski 4 Dimensi... 36 3.2.1 Geometri Ruang Datar... 37 3.2.2 Geometri Ruang Lengkung... 39 3.3 Medan Gravitasi Eintein dalam Ruang-Waktu Minkowski 4 dimensi... 41 Kesimpulan dan Saran 4.1 Kesimpulan... 52 4.2 Saran... 53 Daftar Pustaka... 54 Lampiran A... 56 Lampiran B... 59 DAFTAR GAMBAR
Halaman Gambar 2.1 Kerangka acuan inersial dari S dan S... 8 Gambar 2.2 Ruang 1 dimensi (a) yang datar (b) yang lengkung... 13 Gambar 2.3 Ruang 2 dimensi (a) yang datar (b) yang lengkung... 14 Gambar 2.4 Ruang Euklidean dan komponen-komponen geometrinya... 14 Gambar 2.5 Ruang non-euklidean dan komponen-komponen geometrinya... 14 Gambar 2.6 (a) Dalam ruang datar C/D = π (b) Dalam ruang lengkung C/D > π atau < π... 15 Gambar 2.7 Tampilan ruang-waktu yang melengkung oleh benda bermassa... 15 Gambar 2.8 Kurva-kurva dan garis koordinat... 17 Gambar 2.9 Sistem koordinat kurvalinier umum bola... 20 Gambar 2.10 Jarak antara dua titik A dan B ditinjau dalam ruang berdimensi α... 27 Gambar 3.1 Prinsip ekuivalensi Einstein (a) bola dipercepat dengan percepatan gravitasi (b) bola dipercepat dengan percepatan inersial... 34 Gambar 3.2 Prinsip yang berlaku pada partikel cahaya atau foton... 35 Gambar 3.3 Akibat melengkungnya ruang dan waktu di sekitar matahari... 36 Gambar 3.4 Ruang datar 2 dimensi yang mewakili gambaran permukaan bumi... 37 Gambar 3.5 Penggambaran pelengkungan yang terjadi sebagai fungsi waktu dan peninjauannya pada jarak antara titik A dan B dalam ruang lengkung... 39 Gambar 3.6 Sistem koordinat untuk pembelokan cahaya bintang oleh Gambar 3.7 matahari... 41 Permukaan dari bola sebagai contoh dari ruang yang melengkung dan transformasi koordinatnya... 42 Gambar A.1 Kerucut cahaya yang berkorespondensi dengan ruang dan waktu 56 Gambar A.2 Diagram Ruang-Waktu... 58 DAFTAR SIMBOL
Simbol-simbol yang digunakan dalam skripsi ini dan fungsinya : F = Gaya G = Konstanta Gravitasi = Vektor posisi m = Massa c = Kecepatan cahaya v = Keceptan pada kerangka acuan inersial g = Percepatan gravitasi a = Percepatan inersial l = Panjang = Tensor metrik = Tensor resiprokal/konjugat = Kuadrat elemen jarak antara 2 titik = Delta kronecker = Faktor Skala atau panjang dari suatu vektor = Ruang berdimensi sebarang = Vektor kovarian rank 1 = Vektor kontravarian rank 1 = Vektor campuran dengan vektor kovarian dan kontravarian masingmasing berank 1 = Simbol Christoffel Jenis 1 = Simbol Christoffel Jenis II
DAFTAR ISTILAH Dimensi Ekuivalensi Foton Geometri Geodesik Invarian Isotropik Koordinat Kurvalinier Kerangka Acuan Inersial Massa Massif Ortogonal Ruang Euklidean Ruang Non-Euklidean Rank : Jumlah minimal koordinat yang dibutuhkan untuk menentukan titik yang ada di dalam suatu ruang : Kesetaraan : Partikel elementer pembawa radiasi elektromagnetik tak bermassa dan berkecepatan cahaya : Ilmu ukur yang mempelajari hubungan dalam suatu ruang : Jarak terpendek dalam ruang waktu lengkung : Besaran yang tidak berubah meski telah mengalami transformasi : Keseragaman dalam semua orientasi : Koordinat suatu ruang lengkung : Kerangka yang diam atau bergerak dengan kecepatan tetap : Massa yang sangat besar : Tegak lurus : Ruang datar atau ruang dengan koordinat kartesius : Ruang Lengkung : Derajat/Pangkat/ Dimensi yang menyatakan label dari suatu komponen